জ্যামিতি

প্রশ্ন: 11 সে.মি.ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত উক্ত বৃত্তের কোন জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.? 

সমাধান:
 
দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 11 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব (d) = 5 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
জ্যা-এর অর্ধেক = √(r² - d²)
= √(11² - 5²)
= √(121 - 25)
= √96
= √(16 × 6)
= 4√6 সে.মি.

∴ জ্যা-এর সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = 2 × 4√6
= 8√6 সে.মি.

চিত্রে, y = 45° + 180° [অনুরূপ কোণ + সরলকোণ]
= 225°
z = 180° - 32° [যেহেতু, z + 32° = 180°]
= 148°
এবং x = 32° [অনুরূপ কোণ]
সুতরাং y - z - x = 225° - 148° - 32°
= 45°

প্রশ্ন: যদি sinA = 3/5 হয়, তাহলে cosA =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
sin A = 3/5
∴ sin²A = (3/5)² = 9/25

আমরা জানি,
sin²A + cos²A = 1
⇒ cos²A = 1 - sin²A 
⇒ cos²A = 1 - (9/25)
⇒ cos²A = (25 - 9)/25
⇒ cos²A = 16/25
⇒ cos A = √(16/25)
∴ cos A = 4/5

ধরি,
ভূমি = a,
লম্ব = b
∴ 1/2 × a × b = 30
বা, ab = 60
আবার,
a - b = 7
বা, (a - b)² = 7² = 49
বা, a² + b² - 2ab = 49
বা, a² + b² = 49 + 2.60
                 = 169
∴ অতিভূজ = √(a² + b²)
= √169
= 13 সেঃমিঃ

প্রশ্ন: যদি 5cot²θ - cosec²θ = 3 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
5cot²θ - cosec²θ = 3  
⇒ ​5cot²θ - (1 + cot²θ) = 3 [cosec²θ = 1 + cot²θ]
⇒ ​5cot²θ - 1 - cot²θ = 3
⇒ ​4cot²θ - 1 = 3
⇒ ​4cot²θ = 3 + 1
⇒ ​4cot²θ = 4
⇒ ​cot²θ = 4/4
⇒ ​cot²θ = 1
⇒ ​cotθ = √1
⇒ ​cotθ = 1
⇒ ​​cotθ = cot 45° 
​∴ θ = 45°

অতএব, θ এর মান হলো 45°।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১৩ সেমি এবং লম্ব ৫ সেমি হলে, মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অতিভুজ = ১৩ সেমি
লম্ব = ৫ সেমি

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ (ভূমি)^২ = (অতিভুজ)^২ - (লম্ব)^২
⇒ (ভূমি)^২ = ১৩^২ - ৫^২ 
⇒ (ভূমি)^২ = ১৬৯ - ২৫ 
⇒ (ভূমি)^২ = ১৪৪
⇒ ভূমি = √১৪৪ = ১২ সেমি

এখন,
মাঠটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × লম্ব × ভূমি
= (১/২) × ৫ × ১২ = ৩০ বর্গসেমি

সুতরাং, মাঠটির ক্ষেত্রফল = ৩০ বর্গসেমি

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান: 
ক) sin181° = sin(180 + 1)° = - sin1°
খ) sin179° = sin(180 - 1)° = sin1°
গ) sin180° = 0; ∴ sin1° > sin180°
ঘ) sin1° > sin0° > sin180°

প্রশ্ন: tanθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanθ = 1/3 

আমরা জানি, tanθ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 1 এবং ভূমি = 3 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(অতিভুজ)² = 1² + 3² 
⇒ (অতিভুজ)² = 1 + 9
⇒ (অতিভুজ)² = 10
⇒ অতিভুজ = √10

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 3/√10

প্রশ্ন: ΔABC-এ, ∠A = 40°, ∠C = 80° এবং BC || DE হলে, ∠BDE = ?


সমাধান:
BC || DE এবং AC ছেদক।
∴ ∠AED = ∠C = 80°

বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ ∠BDE = ∠A + ∠AED
⇒ ∠BDE = 80° + 40°
∴ ∠BDE = 120°

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২৭ সে.মি. হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে,
PN মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র।
∴ PM : MN = ২ : ১

মোট অনুপাত = ২ + ১ = ৩
মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য = ২৭ সে.মি.
ভরকেন্দ্র M, মধ্যমা PN-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PM এবং MN।

∴ PM-এর দৈর্ঘ্য = ২৭ এর (২/৩) অংশ
= ২৭ × (২/৩) সেমি
= ১৮ সে.মি.

সুতরাং, PM-এর দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি.।

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের ২টি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ এবং তৃতীয় কোণ ৪৪° 

প্রশ্নমতে, ৩ক + ৫ক + ৪৪° = ১৮০°
বা, ৮ক = ১৮০° - ৪৪°
বা, ক = ১৩৬/৮ = ১৭

∴ ছোট কোণের মান = ৩ × ১৭ = ৫১°

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ সে.মি.

প্রশ্ন: 20 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি মই এর এক প্রান্ত একটি মিনারের শীর্ষবিন্দু স্পর্শ করে এবং অপর প্রান্ত মিনারের পাদদেশ থেকে 12 মিটার দূরে অবস্থান করলে মিনারের উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি, A মিনারের শীর্ষবিন্দু এবং AB মিনারের উচ্চতা। 
ভূমি, BC = 12 মিটার এবং মই এর দৈর্ঘ্য, AC = 20 মিটার 

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, 
(AC)² = (AB)² + (BC)²
⇒ (AB)² = (AC)² - (BC)²
= (20)² - (12)²
= 400 - 144
= 256
= 162
∴ AB = 16

∴ মিনারের উচ্চতা 16 মিটার 

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৬ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১৫ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু এর সমান

∴ ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু = ১২

এখন, ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = ১২ মিটার
∴ ১৫ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (১২ × ১৫) মিটার
= ১৮০ মিটার।

বর্গের ক্ষেত্রফল = ১৬ বর্গ সে. মি.
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ সে. মি.
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = ৪√২ সে. মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২√২ সে. মি.
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = Π(২√২)^২= ৮Π ব্যাসার্ধ

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৬ সেমি ও ৫ সেমি হলে, এর অর্ধ পরিসীমা কত সেমি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৬ সেমি ও ৫ সেমি।
অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য = ৬ সেমি, প্রস্থ = ৫ সেমি

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৬ + ৫) সেমি
= ২ × ১১ সেমি
= ২২ সেমি

∴ অর্ধ পরিসীমা = ২২/২ সেমি
= ১১ সেমি

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r 
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নানুসারে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ r = 90/{2(π - 1)}
⇒ r = 45/{22/7) - 1}
⇒ r = 45/(15/7) 
∴ r = 21 সে.মি.

∴ নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 সে.মি.। 

x = 360° - 110°
= 250°
যা 180° থেকে বড় এবং 360° থেকে ছোট অর্থাৎ প্রবৃদ্ধকোণ

- আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 120°।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য তার উচ্চতার 1/√3 গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটির উচ্চতা = h
খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য = h × (1/√3)
আমরা জানি, সূর্যের উন্নতি কোণ θ হলে,
tanθ = লম্ব/ভূমি
⇒ tanθ = AB/BC 
⇒ tanθ = h/(h/√3)
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°
সুতরাং, সূর্যের উন্নতি কোণ 60°।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴  ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
সুতরাং, ১৩ : ১২ : ৫ বাহুগুলো সমকোণী ত্রিভুজের অনুপাত

প্রশ্ন: বিন্দুর সঞ্চারপথকে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
রেখা (line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়। 
অথবা, বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে। 
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে। 
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার।
যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনেকরি,
খুঁটির মোট উচ্চতা, AE = x মিটার
যেহেতু খুঁটিটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে গেছে,
তাই ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 5) মিটার

এখন, 
ΔABD- এ
(x - 5)² = 5² + 12²
⇒ x² - 10x + 25 = 25 + 144
⇒ x² - 10x + 25 = 169
⇒ x² - 10x - 144 = 0
⇒ x² - 18x + 8x - 144 = 0
⇒ x(x - 18) + 8(x - 18) = 0
⇒ (x - 18)(x + 8) = 0
সুতরাং, x - 18 = 0 অথবা x + 8 = 0
⇒ x = 18 অথবা x = - 8
যেহেতু খুঁটির উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 18 মিটার।
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 18 মিটার।

“বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোন জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।”
অর্থাৎ, অপর জ্যা-টি ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে। সুতরাং, এই জ্যা এর দৈর্ঘ্যও ৮ সে.মি.। আবার,
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
অন্যদিকে, জ্যা দুটি সমান্তরাল হতেও পারে আবার না ও হতে পারে।

প্রশ্ন: একটি গোলকের আয়তনকে তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল 12 মি. হয়। গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?
 
সমাধান:
ধরি,
গোলকটির ব্যাসার্ধ = r 

আমরা জানি, 
গোলকটির আয়তন = (4/3)πr³
এবং গোলকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² 

প্রশ্নানুসারে, 
{(4/3)πr³}/(4πr²) = 12
⇒ r/3 = 12
⇒ r = 12 × 3
∴ r = 36

অতএব, গোলকটির ব্যাসার্ধ 36 মি.