জ্যামিতি

সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল
= 6 × (1/2) × 6 × 6 × sin60°
(একটি সুষম ষড়ভুজে ৬ টি সমবাহু ত্রিভুজ আছে ও একটি কোণের পরিমাপ = ৬০ ডিগ্রী)
= 6 × (1/2) × 6 × 6 × (√3/2)
= 54√3 বর্গসেমি

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল 81π বর্গ সে.মি. হলে, বৃত্তের পরিসীমা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 81π বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 81π
⇒ r² = 81 = 9²
⇒ r = 9

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π × 9
= 18π সে.মি.

প্রশ্ন:

সমাধান:
{(1 - tan²60°)/(1 + tan²60°)} + sin²60°
= {(1 - (√3)²)/(1 + (√3)²)} + (√3/2)² [∵ tan60° = √3, sin60° = √3/2]
= {(1 - 3)/(1 + 3)} + 3/4
= (- 2/4) + (3/4)
= (- 2 + 3)/4
= 1/4

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৫৭৬ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটি দৈর্ঘ্য ৩৬ একক হলে অপরটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল) 
বা, ৫৭৬ =  (১/২) × ৩৬ × নির্ণেয় বাহু 
বা, নির্ণেয় বাহু = (৫৭৬ × ২)/৩৬ 
∴ নির্ণেয় বাহু = ৩২ একক ।

- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের মধ্যমা বলে।
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে এর ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে ঐ ত্রিভুজের উচ্চতা বলে
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

ত্রিভূজের ভূমি = a,
উচ্চতা = b,
অতিভূজ c = ১৭ সেঃমিঃ হলে
পরিসীমা a + b + c = ৪০
বা, a + b = ৪০ - c
বা, a + b = ৪০ - ১৭
বা, a + b = ২৩

আবার,
a² + b² = ১৭² = ২৮৯
বা, (a + b)² - ২ab = ২৮৯
বা, ২৩² - ২৮৯ = ২ab
বা, ২ab = ২৪০
বা, ab/2 = ২৪০/৪
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 ab = ৬০ বর্গসেঃমিঃ

(cosA – sinA)/(cosA + sinA) = (1 - √3)/ (1 + √3)
(cosA – sinA +cosA + sinA)/ (cosA – sinA - cosA - sinA) = (1 - √3 + 1 + √3)/ (1 - √3 - 1 - √3)
2cosA/-2sinA = 2/-2√3
cosA/sinA = 1/√3
cotA = 1/√3
cotA = cot60°
A = 60°

প্রশ্ন: 24 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 সে.মি.
∴ ABCD বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 24/4
= 6 সে.মি.

আমরা জানি, কোনো বৃত্তে বর্গ অন্তর্লিখিত থাকলে বর্গের কর্ণই হয় বৃত্তের ব্যাস।
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = বাহু√2 
= 6√2 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (6√2) / 2 = 3√2 সে.মি.

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π × (3√2)²
= π × 9 × 2
= 18π বর্গ সে.মি.

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার, তাহলে, প্রস্থ = ক মিটার
∴ ৩ক × ক = ৯৭২ 
বা, ক^২ = ৯৭২/৩ = ৩২৪
বা, ক = ১৮ মিটার
সুতরাং, পরিসীমা = ২(৫৪ + ১৮) = ১৪৪ মিটার
তাহলে বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ১৪৪/৪ = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: tan(θ + 30°) = √3 হলে, cosθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan(θ + 30°) = √3 
⇒ tan(θ + 30°) = tan60°
⇒ (θ + 30°) = 60°
⇒ θ = 60° - 30°
⇒ θ = 30°

∴ cosθ = cos30° = √3/2

বাগানের ক্ষেত্রফল = (৬৫ × ৫০) বর্গ ফুট
= ৩২৫০ বর্গ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = {৬৫+ (৫+৫)} {৫০ + (৫+৫)}
= ৭৫ × ৬০
= ৪৫০০ বর্গ ফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৪৫০০ - ৩২৫০
= ১২৫০ বর্গ ফুট

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, ১০² = ৮² + ভূমি²
∴ ভূমি = ৬ মিটার
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা = (১/২) × ৬ × ৮ = ২৪ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ সে. মি. হলে, এবং একটি কর্ণ ১৪ সে. মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ সে. মি.
একটি কর্ণ ১৪ সে. মি.
অপর কর্ণ = ? সে. মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ 
বা, (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ = রম্বসের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ১৪ × অপর কর্ণ = ৮৪
বা, ৭ × অপর কর্ণ = ৮৪
বা, অপর কর্ণ = ৮৪/৭
∴ অপর কর্ণ = ১২

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি.

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)× লম্ব × ভূমি = (1/2)× 0.0001 × 0.0002 = 1x10^-8

প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
রেখা (line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়। 
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে। 
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে। 
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই। 
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। 
যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

এখানে,
a = 7,
b = 8
এবং c = 9
∴ s = (a + b + c)/2
= (7 + 8 + 9)/2
= 12
∴ ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)}
= √(12 × 5 × 4 × 3)
= 12√5 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৪ সে.মি এবং এর ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গ সে.মি হলে সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

তাহলে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (২ × ৪০)/৪
= ৮০/৪
= ২০

প্রশ্ন: ১০০° কোণটি হলো-

সমাধান:
স্থুলকোণ: ৯০° থেকে বড় এবং ১৮০° থেকে ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।

∴ ১০০° কোণটি হলো স্থুলকোণ।

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্যমতে,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহু (অতিভুজ)-এর বর্গের সমান হবে।
∴ ভূমি^২ + লম্ব^২ = অতিভুজ^২

অপশন ক:
√2, √3, 5
বৃহত্তম বাহু = 5² = 25
অপর দুই বাহু = (√2)² + (√3)² = 2 + 3 = 5
যেহেতু 25 ≠ 5, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন খ:
2, 3, 7
বৃহত্তম বাহু = 7² = 49
অপর দুই বাহু = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 
যেহেতু 49 ≠ 13, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন গ:
√2, √3, √5
বৃহত্তম বাহু = (√5)² = 5
অপর দুই বাহু = (√2)² + (√3)² = 2 + 3 = 5
যেহেতু 5 = 5, সমকোণী ত্রিভুজ।

অপশন ঘ:
5, 8, 13
বৃহত্তম বাহু = 13² =169
অপর দুই বাহু = 5² + 8² = 25 + 64 = 89
যেহেতু 169 ≠ 89, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

সঠিক উত্তর: গ) √2, √3, √5

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 5 মিটার বেশি। পরিসীমা 160 মিটার। দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 2x + 5 মিটার

আমরা জানি, 
পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ 2 × (2x + 5 + x) = 160
⇒ 2 × (3x + 5) = 160
⇒ 6x + 10 = 160 
⇒ 6x = 160 - 10 = 150 
⇒ x = 150/6
∴ x = 25

∴ প্রস্থ = 5 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x + 5 = 2 × 25 + 5 = 50 + 5 = 55 মিটার

অতএব, পুকুরটির দৈর্ঘ্য 55 মিটার। 

প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান: 
রশ্মি (Ray): 
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই। 

রেখাংশ: 
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।

ধরি, ব্যাসার্ধ ১০০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০০)² = ১০০০০π
ব্যাসার্ধ ১০% কমালে = ৯০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(৯০)² = ৮১০০π
ক্ষেত্রফল হ্রাস = (১০০০০π - ৮১০০π) বা ১৯০০π
ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = (১৯০০/১০০০০) x ১০০ = ১৯%

ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ ৩৬০⁰ 

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰
১ টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰/x

এখন,
৩৬০⁰/x = ৬০⁰
বা, x = ৩৬০⁰/৬০⁰
বা, x = ৬

প্রশ্ন: একটি নোটবুকের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি., প্রস্থ ১৫ সে.মি. এবং মোট পুরুত্ব ১.৮ সে.মি.। প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.০৯ মি.মি. হলে নোটবুকে কতগুলো পাতা আছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নোটবুকের দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.
প্রস্থ = ১৫ সে.মি.
মোট পুরুত্ব = ১.৮ সে.মি. = (১.৮ × ১০) মি.মি. ; [১ সে.মি. = ১০ মি.মি.] 
= ১৮ মি.মি.
এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব = ০.০৯ মি.মি.

∴ পাতার সংখ্যা = মোট পুরুত্ব​/প্রতি পাতার পুরুত্ব 
= ১৮ মি.মি./০.০৯ মি.মি.
= (১৮ × ১০০)/৯ 
= ২ × ১০০
= ২০০ টি 

সুতরাং, নোটবুকে ২০০টি পাতা আছে।  

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মিটার ও 8 মিটার এবং তাদের উচ্চতা 5 মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (1/2) × (12 + 8) × 5
= (1/2) × 20 × 5
= 50 বর্গমিটার

৩ এবং ৪ এর ল.সা.গু = ১২
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ১২ মিটার গেলে
∴ ১০০ বার বেশি ঘুরবে = ১২ × ১০ = ১২০০ মিটার = ১.২ কি.মি. পথ গেলে

প্রশ্ন: 96 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 96 মিটার
∴ ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহু = 96/4 = 24 মিটার

বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হলে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস

এখন, কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2
= 24√2 মিটার

∴ ব্যাসার্ধ = (24√2)/2
= 12√2 মিটার

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(12√2)²
= π × 144 × 2
= 288π বর্গমিটার

ভূমি b = ১৬ মিঃ
বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিঃ
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4(√(4a²-b²))
= 16/4((√(4.10²-16²)
= 48 বর্গমিঃ

∠x + ∠2x = 180° (সরল কোণ)
∴ ∠x = 60°
2y = x = 60° ( পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ)
∴ y = 30°

প্রশ্ন: ফাহিম তার বাসা থেকে ৯ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১২ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:

ফাহিমের হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৯ কি.মি. হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব।
 দক্ষিণ দিকে যাওয়া ১২ কি.মি. হলো ত্রিভুজের ভূমি।
সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৯^২ + ১২^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৮১ + ১৪৪
⇒ (দূরত্ব)^২ = ২২৫
⇒ দূরত্ব = √২২৫
⇒ দূরত্ব = ১৫ কি.মি.

∴ তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৫ কি.মি.।

cos2θ = 1 - (tan²)θ/1 + (tan²)θ
= (1 - m²)/(1 + m²)