জ্যামিতি

প্রশ্ন: রেখা সম্পর্কিত নিচের কোন তথ্যটি সঠিক? 

সমাধান: 
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ: 
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহু ৫ সে.মি., ১২ সে.মি. এবং ১৩ সে.মি.। এটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে,
a = ৫ সে.মি., b = ১২ সে.মি. এবং c = ১৩ সে.মি.

সবচেয়ে বড় বাহু = ১৩ সে.মি.  
অন্য দুই বাহুর যোগফল = ৫ + ১২ = ১৭ সে.মি.
∴ ১৭ > ১৩ ⇒ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

এখন ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করি,
১৩^২ = ১৬৯  
এবং
৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯

∴ ১৩^২ = ৫^২ + ১৩^২ 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যে ত্রিভুজে সবচেয়ে বড় বাহুর বর্গ = অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফল, সেটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।  

১ মিনিটে চাকাটি ঘুরে ১০০ বার
অর্থাৎ, ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১০০/৬০ বা ৫/৩ বার
এখানে ১ বারে ঘুরে ৩৬০°
∴ ৫/৩ বারে ঘুরে = (৩৬০° × ৫)/৩ = ৬০০°

বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী 
∴ AB = CD হলে x = y

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। জমিটির প্রস্থ ৪০ মিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
জমির প্রস্থ = ৪০ মিটার 
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৪০ × ১.৫) মিটার 
= ৬০ মিটার 

∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২ × (৬০ + ৪০) মিটার 
= (২ × ১০০) মিটার
= ২০০ মিটার 

∴ বাগানের পরিসীমা = ২০০ মিটার ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 16 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 104 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?


সমাধান:

মনে করি,
ত্রিভুজ ABC এর AB = c = 13 মিটার, AC = b = 16 মিটার,
এবং Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 104 বর্গমিটার।
AB ও BC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ নির্ণয় করতে হবে।

∴ Δ ক্ষেত্র ABC ক্ষেত্রফল = (1/2) × c × b × sinθ
⇒ 104 = (1/2) × 13 × 16 × sinθ
⇒ 13 × 8 × sinθ = 104
⇒ sinθ = 104/104
⇒ sinθ = 1
⇒ sinθ = sin90°
⇒ θ = 90°

∴ নির্ণেয় অন্তর্ভুক্ত কোণ = 90°

ঢাল = (x এর সহগ)/(y এর সহগ)
= -(1/-1)
= 1

আয়তক্ষেত্রের সবগুলো কোণ পরস্পর সমান এবং সবগুলো বাহু সমান নয়।

প্রশ্ন: একটি ৬০ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?

সমাধান:
 
ধরি,
খুঁটিটি মাটি থেকে h মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছে। তাহলে ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (৬০ - h) মিটার

এই ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সাথে ৩০° কোণ করে মাটি স্পর্শ করেছে। এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, যেখানে:

∴ অতিভুজ = ভাঙ্গা অংশ = (৬০ - h) মিটার
∴ লম্ব = ভাঙ্গার উচ্চতা = h মিটার
কোণ = ৩০°
∴ sin ৩০° = বিপরীত বাহু / অতিভুজ
⇒ ১/২ = h / (৬০ - h)
⇒ ৬০ - h = ২h
⇒ ৬০ = ৩h
⇒ h = ২০ মিটার

যেহেতু ABC ত্রিভুজে AB = AC, তাহলে B ও C কোণ সমান হবে। সুতরাং A = 180° - (B + C) = 180° - (30° + 30°) = 120°.

প্রশ্ন: ৭ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্যের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অপর একটি বৃত্ত আঁকা হলে তার ব্যাস কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।

দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সে.মি.
তাহলে একটি বৃত্তের ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ = ২ × ৭ = ১৪ সে.মি.

শর্তমতে,
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৪ সে.মি.
∴ অপর বৃত্তের ব্যাস = ২ × ১৪ = ২৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ১২ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৫০ × ৪০ = ২০০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তার প্রস্থ = ৪ মিটার
যেহেতু রাস্তাটি মাঠের বাইরের দিকে তৈরি করা হয়েছে,
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৫০ + ৪ + ৪ = ৫৮ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৪০ + ৪ + ৪ = ৪৮ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৫৮ × ৪৮ = ২৭৮৪ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল - মাঠের ক্ষেত্রফল
= ২৭৮৪ - ২০০০ = ৭৮৪ বর্গমিটার

এখন,
প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় ১২ টাকা
∴ ৭৮৪ বর্গমিটার রাস্তার মোট ব্যয় = ৭৮৪ × ১২ টাকা
= ৯৪০৮ টাকা

∴ রাস্তাটি তৈরি করতে মোট ৯৪০৮ টাকা লাগবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকে ২৪০০০ লিটার পানি ধরে। যদি ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার হয়, তবে ট্যাংকের গভীরতা কত মিটার হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার 
∴ ২৪০০০ লিটার = ২৪ ঘনমিটার 

আবার, 
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা 
∴ গভীরতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) 
= ২৪/(৪ × ৩) 
= ২৪/১২ 
= ২ মিটার 

∴ ট্যাংকের গভীরতা = ২ মিটার।

ACD = ∠A + ∠B
বা, ∠A + 60° = 130°
∴ ∠A = 130° - 60° = 70°
∴ ∠A কোণের পূরক কোণ = 90° - 70°
= 20°

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৭০° হলে বৃত্তস্থ কোণ -

সমাধান:
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ , বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগ্ণ হয়ে থাকে। 

∴ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৭০° হলে বৃত্তস্থ কোণ = ৭০° /২
= ৩৫°

৪র্থ চতুর্ভাগের বিন্দুর ভূজ ধনাত্মক এবং কোনটি ঋনাত্মক হয়ে থাকে।

২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২a
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৩a
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২a)^২
= ৪πa^২
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(৩a)^২
= ৯πa^২
∴ অনুপাত = ৪πa^২ : ৯πa^২
= ৪ঃ৯

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ৩ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার 
৩ কিলোমিটার = (১০০০ × ৩) মিটার
= ৩০০০ মিটার 

এখন, 
৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকাটি ঘুরে = ১ বার 
∴ ১ মিটার যেতে গাড়ির চাকাটি ঘুরে = ১/৫ বার 
∴৩০০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকাটি ঘুরে = ৩০০০/৫ বার 
= ৬০০ বার। 

মনে করি,

লম্ব = a সে.মি 
∴ অতিঃ = (a + 2) সে.মি
∴ a² + 8² = (a + 2)²
বা, a² + 64 = a² + 4a + 4
বা, 4a = 60
∴ a = 15

∴ লম্ব = 15 সে.মি
অতিঃ = 15 + 2 = 17 সে.মি

∴ পরীসীমা = 15 + 17 + 8
= 40 সে.মি

প্রশ্ন: ৬ সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৬ সে. মি.
∴ ব্যাস = ২ × ৬ = ১২ সে. মি.

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√২

∴ a√২ = ১২
⇒ a = ১২/√২
⇒ a^২ = ১৪৪/২
⇒ a^২ = ৭২ 

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি পিরামিডের আয়তন ১১০৪ ঘন সে.মি. ও ভূমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ সে.মি. হলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (১/৩) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
বা, ১১০৪ = (১/৩) × ১৪৪ × উচ্চতা
বা, ১১০৪ × ৩ = ১৪৪ × উচ্চতা
বা, ৩৩১২ = ১৪৪ × উচ্চতা
বা, উচ্চতা = (৩৩১২/১৪৪) ঘন সে.মি.
∴ উচ্চতা = ২৩ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি cos(θ - 30°) = √3/2 হয়, তাহলে cos²θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos(θ - 30°) = √3/2
⇒ cos(θ - 30°) = √3/2
⇒ cos(θ - 30°) = cos 30°
⇒ θ - 30° = 30°
⇒ θ = 30° + 30°
⇒ θ = 60°

এখন,
cos²θ
= (cos 60°)²
= (1/2)²
= 1/4

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PE একটি মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PE-এর দৈর্ঘ্য 36 সে.মি. হয়, তাহলে GE-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে শীর্ষ থেকে ভূমির দিকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে, PE মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র।
∴ PG : GE = 2 : 1
অনুপাতের যোগফল = 2 + 1 = 3
মধ্যমা PE-এর দৈর্ঘ্য = 36 সে.মি.

ভরকেন্দ্র G, মধ্যমা PE-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PG এবং GE।
∴ GE-এর দৈর্ঘ্য = 36 এর (1/3) অংশ
= 36 × (1/3) সে.মি.
= 12 × 1 সে.মি.
= 12 সে.মি.

সুতরাং, GE-এর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.।

প্রশ্ন: 4x + 3y + 20 = 0 এবং 4x + 3y + 10 = 0 রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া রেখাদ্বয়, 
4x + 3y + 20 = 0 এবং 4x + 3y + 10 = 0
রেখার দুটির সহগ (a = 4, b = 3) একই, অর্থাৎ রেখাদ্বয় সমান্তরাল।

আমরা জানি, 
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, d = |c₁ - c₂|/√(a² + b²)
= |20 - 10|/√(4² + 3²)    ; [যেখানে, c₁ = 20, c₂ = 10] 
= 10/√(16 + 9)
= 10/√25
= 10/5
= 2

সুতরাং, রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2 একক।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য ১৯ সে.মি. এবং উচ্চতা ৯ সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = ১৯ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ৯ সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (১৯ × ৯)
= ১৭১ বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৭১ বর্গ সে.মি.