জ্যামিতি

আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 120°।

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়?

সমাধান: 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়।

রেখার কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য: 
• রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
• দুই দিকেই অসীম প্রসারিত করা যায়।
• রেখার নির্দিষ্ট কোনো দিক নেই। 
• রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ √3/4 a² = 4√3
বা, a² = 16
∴ a = 4
আবার, 1/2 × BC × AD = ΔABC
বা, 1/2 × 4 × AD = 4√3
বা, 2AD = 4√3
∴ AD = 2√3

- দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, এদের যেকোনো একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে, বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
- তাই 51° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ 51° ই হবে।

প্রশ্ন: একটি ৬৫ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৬০ মিটার উঁচু দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব = ক মিটার

এখানে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ৬৫ মিটার
দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব) = ৬০ মিটার
মাটিতে দূরত্ব (ভূমি) = ক মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ ৬৫^২ = ৬০^২ + ক^২
⇒ ৪২২৫ = ৩৬০০ + ক^২
⇒ ক^২ = ৪২২৫ - ৩৬০০
⇒ ক^২ = ৬২৫
⇒ ক = ২৫

অতএব, মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব ২৫ মিটার।

প্রশ্ন: একটি 25 মিটার দীর্ঘ মই একটি উঁচু বইয়ের তাকের পাশে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইটির শীর্ষপ্রান্ত মেঝে থেকে 20 মিটার উচ্চতায় তাককে স্পর্শ করছে। মইটির নিচের প্রান্ত হতে তাকের দূরত্ব নির্ণয় করুন?

সমাধান:
এখানে,
অতিভুজ (AC) = ২৫ মি
লম্ব (AB) = ২০ মি
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
AC² = AB² + BC²
BC² = AC² - AB²
= 25² - 20²
= 625 - 400
= 225
∴ BC = √225 = 15 মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১২ একক এবং অপর সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a একক এবং ভূমি b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² − b²)

এখানে,
a = ১০, b = ১২

∴ ক্ষেত্রফল = (১২/৪) × √{৪(১০)^২ - (১২)^২] বর্গএকক
= ৩ × √(৪০০ - ১৪৪) বর্গএকক
= ৩ × √২৫৬ বর্গএকক
= ৩ × ১৬ বর্গএকক
= ৪৮ বর্গএকক

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে: মি:। এর ক্ষেত্রফল 1200 ব: সে: মি: হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গ সে. মি.
 
ধরি, সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ? 

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
⇒ 1200 = (60/4) √(4a² - 60²)
⇒ 1200 = (15)√(4a2 - 3600)
⇒ √(4a² - 3600) = 1200/15
⇒ √(4a² - 3600) = 80
⇒ {√(4a² - 3600)}² = 80²  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
⇒ 4a² - 3600 = 6400
⇒ 4a² = 6400 + 3600
⇒ 4a² = 10000 
⇒ a² = 10000/4
⇒ a² = 2500
⇒ a = √2500 
∴ a = 50 সে.মি.
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে.মি.।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের পরিসীমা = বাহুত্রয়ের সমষ্টি।
∴ পরিসীমা = ভূমি + সমান বাহু + সমান বাহু
= 60 + 50 + 50 = 160 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা 160 সে.মি.।

প্রশ্ন: [(1 - sec²45°)/(1 + sec²45°)] + cot²45° এর মান বের করুন।

সমাধান: 
[(1 - sec²45°)/(1 + sec²45°)] + cot²45°
= [{1 - (√2)²}/{1 + (√2)²}] + (1)²                    [sec45° = √2 এবং cot45° = 1]
= [(1 - 2)/(1 + 2)] + 1
= 1 - (1/3)
= 2/3

প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin²A)} = ?

সমাধান: 
tanA√(1 - sin²A)
​= tanA√(cos²A)
= (sinA/cosA) × cosA
=  sinA 

অতএব,
 1/{tanA√(1 - sin²A)} 
= 1/sinA
= cosecA

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৯০০ বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৯০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৪৯০০ মিটার
= ৭০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৭০ × ৪) মিটার 
= ২৮০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৮০ মিটার।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা ২৫ মিনিটে ৩০০০ বার ঘুরে ১৫ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করে। চাকার পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি. মি. = ১০০০ মিটার
তাহলে, ১৫ কি. মি. = ১৫০০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
পরিধি × ৩০০০ = ১৫০০০ 
⇒ পরিধি × ৩০০০ = ১৫০০০
⇒ পরিধি = ১৫০০০/৩০০০
⇒ পরিধি = ৫

অতএব, চাকার পরিধি ৫ মিটার।

আমরা জানি, তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো- যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।
অপশন ক তে, ২ + ৪ = ৬ > ৫; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।
খ তে, ৪ + ৫ = ৯ > ৬; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।
গ তে, ২ + ৪ < ৭; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়। এবং
ঘ তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৬; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

সামন্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
∴ একটি ১১০° হলে অপরটি = ১৮০° - ১১০°
= ৭০°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 26π মিটার। ঐ বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত বৃহত্তম বর্গের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের পরিধি = 2πr = 26π
⇒ r = (26π) / (2π)
⇒ r = 13

∴ বৃত্তের ব্যাস,
d = 2r = 2 × 13 = 26 একক

আমরা জানি, বৃত্তের অন্তলিখিত বৃহত্তম বর্গের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি, বর্গের বাহু = a এবং কর্ণ = d
আমরা জানি,
d = a√2
⇒ a = d/√2
⇒ a = 26/√2
⇒ a = (26 × √2)/(√2 × √2)
⇒ a = 26√2/2
⇒ a = 13√2

∴ বর্গের পরিসীমা = 4a
= 4 × 13√2
= 52√2 মিটার

চিত্রে মইয়ের দৈর্ঘ্য AB = 32 মিঃ
দেয়ালের উচ্চতা OA = ?
∴ Sin30° = (OA/AB)
বা, 1/2 = OA/32
∴ OA = 16m.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থে ১০ মিটার যোগ করলে ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। আবার দৈর্ঘ্যে ১৫ মিটার যোগ করলে ক্ষেত্রফল ৪৫০ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। মূল আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের মূল দৈর্ঘ্য l মিটার এবং মূল প্রস্থ w মিটার।
∴ মূল ক্ষেত্রফল = (l × w) বর্গ মিটার 

দেওয়া আছে,
প্রস্থে ১০ মিটার যোগ করলে (নতুন প্রস্থ = w + ১০) ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার বাড়ে।
⇒ l × (w + ১০) = Iw + ৩০০
⇒ Iw + ১০l = Iw + ৩০০
⇒ ১০l = ৩০০
∴  l = ৩০ মিটার

আবার, 
দৈর্ঘ্যে ১৫ মিটার যোগ করলে (নতুন দৈর্ঘ্য = l + ১৫) ক্ষেত্রফল ৪৫০ বর্গমিটার বাড়ে।
⇒ (l + ১৫) × w = lw + ৪৫০
⇒ ১৫w + lw = lw + ৪৫০
⇒ ১৫w = ৪৫০
∴ w = ৩০ মিটার
∴ মূল ক্ষেত্রফল = l × w = ৩০ × ৩০ = ৯০০ বর্গমিটার

সুতরাং, মূল আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ৯০০ বর্গমিটার।

অতিভূজ ১৩ সে.মি. এবং লম্ব ১২ সে.মি. হলে,
ভূমি = √(১৩^২ - ১২^২)= ৫ সে.মি.

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ৫ + ৫ = ১০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(ক)^২ + (ক)^২ = (১০)^২
⇒ ২ক^২ = ১০০
⇒ ক^২ = ১০০/২
⇒ ক^২ = ৫০
⇒ ক = √৫০

∴ সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য √৫০ সেমি।

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
যেহেতু এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং, ভূমি ও উচ্চতার দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ক × ক 
= (১/২) × ক^২
 = (১/২) × ৫০
 = ২৫

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গসেমি।

ধরি, দৈর্ঘ্য ১০০ ও প্রস্থ ১০০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ১০০০০
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১২০
ও প্রস্থ ১০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ৯০
নতুন ক্ষেত্রফল = ১০৮০০
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১০৮০০ – ১০০০০ = ৮০০
∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৮০০ × ১০০)/১০০০০ = ৮

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. এবং প্রস্থ 15 সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 30 সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
 আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = 24 × 15 = 360 বর্গ সে.মি.
এখন, 
নতুন দৈর্ঘ্য =30 সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল = 30x বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
30x = 360
⇒ x = 360/30
∴ x = 12 সে.মি.

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 12 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃস্থকোণের মানের অনুপাত ৪ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৪ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৪ক + ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
∴ ক = ৩৬°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ৪ × ৩৬° = ১৪৪°
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩৬° = ১০ টি

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজটি-

সমাধান:

ধরি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a

এবার তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দু হলো:
D (AB এর মধ্যবিন্দু)
E (BC এর মধ্যবিন্দু)
F (CA এর মধ্যবিন্দু)
মধ্যবিন্দু সংযোগ উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।

অতএব:
DE ∥ AC এবং DE = AC/2 = a/2
EF ∥ AB এবং EF = AB/2 = a/2
FD ∥ BC এবং FD = BC/2 = a/2
যেহেতু DEF ত্রিভুজের তিনটি বাহুই সমান (DE = EF = FD = a/2), তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমবাহু হবে।

প্রশ্ন: রম্বসের ক্ষেত্রে নিচের কোন বাক্যটি সত্য?

সমাধান:
রম্বস:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- রম্বসের বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°
- রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ধরি,
কোণ তিনটি = x, x এবং 2x

প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
∴x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: 16 সে.মি. এবং 30 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুটি ছোট বৃত্তাকার পার্ককে একটি বড় বৃত্তাকার পার্ক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হলো। যদি নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল, ছোট বৃত্তাকার পার্ক দুটির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
মনে করি,
নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল = r সে.মি.
দেওয়া আছে,
ছোট বৃত্তাকার পার্ক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 16/2 = 8 সে.মি.
এবং 30/2 = 15 সে.মি.।

শর্তমতে,
πr² = π.(8)² + π.(15)²
⇒ πr² = 64π + 225π
⇒ πr² = 289π
⇒ r² = 289
⇒ r = √289
∴ r = 17

∴ নতুন পার্কের ব্যাসার্ধ = 17 সে.মি.

প্রশ্ন: ঝড়ে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটি হেলে পড়লে এর গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি বাঁশ দিয়ে বৈদ্যুতিক খুঁটিটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে বাঁশটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
উচ্চতা(লম্ব), AB = 7 মিটার
কোণ, ∠ CAD = ∠BCA = 30°
বাঁশের দৈর্ঘ্য, AC = অতিভুজ

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin30° = 7/ বাঁশের দৈর্ঘ্য
⇒ 1/2 = 7/ বাঁশের দৈর্ঘ্য
∴ বাঁশের দৈর্ঘ্য = 14 মিটার

অতএব, বাঁশটির দৈর্ঘ্য 14 মিটার

ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ সেমিঃ
যেহেতু, ৩² + ৪² = ৫², ইহা একটি সমকোনী ত্রিভুজ।
সমকোনী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ x ভূমি x উচ্চতা
= ½ (3 x 4) = 6 সেমিঃ
প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(ভূমির ক্ষেত্রফল) + ভূমির পরিসীমা x উচ্চতা
= (2 x 6) + (3+4+5) x 8
= 12 + (12 x 8)
= 12 + 96 = 108

প্রশ্ন: 18 ফুট উঁচু একটি খুঁটি ভেঙ্গে ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণে স্পর্শ করে, খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

মনে করি, 
খুঁটিটি মাটি হতে x ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল। 
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (18 - x) ফুট 

এখন, 
Sinθ = লম্ব/অতিভুজ 
বা, Sin30° = x/(18 - x) 
বা, 1/2 = x/(18 - x) 
বা, 18 - x = 2x 
বা, 2x + x = 18 
বা, 3x = 18 
বা, x = 18/3 
∴ x = 6 

∴ খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = 18 - 6 = 12 ফুট

(1 - tan²10°)/(1 + tan²10°)
= (1 - tan²A)/(1 + tan²A)
= Cos2A

আমরা জানি, n সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল (যেখানে a=বাহুর দৈর্ঘ্য) =(na²/4)cot(180º/n) =(5×4²/4)×cot(180º/5) = 27.528 cm².

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ৪৩২
⇒ ৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২

∴ প্রস্থ = ক = ১২ মিটার,
দৈর্ঘ্য = ৩ক = ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩৬ + ১২) মিটার
= ২ × ৪৮ মিটার
= ৯৬ মিটার

ধরি, ঘনকদ্বয়ের বাহুদ্বয় ৩ক, ২ক
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৬(৩ক)^২, ৬(২ক)^২
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = ৫৪ক^২ : ২৪ক^২
= ৯ঃ৪

প্রশ্ন: 4 মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি কত মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

এখানে
ব্যাসার্ধ, r = 4 মি.
∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 4
= 8π

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে তলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গমিটার
= 6 × 5²
= 150 বর্গমিটার