জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৭৩ / ১০৭ · ৭,২০১–৭,৩০০ / ১০,৭৫২

৭,২০১.

ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ACD = 160°, ∠ABC = 7∠BAC হলে, ∠BAC- এর মান কত?

ক
20°
খ
40°
গ
60°
ঘ
70°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ACD = 160°, ∠ABC = 7∠BAC হলে, ∠BAC- এর মান কত?

সমাধান:

ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করার ফলে ∠ACD = 160° উৎপন্ন হলো।
∠ACB = 180° - 160° = 20°
এখন
∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°
⇒ 20° + 7∠BAC + ∠BAC = 180°
⇒ 8∠BAC = 160°
∴ ∠BAC = 20°

৭,২০২.

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৩৫°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

ক
৮টি
খ
১০টি
গ
১২টি
ঘ
১৪টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৩৫°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৩৫°।
∴ সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৩৫°
= ৪৫°

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪৫°
= ৮টি

৭,২০৩.

একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের কতগুণ?

ক
চারগুণ
খ
তিনগুণ
গ
দ্বিগুণ
ঘ
পাঁচগুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের কতগুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x²/2) বা, x²/4
একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের চারগুণ।

৭,২০৪.

নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 75°
ঘ
ঘ) 105°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?

সমাধান:
∠ACB + ∠ACE = এক সরলকোণ = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ACB = 180° - 150°
⇒ ∠ACB = 30°

আবার, ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
⇒ ∠A + 75° + 30° = 180°
⇒ ∠A + 105° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 105° = 75°

৭,২০৫.

2x + 3y - 12 = 0 রেখাটি x- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-

ক
ক) (0, 6)
খ
খ) (0, -6)
গ
গ) (-6, 0)
ঘ
ঘ) (6, 0)

ব্যাখ্যা

প্রদত্তরেখা 2x + 3y - 12 = 0
x -অক্ষের ছেদবিন্দুতে y = 0
∴ 2x - 12 = 0
বা, 2x = 12
∴ x = 6
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাংক (6, 0)

৭,২০৬.

দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো কী হবে?

ক
ক) সমানুপাতিক
খ
খ) ব্যস্তানুপাতিক
গ
গ) অসমান
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো কী হবে?

দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক ।
মনেকরি, ABC ও DEF ত্রিভুজদ্বয়ের ∠A =∠D, ∠B = ∠E এবং ∠C = ∠F
AB/DE = AC/DF = BC/EF

৭,২০৭.

চিত্রে E, F যথাক্রমে AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু হলে BC = ?

ক
ক) EF
খ
খ) 2 EF
গ
গ) 1/2 EF
ঘ
ঘ) 3 EF

ব্যাখ্যা

ত্রিভূজের যেকোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের সমান।

৭,২০৮.

একটি সাইকেলের চাকায় ১৫° পর পর স্পোক লাগানো থাকলে সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট কতটি স্পোক লাগানো আছে?

ক
১৮ টি
খ
২০ টি
গ
২৪ টি
ঘ
২৮ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের চাকায় ১৫° পর পর স্পোক লাগানো থাকলে সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট কতটি স্পোক লাগানো আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
চাকার কেন্দ্রে মোট উৎপন্ন কোণ = ৩৬০°

∴ ১৫° পর পর স্পোক লাগানো থাকলে,

মোট স্পোকের সংখ্যা = ৩৬০°/১৫°
= ২৪ টি

∴ সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট ২৪টি স্পোক লাগানো আছে।

৭,২০৯.

৫ সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক
ক) ২৫
খ
খ) ৫০
গ
গ) ১০০
ঘ
ঘ) ২০√২

ব্যাখ্যা

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বৃত্তের ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ২ × ৫ = ১০ সেন্টিমিটার
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/√২ সেন্টিমিটার
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১০/√২)^২ = ১০০/২ = ৫০ বর্গ সেন্টিমিটার

৭,২১০.

দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 8 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?

ক
9 সে.মি.
খ
3 সে.মি.
গ
6 সে.মি.
ঘ
18 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 8 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে.মি.
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4 + 5 = 9 সে.মি.

৭,২১১.

একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

ক
ক) 20√7 মিটার
খ
খ) 20/√3 মিটার
গ
গ) 20 মিটার
ঘ
ঘ) 10√3 মিটার

ব্যাখ্যা

উচ্চতা = [পাদদেশ হতে দূরত্ব/√3] = 20/√3 মিটার।

৭,২১২.

একটি চর্তুভুজের ৪ কোণের সমষ্টি কত?

ক
ক) ১৮০^০
খ
খ) ২৭০^০
গ
গ) ৩৬০^০
ঘ
ঘ) ৯০^০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চর্তুভুজের ৪ কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
একটি চর্তুভুজের ৪ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°

৭,২১৩.

ABCD বর্গের AC কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 হলে, ΔABC এর পরিসীমা কত?

ক
ক) 12(√2 - 1)
খ
খ) 12(√2 + 1)
গ
গ) 13(√2 + 1)
ঘ
ঘ) 13(√2 - 1)

ব্যাখ্যা

AC = 12 cm
∴ BC = AB = 12/√2 cm
∴ পরিসীমা = AC + BC + AB
= 12/√2 + 12/√2 + 12
= 24/√2 + 12
= 12√2 + 12
= 12(√2 + 1)

৭,২১৪.

যদি tanθ = 0 হয়, তবে sinθ + cosθ = ?

ক
0
খ
1/2
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ = 0 হয়, তবে sinθ + cosθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 0
⇒ tanθ = tan0°
∴ θ = 0°

এখন,
sinθ + cosθ
= sinθ + cosθ
= sin0° + cos0°
= 0 + 1
= 1

৭,২১৫.

একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 6.93 মিটার (প্রায়)
খ
খ) 5.63 মিটার (প্রায়)
গ
গ) 5.93 মিটার (প্রায়)
ঘ
ঘ) 6.83 মিটার (প্রায়)

ব্যাখ্যা

মনে করি, ঘনকটির ধার, a
সুতরাং এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 6a² এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
প্রশ্নানুসারে, 6a² = 96
বা, a² = 16
বা, a = 4
আমরা জানি, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3×4 মিটার
= 6.93 মিটার।
উৎসঃ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

৭,২১৬.

একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
দুইটি
খ
একটি
গ
তিনটি
ঘ
চারটি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:

- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে।

৭,২১৭.

চিত্রে BC = CD = BD =1 এবং ∠ADC = 90° হলে ΔABD এর পরিসীমা কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 3 + √3
গ
গ) 2 + √3
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

BC = CD = BD হওয়াতে ΔACD হলো সমবাহু।
∴ ∠BCD = ∠BDC = ∠DBC = 60°
∴∠ADB = ∠ADC - ∠BDC = 90° - 60° = 30°
আবার, ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 120°
∴ ΔABD এর ∠BAD = 30°
∴ ΔABD এর BD = AB = 1
∴ ΔABD এর পরিসীমা = AB + BD + AD
এখন, ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
AD² = AC² - DC² = 4 -1 = 3
AD = √3
∴ΔABD এর পরিসীমা = AB + BD + AD = 1 + 1 + √3 = 2 + √3

৭,২১৮.

২৭° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

ক
৬৩°
খ
৫৩°
গ
১৫৩°
ঘ
১২৩°

ব্যাখ্যা

২৭° কোণের সম্পূরক কোণ
= ১৮০° - ২৭°
= ১৫৩°

উল্লেখ্য যে, পূরক কোণ নির্ণয় করতে বললে, ৯০° থেকে বিয়োগ করতে হবে।
যেমন -
২৭° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ২৭° = ৬৩°

৭,২১৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 17 cm এবং পরিসীমা 40 cm হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 30 বর্গ সে. মি.
খ
খ) 60 বর্গ সে. মি.
গ
গ) 120 বর্গ সে. মি.
ঘ
ঘ) 150 বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং অতিঃ c = 17
∴ পরিসীমা = a + b + c = 40
বা, a + b = 40 - c = 40 - 17 = 23 cm
বা, (a + b)² = 23²
বা, (a² + b²) + 2ab = 529
বা, c² + 2ab = 529 (পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে a² + b² = c²)
বা, 2ab = 529 - c² = 529 - 17² = 529 - 289 = 240
বা, ab = 120
∴ Δ = 1/2 ab = 120/2 = 60 বর্গ সে. মি.

৭,২২০.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দেড়গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গসে.মি. হলে, দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১৪ সে.মি.
খ
খ) ১২ সে.মি.
গ
গ) ২১ সে.মি.
ঘ
ঘ) ১৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দেড়গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গসে.মি. হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘরের প্রস্থ, x সে.মি.
∴ঘরের দৈর্ঘ্য = (৩x)/২ সে.মি.

ঘরের ক্ষেত্রফল = x × ((৩x)/২) বর্গসে.মি.
=(৩x^২)/২ বর্গসে.মি.

শর্তমতে,
(৩x^২)/২ = ২৯৪
বা, ৩x^২ = ৫৮৮
বা, x^২ = ৫৮৮/৩
বা, x^২ = ১৯৬
বা, x = ১৪

ঘরের প্রস্থ ১৪ সে.মি.

ঘরের দৈর্ঘ্য = (৩ × ১৪)/২ সে.মি.
= ৪২/২ সে.মি.
= ২১ সে.মি.

৭,২২১.

কোনো সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থকোণ ১২০° হলে ঐ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত হবে?

ক
ক) ৫টি
খ
খ) ৬টি
গ
গ) ৭টি
ঘ
ঘ) ৮টি

ব্যাখ্যা

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ ১২০°
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১২০°
= ৬০°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৬০°
= ৬

৭,২২২.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল √3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
9√3/16
খ
3√3/8
গ
3√3/16
ঘ
9√3/8

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
শর্তানুসারে,
√3/4(a+1)² - (√3/4)a² = √3
বা, √3/4(a² + 2a + 1 - a²) = √3
বা, 2a + 1 = 4
বা, 2a = 4 - 1
বা, 2a = 3
বা, a = 3/2
ক্ষেত্রফল= √3/4 × (3/2)²
= 9√3/16

৭,২২৩.

যদি tanθ = 1 হয়, তবে sinθ - cosθ =?

ক
√2
খ
0
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ = 1 হয়, তবে sinθ - cosθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

এখন,
sinθ - cosθ
= sin45° - cos 45°
= (1/√2) - (1/√2)
= (1 - 1)/√2
= 0/√2
= 0

৭,২২৪.

একটি বেলনের উচ্চতা 14 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 12 সে.মি.। বেলনের আয়তন কত?

ক
1584 ঘন সে.মি.
খ
1155 ঘন সে.মি.
গ
2470 ঘন সে.মি.
ঘ
1235 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের উচ্চতা 14 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 12 সে.মি.। বেলনের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের উচ্চতা, h = 14
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের ঘনফল = πr²h ঘন সে.মি.
= (22/7) × 6² × 14 ঘন সে.মি.
= 1584 ঘন সে.মি.

৭,২২৫.

∠ADB এবং ∠BDC এর সাধারণ বাহু BD হলে, ∠BDC কে ∠ADB এর কী কোণ বলে?

ক
অনুরূপ কোণ
খ
একান্তর কোণ
গ
সন্নিহিত কোণ
ঘ
পূরক কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∠ADB এবং ∠BDC এর সাধারণ বাহু BD হলে, ∠BDC কে ∠ADB এর কী কোণ বলে?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি দুইটি কোণের একটি সাধারণে বাহু থাকে তবে একটি কোণকে অপর কোণের সন্নিহিত কোণ বলে।
চিত্র হতে ∠ADB এবং ∠BDC সাধারণ বাহু BD
∴ ∠BDC কে ∠ADB এর সন্নিহিত কোণ বলে।

৭,২২৬.

একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরে। চাকাটি ৬০° ঘুরতে কত সময় লাগবে?

ক
১/২ সেকেন্ডে
খ
১/৩ সেকেন্ডে
গ
১/৬ সেকেন্ডে
ঘ
১/৯ সেকেন্ডে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরে। চাকাটি ৬০° ঘুরতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০/৬০ বার
= ৩/২ বার

১ বার ঘুরলে চাকাটি ঘুরে ৩৬০°
∴ ৩/২ বার ঘুরলে চাকাটি ঘুরে (৩৬০ × ৩)/২°
= ৫৪০°

চাকাটি ৫৪০° ঘুরে ১ সেকেন্ডে
∴ চাকাটি ৬০° ঘুরে (১ × ৬০)/৫৪০ সেকেন্ডে
= ১/৯ সেকেন্ডে

৭,২২৭.

2tan²45° + cos²30° - sin²60° = কত?

ক
2
খ
1
গ
11/4
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2tan²45° + cos²30° - sin²60° = কত?

সমাধান:
2tan²45° + cos²30° - sin²60°
= 2(1)² + (√3/2)² - (√3/2)²
= 2 × 1 + (3/4) - (3/4)
= 2

৭,২২৮.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ২৫ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ১.৮০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে?

ক
১২৫০ টাকা
খ
১৮০০ টাকা
গ
১২৮০ টাকা
ঘ
১১২৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ২৫ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ১.৮০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ৫০ মিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ২৫ মিটার

∴ ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = (১/২) × (ভূমি × উচ্চতা) বর্গমিটার
= (১/২) × (৫০ × ২৫) বর্গমিটার
= ২৫ × ২৫
= ৬২৫ বর্গমিটার

১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ১.৮০ টাকা
∴ ৬২৫ বর্গমিটারে খরচ হয় = (১.৮০ × ৬২৫) টাকা
= ১১২৫ টাকা

∴ ঘাস লাগাতে খরচ হবে = ১১২৫ টাকা

৭,২২৯.

দুইটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

ক
ক) ১টি
খ
খ) ২টি
গ
গ) ৩টি
ঘ
ঘ) ৫টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান:
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে ১টি স্পর্শক আঁকা যায়।
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে ৩ টি স্পর্শক আঁকা যায়।

৭,২৩০.

৪ সেমিঃ ব্যাসের একটি লোহ গোলক পিটিয়ে ২/৩ সেমিঃ পুরু একটি বৃত্তাকার লৌহপাত প্রস্তুত করা হলো। ঐ পাতের ব্যসার্ধ কত?

ক
ক) ৮ সেমিঃ
খ
খ) ৪ সেমিঃ
গ
গ) ১০ সেমিঃ
ঘ
ঘ) ৫ সেমিঃ

ব্যাখ্যা

গোলকের আয়তন = 4πr³/3
= 4π2³/3 = 32π/3 (ব্যসার্ধ = 4/2 = 2)
বৃত্তাকার লোহ পাতটির ব্যাসার্ধ = r সেমিঃ
প্রশ্নমতে,
πr²h = 32π/3
r²2/3 = 32/3
r = 4

৭,২৩১.

যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 30° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
24 টি
খ
32 টি
গ
48 টি
ঘ
54 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 30° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ = 30°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/30°
= 12

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {12(12 - 3)}/2
= (12 × 9)/2
= 54 টি

৭,২৩২.

একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ এর ক্ষেত্রফল 384 বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

ক
ক) 70 মিটার
খ
খ) 80 মিটার
গ
গ) 90 মিটার
ঘ
ঘ) 96 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ এর ক্ষেত্রফল 384 বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

ধরি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার এবং
দৈর্ঘ্য = ৩x/২ মিটার

প্রশ্নমতে,
x × (৩x/২) = ৩৮৪
৩x^২/২ = ৩৮৪
x^২ =(৩৮৪ × ২)/৩
x২ = ২৫৬
x = ১৬

আয়তাকার ঘরের প্রস্থ ১৬ মিটার
দৈর্ঘ্য = (৩ × ১৬)/২ মিটার
= ২৪ মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(২৪ + ১৬) মিটার
= ২ × ৪০ মিটার
= ৮০ মিটার

৭,২৩৩.

একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য a হলে, নিচের কোনটি সত্য?

ক
আয়তন = 6a²
খ
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = a³
গ
কর্ণ = √3a²
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য a হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
ঘনকের দৈর্ঘ্য a হলে,
কর্ণ = √3a
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
আয়তন = a³

৭,২৩৪.

বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. হলে, বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের অনুপাত কত?

ক
2 : 3
খ
3 : 1
গ
1 : 3
ঘ
3 : 2

ব্যাখ্যা

ব্যাসার্ধ r = 6 সে. মি., উচ্চতা h হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল/আয়তন = (2πrh)/(πr²h)
= 2/r
= 2/6
= 1/3
∴ অনুপাত = 1:3

৭,২৩৫.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে । বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
30.33 বর্গ সেন্টিমিটার
খ
27.82 বর্গ সেন্টিমিটার
গ
23.66 বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
25.66 বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে । বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি.

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr²
= (60°/360°) × 3.1416 × 7²
= (49/6) × 3.1416
= 25.656
= 25.66 বর্গ সে. মি.

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল প্রায় 25.66 বর্গ সেন্টিমিটার।

৭,২৩৬.

ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ACD এর মান কত?

ক
25°
খ
75°
গ
105°
ঘ
109°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ACD এর মান কত?

সমাধান:
∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°
⇒ ∠ACB + 45° + 60° = 180°
⇒ ∠ACB + 105° = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - 105° = 75°

এখন,
∠BCD (সরলকোণ) = ∠ACB + ∠ACD
⇒ ∠ACD = ∠BCD - ∠ACB = 180° - 75° = 105°

বিকল্প সমাধান:
উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ∠A + ∠B = 45° + 60° = 105°

৭,২৩৭.

একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ কোণের-

ক
ক) সমান
খ
খ) অর্ধেক
গ
গ) দ্বিগুণ
ঘ
ঘ) তিনগুণ

ব্যাখ্যা

একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।

৭,২৩৮.

কোন বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ৫০
খ
খ) ১০০
গ
গ) ১২৫
ঘ
ঘ) ১৫০

ব্যাখ্যা

ধরি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = x
∴ ক্ষেত্রফল = x²

দৈর্ঘ্য ৫০% বৃদ্ধিতে
বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = x + x এর ৫০%
= x + x × ৫০/১০০
= x + x/2
= ৩x/২

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৯/৪)x²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৯/৪)x² - x² = ৫x²/৪

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হার = {(৫x²/৪)/x²} × ১০০
= (৫/৪) × ১০০
= ১২৫%

৭,২৩৯.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ১৬২° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?

ক
৬২°
খ
৪০°
গ
৩৩°
ঘ
১৮°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ১৬২° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ১৬২° হলে, অপরটি = (১৮০ - ১৬২) বা ১৮°

৭,২৪০.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ২৫ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ২.০০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে?

ক
৬২৫ টাকা
খ
৯০০ টাকা
গ
১২০০ টাকা
ঘ
১২৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ২৫ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ২.০০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ৫০ মিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ২৫ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ১/২ × (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= ১/২ × (৫০ × ২৫) বর্গমিটার
= ৬২৫ বর্গমিটার

১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ২ টাকা
∴ ৬২৫ বর্গমিটারে খরচ হয় = (২ × ৬২৫) টাকা
= ১২৫০ টাকা

∴ ঘাস লাগাতে খরচ হবে = ১২৫০ টাকা।

৭,২৪১.

রতন ১৬০০০ মিটার দৌড়ালে সে কত কি.মি. পথ পাড়ি দিয়েছে?

ক
১৬০
খ
১১
গ
১২
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রতন ১৬০০০ মিটার দৌড়ালে সে কত কি.মি. পথ পাড়ি দিয়েছে?

সমাধান:
আমরা জানি
১০০০ মিটার = ১ কিলোমিটার
১ মিটার = ১/১০০০ কিলোমিটার
১৬০০০ মিটার = (১ × ১৬০০০)/১০০০ কিলোমিটার
= ১৬ কিলোমিটার

৭,২৪২.

ΔABC সমকোণী ত্রিভুজে (cos²)A+(cos²)B+(cos²)C = ?

ক
ক) 0
খ
খ) -1
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

এখানে, C = 90°
∴ A+B = 90°
বা, B = 90° - A
∴ (cos²)A+(cos²)B+(cos²)C = (cos²)A+(cos²) (90° - A)+(cos²)90°
= (cos²)A + (sin²)A + 0
= 1 + 0
= 1

৭,২৪৩.

চতুর্ভুজের চারকোণের অনুপাত 1:2:3:4 হলে প্রথম ও শেষ কোণ দুটির গড় কত?

ক
ক) 60
খ
খ) 120
গ
গ) 100
ঘ
ঘ) 90

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ চতুর্ভুজের চারকোণের অনুপাত 1:2:3:4 হলে প্রথম ও শেষ কোণ দুটির গড় কত?

সমাধানঃ
চারটি কোণ যথাক্রমে x, 2x, 3x, 4x

প্রশ্নমতে,
x + 2x + 3x + 4x = 360°
⇒ 10x = 360°
⇒ x = 36°

∴ প্রথম ও শেষ কোণ দুটির গড় = (x + 4x) / 2
= (36° + 144° ) / 2
= 90°

৭,২৪৪.

একটি ত্রিভুজের ভূমির পরিমাণ ৪ মিটার ও উচ্চতা ৩ মিটার। ক্ষেত্রফল =কত?

ক
ক) ৬ বর্গমিটার
খ
খ) ৯ বর্গমিটার
গ
গ) ১২ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ১৮ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(৪ × ৩)
= ৬ বর্গ মিটার

৭,২৪৫.

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি কত হবে?

ক
৩৬০°
খ
১৮০°
গ
১২০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠BAD ও ∠BCD পরস্পর বিপরীত কোণ।
∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

৭,২৪৬.

একটি ট্রপিজিয়ামের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 11 সে.মি. এবং 13 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
288 বর্গ সে.মি.
খ
72 বর্গ সে.মি.
গ
124 বর্গ সে.মি.
ঘ
144 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রপিজিয়ামের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 11 সে.মি. এবং 13 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
মনেকরি
ট্রপিজিয়ামের উচ্চতা h = 12 সে.মি.
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 11 সে.মি. এবং 13 সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 ×( সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল )× সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব
= (1/2) × (11 + 13) × 12
= 24 × 12/2
= 144

৭,২৪৭.

একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি-

ক
৪ সমকোণ
খ
৬ সমকোণ
গ
৮ সমকোণ
ঘ
১০ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি-

সমাধান:
ধরি,
বাহু = ক = ৫
বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি
= (ক - ২) × ১৮০°(ক - ২)

এখানে,
(৫ - ২) × ১৮০°
= ৩ × ১৮০°
= ৫৪০°
১ সমকোণ = ৯০°
অতএব,
৫৪০°/ ৯০° = ৬ সমকোণ

∴ একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি ৬ সমকোণ।

৭,২৪৮.

বৃত্তে অর্ন্তলিখিত একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 মিটার হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 10π
খ
খ) 12π
গ
গ) 16π
ঘ
ঘ) 18π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তে অর্ন্তলিখিত একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 মিটার হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
উপরোক্ত চিত্র হতে পাই,
ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের এক বাহু = 24/4 মিটার = 6 মিটার

এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু x √2
∴ ব্যাস= 6√2 মিটার
ব্যাসার্ধ = (6√2)/2 মিটার = 3√2 মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π(3√2)² = 18π

৭,২৪৯.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪ মিটার
খ
৫ মিটার
গ
৫.৫ মিটার
ঘ
৬.৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২ বর্গমিটার

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩
বা, a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
বা, ২a = ১১
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার

৭,২৫০.

একটি আয়তাকার মসজিদের ১৫ মিটার দীর্ঘ এবং ১৩ মিটার প্রশস্ত মেঝে ২.৫ মিটার লম্বা এবং ১.২০ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে ঢাকা যাবে?

ক
৩০ টি
খ
৪৫ টি
গ
৫০ টি
ঘ
৬৫ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মসজিদের ১৫ মিটার দীর্ঘ এবং ১৩ মিটার প্রশস্ত মেঝে ২.৫ মিটার লম্বা এবং ১.২০ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে ঢাকা যাবে?

সমাধান:
মসজিদের মেঝের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ১৩) বর্গমিটার
= ১৯৫ বর্গমিটার

∴ প্রতিটি মাদুরের ক্ষেত্রফল = (২.৫ × ১.২০) বর্গমিটার
= ৩ বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় মাদুরের সংখ্যা = ১৯৫/৩ টি
= ৬৫ টি

৭,২৫১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১২√৩ বর্গমিটার
খ
৯√৩ বর্গমিটার
গ
৩৬ বর্গমিটার
ঘ
২৭ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক
= (√৩/৪) × ৬^২
= (√৩/৪) × ৩৬
= ৯√৩ বর্গমিটার

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৯√৩ বর্গমিটার

৭,২৫২.

১৮০ ডিগ্রি কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

ক
৪৫°
খ
৯০°
গ
১৮০°
ঘ
০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৮০ ডিগ্রি কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
সম্পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলা হয়।
যেমন, ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ হলো ৭০° , কারণ ১১০° + ৭০° = ১৮০°

অতএব, যদি একটি কোণ ১৮০° হয়, তাহলে তার সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ১৮০° = ০°

৭,২৫৩.

PQR ত্রিভুজের QR বাহুকে S পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠PRS = 115° হলে, ∠QPR + ∠PQR =?

ক
115°
খ
105°
গ
75°
ঘ
135°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের QR বাহুকে S পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠PRS = 115° হলে, ∠QPR + ∠PQR =?

সমাধান:

ত্রিভুজ PQR এ QR বাহুকে S পর্যন্ত বাড়ানো হলো। উৎপন্ন কোণ ∠PRS = 115°

বহি:স্থ ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR
= 115°

৭,২৫৪.

tan 45° =?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/√2
গ
গ) √3/2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan 45° =?

সমাধান:

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, ∠BAC = ∠BCA = 45°
∴ AB = BC

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
tan ∠BCA = AB/BC
⇒ tan 45° = AB/AB
∴ tan 45° = 1

৭,২৫৫.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 6 সেমি এবং 8 সেমি হলে, রম্বসটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
5 সেমি
খ
10 সেমি
গ
8 সেমি
ঘ
24 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 6 সেমি এবং 8 সেমি হলে, রম্বসটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ABCD একটি রম্বস।
উহার AC = 8 cm, BD= 6 cm
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AO = CO = 4 cm, BO = OD = 3 cm

ΔAOB এ
OA² + OB² = AB²
⇒ 4² + 3² = AB²
⇒ 16 + 9 = AB²
⇒ 25 = AB²
⇒ AB² = 5²
∴ AB = 5

৭,২৫৬.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4, 5 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4, 5 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
হেরনের সূত্রানুযায়ী,
অর্ধপরিসীমা = (3 + 4 + 5)/2 [∵ S = (a + b + c)/2]
= 12/2
= 6

∴ ক্ষেত্রফল = √{6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)} [∵ ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}]
= √(6 × 3 × 2 × 1)
= √36
= 6 বর্গমিটার

৭,২৫৭.

কোন চতুর্ভুজের চারটি কোণ সমকোণ?

ক
রম্বস
খ
সামান্তরিক
গ
আয়ত
ঘ
ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

সামান্তরিক:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল, তা সামান্তরিক।
- সামান্তরিকের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে সামান্তরিকক্ষেত্র বলে।

আয়ত:
- যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ, তাই আয়ত।
- আয়তের চারটি কোণ সমকোণ।
- আয়তের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে আয়তক্ষেত্র বলে।

রম্বস:
- রম্বস এমন একটি সামান্তরিক যার সন্নিহিত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান।
অর্থাৎ, রম্বসের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল এবং চারটি বাহু সমান।
- রম্বসের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে রম্বসক্ষেত্র বলে।

বর্গ:
- বর্গ এমন একটি আয়ত যার সন্নিহিত বাহুগুলো সমান।
অর্থাৎ, বর্গ এমন একটি সামান্তরিক যার প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ এবং বাহুগুলো সমান।
- বর্গের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে বর্গক্ষেত্র বলে।

ট্রাপিজিয়াম:
- যে চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল, একে ট্রাপিজিয়াম বলা হয়।
- ট্রাপিজিয়ামের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্র বলে।

৭,২৫৮.

একটি ৫০ মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উঁচু দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

ক
৩০ মিটার
খ
২৫ মিটার
গ
২০ মিটার
ঘ
১০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ৫০ মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উঁচু দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:

মনে করি,
দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশে দূরত্ব = x মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র হতে পাই,
(মইয়ের উচ্চতা)^২ = (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + x^২
বা, (৫০)^২ = (৪০)^২ + x^২
বা, ২৫০০ = ১৬০০ + x^২
বা, x^২ = ২৫০০ - ১৬০০
বা, x^২ = ৯০০
বা, x^২ = ৩০^২
∴ x = ৩০

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশে দূরত্ব = ৩০ মিটার ।

৭,২৫৯.

একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 24 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
4 সে.মি.
খ
5 সে.মি.
গ
6 সে.মি.
ঘ
7 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 24 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

৭,২৬০.

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি?

ক
ক) 180
খ
খ) 360
গ
গ) 120
ঘ
ঘ) 150

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = (180-60)°+(180-60)°+(180-60)° = 360°।

৭,২৬১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

ক
8 মিটার
খ
12 মিটার
গ
4 মিটার
ঘ
8√3 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4) a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√3/4) a² = 4√3
বা, a²/4 = 4
বা, a²= 16
∴ a = 4

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a
= 3 × 4
= 12 মিটার

৭,২৬২.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ১৫ সে.মি., ১২ সে.মি. ও ১০ সে.মি.। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৯০০ বর্গ সে.মি.
খ
খ) ৬০০ বর্গ সে.মি.
গ
গ) ৭৫০ বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৮০০ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ১৫ সে.মি.,
প্রস্থ, b = ১২ সে.মি. এবং
উচ্চতা, c = ১০ সে.মি.।
আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca)
= ২ (১৫×১২ + ১২×১০ + ১০×১৫) বর্গ সে.মি.
= ২ (১৮০+১২০+১৫০) বর্গ সে.মি.
= ২ × ৪৫০ বর্গ সে.মি.
= ৯০০ বর্গ সে.মি.

৭,২৬৩.

নিচের কোনটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

ক
১৮০°
খ
৬০°
গ
৩৬০°
ঘ
১৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ হলো সেই কোণ যার মান ১৮০° থেকে বড় এবং ৩৬০° থেকে ছোট। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ১৯০° একমাত্র কোণ যা এই শর্ত পূরণ করে (১৮০° < ১৯০° < ৩৬০°)।
∴ ১৯০° একটি প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle)।

উল্লেখ্য,
• ১৮০° হলো একটি সরলকোণ, যা একটি সরলরেখা বরাবর গঠিত হয়।
• ৬০° হলো একটি সূক্ষ্মকোণ, কারণ এর মান ৯০° এর থেকে ছোট।
• ১৬৫° হলো একটি স্থূলকোণ, কারণ এর মান ৯০° থেকে বড় কিন্তু ১৮০° থেকে ছোট।
• ৩৬০° কোণকে পূর্ণকোণ বা সম্পূর্ণ কোণ বলা হয়। এটি একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন (Full Rotation) নির্দেশ করে।

৭,২৬৪.

একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 2π/3
খ
খ) π/2
গ
গ) 2π/5
ঘ
ঘ) 3π/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি.
মনে করি,

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4/2 সে.মি. = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 2² × 60°)/360°
= 2π/3

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 2π/3

৭,২৬৫.

tanθ = Cotθ হলে θ এর মান কত?

ক
30°
খ
45°
গ
60°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = Cotθ হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = Cotθ
⇒ tanθ = 1/tanθ
⇒ tan²θ = 1
⇒ tanθ = √1 = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

৭,২৬৬.

২০ বর্গমিটার একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ২ বর্গমিটার ক্ষেত্রফলের কয়টি টাইলস লাগবে?

ক
৫ টি
খ
১০ টি
গ
৮ টি
ঘ
২০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০ বর্গমিটার একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ২ বর্গমিটার ক্ষেত্রফলের কয়টি টাইলস লাগবে?

সমাধান:
মোট টাইলসের সংখ্যা = (বর্গাকার জায়গার ক্ষেত্রফল/টাইলসের ক্ষেত্রফল) টি
= ২০/২ টি
= ১০ টি

৭,২৬৭.

একটি Hendecagon- এর অন্তকোণগুলোর সমষ্টি কত?

ক
৯২০°
খ
১৮৮০°
গ
১৬২০°
ঘ
১২৬০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি Hendecagon- এর অন্তকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা n = ১১
বহুভুজের অন্তকোণগুলোর সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০°
= (১১ - ২) × ১৮০°
= ৯ × ১৮০°
= ১৬২০°

এখানে,
Monogon (1 side)
Digon (2 sides)
Triangle (3 sides)
Quadrilateral (4 sides)

Pentagon (5 sides)
Hexagon (6 sides)
Heptagon (7 sides)
Octagon (8 sides)

Nonagon (9 sides)
Decagon (10 sides)
Hendecagon (11 sides)
Dodecagon (12 sides)

Tridecagon (13 sides)
Tetradecagon (14 sides)
Pentadecagon (15 sides)
Hexadecagon (16 sides)

Heptadecagon (17 sides)
Octadecagon (18 sides)
Enneadecagon (19 sides)
Icosagon (20 sides)

৭,২৬৮.

একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অপর তীরে অবস্থিত 150 মিটার উঁচু একটি গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। নদীটির প্রস্থ কত?

ক
50 মিটার
খ
58 মিটার
গ
25√3 মিটার
ঘ
50√3 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অপর তীরে অবস্থিত 150 মিটার উঁচু একটি গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। নদীটির প্রস্থ কত?

সমাধান:

মনে করি,
গাছটির পাদবিন্দু = C
গাছের শীর্ষবিন্দু = A
গাছের উচ্চতা, AC = 150 মিটার
অপর তীরের নির্দিষ্ট বিন্দু = B
শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ, ∠ABC = 60°
নদীর প্রস্থ = BC

এখন,
tan60° = AC/BC
⇒ √3 = 150/BC
⇒ BC = 150/√3
⇒ BC = (50 × 3)/√3
⇒ BC = 50 × √3 × √3)/√3
⇒ BC = 50√3

∴ নদীর প্রস্থ = 50√3 মিটার

৭,২৬৯.

৩ সে.মি. ব্যাস ও ১০ মি.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
ক) ২৫ মি.মি.
খ
খ) ১৫ মি.মি.
গ
গ) ৩৫ মি.মি.
ঘ
ঘ) ৫ মি.মি.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3/2 = 1.5 সে.মি. = 15 মি.মি. এবং ২য় বৃত্ত ১০ মি.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট।
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 15 + 10
= 25 মি.মি.

৭,২৭০.

942 সে.মি. দীর্ঘ তারকে একটি বৃত্তের আকারে বাঁধলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ক
300 সে.মি.
খ
175 সে.মি.
গ
200 সে.মি.
ঘ
150 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 942 সে.মি. দীর্ঘ তারকে একটি বৃত্তের আকারে বাঁধলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তারের দৈর্ঘ্য = বৃত্তের পরিধি = 942 সে.মি.

ধরি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r

এখানে,
বৃত্তের পরিধি = তারের দৈর্ঘ্য
⇒ 2πr = 942
⇒ 2r = 942/π
⇒ 2r = 942/3.14
⇒ 2r = (942 × 100)/314
⇒ 2r = 300
∴ r = 300/2 = 150 সে.মি.

৭,২৭১.

বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ১২ সে. মি. হলে, এর পরিধি কত সে. মি.?

ক
ক) ৭৫.৪
খ
খ) ৭৪.৫
গ
গ) ৩৫.৫
ঘ
ঘ) ৩৭.৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ১২ সে. মি. হলে, এর পরিধি কত সে. মি.?

সমাধান:
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা/ ব্যাস = ১২ সে. মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ১২/২ = ৬ সে. মি.
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= ২ × ৩.১৪১৬ × ৬ সে. মি.
= ৩৭.৬৯৯২ সে. মি.
= ৩৭.৭ সে. মি.

৭,২৭২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৫ মিঃ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭ মিঃ হলে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
ক) ৪৫ মিঃ
খ
খ) ৪৬ মিঃ
গ
গ) ১২০ বর্গমিঃ
ঘ
ঘ) ৬০ বর্গমিঃ

ব্যাখ্যা

দৈর্ঘ্য BC = ১৫ মিঃ
কর্ণ AC = ১৭ মিঃ
∴ প্রস্থ AB = √(AC² - BC²)
= √(১৭² - ১৫²)
= √৬৪
= ৮ মিঃ

∴ পরিসীমা = 2(AB + BC)
= ২(৮ + ১৫)
= ২ × ২৩
= ৪৬ মিঃ

৭,২৭৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
3.2 মিটার
খ
4 মিটার
গ
4.8 মিটার
ঘ
5.5 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 1)²/4

প্রশ্নমতে,
{√3(a + 1)²/4} - {√3a²/4} = 3√3
⇒ (√3/4){(a + 1)² - a²} = 3√3
⇒ a²+ 2a + 1 - a² = 12
⇒ 2a + 1 = 12
⇒ 2a = 12 - 1
⇒ 2a = 11
∴ a = 5.5 মিটার

৭,২৭৪.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৩০ মিটার ও ৯০ মিটার। বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
১৪৫৫৫ বর্গমিটার
খ
১৫৪৪৪ বর্গমিটার
গ
১৩৬৬৫ বর্গমিটার
ঘ
১৬৩২৫ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৩০ মিটার ও ৯০ মিটার। বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
২০% বৃদ্ধিতে, নতুন দৈর্ঘ্য = ১৩০ + ১৩০ এর ২০%
= ১৩০ + {১৩০ × (২০/১০০)}
= ১৫৬ মিটার

১০% বৃদ্ধিতে, নতুন প্রস্থ = ৯০ + ৯০ এর ১০%
= ৯০ + {৯০ × (১০/১০০)
= ৯৯ মিটার

∴ নতুন বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৫৬ × ৯৯ বর্গমিটার
= ১৫৪৪৪ বর্গমিটার

৭,২৭৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ৬ সেমি এবং ক্ষেত্রফল ২৪ বর্গসেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

ক
১৮ সেমি
খ
২৪ সেমি
গ
৩০ সেমি
ঘ
২৭ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ৬ সেমি এবং ক্ষেত্রফল ২৪ বর্গসেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × লম্ব
⇒ ২৪ = (১/২) × ভূমি × ৬
⇒ ২৪ = ৩ × ভূমি
⇒ ভূমি = ২৪/৩
∴ ভূমি = ৮ সেমি

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৮^২ + ৬^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৬৪ + ৩৬
⇒ অতিভুজ^২ = ১০০
⇒ অতিভুজ = √১০০
⇒ অতিভুজ = ১০ সেমি

সুতরাং, ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৮ + ৬ + ১০ = ২৪ সেমি।

৭,২৭৬.

একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮, ১০ ও ১৬ মিটার হলে ত্রিভুজটি -

ক
সমকোণী ত্রিভুজ
খ
সমবাহু ত্রিভুজ
গ
বিষমবাহু ত্রিভুজ
ঘ
ক + গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮, ১০ ও ১৬ মিটার হলে ত্রিভুজটি -

সমাধান:
- ত্রিভুজটির তিন বাহু অসমান বলে এটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

- ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি = ৮^২ + ১০^২= ৬৪ + ১০০
= ১৬৪

- বৃহত্তর বাহুর বর্গ = ১৬^২
= ২৫৬ ≠ ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি

অতএব এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

৭,২৭৭.

24 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
4π
খ
6π
গ
12π
ঘ
18π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 24 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 24/4 = 6 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 6√2
ব্যাসার্ধ = 6√2/2 = 3√2

∴ ক্ষেত্রফল = π(3√2)²
= π × 9 × 2
= 18π

৭,২৭৮.

গোলাপপুরের জনসংখ্যা 4000 এবং মাথাপিছু দৈনিক 9 লিটার করে পানি লাগে। একটি ঘনকাকৃতির ট্যাঙ্ক যার পরিমাপ 15 m × 8 m × 6 m, যদি সম্পূর্ণ ট্যাঙ্ক পানি ভর্তি থাকে তাহলে কত দিনে সেই পানি সম্পূর্ণ ব্যবহৃত হবে?

ক
25 দিন
খ
30 দিন
গ
10 দিন
ঘ
20 দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: গোলাপপুরের জনসংখ্যা 4000 এবং মাথাপিছু দৈনিক 9 লিটার করে পানি লাগে। একটি ঘনকাকৃতির ট্যাঙ্ক যার পরিমাপ 15 m × 8 m × 6 m, যদি সম্পূর্ণ ট্যাঙ্ক পানি ভর্তি থাকে তাহলে কত দিনে সেই পানি সম্পূর্ণ ব্যবহৃত হবে?

সমাধান:
গোলাপপুরের দৈনিক ব্যবহৃত পানির পরিমাণ = 4000 × 9 = 36000 লিটার

ঘনকাকৃতির ট্যাঙ্কটির ধারণক্ষমতা = 15 m × 8 m × 6 m = 720 m³ = 720 × 1000 লিটার = 720000 লিটার

∴সম্পূর্ণ পানি ব্যবহৃত হওয়ার দিন সংখ্যা = 720000/36000 = 20 দিন

৭,২৭৯.

একটি গাড়ির চাকা ১০ মিনিটে ১০০০ বার ঘুরে ১০ কি. মি. পথ অতিক্রম করে। চাকার পরিধি কত?

ক
১২ মিটার
খ
১০ মিটার
গ
৮ মিটার
ঘ
৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা ১০ মিনিটে ১০০০ বার ঘুরে ১০ কি. মি. পথ অতিক্রম করে। চাকার পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি. মি. = ১০০০ মিটার
∴ ১০ কি. মি. = ১০০০০ মিটার

আমরা জানি,
চাকা একবার ঘুরে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

প্রশ্নমতে,
পরিধি × ১০০০ = ১০০০০
⇒ পরিধি = ১০০০০/১০০০
∴ পরিধি = ১০

∴ চাকার পরিধি = ১০ মিটার

৭,২৮০.

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. , ২০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল -

ক
১৪০ বর্গসে.মি.
খ
১৫৫ বর্গসে.মি.
গ
১৬০ বর্গসে.মি.
ঘ
১৭০ বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. , ২০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল -

সমাধান:
একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. , ২০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১২ + ২০) × ১০
= (১/২) × ৩২ × ১০
= ১৬০ বর্গসে.মি.

৭,২৮১.

একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 12 মিটার ও 16 মিটার এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
48√2 বর্গমিটার
খ
42√3 বর্গমিটার
গ
32√2 বর্গমিটার
ঘ
52√3 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 12 মিটার ও 16 মিটার এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বিপরীত বাহু যথাক্রমে,
a =12 মিটার
b = 16 মিটার এবং
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 45°

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × b × sinθ
=(1/2) × 12 × 16 × sin⁡45^∘
= 6 × 16 × (1/√2)
= 48 × (√2 × √2)√2
= 48√2 বর্গমিটার

৭,২৮২.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৮ মিটার
খ
৬ মিটার
গ
১০ মিটার
ঘ
৭ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ এর ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)ক^২ বর্গ মিটার

বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (ক + ৪)^২ বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) × (ক + ৪)^২ - (√৩/৪)ক^২ = ১৬√৩
⇒ (√৩/৪) × {(ক + ৪)^২ - ক^২} = ১৬√৩
⇒ (ক + ৪)^২ - ক^২ = ১৬√৩ × (৪/√৩)
⇒ ক^২ + ৮ক + ১৬ - ক^২ = ৬৪
⇒ ৮ক + ১৬ = ৬৪
⇒ ৮ক = ৬৪ - ১৬
⇒ ৮ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/৮
⇒ ক = ৬

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার।

৭,২৮৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
৩০ মিটার
খ
৯০ মিটার
গ
১২০ মিটার
ঘ
৬০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার
= ৩০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৩০ × ৪) মিটার
= ১২০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

৭,২৮৪.

৮০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

ক
৮০°
খ
১০০°
গ
৪০°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
∴ ৮০°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৮০°

৭,২৮৫.

সুষম বহুভুজের একটি অন্তকোণ ১২০° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?

ক
ক) ৫
খ
খ) ৬
গ
গ) ৭
ঘ
ঘ) ৮

ব্যাখ্যা

বাহুর সংখ্যা n
∴ ১৮০°(n - ২) / n = 120°
বা, ৩((n - ২) / n = ২
বা, ৩n - ৬ = ২n
∴ n = ৬

৭,২৮৬.

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 5। এর বৃহত্তম কোণটি -

ক
ক) 18°
খ
খ) 36°
গ
গ) 54°
ঘ
ঘ) 90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 5। এর বৃহত্তম কোণটি -

সমাধান:
ধরি
কোণগুলো = 2x , 3x, 5x

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 5x = 180°
বা, 10x = 180°
∴ x = 18°

∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ = 5 × 18° = 90°

৭,২৮৭.

২ মি. দৈর্ঘ্যের একটি ঘনক আকৃতির বক্সে একটি গোলক সম্পূর্ণভাবে ঢুকে যায়। বক্সের খালি অংশের আয়তন কত?

ক
৪ ঘন মি.
খ
৩.৫১ ঘন মি.
গ
৩.৮১ ঘন মি.
ঘ
৪.২৭ ঘন মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ মি. দৈর্ঘ্যের একটি ঘনক আকৃতির বক্সে একটি গোলক সম্পূর্ণভাবে ঢুকে যায়। বক্সের খালি অংশের আয়তন কত?

সমাধান:

ঘনকের আয়তন = 2³ = 8

গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
= (4/3)(22/7)(1)³
= 4.19

খালি অংশের দৈর্ঘ্য = (8 - 4.19) = 3.81 m³

৭,২৮৮.

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে ?

ক
ক) ৪
খ
খ) ৯
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস = 2r,
সুতরাং ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ = 3r
সুতরাং, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে, π(3r)² = 9πr²
∴ 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

৭,২৮৯.

অন্তঃস্থকোণ + বহিঃস্থকোণ = কত ডিগ্রী?

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ১৮০°
গ
গ) ২৭০°
ঘ
ঘ) ৩৬০°

ব্যাখ্যা

অন্তঃস্থকোণ + বহিঃস্থকোণ = ১৮০°

৭,২৯০.

একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গমিটার ও আয়তন 400 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

ক
12 মিটার
খ
8 মিটার
গ
16 মিটার
ঘ
18 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গমিটার ও আয়তন 400 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক ও
বেলনের বক্রতলের আয়তন = πr²h ঘন একক

দেওয়া আছে,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh = 100
ও বেলনের বক্রতলের আয়তন πr2h = 400

প্রশ্নমতে,
(2πrh)/(πr²h) = 100/400
বা, 2/r = 1/4
∴ r = 8

∴ বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ = 8 মিটার।

৭,২৯১.

একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
২ টি
খ
৩ টি
গ
৪ টি
ঘ
৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে।
- আবার, একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

৭,২৯২.

একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গ কিলোমিটার, এর কর্ণ বরাবর ৬ কিমি/ঘণ্টা বেগে হেটে যেতে কতক্ষণ লাগবে ?

ক
√২ ঘণ্টা
খ
√৩ ঘণ্টা
গ
√৭ ঘণ্টা
ঘ
√৮ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গ কিলোমিটার, এর কর্ণ বরাবর ৬ কিমি/ঘণ্টা বেগে হেটে যেতে কতক্ষণ লাগবে ?

প্রশ্ন:
ধরি , বর্গের এক বাহু ক মিটার,

ক^২ = ৩৬
ক = ৬ কিমি

কর্ণ ^২ = ৬^২ + ৬^২
= ৩৬ + ৩৬
= ৭২
= ৬√২ কি মি

সময় লাগবে = ৬√২ /৬ ঘণ্টা
= √২ ঘণ্টা

৭,২৯৩.

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
৭৮ বর্গ মিটার
খ
৮৪ বর্গ মিটার
গ
৮৮ বর্গ মিটার
ঘ
৯৬ বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (৮ + ৬) × ৩ বর্গ মিটার
= ২ × ১৪ × ৩ বর্গ মিটার
= ৮৪ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৮৪ বর্গ মিটার।

৭,২৯৪.

যদি অর্ধ গোলার্ধের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি হয়, তাহলে এর ব্যাসার্ধ কত?

ক
ক) 2√3 cm
খ
খ) 3√2 cm
গ
গ) 3√3 cm
ঘ
ঘ) 2√5 cm

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3πr²শর্তানুসারে,3πr² = 36π ⇒ r² = 12 = 4×3 ⇒ r = 2√3

৭,২৯৫.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?

ক
২√৩ সে.মি.
খ
৩√৩ সে.মি.
গ
৪√৩ সে.মি.
ঘ
৫√৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২
= (√৩/৪) × (৮)^২
= ১৬√৩

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ৮ × x
= ৪x

প্রশ্নমতে,
৪x = ১৬√৩
x = ১৬√৩/৪
x = ৪√৩

৭,২৯৬.

1/(1+sin²A) + 1/(1+cosec²A) = ?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) -1
ঘ
ঘ) উত্তর নাই

ব্যাখ্যা

1/(1+sin²A) + 1/(1+cosec²A)
= 1/(1+sin²A) + 1/(1+1/sin²A)
= 1/(1+sin²A) + sin²A/(1+sin²A)
= (1+sin²A)/(1+sin²A) = 1

৭,২৯৭.

একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 44 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

ক
13 সে. মি.
খ
11 সে. মি.
গ
9 সে. মি.
ঘ
6 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 44 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে. মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 44 = (1/2) × a × 8
বা, 44 = 4a
∴ a = 11

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 11 সে. মি.

৭,২৯৮.

অর্ধবৃত্তস্থ কোন ধরনের কোণ?

ক
সমকোণ
খ
স্থূলকোণ
গ
প্রবৃদ্ধ কোণ
ঘ
সূক্ষ্মকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে।
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক।

৭,২৯৯.

বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 72° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

ক
ক) 36°
খ
খ) 72°
গ
গ) 108°
ঘ
ঘ) 144°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 72° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

সমাধান:
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 72° হলে, বৃত্তস্থ কোণ 36°

৭,৩০০.

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ এটির প্রস্থের তিনগুণ হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত কত?

ক
2 : 1
খ
√2 : 1
গ
3 : 1
ঘ
2√2 : 1

ব্যাখ্যা

ধরি,
আয়তক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য x
আয়তক্ষেত্রে প্রস্থ y

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(x² + y²)

প্রশ্নমতে,
√(x² + y²) = 3y
x² + y² = 9y²
x²= 8y²
x²/y² =8
x/y = √8
x/y =√(4 × 2)
x/y = 2√2
x : y = 2√2 : 1