জ্যামিতি

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ 120° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
{(n - 2) × 180}/n = 120
বা, {(n - 2) × 3}/n = 2
বা, 3n - 6 = 2n
বা, 3n - 2n = 6
∴ n = 6

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 6 টি ।

প্রশ্ন: ১৮ ইঞ্চি উঁচু একটি বক্সের দৈর্ঘ্য ৩ ফুট এবং প্রস্থ ২ ফুট। বক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​বক্সটির উচ্চতা = ১৮ ইঞ্চি = ১৮/১২ ফুট = ৩/২ ফুট 
​দৈর্ঘ্য = ৩ ফুট 
​প্রস্থ = ২ ফুট 
​
​∴ বক্সের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা 
​= {(৩/২) × ৩ × ২} ঘনফুট 
​= ৯ ঘনফুট 

প্রশ্ন: ΔABC এর AB = AC, ∠A = 80° হলে ∠B = কত?

সমাধান:

ΔABC এর AB = AC হলে
∠B = ∠C

আমরা জানি
∠A + ∠B + ∠C = 180° 
80°  + ∠B + ∠B = 180° 
2∠B = 180° - 80° 
2∠B = 100° 
∠B = 50° 

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪০° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪০°
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহি:স্থ কোণের পরিমাণ = ১৮০° - ১৪০° = ৪০°

∴ বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪০° = ৯টি

সুতরাং, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৯টি

প্রশ্ন: 40 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = পরিসীমা/4 = (40/4)
= 10 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত, তাই বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হবে বৃত্তটির ব্যাস।।
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ = বাহু × √2
= 10√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (10√2)/2 = 5√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π(5√2)² বর্গ মিটার
= (π × 25 × 2) বর্গ মিটার
= 50π বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান: 
একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি ১৮০°

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ ∠AOB = ∠BOC = 90°

প্রশ্ন: একটি চাকায় ২৪টি শলা থাকলে পাশাপাশি দুটি শলার মধ্যে কোণ কত ডিগ্রি?  

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি চাকা = ৩৬০°

চাকায় মোট ২৪টি শলা থাকলে, শলাগুলো সমান দূরত্বে থাকে।

সুতরাং, পাশাপাশি দুটি শলার মধ্যবর্তী কেন্দ্রীয় কোণ = ৩৬০°/২৪ = ১৫°

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120°।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল = 120°-120° = 0°

5x+12x+13x = 195
Or, 30x = 195
Or, x= 195/30
Or, x = 6.5
বাহুত্রয় যথাক্রমে- 32.5, 78, 84.5
বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর বাহুর যোগফল= 32.5+84.5= 117 cm

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্র হতে 24 সে.মি. দীর্ঘ জ্যা এর উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:

এখানে, জ্যা AB= 24 সে.মি.
AC = AB/2 = 24/2 = 12 সে.মি.
কেন্দ্র O হতে অংকিত লম্ব OC = 5 সে.মি.

∴ ব্যাসার্ধ OA = √(AC² + OC²)
= √(12² + 5²)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 

∴ ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ (OA) = (2 × 13) সে.মি. = 26 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5, ক্ষুদ্রতম কোণটির বৃত্তীয় মান কত?

সমাধান:
ধরি, কোণ তিনটি যথাক্রমে 3x^c, 4x^c এবং 5x^c

প্রশ্নমতে,
3x^c + 4x^c + 5x^c = π^c                  [ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ = π^c ] 
12x^c = π^c  
x = π/12

ক্ষুদ্রতম কোণ = 3x^c =  (3π/12)^c   
= (π/4)^c 
= π/4              

চাকাটি একবারে অতিক্রম করে তার পরিধির সমান দুরত্ব।
∴ পরিধি = 2πr = πD = π×4.5 = 14.14 মি.
∴ চাকাটি 360 মি. পথ অতিক্রম করতে ঘুরবে = 360/14.14 = 25.46 = 25 বার

প্রশ্ন: ΔPQR সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা PM এবং G ভরকেন্দ্র। GM = ৬ সেমি হলে PM = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
এখানে, মধ্যমা PM এবং ভরকেন্দ্র G।
সুতরাং, PG : GM = 2 : 1

দেওয়া আছে, GM = 6 সেমি।
প্রশ্নমতে,
PG/GM = 2/1
বা, PG/6 = 2
বা, PG = 6 × 2
∴ PG = 12 সেমি

এখন, মধ্যমা PM এর মোট দৈর্ঘ্য হলো এর দুটি অংশের যোগফল।
PM = PG + GM
= 12 + 6
= 18 সেমি

অতএব, PM এর দৈর্ঘ্য 18 সেমি।

প্রশ্ন:  ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে কী বলা হয়?

সমাধান:
• পরিকেন্দ্র (Circumcentre): ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে পরিকেন্দ্র বলা হয়।

চিত্রে O বিন্দুটি হলো পরিকেন্দ্র (Circumcentre)।

উল্লেখ্য,
• অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
• ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
• বহিঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং অপর দুটি বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 168 বর্গ মিটার এবং প্রস্থ 7 মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 168 বর্গ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 7 মিটার
অতএব, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল/প্রস্থ
= 168/7 = 24 মিটার

যেহেতু, একটি বৃত্তে অন্তঃলিখিত আয়তক্ষেত্রের কর্ণ হলো বৃত্তটির ব্যাস।
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = আয়তক্ষেত্রের কর্ণ

আমরা জানি,
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
= √(24² + 7²)
= √(576 + 49)
= √625
= 25 মিটার

অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 25 মিটার
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2 = 25/2 = 12.5 মিটার।

রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই (অনেক বই তে রেখার প্রান্তবিন্দু ২ টা দেওয়া আছে সেটা ভুল। নবম শ্রেণীর বোর্ড বইতে দেওয়া আছে রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই)
রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে
রশ্মির প্রান্ত বিন্দু একটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই

3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, (4/3 π 3³), (4/3 π 4³), (4/3 π 5³)।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন = (4/3 π 3³) + (4/3 π 4³) + (4/3 π 5³)
= 4/3 π (3³+4³+5³)
= 4/3 π × 216
= 4/3 π × 6³
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

প্রশ্ন: 6x + 5y + 3 = 0 রেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায় যেখানে ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
6x + 5y + 3 = 0 
⇒ 5y = - 6x - 3
⇒ y = (- 6/5)x + (- 3/5)

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = (- 6/5)

∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = (- 6/5)

প্রশ্ন: একটি বাঁশের চোঙ্গের ব্যাস 14 সে.মি. ও উচ্চতা 20 সে.মি. হলে চোঙটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 20 সে.মি.

∴ চোঙ্গের আয়তন (বেলনের আয়তন) = 2πr(h + r)
= 2 × (22/7) × 7 × (20 + 7)
= 2 × 22 × 27
= 1188 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: যদি secA = 13/5 হয়, তবে sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, secA = 13/5

আমরা জানি,
secA = অতিভুজ/ভূমি
অতএব, অতিভুজ = 13 এবং ভূমি = 5

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, লম্ব² + 5² = 13²
বা, লম্ব² + 25 = 169
বা, লম্ব² = 169 - 25
বা, লম্ব² = 144
∴ লম্ব = √144 = 12

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ
= 12/13

প্রশ্ন: যদি 4 tanA = 3 হয়, তাহলে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4 tanA = 3
⇒ tanA = 3/4

আমরা জানি,
​ tanA = লম্ব/ভূমি
∴ লম্ব = 3, ভূমি = 4

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ অতিভুজ² = 3² + 4²
⇒ অতিভুজ² = 9 + 16
⇒ অতিভুজ² = 25
⇒ অতিভুজ = √25 = 5

cosA = ভূমি/অতিভুজ 
​= 4/5

AB>AC 
∴ ∠C > ∠B হবে।
ফলে ∠B কখনও সমকোণ বা স্থুলকোণ হবে না।
∴ ∠B সর্বদা সূক্ষ্মকোণ হবে।

(cosθ+sinθ)/(cosθ-sinθ)=(1-√3)/(1+√3)
or, (cosθ+sinθ)(1+√3) = (cosθ-sinθ)(1-√3)
or, cosθ + sinθ + √3cosθ + √3sinθ = cosθ - sinθ - √3cosθ + √3sinθ
or, cosθ + sinθ + √3cosθ + √3sinθ - cosθ + sinθ + √3cosθ - √3sinθ = 0
or, 2sinθ + 2√3cosθ = 0
or, sinθ + √3cosθ = 0
or, sinθ = - √3cosθ
or,sin²θ = 3cos²θ
or, tan²θ = 3
or, tanθ = ±√3
∴ tanθ = √3
or, tanθ = tan60º
∴ θ = 60º
(বিঃদ্রঃ tanθ = - √3 দিয়েও θ এর মান বের করা যায়, তবে এখানে অপশনে সেই মানগুলো নেই। তাই tanθ = -√3 দিয়ে কোনো মান বের করে দেখানো হয়নি।)

এখানে,
r = 5,
h = 8
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh + πr²
= 2π × 5 × 8 + π × 5²
= 80π + 25π
= 105π

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের আয়তন ৭৯২ ঘন মি. এবং উচ্চতা ২৮ মি. হলে সিলিন্ডারের ব্যাস কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা h = ২৮ মিটার
সিলিন্ডারের আয়তন v = ৭৯২ ঘন মিটার

ধরি,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = r 

প্রশ্নমতে,
πr²h = ৭৯২
⇒ (২২/৭) × r² × ২৮ = ৭৯২ 
⇒ ৮৮ × r² = ৭৯২ 
⇒ r² = ৭৯২/৮৮
⇒ r² = ৯
∴ r = ৩

∴ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = ৩ মিটার
∴ ব্যাস = (২ × ৩) = ৬ মিটার

প্রশ্ন: 20 মিটার দীর্ঘ একটি মই 10 মিটার লম্বা একটি খাড়া খুঁটির সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে অবস্থান করবে?

সমাধান: 

এখানে,
মই এর খুটির সাথে উৎপন্ন কোণ,
cosθ = 10/20 
বা, cosθ = 1/2
বা, cosθ= cos60°
∴ θ = 60° 

∴ খুঁটির সাথে 60° ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে অবস্থান করবে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ৮ ফুট এবং লম্ব ৬ ফুট হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = ৮ ফুট 
​লম্ব = ৬ ফুট 
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
⇒ ​অতিভুজ^২​ = ৮^২ + ৬^২ 
​⇒ অতিভুজ^২ ​= ৬৪ + ৩৬
​​⇒ অতিভুজ^২ = ১০০ 
⇒ ​​অতিভুজ = ১০

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 6 সেমি এবং আয়তন 12π ঘন সেমি হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 6 সেমি
অতএব, ব্যাসার্ধ, r = 6 / 2 = 3 সেমি
আয়তন = 12π ঘন সেমি

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
প্রশ্নমতে,
(1/3) × π × (3)² × h = 12π
বা, (1/3) × 9h = 12
বা, 3h = 12
বা, h = 12 / 3
বা, h = 4 সেমি

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য (l) = √(r² + h²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √(25)
= 5 সেমি

অতএব, নির্ণেয় হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 5 সেমি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 বর্গ সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?
​
​সমাধান:
​ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সেমি।

প্রশ্নমতে, 
​πr² = 154
⇒ (22/7) × r² = 154
⇒ r² = (154 × 7)/22 
⇒ r² ​= 49
⇒ r = √49
​∴ r = 7 সেমি।

বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)² 
​= r²
= 7² 
​= 49 বর্গ সেমি।

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল 49 বর্গ সেমি।