জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩০ মি., ২৪ মি., ১৮ মি.। প্রতি বর্গমিটার ১.৫০ টাকা হিসেবে ঐ মাঠে কার্পেট বসাতে কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
ত্রিভুজের পরিসীমা ২S হলে,
আমরা জানি ,
ত্রিভুজের পরিসীমা ২S = a + b + c
বা, S = (a + b + c)/২
বা, S = (৩০ + ২৪ + ১৮)/২
∴ ‍S = ৩৬

আমরা জানি,
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √S (S - a) (S - b) (S - c)
= √৩৬ (৩৬ - ৩০) (৩৬ - ২৪) (৩৬ - ১৮) বর্গ মি.
= √৪৬৬৫৬ বর্গ মি.
= ২১৬ বর্গ মি.

১ বর্গ মি. কার্পেট বসাতে খরচ হয় = ১.৫০ টাকা
∴ ২১৬ বর্গ মি. কার্পেট বসাতে খরচ হয় = (২১৬ × ১,৫০) টাকা
= ৩২৪ টাকা

∴ ঐ মাঠে কার্পেট বসাতে খরচ হয় ৩২৪ টাকা।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দুইগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৮০০ বর্গমিটার হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

প্রদত্ত অনুযায়ী,
২ক × ক = ৮০০
⇒ ২ক^২ = ৮০০
⇒ ক^২ = ৪০০
⇒ ক = ২০ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ × ২০ = ৪০ মিটার

প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ২ মিটার প্রন্থ ১ মিটার ৫০ সেমি এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
প্রস্থ = ১ মিটার ৫০ সেমি = ১.৫০ মিটার
উচ্চতা = ১ মিটার

আয়তন = ২ × ১.৫০ × ১
= ৩ ঘনমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই ১০% বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ক এবং প্রস্থ = খ
∴ ক্ষেত্রফল = কখ

আবার,
নতুন দৈর্ঘ্য = ক + (ক এর ১০%) = ১.১ক
নতুন প্রস্থ = খ + (খ এর ১০%) = ১.১খ
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১.১ক × ১.১খ = ১.২১ কখ

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১.২১ কখ - কখ = ০.২১কখ

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = (০.২১কখ/কখ) × ১০০% = ২১%

সুতরাং ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে 2x/3, 3x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° 

শর্তমতে, 
2x/3 + 3x/3 + 4x/3 = 180° 
⇒ (2x + 3x + 4x)/3 = 180° 
⇒ 9x/3 = 180° 
⇒ 3x = 180° 
∴ x = 60° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3 
= {(4 × 60)/3}° 
= 80°

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°) 
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°। 

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 36 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান।

প্রশ্নমতে,
3a = 36
⇒ a = 36/3
⇒ a = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (12)²
= (√3/4) × 144
= 36√3 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণ ও তার পূরক কোণের মধ্যে সম্পর্ক এমন যে, কোণটি পূরক কোণের ৫ গুণ। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
ধরি, একটি কোণ = ক
তাহলে, পূরক কোণ = ৯০° - ক
শর্তমতে,
ক = ৫(৯০° - ক)
⇒ ক = ৪৫০° - ৫ক
⇒ ক + ৫ক = ৪৫০°
⇒ ৬ক = ৪৫০° 
⇒ ক = ৭৫°

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৩.৫ মিটার হলে, ৭০০ মিটার পথ অতিক্রম করতে তাকে কত বার ঘুরতে হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার পরিধি C = ৩.৫ মিটার
দূরত্ব D = ৭০০ মিটার

ঘূর্ণন সংখ্যা = D/C​ 
= ৭০০/৩.৫
= ২০০

∴ঘুরতে হবে = ২০০ বার

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৮০/৪ × √(৪ × ৫০^২ - ৮০^২)
= ১২০০ বর্গসে.মি
= ১২০০/১০০০০ বর্গমি
= ০.১২ বর্গমি

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: (ভূমি × উচ্চতা)। 

উল্লেখ্য যে, 
- একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে সামান্তরিক পাওয়া যাবে। 
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে। 
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত। 

প্রশ্ন: ৬২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি লোহার তারকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
চাকার ব্যাস = ২r সে.মি. 

এখানে, 
চাকার পরিধি = লোহার তারের দৈর্ঘ্য 
বা, ২πr = ৬২৮ 
বা, ২r = ৬২৮/π 
বা, ২r = ৬২৮/৩.১৪ 
বা, ২r = (৬২৮ × ১০০)/৩১৪ 
∴ ২r = ২০০

∴ চাকার ব্যাস = ২০০ সে.মি.।

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a হলে,
a³ = 216
∴ a = 6

∴ ঘনকটির এক তলের ক্ষেত্রফল = a² = 36 বর্গমি.

বৃত্তের যে কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
সুতরাং, উৎপন্ন কোণটি এক সমকোণ বা ৯০° হবে।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণ ১০ মিটার এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার হলে, রম্বসটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, অপর কর্ণটি = ক মিটার
ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণ_১ × কর্ণ_২
⇒ ১২০ = (১/২) × ১০ × ক
⇒ ১২০ = ৫ক
⇒ ক = ২৪
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অর্ধেক কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে।
১০/২ = ৫মি.  এবং ২৪/২ = ১২মি.
প্রতিটি বাহু = √ ৫^২ + ১২^২ = √১৬৯ = ১৩মি.
রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহু = ৪ × ১৩ = ৫২ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের একবাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক হলে, বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের বাহু = b

প্রশ্নমতে,
প্রথম বর্গক্ষেত্রের একবাহু (a) = দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4b
পরিসীমার অর্ধেক = 4b/2 = 2b

সুতরাং,
⇒ a = 2b
∴ b = a/2

এখন, প্রথম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = b² = (a/2)² = a²/4

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত (প্রথম : দ্বিতীয়) = a² : (a²/4) = 1 : 1/4 = 4 : 1

∴ বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 1

সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য x সেমি হলে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে-
x² + x² = 10²
⇒ 2x² = 100
⇒ x² = 50
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 50 = 25 বর্গসেমি

প্রশ্ন: যদি cos(2θ + 15°) = 1/√2 হয়, তবে tan3θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos(2θ + 15°) = 1/√2
⇒ cos(2θ + 15°) = cos(45°)
⇒ 2θ + 15° = 45°
⇒ 2θ = 45° - 15°
⇒ 2θ = 30°
∴  θ = 15°

এখন,
tan3θ
= tan(3 × 15°)
= tan(45°)
= 1

প্রশ্ন: 2x² + 2y² - 4x - 12y + 11 = 0 বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 2x² + 2y² - 4x - 12y + 11 = 0 
x² + y² - 2x - 6y + 11/2 = 0 কে

x² + y² + 2gx + 2fy + c = o এর সাথে তুলনা করে পাই,
2g = - 2
⇒ g = - 1

2f = - 6
f = - 3
এবং,
c = 11/2

আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = √(g² + f² - c)
= √{( - 1)² + (- 3)² - (11/2)}
= √{1 + 9 - (11/2)}
= √{(2 + 18 - 11)/2}
=√(9/2)
= √4.5

প্রশ্ন: দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে বলে-

সমাধান:
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির একটি মাঠের অতিভূজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 মিটার ও 6 মিটার। মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
লম্ব = x মিটার

আমরা জানি,
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
বা, x² + 6² = 10²
বা, x² + 36 = 100
বা, x² = 100 - 36
বা, x² = 64
বা, x = √64
∴ x = 8

সুতরাং, ত্রিভুজের লম্ব = 8 মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × লম্ব
= (1/2) × 6 × 8
= 3 × 8
= 24 বর্গমিটার

অতএব, মাঠটির ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ 10² = a² +a²
⇒ 100 = 2a²
⇒ a² = 100/2
⇒a² = 50

∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × লম্ব
=1/2 × a × a
= 1/2 × a²
= 1/2 × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

মনে করি,
AB = a,
BC = √3a
∴ AC = √(AB² + BC²)
= √(a² + 3a²⁾
= √4a²
= 2a
SinBAC = BC/AC
= √3a/2a
= √3/2
বা, SinBAC = √3/2 = Sin60°
∴ BAC = 60°
∴ ACD = BAC
= 60°

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 54° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = a
∴ ১ম কোণ = 4a
৩য় কোণ = 4a + 54°

প্রশ্নমতে,
a + 4a + 4a + 54° = 180°
বা, 9a = 180° - 54°
বা, 9a = 126°
বা, a = 126°/9
∴ a = 14°

∴ ১ম কোণ = 4 × 14° = 56°

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, a = 16 মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 মি.
আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = a/4 √(4b²-a²) = 16/4 √(4×10²-16²) = 4√(400-256) = 4×12 = 48 বর্গ মি.