জ্যামিতি

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস
= 2πr/2r
= π
= ২২/৭

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 32 বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √32 মিটার 
= √(16 × 2) মিটার
= 4√2 মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 4√2 মিটার
= 8 মিটার

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 75 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

চিত্রে,
গাছটির উচ্চতা = AB,
ভূমিস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু = O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু = B
∠AOB = 30° এবং OA = 75 মিটার

এখন,
ΔAOB এ-
tan30° = AB/OA
বা, 1/√3 = AB/75
বা, AB√3 = 75
বা, AB = 75/√3
বা, AB = 75√3/(√3.√3)
বা, AB = 75√3/3
∴ AB = 25√3

∴ গাছটির উচ্চতা, AB = 25√3 মিটার।

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার। ঘরের চারপাশে ৩ মিটার চওড়া একটি বারান্দা আছে। বারান্দা সহ ঘরের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘরের দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার
ঘরের ক্ষেত্রফল = (১৪ × ১০) = ১৪০ বর্গমিটার

এখন, 
বারান্দা সহ ঘরের দৈর্ঘ্য {১৪ + (২ × ৩)} মিটার
= ২০ মিটার
বারান্দা সহ ঘরের প্রস্থ {১০ + (২ × ৩)} মিটার 
= ১৬ মিটার

∴ বারান্দা সহ ঘরের ক্ষেত্রফল = (২০ × ১৬ ) বর্গমিটার
= ৩২০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২ 
 ∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: রাহাত তার বাসা থেকে ৬ মাইল পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ৮ মাইল দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:

রাহাতের হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৬ মাইল হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব।
 দক্ষিণ দিকে যাওয়া ৮ মাইল হলো ত্রিভুজের ভূমি।
সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৬^২ + ৮^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৩৬ + ৬৪
⇒ (দূরত্ব)^২ = ১০০
⇒ দূরত্ব = √১০০
⇒ দূরত্ব = ১০ মাইল

∴ তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১০ মাইল।

প্রশ্ন: একটি 15 মিটার লম্বা মই একটি দেয়ালে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইটির এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 9 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করেছে। মইটির অন্য প্রান্ত ভূমি থেকে কত উচ্চতায় দেয়াল স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

এখানে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য, AB = 15 মিটার
দেয়াল থেকে ভূমি পর্যন্ত দূরত্ব, BC = 9 মিটার

ধরি, দেয়ালের উচ্চতা = h মিটার

পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
h² + 9² = 15²
⇒ h² + 81 = 225
⇒ h² = 225 − 81 = 144
⇒ h = √144 = 12

∴ দেয়ালের উচ্চতা = 12 মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 250 বর্গ সে.মি. এবং কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 4 : 5 হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, কর্ণদ্বয় = 4a এবং 5a

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (প্রথম কর্ণ) × (দ্বিতীয় কর্ণ)
⇒ (1/2) × 4a × 5a = 250
⇒ 10a² = 250
⇒ a² = 250/10
⇒ a² = 25 = 5²
∴ a = 5

∴ কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = 4 × 5 = 20 এবং 5 × 5 = 25
∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 20 + 25 = 45 সে.মি.

সুতরাং, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 45 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি 25 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 7 মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

ধরি, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের x মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।
দেওয়া আছে, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 25 মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = 7 মিটার
দেয়ালের উচ্চতা = x মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে 90° কোণ উৎপন্ন করে,
∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)^২ = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)^২
⇒ x² + 7² = 25²
⇒ x² + 49 = 625
⇒ x² = 625 - 49
⇒ x² = 576
⇒ x = √576
⇒ x = 24

∴ মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 24 মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১/২ × ৫ × ৪
= ১০ বর্গ মিটার 

আমরা জানি, ঘনকের আয়তন = বাহু³
বা, ৫১২ = বাহু³
বা, বাহু = ৮ মিটার
সুতরাং একপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =বাহু² = ৮² = ৬৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার সঠিক শর্ত নয়?

সমাধান:
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত:
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণ অপর ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহু অপর ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।
- দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ এবং এক বাহু অপরটির অতিভুজ এবং এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।

প্রশ্ন: সবুজ 4 মিটার উত্তর দিকে যাওয়ার পর 6 মিটার পশ্চিমে যায়। তারপর পুনরায় 4 মিটার উত্তরে যায়। তার যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব কত? 

সমাধান: 

যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব, ad² = ae² + de²
বা, ad = √(ae² + de²)
= √{(6)² + (8)²}
= √(36 + 64)
= √100
= 10

∴ যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব = 10 মিটার। 

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×4² : π×3²
= 16 : 9

প্রশ্ন: একটি ১৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের "ক" মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১২ মিটার
যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)^২ = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)^২
⇒ (ক)^২ + (১২)^২ = (১৫)^২
⇒ (ক)^২ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ (ক)^২ = ২২৫ - ১৪৪
⇒ (ক)^২ = ৮১
⇒ ক = √৮১
∴ ক = ৯

∴  মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ৯ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে

ABCD রম্বসের ∠B = 75°
∴ ∠D = 75°
∠C = ∠A = {(360 - 2×75) / 2}° = (210 / 2)° = 105°

প্রশ্ন: ২৫৩° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
সুতরাং, ২৫৩° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্যদিকে, 
- দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে,  কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ? 

সমাধান: 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
-  বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2.6
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√2.6)² বর্গসেমি
= 2 × 36 বর্গসেমি
= 72 বর্গসেমি

প্রশ্ন: একটি পাম্প প্রতি মিনিটে ৫০ লিটার পানি তুলতে পারে। যদি পাম্পটি একটি সুইমিং পুল পূর্ণ করতে ১০ ঘন্টা সময় নেয়, তবে পুলটির আয়তন কত ঘনমিটার?

সমাধান:
​আমরা জানি,
১ ঘন্টা = ৬০ মিনিট
সুতরাং, ১০ ঘন্টা = (১০ × ৬০) মিনিট = ৬০০ মিনিট।

পাম্পটি ১ মিনিটে পানি তোলে = ৫০ লিটার
অতএব, ৬০০ মিনিটে পাম্পটি পানি তোলে = (৬০০ × ৫০) লিটার = ৩০০০০ লিটার।

এখন, আমরা জানি, ১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার।
সুতরাং, ৩০০০০ লিটার = (৩০০০০/১০০০) ঘনমিটার = ৩০ ঘনমিটার।

অতএব, সুইমিং পুলটির আয়তন হলো ৩০ ঘনমিটার।

প্রশ্ন: ৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩০ × ২০) বর্গমিটার 
= ৬০০ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩০ মিটার + (২ + ২) মিটার} = ৩৪ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {২০ মিটার + (২ + ২) মিটার} = ২৪ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩৪ × ২৪) বর্গমিটার 
= ৮১৬ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৮১৬ – ৬০০) বর্গমিটার 
= ২১৬ বর্গমিটার। 

এখানে, AB = 27 মিটার
DE = BC = 8 মিটার
BE = CD = 21 মিটার
AE = AB - BE
= 27 - 21
= 6 মিটার

এখন পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজ ADE হতে পাই,
AD² = AE² + DE²
= 6² + 8²
= 100
AD = 10 মিটার।

প্রশ্ন: 5x - 2y + 8 = 0 এবং 2x + 5y - 10 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x - 2y + 8 = 0 এবং 2x + 5y - 10 = 0 

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mx + c [যেখানে, m = ঢাল]

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল। 
5x - 2y + 8 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = 5x + 8
∴ y = (5/2)x + 4  
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 5/2

আবার,
দ্বিতীয় রেখার ঢাল, 
2x + 5y - 10 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 5y = - 2x + 10  
⇒ y = - (2/5)x + (10/5)
∴ y = - (2/5)x + 2
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - (2/5)

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁ × m₂
= (5/2) × (- 2/5) = - 1  
এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস r হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাস d = r
ব্যাসার্ধ্য r = r/2

ক্ষেত্রফল = π(r/2)² = (πr²)/4

∴ক্ষেত্রফল = (πr²)/4

প্রশ্ন: একই চাপের উপর একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১৫০° হলে বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?

সমাধান:
• বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

 • বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখানে,
বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ = (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ১৫০°
= ৭৫°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 18 সে.মি. এবং 24 সে.মি. হলে, রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 

এখানে, রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে (৯০° কোণে)।
প্রথম কর্ণের অর্ধেক = 18/2 = 9
এবং দ্বিতীয় কর্ণের অর্ধেক = 24/2 = 12 
এই অর্ধেক অংশ দুটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব গঠন করে এবং রম্বসের বাহুটি হয় ত্রিভুজের অতিভুজ।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই, 
অতিভুজ² = ভূমি² + লম্ব²
অতিভুজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(9² + 12²)
= √(81 + 144)
= √(225)
∴ অতিভুজ = 15

সুতরাং, রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 24π মিটার। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 24π মিটার
বা, 2r = 24
বা, r = 24/2
∴ r = 12

আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= π × (12)²
= π × 144
= 144π 

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 144π বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: cosec60° + sec30° এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
cosec60° + sec30°
= (2/√3) + (2/√3)
= 2 × (2/√3)
= 4/√3

ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90° হলে অপর দুইটি কোণের সমষ্টি হবে 90°।
ধরি, অপর দুইটি কোণ 2x ও 3x.
∴ 2x+3x = 90
⇒ 5x = 90
∴ x = 18
∴ ছোট কোণ 2x এর পূরক কোণ = 3x = 3×18 = 54°

ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৪x, প্রস্থ = ৩x
∴ পরিসীমা = ২(৪x+৩x) = ১৪x

এবং কর্ণ = √{(৪x)^২ + (৩x)^২}
= √(২৫x^২)
= ৫x

∴ পরিসীমাঃকর্ণ = ১৪x:৫x = ১৪ঃ৫

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ
ΔABC সমবাহু অর্থ্যাৎ প্রতিটি কোণ ৬০°।
∴ ∠AOB = 2∠ACB
∠AOB = 2 × 60° = 120°

ব্যাসার্ধ = a/2
∴ আয়তন = (4/3)π(a/2)³
= 4π/3 × a³/8
= (1/6)πa³