জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৮৬ / ১০৭ · ৮,৫০১–৮,৬০০ / ১০,৭৫২

৮,৫০১.

(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
(ii) ও (iii)
খ
(i) ও (iii)
গ
(i) ও (ii)
ঘ
(i), (ii) ও (iii)

ব্যাখ্যা

(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৩. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নাই, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার উপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

৮,৫০২.

সেঃমিঃ এককে প্রদত্ত নিচের কোন রেখাংশ দ্বারা চতুর্ভুজ অংকন কর সম্ভব?

ক
ক) ১, ২, ৩, ৬
খ
খ) ১, ২, ৩, ৭
গ
গ) ২, ৩, ৩, ৮
ঘ
ঘ) ২, ৩, ৪, ৬

ব্যাখ্যা

তিন বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্থ বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে চতুর্ভুজ আঁকা যায়।

৮,৫০৩.

একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
2π
খ
4π
গ
8π
ঘ
12π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

তাহলে, বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
2πr = πr²
⇒ 2r = r²
∴ r = 2

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π(2)²
= 4π

৮,৫০৪.

একটি চাকার পরিধি ১৪π মিটার। চাকাটি ১৭১৬ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে?

ক
৪২ বার
খ
৩৯ বার
গ
৩৬ বার
ঘ
৩৩ বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ১৪π মিটার। চাকাটি ১৭১৬ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
চাকার পরিধি = ১৪π মিটার
= ১৪ × (২২/৭) মিটার
= ৪৪ মিটার

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

৪৪ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরে = ১ বার
১৭১৬ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরে = ১৭১৬/৪৪ বার
= ৩৯ বার

৮,৫০৫.

কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে?

ক
অন্তকেন্দ্র
খ
লম্বকেন্দ্র
গ
ভরকেন্দ্র
ঘ
পরিকেন্দ্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্র:
- কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।

লম্বকেন্দ্র:
- শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।

অন্তকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।

৮,৫০৬.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √30 সেমি হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) 10 বর্গ সে.মি
খ
খ) 15 বর্গ সে.মি
গ
গ) 18 বর্গ সে.মি
ঘ
ঘ) 20 বর্গ সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √30 সেমি হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান :
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি হলে
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 সেমি

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √30 হলে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √30/√2
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√30/√2)²= 30/2 = 15 বর্গ সে.মি.

৮,৫০৭.

দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৯। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

ক
২ : ৩
খ
১৬ : ৮১
গ
৮ : ৪৫.৫
ঘ
৮ : ১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৯। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৯

ধরি,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৪ক একক
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৯ক একক

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(৪ক)^২ বর্গএকক = ১৬ক^২π বর্গএকক
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(৯ক)^২ বর্গএকক = ৮১ক^২π বর্গএকক

∴ ১ম বৃত্ত : ২য় বৃত্ত = ১৬ক^২π : ৮১ক^২π
= ১৬ : ৮১

৮,৫০৮.

123° কোণের সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

ক
123°
খ
57°
গ
237°
ঘ
33°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 123° কোণের সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
123° কোণের সম্পূরক কোণ = (180° - 123° ) = 57°
57° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 57°

৮,৫০৯.

ক
4/3
খ
- 4/3
গ
3/4
ঘ
- 3/4

৮,৫১০.

বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?

ক
জ্যা
খ
পরিধি
গ
ব্যাস
ঘ
ক্ষেত্রফল

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?

সমাধান:
- বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

৮,৫১১.

যদি sinA = 3/5, তাহলে cosA = কত?

ক
1
খ
5/3
গ
3/4
ঘ
4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sinA = 3/5, তাহলে cosA = কত?

সমাধান:
cosA = √(1 - sin²A)
= √{1 - (3/5)²}
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √(16/25)
= 4/5

৮,৫১২.

সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 240 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?

ক
418.45 মি.
খ
319.69 মি.
গ
415.69 মি.
ঘ
315.69 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 240 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = 240 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ, θ = 60°
মিনারটির উচ্চতা, AB (h) =?

চিত্র হতে পাই,
tanθ = AB/BC
বা, tan60° = AB/240
বা, √3 = AB/240
বা, AB = 240 × √3
∴ AB = 415.69 মিটার

∴ মিনারটির উচ্চতা = 415.69 মিটার।

৮,৫১৩.

একটি কোণকের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

ক
৬৬ ঘনমিটার
খ
১৯৮ ঘনমিটার
গ
১৪৪ ঘনমিটার
ঘ
৭৬π ঘনমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (১/৩)πr²h.
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩^২ × ৭
= ৬৬ ঘনমিটার

৮,৫১৪.

একটি খুঁটির নিচের প্রান্ত থেকে আনুভূমিক তলে 4√3 মিটার দূরের একটি বিন্দুতে খুঁটিটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, খুঁটিটির উচ্চতা কত?

ক
12√3 মিটার
খ
8√3 মিটার
গ
6 মিটার
ঘ
12 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খুঁটির নিচের প্রান্ত থেকে আনুভূমিক তলে 4√3 মিটার দূরের একটি বিন্দুতে খুঁটিটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, খুঁটিটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
AB খুঁটির নিচের প্রান্ত B থেকে 4√3 মিটার দূরে C বিন্দুতে খুঁটিটির শীর্ষের অর্থাৎ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°

এখন সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে,
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan60°= AB/4√3
⇒ √3 = AB/4√3
⇒ AB = 4√3 × √3
∴ AB = 12

∴ খুঁটিটির উচ্চতা 12 মিটার

৮,৫১৫.

একটি ত্রিভুজের দুই কোণের সমষ্টি ১০০° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ৮০°
গ
গ) ১০০°
ঘ
ঘ) ৫০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই কোণের সমষ্টি ১০০° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

সুতরাং,
দুই কোণের সমষ্টি ১০০° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ হবে (১৮০° - ১০০°) = ৮০°

৮,৫১৬.

AB রেখার উপর P একটি বিন্দু, তাহলে নিচের কোনটি সকল ক্ষেত্রেই সঠিক হবে?

ক
ক) PB > AP
খ
খ) AB > AP
গ
গ) AP = PB
ঘ
ঘ) AP > PB

ব্যাখ্যা

প্রশ্নানুসারে AB = AP + PB
মূল রেখা সবসময়ই রেখাংশের চেয়ে বড় হবে।
সুতরাং, AB > AP
কিন্তু অপশন ক এবং গ সবক্ষেত্রে সঠিক হবে না।

৮,৫১৭.

একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√3 cm হলে, এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
105 cm²
খ
150 cm²
গ
175 cm²
ঘ
205 cm²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√3 cm হলে, এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক বাহু = a
∴ ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a

প্রশ্নমতে,
√3a = 5√3
∴ a = 5

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²
= ( 6 × 5²) cm²
= 150 cm²

৮,৫১৮.

sinθ = 1/2 এবং tanθ = 1 হলে, cosec(- θ) - cot(- θ) = ?

ক
- 3/2
খ
- 1
গ
1/2
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ = 1/2 এবং tanθ = 1 হলে, cosec(- θ) - cot(- θ) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ = 1/2 এবং tanθ = 1

প্রদত্ত রাশি,
cosec(- θ) - cot(- θ)
= - cosecθ - (- cotθ)
= - cosecθ + cotθ
= - (1/sinθ) + (1/tanθ)
= - {1/(1/2)} + 1/(1)
= - 2 + 1
=- 1

৮,৫১৯.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 300 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 15 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
25 গজ
খ
30 গজ
গ
35 গজ
ঘ
40 গজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 300 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 15 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 15
= 7.5 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
7.5 × ভূমি = 300
⇒ ভূমি = 300/7.5
⇒ ভূমি = 40 গজ

৮,৫২০.

14 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) 556 বর্গ সে.মি.
খ
খ) 518 বর্গ সে.মি.
গ
গ) 616 বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) 636 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.

আমরা জানি,
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²বর্গ সে.মি.
= (3.1416 × 14 × 14) বর্গ সে.মি.
= 615.75 বর্গ সে.মি.
= প্রায় 616 বর্গ সে.মি.

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গ সে.মি.।

৮,৫২১.

44 cm পরিধিবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং 1/49 cm উচ্চতাবিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ পরস্পর সমান হলে, সিলিন্ডারটির আয়তন কত?

ক
ক) π বর্গ মি.
খ
খ) 44 cm²
গ
গ) 49 m²
ঘ
ঘ) None of them.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = 2πr
বা, 44 = 2πr
∴ r = 7 cm
সুতরাং সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h = π×7²×1/49 = π cm².

৮,৫২২.

বৃত্তের কেন্দ্র বরাবর পরিধির একপ্রান্ত হতে অপরপ্রান্ত পর্যন্ত অংকিত সরলরেখাকে বৃত্তের ____ বলে?

ক
ক) জ্যা
খ
খ) ব্যাস
গ
গ) ব্যাসার্ধ
ঘ
ঘ) স্পর্শক

ব্যাখ্যা

ব্যাস: বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যাকে বৃত্তের ব্যাস বলে।
ব্যাস এর সংজ্ঞানুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।

৮,৫২৩.

x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y = 3 সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি কোন প্রকৃতির?

ক
সমবাহু
খ
বিষমবাহু
গ
সমকোণী
ঘ
ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y = 3 সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
x + y - 1 = 0 ....................... (১)
x - y + 1 = 0 ....................... (২)
y = 3 ........................... (৩)

(১) নং সমীকরণে,
y = - x + 1
∴ সমীকরণের ঢাল = - 1/1 = - 1

(২) নং সমীকরণে,
y = x + 1
∴ সমীকরণের ঢাল = 1/1 = 1

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = (- 1) × 1 = - 1

যেহেতু দুইটি ঢালের গুণফল = - 1. সেহেতু ঢালদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।

এখন, ত্রিভুজের দুইটি বাহু লম্ব হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ হবে সমকোণ (৯০°)।

অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী।

৮,৫২৪.

দুইটি গোলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে তাদের আয়তনের অনুপাত কত?

ক
ক) ৯ : ৪
খ
খ) ১২ : ৪
গ
গ) ২৭ : ৪
ঘ
ঘ) ২৭ : ৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি গোলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে তাদের আয়তনের অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
গোলকদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3r, 2r

তাদের আয়তনের অনুপাত = {(4/3) π (3r)³} : {(4/3) π (2r)³}
= 27 : 8

৮,৫২৫.

cosθ-এ θ-র মান কত হলে cos-এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায়?

ক
ক) 0°
খ
খ) 90°
গ
গ) 180°
ঘ
ঘ) 270°

ব্যাখ্যা

cosθ = 0 when θ = 90° or, 270°
Maximum value of cosθ is 1 when θ = 0°, 360°.
Minimum value of cosθ is –1 when θ = 180°.

৮,৫২৬.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

ক
√2/2
খ
√2
গ
2√2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= 4/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= (√2 × 2√2)/√2

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=2√2(কর্ণের দৈর্ঘ্য)

৮,৫২৭.

কোন জাতি বৃত্তকে প্রথম ৩৬০ ডিগ্রীতে ভাগ করে?

ক
ক) ক্যালভীয়রা
খ
খ) আসিরীয়রা
গ
গ) গ্রিকরা
ঘ
ঘ) ব্যাবিলনীয়রা

ব্যাখ্যা

পৃথিবীর প্রাচীনতম সভ্যতার একটি হচ্ছে আসিরীয়ান সভ্যতা। তারা বৃত্তকে ৩৬০ ডিগ্রিতে ভাগ করে আসিরীয়রা। 'হাম্মুরাবি কোড অব ল' তারাই প্রবর্তন করে।
উৎসঃ এনসাইক্লোপিডিয়া

৮,৫২৮.

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি কত?

ক
ক) ৩৬০°
খ
খ) ২৭০°
গ
গ) ১৮০°
ঘ
ঘ) ৪২০°

ব্যাখ্যা

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°
ত্রিজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°

৮,৫২৯.

tanθ = 1/0 হলে θ এর মান কত?

ক
30°
খ
60°
গ
90°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = 1/0 হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
tanθ = 1/0
⇒ tanθ = ∞ (অসংজ্ঞায়িত)
⇒ tanθ = tan 90°
⇒ θ = 90°

৮,৫৩০.

20 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
28 সে.মি.
খ
14 সে.মি.
গ
18 সে.মি.
ঘ
12 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 20/2 = 10 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8 সে. মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (10 + 8) সে.মি.
= 18 সে.মি.

৮,৫৩১.

একটি ত্রিভুজাকৃটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গফুট। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৪ ফুট হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
১২ ফুট
খ
৭ ফুট
গ
১৮ ফুট
ঘ
২৪ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গফুট। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৪ ফুট হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = ক ফুট

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ৮৪ = (১/২) × ১৪ × ক
⇒ ৮৪ = ৭ × ক
⇒ ক = ৮৪/৭
∴ ক = ১২ ফুট

৮,৫৩২.

চিত্রে PQ || SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 50° হলে ∠PRS হলে কত?

ক
ক) 50°
খ
খ) 60°
গ
গ) 80°
ঘ
ঘ) 100°

ব্যাখ্যা

চিত্রে PQ || SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 50° হলে ∠PRS হলে কত?

PQ = PR বিধায়, ∠PRQ = ∠PQR = 50°
PQ || SR বিধায়, অনুরূপ কোণ ∠LRS = 50°

∴ ∠PRS = 180 - ∠LRS - ∠PRQ = 180 - 50 - 50 = 80°

৮,৫৩৩.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। বাগানের ভিতরে চারপাশে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে, তবে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
৫৩৬ বর্গমিটার
খ
৬৩৬ বর্গমিটার
গ
৭৩৬ বর্গমিটার
ঘ
৮৩৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। বাগানের ভিতরে চারপাশে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে, তবে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বাগানের ক্ষেত্রফল = (৬০ × ৪০) = ২৪০০ বর্গমিটার

রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ - (২ × ৪) = ৫২ মিটার
রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৪) = ৩২ মিটার
রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৫২ × ৩২) = ১৬৬৪ বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল =(২৪০০ - ১৬৬৪) = ৭৩৬ বর্গমিটার

৮,৫৩৪.

একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি -

ক
ক) বিষমবাহু
খ
খ) সমদ্বিবাহু
গ
গ) সমকোণী
ঘ
ঘ) সুক্ষ্মকোণী

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান (উপপাদ্য)
আবার, সমবাহু ত্রিভুজ একটি সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

৮,৫৩৫.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১০০ বর্গসেমি
খ
খ) ৫০ বর্গসেমি
গ
গ) √২×১০ বর্গসেমি
ঘ
ঘ) ২৫ বর্গসেমি

ব্যাখ্যা

সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য x সেমি হলে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে-
x² + x² = 10²
⇒ 2x² = 100
⇒ x² = 50
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 50 = 25 বর্গসেমি

৮,৫৩৬.

একটি বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি করলে উহার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ৯ গুণ
খ
খ) ২৭ গুণ
গ
গ) ৮ গুণ
ঘ
ঘ) ১৬ গুণ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
3 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 3.2r একক
= 6r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 একক
= 3r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)² বর্গ একক
= 9r² বর্গ একক
= 9 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

৮,৫৩৭.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পেলে তার ব্যাসার্ধ শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?

ক
৭%
খ
৯%
গ
১২%
ঘ
১০%

ব্যাখ্যা

মনে করি,
বৃত্তের ব্যসার্ধ = ১০০ একক
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (১০০)2
= ১০০০০π বর্গ একক

২১% বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল
= ১০০০০π × ১২১/১০০
= ১২১০০π
= π(১১০)2

∴ পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = ১১০ একক

∴ ব্যাসার্ধের শতকরা বৃদ্ধি
= ১১০ - ১০০
= ১০%

৮,৫৩৮.

নিচের কোনটি সামান্তরিক হতে পারে না?

ক
বর্গক্ষেত্র
খ
আয়তক্ষেত্র
গ
রম্বস
ঘ
ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামান্তরিক হতে পারে না?

সমাধান:
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামন্তরিক বলে।
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
অতএব ট্রাপিজিয়াম, সামন্তরিক নয়।

- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

৮,৫৩৯.

2∠x = 182° হলে, ∠x কোন ধরণের কোণ?

ক
প্রবৃদ্ধ কোণ
খ
সূক্ষ্মকোণ
গ
সরলকোণ
ঘ
স্থুলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2∠x = 182° হলে, ∠x কোন ধরণের কোণ?

সমাধান:
2∠x = 182°
⇒ ∠x = 182°/2
∴ ∠x = 91°
অতএব, ∠x স্থূলকোণ।

৮,৫৪০.

সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?

ক
17.32 মিটার
খ
16.72 মিটার
গ
17.52 মিটার
ঘ
17.75 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
গাছটির উচ্চতা, AB = h মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 10 মিটার
C বিন্দুতে উন্নতি কোণ = 60°

এখন,
ΔABC এ
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan60° = h/10
⇒ √3 = h/10
⇒ h = 10√3
⇒ h = 10 × 1.7320
∴ h = 17.32

∴ গাছটির উচ্চতা 17.32 মিটার।

৮,৫৪১.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ৩২ মি. এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ২০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৯২ বর্গমিটার
খ
২০০ বর্গমিটার
গ
৩২০ বর্গমিটার
ঘ
১৭৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ৩২ মি. এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ২০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি, b = ৩২ মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২০ মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a^২ - b^২)
= (৩২/৪)√{৪ × (২০)^২ - (৩২)^২}
= ৮{√(১৬০০ - ১০২৪)}
= ৮√৫৭৬
= ৮ × ২৪
= ১৯২ বর্গমিটার

৮,৫৪২.

2a ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তে একটি বর্গ অন্তর্লিখিত এবং অপর একটি বর্গ বৃত্তকে বেষ্টন করে রয়েছে। অন্তঃবর্গ ও বহিঃবর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) 2a² বর্গ সে.মি.
খ
খ) 4a² বর্গ সে.মি.
গ
গ) 2a বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) a² বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 2a ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তে একটি বর্গ অন্তর্লিখিত এবং অপর একটি বর্গ বৃত্তকে বেষ্টন করে রয়েছে। অন্তঃবর্গ ও বহিঃবর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান :

বৃত্তটির ব্যাস হলো অন্তঃবর্গের কর্ণ।

অন্তঃবর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে
x√2 = 2a
x = 2a/√2
x = √2a
অন্তবর্গের ক্ষেত্রফল = (√2a)² = 2a²

অপরদিকে, বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী বৃহত্তম হজ্যা অর্থাৎ ব্যাস বহিঃবর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য।
সুতরাং, বহিঃবর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 2a
বহিঃবর্গের ক্ষেত্রফল = (2a)²
= 4a²
বহিঃবর্গ ও অন্তঃবর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য = 4a² - 2a² = 2a² বর্গ সে.মি.

৮,৫৪৩.

৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক কত?

ক
২০°
খ
২৪°
গ
৩০°
ঘ
৪৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হয়, তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৩০° কোণের পূরক কোণ = (৯০° - ৩০°)
= ৬০°

∴ ৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক = ৬০°/২
= ৩০°

৮,৫৪৪.

কোনো চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

ক
৪৫°
খ
৬০°
গ
৮৫°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চারকোণের সমষ্টি = ৩৬০°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩৬০° × (১/৮)
= ৪৫°

৮,৫৪৫.

একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ সে. মি. এবং ৮ সে. মি. হলে তৃতীয় বাহু কোনটি হতে পারে না?

ক
১৫ সে. মি.
খ
১০ সে. মি.
গ
১২ সে. মি.
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ সে. মি. এবং ৮ সে. মি. হলে তৃতীয় বাহু কোনটি হতে পারে না?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ৭ + ৮ = ১৫ সে. মি.
ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর = ৮ - ৭ = ১ সে. মি.

তৃতীয় বাহু যা হতে পারে না:
তৃতীয় বাহুর মান ১ সে. মি. বা ১৫ সে. মি. হতে পারবে না ।

৮,৫৪৬.

213 + 2.013 + 0.213 + 2.0013 = ?

ক
ক) 321.2727
খ
খ) 221.2737
গ
গ) 212.2773
ঘ
ঘ) 217.2273

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 213 + 2.013 + 0.213 + 2.0013 = ?

সমাধান:
213 + 2.013 + 0.213 + 2.0013 = 217.2273

৮,৫৪৭.

ABCD সামান্তরিকের AB = 12 সে.মি. এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্বদূরত্ব 6 সে.মি.। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
18 বর্গ সে.মি.
খ
36 বর্গ সে.মি.
গ
144 বর্গ সে.মি.
ঘ
72 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের AB = 12 সে.মি. এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্বদূরত্ব 6 সে.মি.। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি, AB = 12 সে.মি.
D বিন্দু থেকে AB এর লম্বদূরত্ব, DE = 6 সে.মি.
∴ সামান্তরিকের লম্ব, DE = 6 সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (12 × 6) বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি. ।

৮,৫৪৮.

cos²A + cos⁴A = 1 হলে tan⁴A এর মান কত?

ক
ক) cosecA
খ
খ) 1
গ
গ) sinA
ঘ
ঘ) sin²A

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos²A + cos⁴A = 1 হলে tan⁴A এর মান কত?

সমাধান:
cos²A + cos⁴A = 1
cos⁴A = 1 - cos²A
cos⁴A = sin²A

এখন
tan⁴A
= sin⁴A/cos⁴A
= sin²A

৮,৫৪৯.

প্রদত্ত চিত্রে, AB | | CD হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 105°
খ
খ) 15°
গ
গ) 285°
ঘ
ঘ) 25°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে, AB | | CD হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার সাধারণ ছেদকের একই পাশে উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°
তাহলে এখানে,
x + 75° = 180°
x = 180° - 75°
x = 105°

৮,৫৫০.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৩ এবং ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পার্থক্য কত হবে?

ক
১২ সে. মি.
খ
১০ সে. মি.
গ
৮ সে. মি.
ঘ
৬ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৩ এবং ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৩

মনে করি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক ও ৩ক
প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৩ক = ২১৬
বা, (১/২) × ১২ক^২= ২১৬
বা, ৬ক^২= ২১৬
বা, ক^২= ২১৬/৬
বা, ক^২ = ৩৬
বা, ক = √৩৬
∴ ক = ৬

রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে (৪ × ৬) বা ২৪ সে. মি. এবং (৩ × ৬) বা ১৮ সে. মি.

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পার্থক্য = (২৪ - ১৮) = ৬ সে. মি.

৮,৫৫১.

একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের এক-তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?

ক
45°
খ
30°
গ
22.5°
ঘ
50.5°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের এক-তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = a°
এর পূরক কোণ = 90° - a°

প্রশ্নমতে,
a° = (90° - a°)/3
⇒ 3a° = 90° - a°
⇒ 4a° = 90°
∴ a° = 90°/4 = 22.5°

৮,৫৫২.

একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 200 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 300 ঘন সে.মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

ক
6 সে.মি.
খ
4 সে.মি.
গ
5 সে.মি.
ঘ
3 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 200 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 300 ঘন সে.মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
মনে করি,
বেলনের ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 200 ......... (1)
এবং আয়তন = πr²h = 300 ............ (2)

(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
πr²h/2πrh = 300/200
বা, r/2 = 300/200
বা, 200r = 600
বা, r = 600/200
∴ r = 3

∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.।

৮,৫৫৩.

ক
ক) 36
খ
খ) 81
গ
গ) 162
ঘ
ঘ) 324

ব্যাখ্যা

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = (1/2) × 18 × 18 = 162 [সমান সমান বাহু দুইটির একটি লম্ব হলে, অপরটি ভূমি।]
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা

৮,৫৫৪.

PQRS সামন্তরিকের SR ভূমিকে Z পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠QPS = 105° হলে ∠QRZ = কত?

ক
75°
খ
25°
গ
180°
ঘ
95°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQRS সামন্তরিকের SR ভূমিকে Z পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠QPS = 105° হলে ∠QRZ = কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∴ ∠QPS = ∠QRS = 105°

এখন,
∠QRS + ∠QRZ = 180° [যেহেতু, এক সরলকোণ = 180°]
⇒ 105° + ∠QRZ = 180°
⇒ ∠QRZ = 180° - 105°
∴ ∠QRZ = 75°

৮,৫৫৫.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২.৫ গুণ। বাগানের প্রস্থ ৩৬ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত?

ক
১৯৬ মিটার
খ
২১৬ মিটার
গ
২২৪ মিটার
ঘ
২৫২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২.৫ গুণ। বাগানের প্রস্থ ৩৬ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের প্রস্থ = ৩৬ মিটার
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৩৬ × ২.৫) মিটার
= ৯০ মিটার

∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৯০ + ৩৬) মিটার
= (২ × ১২৬) মিটার
= ২৫২ মিটার

∴ বাগানের পরিসীমা = ২৫২ মিটার ।

৮,৫৫৬.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অন্তর 3 সে.মি. হলে, অপর বাহু দুইটির সমষ্টি কত?

ক
ক) 9 সে.মি.
খ
খ) 12 সে.মি.
গ
গ) 16 সে.মি.
ঘ
ঘ) 21 সে.মি.

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি.
ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য x
ভূমির দৈর্ঘ্য x + 3 মিটার
আমরা জানি
লম্ব² + ভূমি ²= অতিভুজ²
x² + (x + 3)² = 15²
x² + x² + 6x + 9 = 225
2x² + 6x = 225 - 9
2x² + 6x = 216
2(x² + 3x - 108) = 0
x² + 3x - 108 = 0
x² + 12x - 9x - 108 =0
x(x + 12) - 9 (x + 12) = 0
(x + 12)(x - 9) = 0
হয় অথবা
x + 12 =0 x - 9 =0
x = - 12 x = 9

অপর বাহু দুইটির সমষ্টি = x + x + 3
= 2x + 3
= 2 × 9 + 3
= 18 + 3
= 21 সে.মি.

৮,৫৫৭.

একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য 14cm হলে ব্যাসার্ধ কত সেঃমিঃ?

ক
ক) 5
খ
খ) 6
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস = বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = 14cm
∴ ব্যাসার্ধ = 7cm

৮,৫৫৮.

ΔABC এ AB = AC, BA-কে D পর্যন্ত এমনভাবে বাধিত করা হল যেন AD = AC হয়। C, D যোগ করা হল। ∠BCD সমান কত?

ক
১৮০°
খ
৬০°
গ
৪৫°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এ AB = AC, BA-কে D পর্যন্ত এমনভাবে বাধিত করা হল যেন AD = AC হয়। C, D যোগ করা হল। ∠BCD সমান কত?

সমাধান:

ΔABC এ AB = AC
∴ ∠ACB = ∠ABC
ধরি,
∠ACB = ∠ABC = x

আবার,
AD = AC
∴ ∠ACD = ∠ADC
ধরি,
∠ACD = ∠ADC = y

এখন,
∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = x + y

ΔBCD এ
∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 180°
⇒ ∠ABC + ∠ADC + ∠BCD = 180°
⇒ x + y + x + y = 180°
⇒ 2(x + y) = 180°
∴ x + y = 90°

৮,৫৫৯.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৩৫ সে.মি. এবং ৪০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৫০ বর্গ সে.মি.
খ
৩০০ বর্গ সে.মি.
গ
৭০০ বর্গ সে.মি.
ঘ
১৪০০ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৩৫ সে.মি. এবং ৪০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৩৫ × ৪০
= ৭০০ বর্গ সে.মি.

৮,৫৬০.

একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?

ক
২৭০°
খ
৩৬০°
গ
৭২০°
ঘ
৫৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০/৬০ বার
= ৩/২ বার
= ১.৫ বার

এখন,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৩/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০× ৩)°/২
= ৫৪০° ।

৮,৫৬১.

কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

ক
২, ৩, ৪
খ
৫, ৭, ১৩
গ
৩, ৪, ৫
ঘ
৪, ৫, ৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো ২ বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
ছোট দুই বাহুর যোগফলকে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৩ + ৪ > ৫; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব
৪ + ৫ > ৬; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব
২ + ৩ > ৪; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব
৫ + ৭ < ১৩ ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়.

৮,৫৬২.

4x+3y-12 = 0 রেখাটি x অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
ক) (3, 0)
খ
খ) (0, 3)
গ
গ) (0, 4)
ঘ
ঘ) (4, 0)

ব্যাখ্যা

x অক্ষে y = 0
∴ সমীকরণে y = 0 বসিয়ে পাই
বা, 4x - 12 = 0
4x = 12
বা, x = 3
∴ বিন্দুটি (3, 0)

৮,৫৬৩.

চিত্রে AB সমান্তরাল CD হলে, নিচের কোনটি সঠিক নয়?

ক
ক) ∠a + ∠b = 180°
খ
খ) ∠d = ∠g
গ
গ) ∠b = ∠e
ঘ
ঘ) ∠b + ∠c = 180°

ব্যাখ্যা

∠a + ∠b = 180°
∠d = ∠g [পরস্পর একান্তর কোণ]
∠b = ∠e [পরস্পর অনুরূপ কোণ]
∠b + ∠c = 180° [চিত্র অনুসারে সম্ভব নয়]

৮,৫৬৪.

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্ত:স্পর্শ করলে বৃহত্তম বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ৫ সে.মি. অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
৪ সে.মি.
খ
৫ সে.মি.
গ
৩ সে.মি.
ঘ
৭ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্ত:স্পর্শ করলে বৃহত্তম বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ৫ সে.মি. অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r₁ = ৯ সে. মি.
অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂= ?

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r₁ - r₂)
⇒ ৫ = ৯ - r₂
⇒ ৫ - ৯ = - r₂
∴ r₂ = ৪ সে.মি.

৮,৫৬৫.

একটি দালানের উচ্চতা ১৫ মিটার। একটি সিঁড়ির তলদেশ দালান থেকে √৪০০ মিটার দূরে রাখা আছে। দালানের ছাদে সিঁড়িটি ছুঁয়ে আছে। সিঁড়িটি কত মিটার লম্বা?

ক
১৩ মিটার
খ
১৭ মিটার
গ
২০ মিটার
ঘ
২৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দালানের উচ্চতা ১৫ মিটার। একটি সিঁড়ির তলদেশ দালান থেকে √৪০০ মিটার দূরে রাখা আছে। দালানের ছাদে সিঁড়িটি ছুঁয়ে আছে। সিঁড়িটি কত মিটার লম্বা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = √৪০০ মিটার
লম্ব বা উচ্চতা = ১৫ মিটার
সিঁড়ির দৈর্ঘ্য বা অতিভুজ = ?

∴ সিঁড়ির দৈর্ঘ্য বা অতিভুজ = √{১৫^২ + (√৪০০)^২}
= √(২২৫ + ৪০০)
= √৬২৫
= ২৫ মিটার

৮,৫৬৬.

(1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

ক
9
খ
4
গ
2√5
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

৮,৫৬৭.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১০২৪ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া দিতে ৮৯৬ টাকা খরচ হলে, প্রতি মিটার বেড়া বাবদ কত টাকা খরচ হবে?

ক
৪ টাকা
খ
৫ টাকা
গ
৬ টাকা
ঘ
৭ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১০২৪ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া দিতে ৮৯৬ টাকা খরচ হলে, প্রতি মিটার বেড়া বাবদ কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১০২৪ বর্গমিটার
বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = √১০২৪ মিটার = ৩২ মিটার

বাগানের পরিসীমা = ৩২ × ৪ মিটার = ১২৮ মিটার

∴ প্রতি মিটারে খরচ হয় = (৮৯৬/১২৮) টাকা
= ৭ টাকা

৮,৫৬৮.

বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ -

ক
ক) স্থুলকোণ
খ
খ) সমকোণ
গ
গ) সূক্ষকোণ
ঘ
ঘ) সরলকোন

ব্যাখ্যা

বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থুলকোণ।
বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষকোণ।

৮,৫৬৯.

একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য ৫, ৭, ৮ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
ক) ১৪.৬৯
খ
খ) ১৫.৬৯
গ
গ) ১৭.৩২
ঘ
ঘ) ১৮.৩২

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজটির অর্ধ পরিসীমা = (৫+৭+৮)/২ মিটার = ১০ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = √{১০(১০-৫)(১০-৭)(১০-৮)} বর্গমিটার
√(১০×৫×৩×২) = ১৭.৩২ বর্গমিটার

৮,৫৭০.

একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৩৫ ডিগ্রী হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে-

ক
ক) ৬
খ
খ) ৭
গ
গ) ৮
ঘ
ঘ) ১০

ব্যাখ্যা

ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n-2) x 180
বা, 135 x n = (n-2) x 180
বা, 135n = 180n – 360
বা, 45n = 360
বা, n = 360/45
∴ n = 8

৮,৫৭১.

2a বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
4a²
খ
8a²
গ
16a²
ঘ
32a²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
2a বাহুবিশিষ্ট বর্গের কর্ণ = √2 (2a)= 2√2a
তাহলে কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (2√2a)² = 8a²

৮,৫৭২.

একটি গাছের পাদদেশ হতে 26√3 মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

ক
√3/26
খ
26/√3
গ
26
ঘ
78

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে 26√3 মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ত্রিকোণমিতির tan অনুপাত ব্যবহার করতে হবে।
ধরি,
গাছটির উচ্চতা = h মিটার
গাছের পাদদেশ থেকে দূরবর্তী স্থানের দূরত্ব = 26√3 মিটার
গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ = 30°.

আমরা জানি,
tanθ = (লম্ব/ভূমি)
এখন,
⇒ tan30° = গাছটির উচ্চতা/গাছটির পাদদেশ থেকে দূরবর্তী স্থানের দূরত্ব
⇒ tan(30°) = h/26√3
⇒ 1/√3 = h/26√3
⇒ h = (1/√3)(26√3)
∴ h = 26 মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা = 26 মিটার

৮,৫৭৩.

একটি চর্তুভুজের চারটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে ‍বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) 100°
খ
খ) 115°
গ
গ) 135°
ঘ
ঘ) 225°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চর্তুভুজের চারটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে ‍বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
চার কোণের অনুপাত = 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = 1 + 2 + 2 + 3 = 8
সুতরাং বৃহত্তম কোণ = 3/8 × 360°
= 135°

৮,৫৭৪.

রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

ক
একটি
খ
দুইটি
গ
অসংখ্য
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান:
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।

৮,৫৭৫.

প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° এবং ∠QPR = 70° হলে ∠PRS এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 63°
খ
খ) 117°
গ
গ) 55°
ঘ
ঘ) 70°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° এবং ∠QPR = 70° হলে ∠PRS এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 55°

আবার,
∠PRL = ∠PQR + ∠QPR
= 55° + 70°
= 125°

∠PRS = 125° - 55° =70 °
======================
বিকল্প:
PQ ।। SR, PR এদের ছেদক
∠QPR = ∠PRS পরস্পর একান্তর কোণ
∠QPR = ∠PRS = 70°

৮,৫৭৬.

চারটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?

ক
২
খ
অসংখ্য
গ
৪
ঘ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?

সমাধান:

সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।

৮,৫৭৭.

২ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক
ক) 4π - 8
খ
খ) 4π + 8
গ
গ) 2π - 4
ঘ
ঘ) 2π + 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:

মনেকরি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 2 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π × 2² বর্গ সে.মি
=4π বর্গ সে.মি
আবার
ABCD এ AC = 4 সে.মি.

আমরা জানি
AC² = AB² + BC²
AB² + AB²= AC²
2AB² = 4²
2AB² =16
AB² = 8

বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ সে.মি

৮,৫৭৮.

একটি বইয়ে ৪০০ পৃষ্ঠা আছে যেখানে প্রতি পাতার দৈর্ঘ্য ২৫ সে. মি. , প্রস্থ ২০ সে. মি. এবং পুরুত্ব ০.১ মি. মি.। বইটির আয়তন কত?

ক
ক) ৫০০ ঘন সে. মি.
খ
খ) ৭৫০ ঘন সে. মি.
গ
গ) ১০০০ ঘন সে. মি.
ঘ
ঘ) ১২৫০ ঘন সে. মি.

ব্যাখ্যা

৪০০ পৃষ্ঠা = ২০০ পাতা
∴ বইয়ের পুরুত্ব = ২০০ × ০.১
= ২০ মি.মি.
= ২ সে. মি.
∴ আয়তন = ২৫ × ২০ × ২
= ১০০০ ঘন সে. মি.

৮,৫৭৯.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ২.২৫ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

ক
১২০ টাকা
খ
১৮০ টাকা
গ
২১০ টাকা
ঘ
২৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ২.২৫ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গ .মি.
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √৪০০ মি.
= ২০ মি.

বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (২০ × ৪) মি.
= ৮০ মি.

১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ২.২৫ টাকা
৮০ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (৮০ × ২.২৫) টাকা
= ১৮০ টাকা

৮,৫৮০.

কোন ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদবিন্দুকে কী বলে?

ক
পরিকেন্দ্র
খ
ভরকেন্দ্র
গ
অন্ত:কেন্দ্র
ঘ
লম্বকেন্দ্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদবিন্দুকে কী বলে?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোণগুলির সমদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির অন্ত:কেন্দ্র বলে।

* ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে লম্বকেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র বলে।

৮,৫৮১.

একটি গাছের পাদদেশ থেকে 25 মিটার দূরে ভূতলের কোনো বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

ক
25√3 মিটার
খ
25/√3 মিটার
গ
25 মিটার
ঘ
25√3/2 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে 25 মিটার দূরে ভূতলের কোনো বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
AB গাছের গোড়া B থেকে 25 মিটার দূরে C বিন্দু থেকে গাছটির অগ্রভাগ অর্থাৎ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°

এখন
tan∠ACB = tan60°
বা, AB/BC = AB/25
বা, √3 = AB/25
∴ AB = 25√3

∴ গাছটির উচ্চতা 25√3 মিটার

৮,৫৮২.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
২৭৮ মিটার
খ
২৮০ মিটার
গ
৩০০ মিটার
ঘ
৩২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৯০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৪৯০০ মিটার
= ৭০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৭০ × ৪) মিটার
= ২৮০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৮০ মিটার।

৮,৫৮৩.

একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

ক
১১ টি
খ
১২ টি
গ
৯ টি
ঘ
২১ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০°
∴ ক = ২০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ × ২০° = ১৪০°
বহিঃস্থ কোণ = ২ × ২০° = ৪০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০° = ৯ টি

৮,৫৮৪.

tan60° + 1 = কত?

ক
0.732
খ
√3
গ
2.414
ঘ
2.732

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan60° + 1 = কত?

সমাধান:
tan60° + 1 = √3 + 1 = 1.732 + 1 = 2.732

৮,৫৮৫.

একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
768 বর্গ সে.মি.
খ
48 বর্গ সে.মি.
গ
96 বর্গ সে.মি.
ঘ
144 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a²-b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √(4 × 10² - 16²)
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।

৮,৫৮৬.

2sinθ + 3cosθ এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক
1
খ
√5
গ
√13
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2sinθ + 3cosθ এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a sinθ + b cosθ এর সর্বোচ্চ মান = √(a² + b²)

∴ 2sinθ + 3cosθএর সর্বোচ্চ মান = √(2² + 3²)
= √(4 + 9)
= √13

৮,৫৮৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 8 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
12.5 সে.মি.
খ
20 সে.মি.
গ
32 সে.মি.
ঘ
25 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 8 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 10² = 100 বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = রম্বসের ক্ষেত্রফল
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল= 100 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 100 = (1/2)(x × 8)
⇒ 4x = 100
⇒ x = 100/4
∴ x = 25

∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 25 সে.মি.

৮,৫৮৮.

একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি বেশি, ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সেমি হলে এর উচ্চতা কত?

ক
21 সেমি
খ
27 সেমি
গ
33 সেমি
ঘ
36 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি বেশি, ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সেমি হলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x সেমি
ভূমি = (2x + 6) সেমি

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0

হয়
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা
x - 27 = 0
∴ x = 27

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 সেমি।

৮,৫৮৯.

একটি বেলনের ব্যাস ১৪ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি. হলে বেলনটির আয়তন কত?

ক
৭৭০ ঘন সে.মি.
খ
৭৮০ ঘন সে.মি.
গ
১০৮০ ঘন সে.মি.
ঘ
৮৮০ ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাস ১৪ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি. হলে বেলনটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাস = ১৪/২ = ৭ সে.মি.
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = ৭ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৫ সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = π × r² × h
= (২২/৭) ×৭^২ × ৫
= ২২ × ৭ × ৫
= ৭৭০ ঘন সে.মি.

৮,৫৯০.

যদি cos(θ + 30°) = 1/2 হয়, তাহলে tan²θ এর মান কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
√3
ঘ
√3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cos(θ + 30°) = 1/2 হয়, তাহলে tan²θ এর মান কত?

সমাধান:
cos(θ + 30°) = 1/2
⇒ cos(θ + 30°) = cos(60°)
⇒ θ + 30° = 60°
বা, θ = 60° - 30°
বা, θ = 30°

এখন,
tan²θ
= tan²(30°)
= (1/√3)²
= 1/3

৮,৫৯১.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমির পরিমাপ 70 মিটার এবং উচ্চতা 35 মিটার হলে জমির ক্ষেত্রফর কত?

ক
ক) 2450 বর্গমিটার
খ
খ) 1220 বর্গমিটার
গ
গ) 1225 বর্গমিটার
ঘ
ঘ) 1200 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমির পরিমাপ 70 মিটার এবং উচ্চতা 35 মিটার হলে জমির ক্ষেত্রফর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = 70 মিটার
উচ্চতা = 35 মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= 1/2 × 70 ×35 বর্গমিটার
= 1225 বর্গমিটার।

৮,৫৯২.

প্রতি মিনিটে ৬৬ মিটার বেগে ১.৫ মিনিটে একটি ঘোড়া একটি মাঠ ঘুরে এলো। ঐ মাঠের ব্যাস কত?

ক
ক) ৩০.৭৫ মিটার
খ
খ) ৩১.২৫ মিটার
গ
গ) ৩১.৫ মিটার
ঘ
ঘ) ৩২.৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি মিনিটে ৬৬ মিটার বেগে ১.৫ মিনিটে একটি ঘোড়া একটি মাঠ ঘুরে এলো। ঐ মাঠের ব্যাস কত?

সমাধান:
১ মিনিটে ঘুরে ৬৬ মিটার
∴ ১.৫ মিনিটে ঘুরে ৬৬ × ১.৫ মিটার
= ৯৯ মিটার

ধরি,
মাঠের ব্যাসার্ধ, r মিটার
মাঠের ব্যাস, d = ২r মিটার

মাঠের পরিধি=2πr

প্রশ্নমতে,
২πr = ৯৯
বা, ২r = ৯৯/π [π=3.1416]
বা, ২r = ৯৯/(২২/৭)
বা, ২r = ৯৯ × (৭/২২)
বা, ২r = ৩১.৫

∴ মাঠের ব্যাস = ৩১.৫ মিটার

৮,৫৯৩.

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২২১ বর্গমিটার ও পরিসীমা ৬০ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
১৩ মিটার
খ
২৯ মিটার
গ
২৩ মিটার
ঘ
১৭ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২২১ বর্গমিটার ও পরিসীমা ৬০ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x মিটার
প্রস্থ = y মিটার

প্রশ্নমতে,
xy = ২২১ .....(১)
এবং,
২(x + y) = ৬০
∴ x + y = ৩০ .......(২)

আমরা জানি,
(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy
= (৩০)^২- (৪ × ২২১) = ৯০০ - ৮৮৪
⇒ (x - y)^২ = ১৬
∴ x - y = ৪ .......(৩)

এখন, (২) ও (৩) নং যোগ করে পাই,
x + y + x - y = ৩০ + ৪
⇒ ২x = ৩৪
∴ x = ১৭

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ১৭ মিটার।

৮,৫৯৪.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠AOB = 60° হলে ∠OBC = ?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 50°
ঘ
ঘ) 60°

ব্যাখ্যা

বৃহস্থ কোণ ∠ACB = 1/2 ∠AOB = 30°
∠BOC = 180° - ∠AOB
= 180° - 60° = 120°

∴ ∠OBC = 180° - (BOC + ACB)
= 180° - (120° + 30°) = 30°

৮,৫৯৫.

সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
৪০ ডিগ্রি
খ
৪২.৫ ডিগ্রি
গ
৪৭.৫ ডিগ্রি
ঘ
৫০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ ক
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ ক + ৫
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°

ক + ক + ৫ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৫° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯৫°
⇒ ২ক = ৮৫°
∴ ক = ৪২.৫°

৮,৫৯৬.

দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে, কোণ দুটির পরিমাণ কত হবে?

ক
100, 80
খ
150, 30
গ
120, 60
ঘ
110, 70

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে, কোণ দুটির পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
১ম কোণটি = 11x
এবং ২য় কোণটি = 7x

আমরা জানি,
সম্পূরক কোণের সমষ্টি = 180°

শর্তমতে,
11x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
বা, x = 180°/18
∴ x = 10°

∴ ১ম কোণ = 11 × 10° = 110°
এবং ২য় কোন = 7 × 10° = 70°

∴ কোণ দুটির পরিমাণ হবে = 110, 70 ।

৮,৫৯৭.

একটি আয়তকার পার্কের ক্ষেত্রফল ১০ একর এবং এর দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। পার্কের বাইরে চারদিকে ২ মিটার প্রস্থের একটি রাস্তা আছে। পার্কের পরিসীমার সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি বর্গাকার পুকুরের গভীরতা ২ মিটার হলে পুকুরের পানির পরিমাণ কত?

ক
ক) ১৮৫৮২০০
খ
খ) ১৮৫৮২৪০
গ
গ) ১৭৫৮২৪০
ঘ
ঘ) ২০৫৮০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার পার্কের ক্ষেত্রফল ১০ একর এবং এর দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। পার্কের বাইরে চারদিকে ২ মিটার প্রস্থের একটি রাস্তা আছে। পার্কের পরিসীমার সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি বর্গাকার পুকুরের গভীরতা ২ মিটার হলে পুকুরের পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = ১০ একর = (১০ × ৪০৪৬.৮৬) বর্গমিটার
= ৪০৪৬৮.৬ বর্গমিটার

ধরি,
পার্কের প্রস্থ ক মিটার
∴ পার্কের দৈর্ঘ্য ৩ক মিটার
∴ পার্কের ক্ষেত্রফল = ৩ক × ক = ৩ক^২ বর্গমিটার
পার্কের পরিসীমা = ২(৩ক + ক) = ৮ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৩ক^২ = ৪০৪৬৮.৬
বা, ক^২ = ১৩৪৮৯.৫৩৩
∴ ক = ১১৬.১৪

∴ পার্কের পরিসীমা = ৮ × ১১৬.১৪ = ৯২৯.১২ মিটার

এখানে, পুকুরের ক্ষেত্রফল পার্কের পরিসীমার সমান।
∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল ৯২৯.১২ বর্গমিটার
∴ পুকুরের আয়তন (৯২৯.১২ × ২) ঘনমিটার
= ১৮৫৮.২৪ ঘনমিটার

আমরা জানি,
১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
∴ ১৮৫৮.২৪ ঘনমিটার = (১৮৫৮.২৪ × ১০০০) লিটার
= ১৮৫৮২৪০ লিটার

∴ পুকুরের পানির পরিমাণ ১৮৫৮২৪০ লিটার।

৮,৫৯৮.

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 140 বর্গ মি.। যদি এর দৈর্ঘ্য 2 মি. কমানো হয় এবং প্রস্থ 2 মি. বাড়ানো হয় তবে তা একটি বর্গক্ষেত্র হয়। বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 10 মিটার
খ
খ) 12 মিটার
গ
গ) 14 মিটার
ঘ
ঘ) 16 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 140 বর্গ মি.। যদি এর দৈর্ঘ্য 2 মি. কমানো হয় এবং প্রস্থ 2 মি. বাড়ানো হয় তবে তা একটি বর্গক্ষেত্র হয়। বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ‍a মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (a + 2) মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (a - 2) মিটার

প্রশ্নমতে,
(a + 2) × (a - 2) = 140
বা, ‍a² + 2a - 2a -4 = 140
বা, ‍a² - 4 = 140
বা, a² = 144
বা, a² = (12)²
∴ ‍a = 12

∴ ‍ বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মিটার।

৮,৫৯৯.

secθ + tanθ = 11/6 হলে, secθ - tanθ এর মান কত?

ক
6/5
খ
3/11
গ
5/6
ঘ
6/11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: secθ + tanθ = 11/6 হলে, secθ - tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = 11/6
আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ (11/6)(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/(11/6)
⇒ secθ - tanθ = 6/11

৮,৬০০.

একটি মিনারের পাদদেশ হতে 21 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

ক
18√3
খ
12√3
গ
24√3
ঘ
21√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 21 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনে করি,
মিনারটির উচ্চতা = AB = h

মিনারের পাদদেশ BC = 21 মিটার
মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ, ∠ACB = 60°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan60° = h/21
⇒ √3 = h/21
⇒ h = 21√3

∴ মিনারটির উচ্চতা 21√3 মিটার।