জ্যামিতি

প্রশ্ন: নিচের কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin90° = 1
cos90° = 0
∴ tan90° = sin90°/cos90°
 = 1/0, যা অসংজ্ঞায়িত।

অন্যান্য বিকল্পগুলো হলো:
sin0° = 0
cos0° = 1
cos90° = 0

∴ tan90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

প্রশ্ন: ∆ABC এর ∠B = 90° AB = 3 সে.মি. এবং BC = 4 সে.মি. হলে, sinC এর মান কত?

সমাধান:
 
দেওয়া আছে, 
AB = 3 সে.মি., BC = 4 সে.মি.
এবং ∠B = 90°
সুতরাং, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এখন, পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
= 32 + 4²
= 9 + 16 = 25
 ⇒ AC = √25 
∴ AC = 5 সে.মি.

এখন ∠C-এর সাইন মান,
sin C = বিপরীত বাহু/অতিভুজ
∠C-এর বিপরীত বাহু = AB = 3 সে.মি.
এবং অতিভুজ = AC = 5 সে.মি.
সুতরাং, sin C = 3/5

সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে দুটি কোণের সমষ্টি হবে ১৮০°

এখানে ১৮০° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ১৮০° = ০°।

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ = 120°/2 = 60°
1° = π/180
∴60° = π/3

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৮০ মিটার এবং এর দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৩গুণ হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মি.
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩x মি.
পরিসীমা = ২( ৩x + x) মি.

সুতরাং,
২(৩x + x) = ৮০
বা, ২ × ৪x = ৮০
বা, ৮x = ৮০
বা, x = ১০

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১০ মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০ মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ১০ বর্গমিটার 
= ৩০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: চিত্রে ∠RPS এর মান কত? 

সমাধান:
চিত্রে,
∠PQR = 30° এবং ∠PRQ = 40°
সুতরাং, ত্রিভুজ QPR–এর অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি অনুযায়ী,
∠QPR = 180° - (30° + 40°)
= 180° - 70°
= 110°

এখন, P বিন্দুতে PQ সরলরেখাটি S পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে।
অতএব, ∠RPS হলো ∠QPR–এর বহিঃকোণ।

যেহেতু, বহিঃকোণের মান = বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টি
∴ ∠RPS = 30° + 40° = 70°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ২৮ মিটার এবং ১৮ মিটার। জমির চারপাশে ২ মিটার চওড়া পাড় আছে। পাড়সহ জমির পরিসীমা কত?

সমাধান:
পাড়সহ জমির দৈর্ঘ্য = ২৮ + (২ × ২) = ৩২ মিটার
পাড়সহ জমির প্রস্থ = ১৮ + (২ × ২) = ২২ মিটার

∴ পাড়সহ জমির পরিসীমা = ২ × (৩২ + ২২) মিটার = ১০৮ মিটার।

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ? 

সমাধান:
1 + tan²θ = 4 
⇒ tan²θ = 4 - 1
⇒ tan²θ = 3
⇒ tanθ =√3
⇒ tanθ = tan60°
θ = 60°

প্রশ্ন: যদি sin(θ - 30°) = √3/2 হয়, তাহলে sin²θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ - 30°) = √3/2
⇒ sin(θ - 30°) = √3/2
⇒ sin(θ - 30°) = sin 60°
⇒ θ - 30° = 60°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

এখন,
sin²θ
= (sin 90°)²
= (1)²
= 1

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 84 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 12 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১/২ × ভূমি × ১২
= ৬ × ভূমি

প্রশ্নমতে,
৬ × ভূমি = ৮৪
বা, ভূমি = ৮৪/৬
বা, ভূমি = ১৪

∴ ভূমি = ১৪ গজ

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১০৫ বর্গএকক হলে, BGC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? 
 
সমাধান: 

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে। 

∴ BGC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (১/৩) × ১০৫ বর্গ একক 
 = ৩৫ বর্গ একক । 

ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র =  (ভূমি × উচ্চতা)। 

অন্যদিকে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২  । 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ  । 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল । 

ধরি, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = x
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = 360°
প্রতিটি বহিঃস্থ কোনের পরিমাপ = (180 - 135))° = 45°
নির্ণেয় বাহুর সংখ্যা = 360°/ একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ
শর্তমতে, 360°/x = 45°
বা, x = 360/45
∴ x = 8

প্রশ্ন: যদি দুটি রেখা একটি সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে তারা- 

সমাধান: 
- যদি দুটি রেখা একটি সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে তারা- পরস্পর সমান্তরাল। 

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line): 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
• সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
• এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
• দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়। 

ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল √৩/৪ a^২ = ২৭√৩
বা, a^২ = ২৭×৪
∴ a = ৬√৩ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে, ব্যাস = ২R এবং
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/sinA = ২R
বা, ২R = ৬√৩/sin৬০°
= ৬√৩/((√৩)/২)
= ৬√৩ × 2/√৩
= ১২ সে.মি.

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×5² : π×3² = 25 : 9

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি.। ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, d = a√2
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√2 সে.মি.

ঐ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 6√2 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)²
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (6√2)² বর্গ সে.মি.
= (36 × 2) বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি.

অতএব, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো 72 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 21 সে.মি. হলে কোণকের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
উচ্চতা, l = 21 সে.মি.

∴ কোণকের মোট ক্ষেত্রফল = πr(r + l) 
= (22/7) × 7(7 + 21)
= 22 × 28
= 616 বর্গ সে.মি. 

= (tan²A - (sec²A -1))/(tanA(secA + 1))
= (tan²A - tan²A)/(tanA(secA + 1)) [sec²A - 1 = tan²A]
= 0

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৮০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত 5 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 1500 হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = 5x একক
প্রস্থ = 3x একক
ক্ষেত্রফল = 1500 বর্গএকক

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ 5x × 3x = 1500 
⇒ 15x² = 1500
⇒ x² = 100
⇒ x = 10 একক

দৈর্ঘ্য:
5x = 5 × 10 = 50 একক
 
∴ দৈর্ঘ্য = 50 একক

m² - n²
= (tanA + sinA)² - (tanA - sinA)²
= 4tanA.sinA {(a + b)² - (a - b)² = 4ab}
= 4√(tan²A.sin²A)
= 4√ {tan²A(1- cos²A)}
= 4√ (tan²A- tan²A .cos²A)
= 4√(tan²A - sin²A)
= 4√mn

একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের অর্ধেক।
তাহলে, কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ ১২০° হলে বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ = ১২০/২ = ৬০°

প্রশ্ন: রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে কি ধরনের ত্রিভুজে বিভক্ত করে?

সমাধান:
রম্বসের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি হলো:
- রম্বসের চারটি বাহু পরস্পর সমান।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে চারটি সমবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 3a একক।

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 4a একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
এর পরিসীমা ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩৬ মিটার
এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (৩৬/৪) = ৯ মিটার।

প্রশ্ন: যদি, sec²θ + tan²θ = 2/5 হয়, তবে, sec⁴θ - tan⁴θ =?

সমাধান: 
sec⁴θ − tan⁴θ 
= (sec²θ − tan²θ)(sec²θ + tan²θ)
= 1 × (sec²θ + tan²θ)                 [আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1]
= 2/5

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণের মান বৃত্তস্থ কোণের কত গুণ?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
-  বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

ত্রিভুজের পরিসীমা s = (২০+২১+২৯)/২ = ৩৫
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{৩৫(৩৫-২০)(৩৫-২১)(৩৫-২৯)
=√৪৪১০০
= ২১০ বর্গ সেমি 

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π হয়, তাহলে তার পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

প্রশ্নমতে,
πr²= 49π
⇒ r2= 49
∴ r = 7

∴ পরিধি = 2πr
= 2 × π × 7
= 14π

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে,
∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°
∴ ∠A + ∠C = 180°
∴ ∠C = 180° - ∠A
বা, ∠C = 180° - 105°
বা, ∠C = 75°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = প্রস্থের ৩ গুণ
ক্ষেত্রফল = ৩০০ বর্গমিটার

ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে,
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

∴ ৩ক × ক = ৩০০
⇒ ৩ক^২ = ৩০০
⇒ ক^২ = ১০০
⇒ ক = ১০

অতএব,
প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ × ১০ = ৩০ মিটার

আমরা জানি,
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

∴ পরিসীমা
= ২(৩০ + ১০)
= ২ × ৪০
= ৮০ মিটার।

অতএব, সঠিক উত্তর:
ঘ) ৮০ মিটার।

ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণ = 180° - (70°+20°)
= 90° যা একটি সমকোণ
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।