৯,৩০১.
একটি সুষম বহুভূজের প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ 30° হলে বহুভূজটির বাহুর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
সুষম বহুভূজের মোট বহিঃস্থ কোণ 360°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ 30° হলে বাহুর সংখ্যা = 360°/30°
= 12
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
জ্যামিতি
জ্যামিতি
PrepBank · পাতা ৯৪ / ১০৭ · ৯,৩০১–৯,৪০০ / ১০,৭৫২
৯,৩০২.
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য (ক + ৯) মিটার, (২ক + ১) মিটার এবং ২(২ক - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ৪৩ মিটার হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য (ক + ৯) মিটার, (২ক + ১) মিটার এবং ২(২ক - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ৪৩ মিটার হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে, (ক + ৯) মিটার, (২ক + ১) মিটার এবং ২(২ক - ১) মিটার
এবং পরিসীমা ৪৩ মিটার।
প্রশ্নমতে,
(ক + ৯) + (২ক + ১)+ ২(২ক - ১) = ৪৩
⇒ ক + ৯ + ২ক + ১ + ৪ক - ২ = ৪৩
⇒ ৭ক + ৮ = ৪৩
⇒ ৭ক = ৪৩ - ৮
⇒ ৭ক = ৩৫
∴ ক = ৫
∴ ক্ষুদ্রতম দৈর্ঘ্য হবে = (২ক + ১) মিটার
= (২ × ৫) + ১ = ১১ মিটার
৯,৩০৩.
cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, sinθ = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, sinθ = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
cot(θ - 30°) = 1/√3
বা, cot(θ - 30°) = cot60°
বা, θ - 30°= 60°
বা, θ = 60° + 30°
∴ θ = 90°
then, sin90° = 1
৯,৩০৪.
A = 30° হলে, 2tanA/(1 + tan2A) = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = 30° হলে, 2tanA/(1 + tan2A) = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, A = 30°
আমরা জানি, tan30° = 1/√3
∴ 2tanA/(1 + tan2A)
= 2 × (1/√3)/{1 + (1/√3)2}
= (2/√3)/(1 + 1/3)
= (2/√3)/(4/3)
= (2/√3) × (3/4)
= 6/(4√3)
= 3/(2√3)
= 3√3/(2 × 3) [হর ও লবকে √3 দ্বারা গুণ করে]
= (√3)/2
বিকল্প সমাধান:
আমরা জানি, 2tanA/(1 + tan2A) = sin2A
∴ A = 30° হলে, 2tanA/(1 + tan2A)
= sin(2 × 30°) = sin60° = (√3)/2
৯,৩০৫.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 একক
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4a একক
দেওয়া আছে
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক
প্রশ্নমতে
a√2 = 4√2
a = 4
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 4 একক
= 16 একক
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 একক
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4a একক
দেওয়া আছে
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক
প্রশ্নমতে
a√2 = 4√2
a = 4
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 4 একক
= 16 একক
৯,৩০৬.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক কোণ।
তাহলে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণের মান ১০০° হবে।
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক কোণ।
তাহলে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণের মান ১০০° হবে।
৯,৩০৭.
নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব
২, ৩, ৪
৫, ৭, ৯
৪, ৮, ১২
৯, ১২, ১৫
সমাধান:
৯, ১২, ১৫
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি উহার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
১ম ক্ষেত্রে,
২ + ৩ = ৫ < ৬ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
২য় ক্ষেত্রে,
৫ + ৭ = ১২ < ১৩ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৩য় ক্ষেত্রে,
৪ + ৮ = ১২ যা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৪র্থ ক্ষেত্রে,
৯ + ১২ = ২১ > ১৫ এবং ৯ + ১৫ = ২৪ > ১২ এবং ১২ + ১৫ = ২৯ > ৯ যা ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত মানে।
২, ৩, ৪
৫, ৭, ৯
৪, ৮, ১২
৯, ১২, ১৫
সমাধান:
৯, ১২, ১৫
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি উহার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
১ম ক্ষেত্রে,
২ + ৩ = ৫ < ৬ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
২য় ক্ষেত্রে,
৫ + ৭ = ১২ < ১৩ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৩য় ক্ষেত্রে,
৪ + ৮ = ১২ যা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৪র্থ ক্ষেত্রে,
৯ + ১২ = ২১ > ১৫ এবং ৯ + ১৫ = ২৪ > ১২ এবং ১২ + ১৫ = ২৯ > ৯ যা ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত মানে।
৯,৩০৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?
সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার
প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার।
সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার
প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার।
৯,৩০৯.
নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
সাইন ফাংশনের ক্ষেত্রে,
sin(180° - θ) = sin θ
এখন θ = 1° হলে,
⇒ sin(180° - 1°) = sin 179°
⇒ sin 179° = sin 1°
অর্থাৎ sin 1° = sin 179° এর সমান।
অন্য অপশনগুলো ভুল।
সঠিক উত্তর: খ) sin 1° = sin 179°
৯,৩১০.
যদি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a2/4
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a2/4
৯,৩১১.
একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয় তাদের সমষ্টির দ্বিগুণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয় তাদের সমষ্টির দ্বিগুণ কত?
সমাধান:
একটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টির দ্বিগুণ = (২ × ১৮০°) = ৩৬০°
সমাধান:
একটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টির দ্বিগুণ = (২ × ১৮০°) = ৩৬০°
৯,৩১২.
একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 144 বর্গমিটার এবং আয়তন 288 ঘনমিটার হলে গোলকের ব্যাসার্ধ কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 144 বর্গমিঃ এবং আয়তন 288 ঘনমিটার হলে গোলকের ব্যাসার্ধ কত মিটার?
সমাধান-
ব্যাসার্ধ r হলে,
পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr2
আয়তন = (4/3)πr3
প্রশ্নমতে,
(4/3)πr3 / 4πr2 = 288/144
বা, r3 / 3r = 2
বা, r/3 = 2
বা, r = 6
সমাধান-
ব্যাসার্ধ r হলে,
পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr2
আয়তন = (4/3)πr3
প্রশ্নমতে,
(4/3)πr3 / 4πr2 = 288/144
বা, r3 / 3r = 2
বা, r/3 = 2
বা, r = 6
৯,৩১৩.
কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাসার্ধ 3গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (3r + r) = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(4r)2 = 16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
৯,৩১৪.
প্রদত্ত চিত্র হতে ∠EFD এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র হতে ∠EFD এর মান কত?
সমাধান:
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল
PQ তাদের ছেদক।
∠AEF ও ∠EFD পরস্পর একান্তর
∠AEF = ∠EFD = 50°
সমাধান:
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল
PQ তাদের ছেদক।
∠AEF ও ∠EFD পরস্পর একান্তর
∠AEF = ∠EFD = 50°
৯,৩১৫.
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 24 সে. মি. হলে, বেলনের আয়তন, বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 24 সে. মি. হলে, বেলনের আয়তন, বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
সমাধান:
ব্যাসার্ধ r = 24 সে. মি.,
উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr2h)/(2πrh)
= r/2
= 24/2
= 12
∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 12 গুণ।
সমাধান:
ব্যাসার্ধ r = 24 সে. মি.,
উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr2h)/(2πrh)
= r/2
= 24/2
= 12
∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 12 গুণ।
৯,৩১৬.
একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৫৪ সে.মি. হলে এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৫৪ সে.মি. হলে এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n টি এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে
পরিসীমা na একক
শর্তমতে,
na = ৫৪
বা, ৬a = ৫৪
বা, a = ৯
∴ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৯ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n টি এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে
পরিসীমা na একক
শর্তমতে,
na = ৫৪
বা, ৬a = ৫৪
বা, a = ৯
∴ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৯ সে.মি.
৯,৩১৭.
ABC ও DEF দুটি ত্রিভুজ। নিচের কোন শর্তে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে?
ব্যাখ্যা
উপপাদ্য - ৬ ও উপপাদ্য - ৭ লক্ষণীয়।
৯,৩১৮.
বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র কোনটি?
ব্যাখ্যা
কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h2 + r2) বর্গ একক ।
কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক ।
কোণকের আয়তন = (1/3) × πr2h ঘন একক ।
বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2 ।
বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h) ।
বেলনের আয়তন = πr2h ।
গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক ।
গোলকের আয়তন = (4/3) πr3 ঘন একক ।
কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক ।
কোণকের আয়তন = (1/3) × πr2h ঘন একক ।
বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2 ।
বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h) ।
বেলনের আয়তন = πr2h ।
গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক ।
গোলকের আয়তন = (4/3) πr3 ঘন একক ।
৯,৩১৯.
বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 8 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 8 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান-
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ মি.
সুতরাং, প্রস্থ = 48/8 = 6মি.
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(82 + 62) = √100 = 10 মিটার
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 মি.
সমাধান-
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ মি.
সুতরাং, প্রস্থ = 48/8 = 6মি.
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(82 + 62) = √100 = 10 মিটার
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 মি.
৯,৩২০.
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে,
তার কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার
সুতরাং,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
= 4√2 মি.
৯,৩২১.
দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫.৫ মিটার দূরত্বে থেকে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরত্বে গিয়ে মিলিত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫.৫ মিটার দূরত্বে থেকে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরত্বে গিয়ে মিলিত হবে?
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।
সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
১। সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
২। এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
৩। দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।
সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
১। সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
২। এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
৩। দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
৯,৩২২.
৯০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি কত?
সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ৬ক ও ৭ক
∴ পরিসীমা = (৫ক + ৬ক + ৭ক) = ১৮ক
প্রশ্নমতে,
১৮ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/১৮
⇒ ক = ৫
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি = ৫ক + ৭ক
= (৫ × ৫) + (৭ × ৫)
= ২৫ + ৩৫
= ৬০ মিটার
সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ৬ক ও ৭ক
∴ পরিসীমা = (৫ক + ৬ক + ৭ক) = ১৮ক
প্রশ্নমতে,
১৮ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/১৮
⇒ ক = ৫
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি = ৫ক + ৭ক
= (৫ × ৫) + (৭ × ৫)
= ২৫ + ৩৫
= ৬০ মিটার
৯,৩২৩.
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার এবং প্রস্থ 5 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার এবং প্রস্থ 5 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দৈর্ঘ্য BC = √(132 - 52)
= √144
= 12 মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (12 × 5) = 60 বর্গমিটার
সমাধান:
দৈর্ঘ্য BC = √(132 - 52)
= √144
= 12 মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (12 × 5) = 60 বর্গমিটার
৯,৩২৪.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার দ্বিগুণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার দ্বিগুণ কত?
সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক একক
শর্তমতে,
√2ক = 5√2
⇒ ক = 5√2/√2
∴ ক = 5
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4ক = 4 × 5 = 20 একক
অতএব, ঐ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার দ্বিগুণ = 20 × 2 = 40 একক
সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক একক
শর্তমতে,
√2ক = 5√2
⇒ ক = 5√2/√2
∴ ক = 5
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4ক = 4 × 5 = 20 একক
অতএব, ঐ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার দ্বিগুণ = 20 × 2 = 40 একক
৯,৩২৫.
ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?
সমাধান:
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।
সমাধান:
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।
৯,৩২৬.
একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √(4 × 102 - 162)
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।
সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √(4 × 102 - 162)
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।
৯,৩২৭.
রম্বসের
i. চারটি বাহু পরস্পর সমান
ii. বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
iii. কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
i. চারটি বাহু পরস্পর সমান
ii. বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
iii. কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রম্বসের
i. চারটি বাহু পরস্পর সমান
ii. বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
iii. কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
সমাধান:
রম্বস
- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°
i. চারটি বাহু পরস্পর সমান
ii. বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
iii. কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
সমাধান:
রম্বস
- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°
৯,৩২৮.
সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার তিনগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৭ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার তিনগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৭ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?
সমাধান:
ধরি, সামন্তরিকের উচ্চতা ক মিটার
ভূমি = ৩ক মিটার
আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ক × ৩ক বর্গমিটার
= ৩ক২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
৩ক২ = ২৭
⇒ ক২ = ৯
∴ ক = ৩ মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা ৩ মিটার
ভূমি = ৩ক
= ৩ × ৩ মিটার
= ৯ মিটার
সমাধান:
ধরি, সামন্তরিকের উচ্চতা ক মিটার
ভূমি = ৩ক মিটার
আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ক × ৩ক বর্গমিটার
= ৩ক২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
৩ক২ = ২৭
⇒ ক২ = ৯
∴ ক = ৩ মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা ৩ মিটার
ভূমি = ৩ক
= ৩ × ৩ মিটার
= ৯ মিটার
৯,৩২৯.
কোনাে ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?
ব্যাখ্যা
কোনাে ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি সমকোণী
৯,৩৩০.
নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ।
এখানে একমাত্র 5 + 6 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।
ত্রিভুজ সংক্রান্ত আরো কিছু তথ্য:
- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ।
এখানে একমাত্র 5 + 6 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।
ত্রিভুজ সংক্রান্ত আরো কিছু তথ্য:
- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
৯,৩৩১.
নিম্নের চিত্রে, AC ⊥ BD; CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। ∠ECF =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিম্নের চিত্রে, AC ⊥ BD; CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। ∠ECF =?
সমাধান:
AC ⊥ BD
∠ACB = 90° ; ∠ACD = 90°
CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক।
∠ACE = 45°
∠ACF = 45°
∴ ∠ECF = 45° + 45°
= 90°
সমাধান:
AC ⊥ BD
∠ACB = 90° ; ∠ACD = 90°
CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক।
∠ACE = 45°
∠ACF = 45°
∴ ∠ECF = 45° + 45°
= 90°
৯,৩৩২.
ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে, ∠BOC এর নাম কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে, ∠BOC এর নাম কত?
সমাধান:
এখানে, ∠BOC = 60°
∴ ∠BOC = 2 × ∠BAC
= 2 × 60°
= 120°
সমাধান:
এখানে, ∠BOC = 60°
∴ ∠BOC = 2 × ∠BAC
= 2 × 60°
= 120°
৯,৩৩৩.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি. এবং ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি. এবং ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (দুই কর্ণের গুণফল) বর্গ সে.মি.
= (১/২) × (৮ × ৯) বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ৭২ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (দুই কর্ণের গুণফল) বর্গ সে.মি.
= (১/২) × (৮ × ৯) বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ৭২ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
৯,৩৩৪.
৫৫° কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাণ কত হবে?
ব্যাখ্যা
সম্পূরক কোণের পরিমাণ ১৮০° হয়।
∴ ৫৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৫৫)° = ১২৫°
৯,৩৩৫.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ ক সে.মি.
= ৪ × ৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.।
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ ক সে.মি.
= ৪ × ৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.।
৯,৩৩৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের গুণফল
বা, ১৪৪ = (১/২) × ১২ × অপর বাহু
বা, ১২ × অপর বাহু = ২৮৮
বা, অপর বাহু = ২৮৮/১২
∴ অপর বাহু = ২৪ একক
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের গুণফল
বা, ১৪৪ = (১/২) × ১২ × অপর বাহু
বা, ১২ × অপর বাহু = ২৮৮
বা, অপর বাহু = ২৮৮/১২
∴ অপর বাহু = ২৪ একক
৯,৩৩৭.
একটি বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৪/৪ মিটার
= ১১ মিটার
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১১)২ বর্গ মিটার
= ১২১ বর্গ মিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৪/৪ মিটার
= ১১ মিটার
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১১)২ বর্গ মিটার
= ১২১ বর্গ মিটার
৯,৩৩৮.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ?
সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।
সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।
৯,৩৩৯.
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়, তাকে কী বলা হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়, তাকে কী বলা হয়?
সমাধান:
• সামান্তরিক:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
• বর্গ:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও কোণগুলো সমকোণ তাকে বর্গ বলে।
• আয়তক্ষেত্র:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
• ট্রাপিজিয়াম:
- যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
সমাধান:
• সামান্তরিক:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
• বর্গ:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও কোণগুলো সমকোণ তাকে বর্গ বলে।
• আয়তক্ষেত্র:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
• ট্রাপিজিয়াম:
- যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
৯,৩৪০.
একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?
সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (2 × 6 - 4) সমকোণ
= (12 - 4) সমকোণ
= 8 সমকোণ
= 720°
সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (2 × 6 - 4) সমকোণ
= (12 - 4) সমকোণ
= 8 সমকোণ
= 720°
৯,৩৪১.
৯ মি. দৈর্ঘ্য এবং ৭ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯ মি. দৈর্ঘ্য এবং ৭ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৯ + ৭) = ৩২ মি.
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩২/৪ = ৮ মি.
∴ ক্ষেত্রফল = ৮২ = ৬৪ বর্গ মি.
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৯ + ৭) = ৩২ মি.
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩২/৪ = ৮ মি.
∴ ক্ষেত্রফল = ৮২ = ৬৪ বর্গ মি.
৯,৩৪২.
y = 2x + 1 এর লম্ব রেখার ঢাল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y = 2x + 1 এর লম্ব রেখার ঢাল কত?
সমাধান:
প্রদত্ত রেখা-
y = 2x + 1
এখানে, ঢাল (slope) m1 = 2
আমরা জানি,
কোনো সরলরেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল বের করতে হলে, মূল রেখার ঢালের ঋণাত্মক বিপরীত মান (negative reciprocal) নিতে হয়। যদি মূল রেখার ঢাল m1 হয়, তবে লম্ব রেখার ঢাল m2 হবে-
m1⋅m2 = −1
বা, 2⋅m2 = −1
বা, m2 = −1/2
∴ লম্ব রেখার ঢাল = −1/2 ।
৯,৩৪৩.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং পরিসীমা 96 মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং পরিসীমা 96 মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনে করি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 3x মিটার
আমরা জানি,
পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
প্রশ্নমতে,
2(x + 3x) = 96
⇒ 2 . 4x = 96
⇒ 8x = 96
⇒ x = 96/8
∴ x = 12
∴ আয়তক্ষেতের দৈর্ঘ্য = (3 × 12) মিটার
= 36 মিটার
সমাধান:
মনে করি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 3x মিটার
আমরা জানি,
পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
প্রশ্নমতে,
2(x + 3x) = 96
⇒ 2 . 4x = 96
⇒ 8x = 96
⇒ x = 96/8
∴ x = 12
∴ আয়তক্ষেতের দৈর্ঘ্য = (3 × 12) মিটার
= 36 মিটার
৯,৩৪৪.
What is the % change in the area of a square when its length increases by 10% and its width decreases by 10%
ব্যাখ্যা
Question: What is the % change in the area of a square when its length increases by 10% and its width decreases by 10%
Solution:
মনে করি,
দৈর্ঘ্য = x একক এবং প্রস্থ = y একক
∴ ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক
10% বৃদ্ধিতে
নতুন দৈর্ঘ্য = x + x এর 10%
= 11x /10 একক
10% হ্রাসে
প্রস্থ = y - y এর 10%
= 9y/10 একক
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (11x/10) ×( 9y/10) = 99xy/100 বর্গ একক
ক্ষেত্রফল হ্রাস =xy - 99xy/100
=(100xy - 99xy)/100
= xy/100
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস = {(xy/100) × (1/100) × 100}% = 1%
Solution:
মনে করি,
দৈর্ঘ্য = x একক এবং প্রস্থ = y একক
∴ ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক
10% বৃদ্ধিতে
নতুন দৈর্ঘ্য = x + x এর 10%
= 11x /10 একক
10% হ্রাসে
প্রস্থ = y - y এর 10%
= 9y/10 একক
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (11x/10) ×( 9y/10) = 99xy/100 বর্গ একক
ক্ষেত্রফল হ্রাস =xy - 99xy/100
=(100xy - 99xy)/100
= xy/100
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস = {(xy/100) × (1/100) × 100}% = 1%
৯,৩৪৫.
একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ৬ক এবং ৭ক সে.মি।
∴ পরিসীমা = ৫ক + ৬ক + ৭ক = ১৮ক
প্রশ্নমতে,
১৮ক = ৭২
⇒ ক = ৪
∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = ৭ক = ৭ × ৪
= ২৮ সে.মি.
৯,৩৪৬.
একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি
দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং প্রস্থ = y মিটার
∴ xy = 192
আবার , (x - 4)(y + 4) = 192
⇒ xy - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 192 - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 4(x - y) = 16
⇒ x - y = 4 ...........(1)
(x + y)2 = (x - y)2+ 4xy
⇒ (x + y)2 = (4)2+ 4 × 192
⇒ (x + y)2 = 784
∴ x + y = 28 ...........(2)
(1) + (2) থেকে পাই,
x - y + x + y = 4 + 28
⇒ 2x = 32
∴ x = 16 মিটার
সমাধান:
ধরি
দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং প্রস্থ = y মিটার
∴ xy = 192
আবার , (x - 4)(y + 4) = 192
⇒ xy - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 192 - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 4(x - y) = 16
⇒ x - y = 4 ...........(1)
(x + y)2 = (x - y)2+ 4xy
⇒ (x + y)2 = (4)2+ 4 × 192
⇒ (x + y)2 = 784
∴ x + y = 28 ...........(2)
(1) + (2) থেকে পাই,
x - y + x + y = 4 + 28
⇒ 2x = 32
∴ x = 16 মিটার
৯,৩৪৭.
চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয়-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয়-
সমাধান:
- চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার কোনো কোণ সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয় রম্বস।
- প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।
- এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
সমাধান:
- চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার কোনো কোণ সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয় রম্বস।
- প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।
- এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
৯,৩৪৮.
সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেমি, ১২ সেমি ও ১৫ সেমি হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেমি, ১২ সেমি ও ১৫ সেমি হলে, উহার লম্ব ৯ সেমি বা ১২ সেমি এবং ভূমি ১২ সেমি বা ৯ সেমি
অতএব, ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১২ × ৯ = ৫৪ বর্গসেমি
অতএব, ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১২ × ৯ = ৫৪ বর্গসেমি
৯,৩৪৯.
যে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর ১২°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর 12°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
x + y = 90°............... (i)
আবার,
x - y = 12° .................. (ii)
এখন, (i) নং + (ii) নং থেকে পাই,
x + y + x - y = 90° + 12°
⇒ 2x = 102°
∴ x = 51°
(i)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 90°
⇒ y = 90° - 51°
⇒ y = 39°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণটি 39°
সমাধান:
x + y = 90°............... (i)
আবার,
x - y = 12° .................. (ii)
এখন, (i) নং + (ii) নং থেকে পাই,
x + y + x - y = 90° + 12°
⇒ 2x = 102°
∴ x = 51°
(i)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 90°
⇒ y = 90° - 51°
⇒ y = 39°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণটি 39°
৯,৩৫০.
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থকোণ ১৩৫° হলে ঐ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত হবে?
ব্যাখ্যা
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ ১৩৫°
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৩৫°
= ৪৫°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪৫°
= ৮
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৩৫°
= ৪৫°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪৫°
= ৮
৯,৩৫১.
ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। ∠A শীর্ষকোণ, ∠B ও ∠C দুটি ভূমিকোণ, AB বাহু = AC বাহু। ∠B = 75°, ∠A = কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
∠B = ∠C = 75°
∴ ∠A = 180° - (∠B + ∠C)
= 180° - (75° + 75°)
= 30°
৯,৩৫২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 8√3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 8√3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু
= (√3/2) × 8√3
= 12 সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু
= (√3/2) × 8√3
= 12 সে.মি.
৯,৩৫৩.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr²/2πr = ১৩৮৬/১৩২
বা, r/2 = ১৩৮৬/১৩২
বা, r = ২১
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ২r = ২×২১ = ৪২ সে.মি.
৯,৩৫৪.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?
সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং 2x
প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
বা, 4x = 180°
∴ x = 45°
এবং 2x = 90°
সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।
৯,৩৫৫.
A = 45° হলে (1 - cot2A)/(1 + cot2A) = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = 45° হলে (1 - cot2A)/(1 + cot2A) = কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
A = 45°
(1 - cot2A)/(1 + cot2A) =(1 - cot245°)/(1 + cot245°)
= {1 - 12}/{1 + 12}
= 0/2
= 0
সমাধান:
দেয়া আছে,
A = 45°
(1 - cot2A)/(1 + cot2A) =(1 - cot245°)/(1 + cot245°)
= {1 - 12}/{1 + 12}
= 0/2
= 0
৯,৩৫৬.
একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 294 বর্গ মিঃ হলে ঘনকের আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 6a2 = 294
বা, a2 = 49
∴ a = 7
∴ আয়তন = a3 = 73
= 343 ঘন মিঃ
৯,৩৫৭.
৩২° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩২° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?
সমাধান:
৩২° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৩২° = ১৪৮°
১৪৮° কোণের অর্ধেক = ১৫২°/২ = ৭৪°
সমাধান:
৩২° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৩২° = ১৪৮°
১৪৮° কোণের অর্ধেক = ১৫২°/২ = ৭৪°
৯,৩৫৮.
একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি সাধারণ বিন্দু থাকে?
ব্যাখ্যা
সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি সাধারণ বিন্দু বা
ছেদবিন্দু থাকতে পারে ।
সংজ্ঞা : সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয়।
ছেদবিন্দু থাকতে পারে ।
সংজ্ঞা : সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয়।
কিন্তু যদি কেবলমাত্র একটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক বলা হয়। শেষোক্ত ক্ষেত্রে সাধারণ বিন্দুটিকে ঐ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু বলা হয়।
৯,৩৫৯.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ হলে এর দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ হলে এর দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত কত?
সমাধান:
মনেকরি,
প্রস্থ = a মিটার
দৈর্ঘ্য = 2a মিটার
পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2(a + 2a)
= 6a
∴ দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত = 2a : 6a = 1 : 3
সমাধান:
মনেকরি,
প্রস্থ = a মিটার
দৈর্ঘ্য = 2a মিটার
পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2(a + 2a)
= 6a
∴ দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত = 2a : 6a = 1 : 3
৯,৩৬০.
sec4θ - tan4θ এর মান কত হবে, যদি sec2θ + tan2θ = 4 হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sec4θ - tan4θ এর মান কত হবে, যদি sec2θ + tan2θ = 4 হয়?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec2θ + tan2θ = 4
sec4θ - tan4θ
= (sec2θ)2 - (tan2θ)2
= (sec2θ + tan2θ)(sec2θ - tan2θ)
= 4 × 1
= 4
সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec2θ + tan2θ = 4
sec4θ - tan4θ
= (sec2θ)2 - (tan2θ)2
= (sec2θ + tan2θ)(sec2θ - tan2θ)
= 4 × 1
= 4
৯,৩৬১.
১ বর্গ ইঞ্চি কত বর্গ সেন্টিমিটারের সমান?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ বর্গ ইঞ্চি কত বর্গ সেন্টিমিটারের সমান?
সমাধান:
আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ১ বর্গ ইঞ্চি = (২.৫৪ X ২.৫৪) বর্গ সে.মি.
= ৬.৪৫ বর্গ সে.মি.।
সমাধান:
আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ১ বর্গ ইঞ্চি = (২.৫৪ X ২.৫৪) বর্গ সে.মি.
= ৬.৪৫ বর্গ সে.মি.।
৯,৩৬২.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার ; [দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ]
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
ক × ৩ক = ৭৬৮
⇒ ক২ = ৭৬৮/৩
⇒ ক২ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬ মিটার
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ১৬ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ × ১৬ = ৪৮ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৪৮ + ১৬) = ১২৮ মিটার
বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা সমান, অর্থাৎ ১২৮ মিটার
আবার,
ধরি, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = খ মিটার
তাহলে পরিসীমা = ৪খ = ১২৮ মিটার
∴ খ = ১২৮/৪ = ৩২ মিটার
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার।
৯,৩৬৩.
বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে কী পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে কী পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের যেকোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
বৃত্তেরস্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে π/2 কোণ উৎপন্ন করে।
৯,৩৬৪.
If cosA = 3/5 then what is the value of tanA?
ব্যাখ্যা
Question: If cosA = 3/5 then what is the value of tanA?
solution:
In triangle ABC,
AB = base,
AC = hypotenuse,
BC = perpendicular (height)
Given,
cosA = AB/AC = 3/5
∴ According to the Pythagorean Theorem,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ BC2 = AC2 - AB2
⇒ BC = √(AC2 - AB2)
⇒ BC = √(52 - 32)
⇒ BC = √(25 - 9)
⇒ BC = √16
⇒ BC = 4
∴ tanA = BC/AB = 4/3
solution:
In triangle ABC,
AB = base,
AC = hypotenuse,
BC = perpendicular (height)
Given,
cosA = AB/AC = 3/5
∴ According to the Pythagorean Theorem,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ BC2 = AC2 - AB2
⇒ BC = √(AC2 - AB2)
⇒ BC = √(52 - 32)
⇒ BC = √(25 - 9)
⇒ BC = √16
⇒ BC = 4
∴ tanA = BC/AB = 4/3
৯,৩৬৫.
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
সমাধান:
চিত্র থেকে দেখা যায়,
বৃত্তের বহিঃস্থ কো্নো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
সমাধান:
চিত্র থেকে দেখা যায়,
বৃত্তের বহিঃস্থ কো্নো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
৯,৩৬৬.
একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯
= ৩৬ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার
= ৬ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৬ × ৪ মিটার
= ২৪ মিটার
সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯
= ৩৬ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার
= ৬ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৬ × ৪ মিটার
= ২৪ মিটার
৯,৩৬৭.
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 12 সে. মি. হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কয় গুণ?
ব্যাখ্যা
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 12 সে. মি. হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কয় গুণ?
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr2h)/(2πrh)
= r/2
= 12/2
= 6
∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের ৬ গুণ।
৯,৩৬৮.
একটি বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। বাগানের ক্ষেত্রফল ৬৪৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। বাগানের ক্ষেত্রফল ৬৪৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২ক মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (২ক × ক) বর্গমিটার
= ২ক২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
২ক২ = ৬৪৮
বা, ক২ = ৬৪৮/২
বা, ক = ৩২৪
∴ ক =১৮
∴ পরিসীমা = ২(২ক + ক)
= ২ × ৩ক
= ২ × ৩ × ১৮
= ১০৮ মিটার
সমাধান:
ধরি,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২ক মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (২ক × ক) বর্গমিটার
= ২ক২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
২ক২ = ৬৪৮
বা, ক২ = ৬৪৮/২
বা, ক = ৩২৪
∴ ক =১৮
∴ পরিসীমা = ২(২ক + ক)
= ২ × ৩ক
= ২ × ৩ × ১৮
= ১০৮ মিটার
৯,৩৬৯.
একটি সমদ্বিবাহু-সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ সেমি হলে প্রতিটি বাহু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু-সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ সেমি হলে প্রতিটি বাহু কত?
সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ হলো এমন একটি ত্রিভুজ, যেখানে দুটি বাহু সমান এবং একটি কোণ ৯০°।
ধরি, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ক সেমি
পাইথাগোরাস সূত্র অনুযায়ী,
অতিভুজ২ = বাহু২ + বাহু২
⇒ ১০২ = ক২ + ক২
⇒ ১০০ = ২ক২
⇒ ৫০ = ক২
⇒ ক = √৫০
∴ ক = ৫√২ সেমি
৯,৩৭০.
গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে উহার আয়তন সমান কত?
ব্যাখ্যা
গোলকের আয়তন = (4/3)πr3
৯,৩৭১.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং (4x)/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং (4x)/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?
সমাধান:
x/3 + x/3 + (4x)/3 = 180°
⇒ x + x + 4x = 3 × 180°
⇒ 6x = 3 × 180°
∴ x = 90°
∴ বৃহত্তম কোণ = (4 × 90°)/3 = 120°
সমাধান:
x/3 + x/3 + (4x)/3 = 180°
⇒ x + x + 4x = 3 × 180°
⇒ 6x = 3 × 180°
∴ x = 90°
∴ বৃহত্তম কোণ = (4 × 90°)/3 = 120°
৯,৩৭২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 16 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 16 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু, a = 16 মিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
= (√3/4)a2 বর্গমিটার
= (√3/4)(16)2 বর্গমিটার
= (√3/4) × 16 × 16 বর্গমিটার
= 64√3 বর্গমিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু, a = 16 মিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
= (√3/4)a2 বর্গমিটার
= (√3/4)(16)2 বর্গমিটার
= (√3/4) × 16 × 16 বর্গমিটার
= 64√3 বর্গমিটার
৯,৩৭৩.
একটি ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?
সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 6a2 বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
6a2 = 384
⇒ a2 = 384/6
⇒ a2 = 64
⇒ a = √64
∴ a = 8 সে.মি.
এখন, ঘনকটির আয়তন = a3 ঘন সে.মি.
= 83
= 512 ঘন সে.মি.
∴ ঘনকটির আয়তন 512 ঘন সে.মি.।
৯,৩৭৪.
দু’টি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 9 হলে এদের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
ব্যাসার্ধ দ্বয় 4a, 9a
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = π(4a)2 : π(9a)2
= 16πa2 : 81πa2
= 16 : 81
৯,৩৭৫.
১৮ ফুট লম্বা একটি খাড়া খুঁটি ভূমি থেকে ৫ ফুট উচ্চতায় ভেঙ্গে গেলে খুঁটির অগ্রভাগ কত দূরে গিয়ে ভূমি স্পর্শ করবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৮ ফুট লম্বা একটি খাড়া খুঁটি ভূমি থেকে ৫ ফুট উচ্চতায় ভেঙ্গে গেলে খুঁটির অগ্রভাগ কত দূরে গিয়ে ভূমি স্পর্শ করবে?
সমাধান:
১৮ ফুট লম্বা খাড়া খুঁটি ভূমি থেকে ৫ ফুট উচ্চতায় ভেঙ্গে গেলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়; যেখানে,
লম্ব = ৫ ফুট
অতিভূজ = ১৮-৫ ফুট
= ১৩ ফুট
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
∴ ভূমি = √(১৩২-৫২)
= √(১৬৯-২৫)
= √১৪৪
= ১২
অর্থাৎ, খুঁটির অগ্রভাগ ১২ ফুট দূরে গিয়ে ভূমি স্পর্শ করবে।
উত্তর: ১২ ফুট
সমাধান:
১৮ ফুট লম্বা খাড়া খুঁটি ভূমি থেকে ৫ ফুট উচ্চতায় ভেঙ্গে গেলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়; যেখানে,
লম্ব = ৫ ফুট
অতিভূজ = ১৮-৫ ফুট
= ১৩ ফুট
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
∴ ভূমি = √(১৩২-৫২)
= √(১৬৯-২৫)
= √১৪৪
= ১২
অর্থাৎ, খুঁটির অগ্রভাগ ১২ ফুট দূরে গিয়ে ভূমি স্পর্শ করবে।
উত্তর: ১২ ফুট
৯,৩৭৬.
একটি রম্বসের পরিসীমা ৫৬ মিটার এবং এর উচ্চতা ৫ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের পরিসীমা ৫৬ মিটার এবং এর উচ্চতা ৫ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের পরিসীমা ৫৬ মিটার
উচ্চতা ৫ মিটার
∴ রম্বসের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৬/৪ মিটার = ১৪ মিটার
রম্বস এক ধরণের সামন্তরিক। তাই রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করা যাবে।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (১৪ × ৫) বর্গ মিটার
= ৭০ বর্গ মিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের পরিসীমা ৫৬ মিটার
উচ্চতা ৫ মিটার
∴ রম্বসের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৬/৪ মিটার = ১৪ মিটার
রম্বস এক ধরণের সামন্তরিক। তাই রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করা যাবে।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (১৪ × ৫) বর্গ মিটার
= ৭০ বর্গ মিটার
৯,৩৭৭.
PQR ত্রিভুজের PQ = PR এবং ∠P = 40° হলে ∠Q = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PQ = PR এবং ∠P = 40° হলে ∠Q = কত?
সমাধান:
ΔPQR ত্রিভুজের PQ = PR
ΔPQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান।
∠P + ∠Q +∠ R = 180°
বা, 40° + ∠Q + ∠Q = 180°
বা, 2∠Q = 180° - 40°
বা, 2∠Q = 140°
∴ ∠Q = 70°
সমাধান:
ΔPQR ত্রিভুজের PQ = PR
ΔPQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান।
∠P + ∠Q +∠ R = 180°
বা, 40° + ∠Q + ∠Q = 180°
বা, 2∠Q = 180° - 40°
বা, 2∠Q = 140°
∴ ∠Q = 70°
৯,৩৭৮.
একটি কোণের 3 গুণ 180° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের 3 গুণ 180° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?
সমাধান:
মনেকরি,
একটি কোণ = x
প্রশ্নমতে,
⇒ 3x = 180°
⇒ x = 180°/3
∴ x = 60°
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ 60° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 60)° = 120°
সমাধান:
মনেকরি,
একটি কোণ = x
প্রশ্নমতে,
⇒ 3x = 180°
⇒ x = 180°/3
∴ x = 60°
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ 60° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 60)° = 120°
৯,৩৭৯.
tanθ = 3/4 হলে, cosecθ এর মান কত ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanθ = 3/4 হলে, sinθ এর মান কত?
সমাধান:
tanθ = 3/4
আমরা জানি
tanθ = লম্ব/ভূমি
অতিভুজ = 4 , লম্ব = 3
এখন
(লম্ব)2 + (ভূমি)2 = (অতিভুজ)2
32 +42 = (অতিভুজ)2
9 + 16 = (অতিভুজ)2
25 = (অতিভুজ)2
52 = (অতিভুজ)2
অতিভুজ = 5
cosecθ= অতিভুজ/লম্ব
= 5/3
সমাধান:
tanθ = 3/4
আমরা জানি
tanθ = লম্ব/ভূমি
অতিভুজ = 4 , লম্ব = 3
এখন
(লম্ব)2 + (ভূমি)2 = (অতিভুজ)2
32 +42 = (অতিভুজ)2
9 + 16 = (অতিভুজ)2
25 = (অতিভুজ)2
52 = (অতিভুজ)2
অতিভুজ = 5
cosecθ= অতিভুজ/লম্ব
= 5/3
৯,৩৮০.
২৪ মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের সমপরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ আঁকলে, সেই বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৪ মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের সমপরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ আঁকলে, সেই বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
ত্রিভুজের বাহু = ২৪ মি
পরিসীমা = ৩ × ২৪ = ৭২ মি
সমপরিসীমা বিশিষ্ট বর্গের বাহু
বর্গের পরিসীমা = ৪ × বাহু
⇒ ৪ × বাহু = ৭২
⇒ বাহু = ৭২ / ৪
⇒ বাহু = ১৮ মিটার
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮ মিটার
৯,৩৮১.
একটি বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
বর্গের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৪/৪ = ১১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ১১ × ১১ = ১২১ বর্গমিটার
৯,৩৮২.
tanθ.√(1 - sin2θ) = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanθ.√(1 - sin2θ) = ?
সমাধান:
tanθ.√(1 - sin2θ)
= (sinθ/cosθ)√(cos2θ)
= (sinθ/cosθ)(cosθ)
= sinθ
সমাধান:
tanθ.√(1 - sin2θ)
= (sinθ/cosθ)√(cos2θ)
= (sinθ/cosθ)(cosθ)
= sinθ
৯,৩৮৩.
একটি বাড়ি ২৪ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৭ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
ব্যাখ্যা
মইটি বাড়ির দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
= ২৪2+৭2
= ৫৭৬ + ৪৯
= ৬২৫
∴ অতিভূজ = √৬২৫ = ২৫ ফুট
∴ মইয়ের উচ্চতা = ২৫ফুট
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
= ২৪2+৭2
= ৫৭৬ + ৪৯
= ৬২৫
∴ অতিভূজ = √৬২৫ = ২৫ ফুট
∴ মইয়ের উচ্চতা = ২৫ফুট
৯,৩৮৪.
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬, ৮ ও ১০ মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
এখানে বৃহত্তম বাহু ১০ মিটার এবং ক্ষুদ্রতম বাহু ৬ মিটার। এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৮ মিটার এর অর্ধেক অর্থাৎ ৪ মিটার।
৯,৩৮৫.
নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ৬২ + ৮২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০ = ১০২
∴ ৬, ৮, ১০ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ৬২ + ৮২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০ = ১০২
∴ ৬, ৮, ১০ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।
৯,৩৮৬.
∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠B এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠B এর মান কত?
সমাধান:
∠A ও ∠B পরস্পর পূরক
∠A = 3x
∠B = 2x
প্রশ্নমতে
3x + 2x = 90°
⇒ 5x = 90°
∴ x = 18°
∴ ∠B = 2x = 2 × 18° = 36°
সমাধান:
∠A ও ∠B পরস্পর পূরক
∠A = 3x
∠B = 2x
প্রশ্নমতে
3x + 2x = 90°
⇒ 5x = 90°
∴ x = 18°
∴ ∠B = 2x = 2 × 18° = 36°
৯,৩৮৭.
কোন তিনটি বাহু দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
সমাধান:
অপশন ক,
√2, √3, 5
⇒ (√2)2 + (√3)2 ≠ 52
⇒ 2 + 3 ≠ 25
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
অপশন খ,
2, 3, 13
⇒ (2)2 + (3)2 ≠ 132
⇒ 4 + 9 ≠ 169
⇒ 13 ≠ 169
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
অপশন গ,
√2, √3, √5
⇒ (√2)2 + (√3)2 = (√5)2
⇒ 2 + 3 = 5
⇒ 5 = 5
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
অপশন ঘ,
1, 2, 5
⇒ (1)2 + (2)2 ≠ 52
⇒ 1 + 2 ≠ 25
⇒ 3 ≠ 25
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
সমাধান:
অপশন ক,
√2, √3, 5
⇒ (√2)2 + (√3)2 ≠ 52
⇒ 2 + 3 ≠ 25
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
অপশন খ,
2, 3, 13
⇒ (2)2 + (3)2 ≠ 132
⇒ 4 + 9 ≠ 169
⇒ 13 ≠ 169
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
অপশন গ,
√2, √3, √5
⇒ (√2)2 + (√3)2 = (√5)2
⇒ 2 + 3 = 5
⇒ 5 = 5
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
অপশন ঘ,
1, 2, 5
⇒ (1)2 + (2)2 ≠ 52
⇒ 1 + 2 ≠ 25
⇒ 3 ≠ 25
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৯,৩৮৮.
নিচের কোনটি সত্য?
ব্যাখ্যা
2sinθ.cosθ = sin2θ
⇒sinθ.cosθ= (1/2) sin2θ
⇒sinθ.cosθ= (1/2) sin2θ
৯,৩৮৯.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সাথে পরিধির অনুপাত হলো-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সাথে পরিধির অনুপাত হলো-
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সাথে পরিধির অনুপাত = 2πr2/2πr
= r
= বৃত্তের ব্যাসার্ধ
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সাথে পরিধির অনুপাত = 2πr2/2πr
= r
= বৃত্তের ব্যাসার্ধ
৯,৩৯০.
sin1260° = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin1260° = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
= sin1260°
= sin(14 × 90° + 0°)
= - sin0°
= 0
৯,৩৯১.
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি?
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = (180-60)°+(180-60)°+(180-60)° = 360°।
৯,৩৯২.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 86° হলে, বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 86° হলে, বৃত্তস্থ কোণের মান হবে 43°।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 86° হলে, বৃত্তস্থ কোণের মান হবে 43°।
৯,৩৯৩.
কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6, 8,10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়
সমকোণ সংলগ্ন বাহু 6,8
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2)× 6 × 8 = 24 বর্গ সে.মি.
সমকোণ সংলগ্ন বাহু 6,8
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2)× 6 × 8 = 24 বর্গ সে.মি.
৯,৩৯৪.
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২২০ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২২০ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২২০ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু
⇒ ৪ × বাহু = ২২০
⇒ বাহু = ২২০/৪
∴ বাহু = ৫৫
আবার, আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = বাহু২ = ৫৫২ = ৩০২৫ বর্গমিটার
∴ ক্ষেত্রফল ৩০২৫ বর্গমিটার।
৯,৩৯৫.
কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ৭৫° হলে অপর কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ৭৫° হলে অপর কোণের মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের একটি কোণ = ৭৫°
আমরা জানি,
সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ সামান্তরিকের অপর কোণ = (১৮০ - ৭৫)°
= ১০৫° ।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের একটি কোণ = ৭৫°
আমরা জানি,
সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ সামান্তরিকের অপর কোণ = (১৮০ - ৭৫)°
= ১০৫° ।
৯,৩৯৬.
একটি ঘনকের সমকোণের সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
ঘনকে ৬ টি তল থাকে। প্রতিটি তলে ৪ টি সমকোণ থাকে।
∴ মোট সমকোণ = ৬×৪ = ২৪ টি
৯,৩৯৭.
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?
সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।
সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।
৯,৩৯৮.
যেসব সরলরেখা একই সরলরেখার সমান্তরাল সেগুলো পরস্পর ______?
ব্যাখ্যা
যেসব সরলরেখা একই সরলরেখার সমান্তরাল সেগুলো পরস্পর সমান্তরাল(অনুসিদ্ধান্ত - ১)
৯,৩৯৯.
সামান্তরিকের একটি কোণ যদি সমকোণ হয়, তবে সেটিকে কী বলা হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সামান্তরিকের একটি কোণ যদি সমকোণ হয়, তবে সেটিকে কী বলা হয়?
সমাধান:
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
অন্যদিকে,
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, তাকে সামান্তরিক বলে।
- যে চতুর্ভুজের ৪টি বাহুই পরস্পর সমান এবং বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল, তাকে রম্বস বলে।
- যে চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
- আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান হলে, তাকে বর্গ বলে।
সমাধান:
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
অন্যদিকে,
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, তাকে সামান্তরিক বলে।
- যে চতুর্ভুজের ৪টি বাহুই পরস্পর সমান এবং বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল, তাকে রম্বস বলে।
- যে চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
- আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান হলে, তাকে বর্গ বলে।
৯,৪০০.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3 ও 4 সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3 ও 4 সে.মি. হলে, তার অতিভুজের মান কত?
সমাধান:
অতিভুজ = √(32 + 42) সে.মি.
= √(9 + 16) সে.মি.
= √25 সে.মি.
= 5 সে.মি.
সমাধান:
অতিভুজ = √(32 + 42) সে.মি.
= √(9 + 16) সে.মি.
= √25 সে.মি.
= 5 সে.মি.