জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সেন্টিমিটার এবং 30 মিলিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = 7 সেন্টিমিটার 
অপর বাহু = 30 মিলিমিটার
= (30/10) সেন্টিমিটার
= 3 সেন্টিমিটার

∴ সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক 
= 2(7 + 3) সেন্টিমিটার
= (2 × 10) সেন্টিমিটার
= 20 সেন্টিমিটার 

ধরি,
লম্ব = a cm
অতিভুজ = (a + 2) cm
∴ ভূমি = 8 cm

∴ (a + 2)² = a² + 8²
বা, a² + 4a + 4 - a² = 64
বা, 4a = 60
বা, a = 15

∴ অতিভুজ = 15 + 2
= 17 cm

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার এবং অতিভুজ ১৩ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
​উচ্চতা = ক মিটার 
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​অতিভুজ^২ = ভুমি^২ + উচ্চতা^২ 
⇒ ​(১৩)^২ = (১২)^২ + ক^২
⇒ ​​১৬৯ = ১৪৪ + ক^২
⇒ ​​ক^২ = ১৬৯ - ১৪৪
​⇒ ​ক^২ = ২৫
​⇒ ​ক = ৫
​
​সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা 
​= (১/২) × ১২ × ৫ 
​= ৩০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: ২৭০° কোণকে কী বলা হয়?

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট, তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।- যেহেতু, ২৭০° কোণটি ১৮০° এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০° এর চেয়ে ছোট, তাই এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle)।

উল্লেখ্য-
- বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle): দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মধ্যে যেকোনো দুটি বিপরীত কোণকে বিপ্রতীপ কোণ বলে। এদের পরিমাপ পরস্পর সমান হয়।
- স্থূলকোণ (Obtuse Angle): যে কোণের পরিমাপ ৯০° অপেক্ষা বেশি কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা কম, তাকে স্থূলকোণ বলে।
- সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle): যে কোণের পরিমাপ ০° অপেক্ষা বেশি কিন্তু ৯০° অপেক্ষা কম, তাকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের -

সমাধান: 
- বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বলা হয়। 
- প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে।
- একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে, কোণটিকে ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয়।
- প্রত্যেক কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তে একটি উপচাপ খণ্ডিত করে।  
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: 1230° কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান:

1230° = (3 × 360°) + 150°
এখানে, (3 × 360°) তিনটি পূর্ণ ঘূর্ণন যা কোণটিকে আবার শুরুর অবস্থানে (ধনাত্মক X-অক্ষের ওপর) ফিরিয়ে নিয়ে আসে।
অবশিষ্ট কোণটি হলো 150°, যা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 150°।
যেহেতু 90° থেকে 180° পর্যন্ত কোণ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে থাকে, তাই 150° কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করবে।

∴ 1230° কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে।

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্যদিকে, 
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। 
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৬ সে. মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ২ টি বাহু সমান = ক
ক^২ + ক^২ = ৬^২
বা, ২ক^২ = ৩৬
বা, ক^২ = ৩৬/২
বা, ক^২ = ১৮
বা, ক = ৩√২

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৩√২ × ৩√২
= ৯ বর্গ সে. মি

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং পরিধি 88 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের পরিধি = 88 মিটার
⇒ 2πr = 88
⇒ 2 × (22/7) × r = 88
⇒ (44/7) × r = 88
⇒ r/7 = 2
⇒ r = 7 × 2
⇒ r = 14 মিটার।

বৃত্তটির ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
= 2 × 14
= 28 মিটার।

অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 28 মিটার।

রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × 8 × 6
= 24 বর্গসেঃমিঃ = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

আবার,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 6 cm
∴ প্রস্থ = 24/6
= 4 cm

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(6² + 4²)
= √52
= 2√13 cm

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ,(x - g)² + (y - f)² = r² যেখানে (g, f) বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক।
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ (x - 4)² + (y + 3)² = 100 এ কেন্দ্রীয় স্থানাংক(4, -3).

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 28 সে.মি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= {(22/7) × 28} + (2 × 28)
= (22 × 4) + 56
= 88 + 56
= 144 সে.মি । 

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষা 132° কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটির মান = ক 

প্রশ্নমতে,
(180° - ক) - ক = 132°
⇒ 180° - 2ক = 132°
⇒ 2ক = 180° - 132°
⇒ 2ক = 48°
⇒ ক = 48°/2
⇒ ক = 24°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি সমান হলে, অতিভুজের অর্ধেক কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি সমান 
মনে করি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = ভূমি = P

আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
= P²+ P²
= 2P²
⇒ অতিভুজ² = 2P²
⇒ অতিভুজ = √2P
⇒ অতিভুজ/2 = √2P/2
∴ অতিভুজ/2 = P/√2

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 30° বেশি হলে, কোণটি কত? 

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
ধরি, 
কোণটি = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x 

শর্তমতে, 
x = 90° - x + 30° 
বা, x + x = 120°
বা, 2x = 120°
বা, x = 120°/2
∴ x = 60° 

∴ কোণটির মান = 60° ।

ধরি, ব্যাসার্ধদ্বয় r₁, r₂
∴ আয়তনদ্বয়ের অনুপাত,
{(4/3)π(r₁)³}/{(4/3)π(r₂)³} = 27/8
বা, (r₁)³/(r₂)³ = 3³/2³
বা, r₁/r₂ = 3/2
∴ r₁ : r₂ = 3 : 2

প্রশ্ন: sec²θ + cosec²θ = ?
​
​সমাধান:
​sec²θ + cosec²θ
​= (1/cos²θ) + (1/sin²θ)
​= (sin²θ + cos²θ)/(cos²θ. sin²θ)
​= 1/(cos²θ. sin²θ)
​= (1/cos²θ). (1/sin²θ)
​= sec²θ. cosec²θ

এখানে d₂ = 5d₁
আমরা জানি,
a₁ = π/4×d₁²
এবং a₂ = π/4×d₂² = π/4×(5d₁)² = 25×π/4×d₁² = 25a₁

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =[ ১÷২ × ভুমি × লম্ব]
বা, ৮৪ = ১÷২ × ভুমি × ১২
ভুমি=(৮৪×২)÷১২
       =১৪ গজ

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের কর্ণ AC = 8 সে.মি. এবং কর্ণ BD = 6 সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমা কত?

সমাধান:
 
ধরি,
AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
আমরা জানি,
রম্বসে কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AOD সমকোণী ত্রিভুজ। যেখানে ∠AOD = 90°
AO = AC/2 = 8/2 = 4 সে.মি.
DO = BD/2 = 6/2 = 3 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AD² = AO² + DO²
⇒ AD = √(4² + 3²)
⇒ AD = √(16 + 9)
⇒ AD = √25
অতএব, AD = 5 সে.মি. 

∴ রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.
∴ রম্বসের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 × 5 = 20 সে.মি.

প্রশ্ন: (- 520°) কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান: 
​
​
(- 520°) = (- 450° - 70°) = (- 5 × 90° - 70°) 
​
(- 520°) একটি ঋণাত্মক কোণ এবং (- 520°) কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে একবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো এক সমকোণ বা 90° এবং 70° ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে (উপরের চিত্র)।
​ 
সুতরাং, (- 540°) কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।

প্রশ্ন: 55° কে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন

সমাধান:
আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
1° = π/180° রেডিয়ান
∴ 55° = (π × 55°)/180° রেডিয়ান
= 11π/36  রেডিয়ান

মনেকরি,
দৈর্ঘ্য ৫x
∴ প্রস্থ = ৫x এর ৩/৫ = ৩x = ৬০
∴ x = ২০
∴ ক্ষেত্রফল = ৫x × ৩x
= ১৫x²
= ১৫ × (২০)^২
= ১৫ × ৪০০
= ৬০০০ বর্গমিঃ

প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° । 

ব্যাস 2r হলে, পরিধি = 2Πr
আবার, বৃত্তের ব্যাস 20r হলে, পরিধি হবে 20Πr
∴ 20Πr/2Πr = 10
অর্থ্যাৎ, 10 গুণ বৃদ্ধি পেয়েছে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। পরিসীমা ১৬০ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মনে করি,
প্রস্থ = ক মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার  ; [আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ।] 

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ১৬০ মিটার
∴ ২(৩ক + ক) = ১৬০
⇒ ২(৪ক) = ১৬০
⇒ ৮ক = ১৬০
⇒ ক = ১৬০/৮ = ২০
∴ প্রস্থ = ২০ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ × ২০ = ৬০ মিটার

আমরা জানি, 
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
= √(৬০^২ + ২০^২)
= √(৩৬০০ + ৪০০)
= √৪০০০
= √(১০০ × ৪০)
= ১০√৪০
= ১০ × ২√১০
= ২০√১০ মিটার

∴ ক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য ২০√১০ মিটার।

একটি বাহু 4x হলে অপরটি 4x এর 3/4 = 3x
∴ (4x)² + (3x)² = 25²
বা, 25x² = 625
বা, x² = 25
∴ x = 5
∴ লম্ব ও ভূমির দৈর্ঘ্য = 20 মিঃ এবং 15 মিঃ।

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ২৪ হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b²
শর্ত মানে, তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

উদাহরণ:
(৩, ৪, ৫)
(৫, ১২, ১৩)
(৭, ২৪, ২৫)
(৮, ১৫, ১৭)
(২০, ২১, ২৯)

এখানে,
৭^২ + ২৪^২ = ২৫^২
⇒ ৪৯ + ৫৭৬ = ৬২৫
⇒ ৬২৫ = ৬২৫

∴ পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ২৪ হলে অন্য সদস্যজোড় হলো (৭, ২৫)।