জ্যামিতি

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে।
- আবার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ, তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

অন্যদিকে,
- রেখা হল অসীম দূরত্ব পর্যন্ত বিস্তৃত সরল পথ।
- এর কোনো শুরু বা শেষ নেই, অর্থাৎ কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

- রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

এখানে,
অতিভূজ = 25m
ধরি,
ভূমি = 4a মিঃ
উচ্চতা = 4a এর 3/4
= 3a মিঃ
∴ (4a)² + (3a)² = 25
বা, 16a² + 9a² = 625
বা, 25a² = 625
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ ভূমি = 4 × 5
= 20m
∴ উচ্চতা = 3 × 5
= 15m
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 20 × 15
= 150 বর্গমিঃ

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬৪ বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ ফুট
রাস্তাসহ বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৮ + ৪ = ১২ মিটার
তাহলে রাস্তাসহ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৪৪ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার বাগানের প্রতিপাশে লাগানো বেড়ার প্রতিটির দৈর্ঘ্য সমান। যদি বাগানটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হয় তবে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজাকৃতি বাগানের প্রতিপাশের বেড়ার দৈর্ঘ্য সমান সুতরাং ত্রিভুজটি সমবাহু।

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু, a = 4 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
= (√3/4)a² বর্গমিটার 
= (√3/4)(4)² বর্গমিটার 
= (√3/4) × 16 বর্গমিটার
= 4√3 বর্গমিটার 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 25 সে.মি., প্রস্থ, b = 20 সে.মি. এবং উচ্চতা, c = 15সে.মি.। 

আমরা জানি, 
আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca)
= 2{(25 × 20) + (20 × 15) + (15 × 25)}
= 2(500 + 300 + 375)
= 2350 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2350 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে 51 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
 
চিত্রে,
গাছটির উচ্চতা = AB,
ভূমিস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু = O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু = B
∠AOB = 30° এবং OA = 51 মিটার
এখন, 
∆AOB এ-
tan30° = AB/OA
বা, 1/√3 = AB/51
বা, AB√3 = 51
বা, AB = 51/√3
বা, AB = 51√3/(√3.√3)
বা, AB = 51√3/3
∴ AB = 17√3

∴ গাছটির উচ্চতা, AB = 17√3 মিটার।

দেওয়া আছে,
SinA + Sin²A = 1
বা, SinA = 1 - Sin²A
বা, SinA = cos²A
এখন, Cos²A + Cos⁴A
= Cos²A + (Cos²A)²
= Cos²A + Sin²A
= 1

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 12√3​ মিটার। ঘনকটির ধার কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘনকটির ধার = ক মিটার 

আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণ = √3 ক

প্রশ্নমতে, 
বা, 12√3 = √3 ক 
বা, ক = 12 
∴ ক = 12 

∴ ঘনকটির ধার = 12 মিটার।

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 
- দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
- দুটি সমান্তরাল রেখা কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না কারণ তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব সর্বদা ধ্রুবক থাকে।
- ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, সমান্তরাল রেখাগুলি অসীম পর্যন্ত প্রসারিত হলেও মিলিত হয় না। সুতরাং, তাদের ছেদ বিন্দুর সংখ্যা শূন্য। 

যদি কোনো সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় উক্ত সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।


চিত্রে, একই শীর্ষবিন্দু O-তে দুইটি কোণ ∠AOC এবং ∠BOC। কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মি OC এর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। ∠AOC এবং ∠BOC কোণদ্বয় পরস্পর সন্নিহিত কোণ।

CosC = BC/AC
= BC/2BC
= 1/2
= Cos60°
∴ C = 60°

প্রশ্ন: যদি দুইটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করে, তবে ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো কেমন হয়?

সমাধান:

যখন দুটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করে, তখন তারা একটি ছেদবিন্দুতে চারটি কোণ তৈরি করে। এই কোণগুলোর মধ্যে বিপরীত দিকে মুখ করা কোণগুলোকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

এই বিপ্রতীপ কোণগুলো সবসময় সমান হয়।

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি মাঠের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ৮ মিটার বেশি এবং মাঠটির পরিসীমা ৯৬ মিটার হলে মাঠটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
মাঠটির প্রস্থ = x মিটার
মাঠটির দৈর্ঘ্য = (x + ৮) মিটার

শর্তমতে,
২(প্রস্থ + দৈর্ঘ্য) = ৯৬
বা, ২{x + (x + ৮)} = ৯৬
বা, ২(২x + ৮) = ৯৬
বা, ৪x + ১৬ = ৯৬
বা, ৪x = ৯৬ - ১৬
বা, ৪x = ৮০
বা, x = ৮০/৪
∴ x = ২০

অতএব,
প্রস্থ = ২০ মিটার
দৈর্ঘ্য = (২০ + ৮) মিটার
= ২৮ মিটার

ধরি,
কর্ণদ্বয় ২a, ৩a
∴ ১/২ × ২a × ৩a
= ১০৮
বা, ৩a² = ১০৮
∴ a² = ৩৬
∴ a = ৬,
∴ বৃহত্তম কর্ণ = ৩ × ৬
= ১৮ মিঃ

প্রশ্ন: x = 2 সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান:
x = 2 সরলরেখাটি একটি উল্লম্ব (vertical) রেখা, যা x-অক্ষের সাথে 90 ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে।
যেহেতু এটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সম্পূর্ণভাবে লম্ব, তাই কোণটি 90° হবে। 

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
5 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 5.2r একক
= 10r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 10r/2 একক
= 5r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(5r)² বর্গ একক
= 25πr² বর্গ একক
= 25 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

প্রশ্ন: PQRS চতুর্ভুজে PQ ∥ RS, PR = QS এবং ∠P = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং,  PQRS চতুর্ভুজে PQ ∥ RS, PR = QS এবং ∠P = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

প্রশ্ন: নিচের কোন পরিমাপটি দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ সর্বদা 90° হয়।
ত্রিভুজের কোণের সূত্র অনুসারে:
90° + অন্য দুটি কোণ = 180°
⇒ অন্য দুটি কোণ = 180° - 90° = 90°

তাহলে,
60° + 36° = 96° (90° এর চেয়ে বড় হওয়ায় সম্ভব না)
40° + 50° = 90°
30° + 70° = 100° (90° এর চেয়ে বড় হওয়ায় সম্ভব না)
80° + 20° = 100°(90° এর চেয়ে বড় হওয়ায় সম্ভব না)

∴ 40° এবং 50° দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

ধরি, সূক্ষ্মকোণদ্বয় a ও b
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90 ডিগ্রি
বা, a + b = 90 ........... (1)
দেওয়া আছে,
a - b = 5 ............ (2)
(1) & (2) সমাধান করে পাই, a = 42.5 ডিগ্রি এবং b = 47.5 ডিগ্রি

প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0 সরলরেখার y অক্ষের ছেদাংশ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c  যেখানে, সরলরেখার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x + 3y + 4 = 0
বা, 3y = - 2x - 4
বা, y = (- 2/3)x + (- 4/3).................(১)

(১) নং সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
প্রদত্ত সরলরেখার,
y অক্ষের ছেদাংশ, c = - 4/3

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 63° বড় হয়, তাহলে ৩য় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = x
∴ ১ম কোণ = 4x
৩য় কোণ = 4x + 63°

প্রশ্নমতে,
x + 4x + 4x + 63° = 180°
⇒ 9x = 180° - 63°
⇒ 9x = 117°
⇒ x = 117°/9
∴ x = 13°

∴ ৩য় কোণ = 4x + 63 = 52° + 63° = 115°

ধরি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার এবং দৈর্ঘ্য ১.৫x মিটার বা ৩x/২ মিটার
প্রশ্নমতে,
x × ৩x/২ = ২৯৪
⇒ ৩x² = ৫৮৮
⇒ x² = ১৯৬
∴ x = ১৪
অর্থাৎ প্রস্থ x = ১৪ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩x/২ = ৩×১৪/২ = ২১ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(১৪+২১) = ৭০ মিটার

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে কী বলা হয়?

সমাধান:
- বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে ব্যাস বলা হয়। ব্যাস বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায় এবং বৃত্তকে দুটি সমান অর্ধবৃত্তে বিভক্ত করে।

​• ব্যাস (Diameter):
​ - ব্যাস হলো একটি বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা। এটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর মধ্যে সবচেয়ে দীর্ঘতম সংযোজক রেখাংশ।
​- একটি বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে, কিন্তু ব্যাস হলো সেই নির্দিষ্ট জ্যা যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে।
​- ব্যাসের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের (radius) দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ, ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।
​- ব্যাস বৃত্তটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করে, যাদেরকে অর্ধবৃত্ত (semicircle) বলা হয়।

​• জ্যা (Chord) হলো বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। ব্যাস একটি বিশেষ ধরনের জ্যা।

​• ব্যাসার্ধ (Radius) হলো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্ব।

​• চাপ (Arc) হলো বৃত্তের পরিধির একটি অংশ।

​• পরিধি:
​-  পরিধি হলো কোনো বৃত্তের বাইরের সম্পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য। অর্থাৎ, একটি বৃত্তের একপ্রান্ত থেকে শুরু করে পুরো বৃত্তাকার পথে ঘুরে আবার সেই একই প্রান্তে ফিরে এলে যে দূরত্ব অতিক্রম করা হয়, তাকেই ঐ বৃত্তের পরিধি বলা হয়। একে ইংরেজিতে Circumference বলা হয়।

প্রশ্ন: নিম্নের চিত্রে y° এর মান কত?
 

সমাধান: 
x° + 2x° = 180°
বা, 3x° = 180°
বা, x° = 60°

আবার,
x° = 60° = 2y°
বা, y° = 60°/2
∴ y° = 30° 

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৬a^২
∴ ৬a^২ = ২৯৪
⇒ a^২ = ২৯৪/৬
⇒ a^২ = ৪৯
⇒ a = √৪৯
∴ a = ৭ মিটার
অর্থাৎ ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ মিটার

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√৩
⇒ কর্ণ = ৭ × √৩ মিটার
∴ কর্ণ = ৭√৩ মিটার

সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ইটের আকার ১০ সে.মি. × ৫ সে.মি. × ২ সে.মি। ১০০ সে.মি. × ৫০ সে.মি. × ২০ সে.মি. মাত্রাবিশিষ্ট একটি বাক্সে সর্বাধিক কতটি ইট রাখা যাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ইটের আয়তন = (১০ × ৫ × ২) ঘন সে.মি.
= ১০০ ঘন সে.মি. 

আবার, 
বাক্সের আয়তন = (১০০ × ৫০ × ২০) ঘন সে.মি.
= ১০০০০০ ঘন সে.মি. 

∴ ইট রাখা যাবে = ১০০০০০/১০০ টি 
= ১০০০ টি।

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ৩০ সে.মি. এবং উচ্চতা ১৫ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান
:আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
এখানে, ভূমি = ৩০ সে.মি. এবং উচ্চতা = ১৫ সে.মি.
∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ১৫ = ৪৫০ বর্গ সে.মি.

∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো ৪৫০ বর্গ সে.মি.।

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
তাহলে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (২ × ৪০)/৪
= ৮০/৪
= ২০ সে.মি.

অপর বাহু = ২০ - ৮ সে.মি. = ১২ সে.মি.