জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৫৪ / ১০৭ · ৫,৩০১–৫,৪০০ / ১০,৭৫২

৫,৩০১.

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২ মিটার বেশি, এর পরিসীমা ২৮ মিটার হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৬ মিটার
খ
খ) ৮ মিটার
গ
গ) ৪৮ মিটার
ঘ
ঘ) ১০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২ মিটার বেশি, এর পরিসীমা ২৮ মিটার হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x + 2 মিটার

প্রশ্নমতে,
2( x+2 + x) = 28
⇒ 2 (2x + 2) = 28
⇒ 2x + 2 = 14
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6

তাহলে,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 6 মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 6 + 2 = 8 মিটার
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(8² + 6²) মিটার
= √(64 + 36) মিটার
= √100 মিটার
= 10 মিটার

৫,৩০২.

নিচের কোনটি একটি সমকোণী ত্রিভূজের তিনবাহুর অনুপাত -

ক
ক) ১৩ : ১৫ : ৭
খ
খ) ১৫ : ১৭ : ৮
গ
গ) ১০ : ৪০ : ৪১
ঘ
ঘ) ৯ : ২৪ : ২৫

ব্যাখ্যা

এখান,
৮² + ১৫²
= ৬৪ + ২২৫
= ২৮৯
= ১৭²

৫,৩০৩.

ΔABC এ ∠A = 40°, ∠B = 70° হলে ΔABC কি ধরণের ত্রিভুজ?

ক
সমকোণী
খ
স্থুলকোণী
গ
সমদ্বিবাহু
ঘ
সমবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এ ∠A = 40°, ∠B = 70° হলে ΔABC কি ধরণের ত্রিভুজ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 40°, ∠B = 70°

∴ অপর কোণটি = 180° - (40° + 70°)
= 180° - 110°
= 70°

এখানে, সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান।
তাই, ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

৫,৩০৪.

একটি কোণের পরিমাণ ১৮২° হলে একে কী কোণ বলে?

ক
সূক্ষ্মকোণ
খ
স্থূলকোণ
গ
প্রবৃদ্ধ কোণ
ঘ
সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের পরিমাণ ১৮২° হলে একে কী কোণ বলে?

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
১৮২° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

৫,৩০৫.

x + 30° কোণের পূরক কোণ কত, যেখানে x = 20°?

ক
ক) 60°
খ
খ) 40°
গ
গ) 50°
ঘ
ঘ) 30°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 30° কোণের পূরক কোণ কত, যেখানে x = 20°?

সমাধান:
দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি ৯০° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পর পূরক কোণ বলে।

দেওয়া আছে,
x = 20°
অর্থাৎ 20° + 30° = 50° এর পূরক কোণ = 90° - 50° = 40°

৫,৩০৬.

বহিঃস্থ O ‍বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি বৃত্তে OA এবং OB দুটি স্পর্শক। তাহলে –

ক
ক) OA ≠ OB
খ
খ) OA = OB
গ
গ) OA ।। OB
ঘ
ঘ) OA < OB

ব্যাখ্যা

বহিঃস্থ কোন ‍বিন্দু থেকে একই বৃত্তের উপর অঙ্কিত দুটি স্পর্শক পরষ্পর সমান।
অতএব, স্পর্শক OA = স্পর্শক OB

৫,৩০৭.

একটি আয়তাকার মসজিদের মেঝে ১৫ মিটার দীর্ঘ ও ১১ মিটার প্রশস্ত। ২.২ মিটার লম্বা এবং ১.২৫ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে এর মেঝে ঢাকা যাবে?

ক
ক) ৩০টি
খ
খ) ৮০টি
গ
গ) ৭০টি
ঘ
ঘ) ৬০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মসজিদের মেঝে ১৫ মিটার দীর্ঘ ও ১১ মিটার প্রশস্ত। ২.২ মিটার লম্বা এবং ১.২৫ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে এর মেঝে ঢাকা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মসজিদের মেঝের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার
মসজিদের মেঝের প্রস্থ = ১১ মিটার
∴ মসজিদের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ১১) বর্গ মিটার = ১৬৫ বর্গ মিটার
আবার,
মাদুরের দৈর্ঘ্য = ২.২ মিটার
মাদুরের প্রস্থ = ১.২৫ মিটার
∴ মাদুরের ক্ষেত্রফল = (২.২ × ১.২৫) বর্গ মিটার = ২.৭৫ বর্গ মিটার

∴ মাদুরের সংখ্যা = (১৬৫/২.৭৫) বর্গ মিটার
= ৬০ টি

৫,৩০৮.

একটি বৃত্তের ব্যাস r/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
2πr²
খ
πr²/4
গ
πr²/16
ঘ
πr²/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস r/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাস = r/2
∴ ব্যাসার্ধ = r/4

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(r/4)²
= πr²/16

৫,৩০৯.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটির পার্থক্য 5 ডিগ্রী হলে, এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
ক) 40°
খ
খ) 32.5°
গ
গ) 42.5°
ঘ
ঘ) 47.5°

ব্যাখ্যা

মনে করি, সূক্ষ্মকোণ দুইটি যথাক্রমে x ও x + 5
x + x +5° = 90°
2x + 5° = 90°
2x = 85°
x = 85°/2
x = 42.5°
বৃহত্তম কোণটির পরিমাপ = 42.5° + 5° = 47.5°
---------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
বৃহত্তম কোণ = (90° + 5°) ÷ 2 = 47.5°
ক্ষুদ্রতম কোণ = (90° - 5°) ÷ 2 = 42.5°

৫,৩১০.

যদি tan{(π/2) - (θ/2)} = √3 হয়, (cosθ)² - 1 = কত?

ক
- 3/4
খ
- 1/4
গ
1
ঘ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan{(π/2) - (θ/2)} = √3 হয়, (cosθ)² - 1 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan{(π/2) - (θ/2)} = √3
⇒ cot(θ/2) = √3 [যেহেতু tan{(π/2) - θ} = cotθ]
⇒ cot(θ/2) = cot30^∘
⇒ θ/2 = 30^∘
⇒ θ = (30^∘ × 2)
⇒ θ = 60^∘

এখন, (cosθ)² - 1
= (cos²θ) - 1
= (cos60^∘)² - 1
= (1/2)² - 1
= (1/4) -1
= - 3/4

৫,৩১১.

Sinθ = 5/13 এবং 90° < θ < 180° হলে tanθ = ?

ক
ক) -5/13
খ
খ) 0
গ
গ) 5/13
ঘ
ঘ) -5/12

ব্যাখ্যা

Sinθ = 5/13 = লম্ব/অতিভূজ
∴ লম্ব = 5, অতিঃ = 13
∴ ভূমি = √(অতিঃ² - লম্ব²)
= √(13² - 5²)
= √(169 - 25)
= √144
= 12

∴ tanθ = লম্ব/ভূমি
= -5/12
[কারণ 90° < θ < 180° ∴ tanθ < 0]

৫,৩১২.

একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ৯০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

ক
ষড়ভুজ
খ
অষ্টভুজ
গ
নবভুজ
ঘ
দশভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ৯০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য = ৯০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৭২০°/(১৮০° - কোণদ্বয়ের পার্থক্য)
= ৭২০°/(১৮০° - ৯০°)
= ৭২০°/৯০°
= ৮ টি

∴ বহুভুজটি ৮ বাহু বিশিষ্ট অর্থাৎ অষ্টভুজ(Octagon)।

৫,৩১৩.

একটি কোণকের ব্যাস 12 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

ক
7 সে.মি.
খ
8 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
10 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
কোণকের ব্যাস 12 সে.মি.
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
এবং উচ্চতা = h সে.মি.
হেলানো তলের দৈর্ঘ্য = l সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন, V = (1/3)π × r² × h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π × 6² × h = 96π
⇒ 12h = 96
∴ h = 8

∴ হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, l = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 সে.মি.

৫,৩১৪.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪ বর্গ সে.মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১৫ সে.মি
খ
খ) ১৬ সে.মি
গ
গ) ১২ সে.মি
ঘ
ঘ) ১৮ সে.মি

ব্যাখ্যা

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব = a
∴ অতিভূজ = a√২
ক্ষেত্রফল = ১/২ × a × a = ৬৪
বা, a² = ১২৮
বা, a = √১২৮ = ৮√২
∴ অতিভূজ = a√২
= ৮√২ × √২
= ১৬ cm

৫,৩১৫.

sec²θ + cosec²θ = ?

ক
sec²θ - cosec²θ
খ
1 + ‍sin²θ
গ
sec²θ . cosec²θ
ঘ
1 + cos²θ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sec²θ + cosec²θ = ?

সমাধান:
sec²θ + cosec²θ

৫,৩১৬.

sinθ.√(1 + cot²θ) = ?

ক
1
খ
1/2
গ
0
ঘ
cosθ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ.√(1 + cot²θ) = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 + cot²θ = cosec²θ

প্রদত্ত রাশি = sinθ.√(1 + cot²θ)
= sinθ × √(cosec²θ)
= sinθ × cosecθ
= sinθ × (1/sinθ)
= 1

৫,৩১৭.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেন্টিমিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক
ক) ৩√৩
খ
খ) ৪√৩
গ
গ) ৬√৩
ঘ
ঘ) ৯√৩

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a =৬ সেন্টিমিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) a²
= (√৩/৪) (৬)²
= ৯√৩ বর্গ সেন্টিমিটার

৫,৩১৮.

ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1ঃ1ঃ√2 হলে ত্রিভুজটি হবে -

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) সূক্ষকোণী
গ
গ) স্থুলকোণী
ঘ
ঘ) বিষমবাহু

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে-
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ অতিভুজ² = 1² + 1²
⇒ অতিভুজ = √(1² + 1²) = √2
এখানে যেহেতু ১ম দুটি বাহু দ্বারা ৩য় বাহুটি অর্থাৎ অতিভুজ পাওয়া যায়, তাই ত্রিভুজটি হবে সমকোণী ত্রিভুজ।

৫,৩১৯.

সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১০০ বর্গ সে.মি.
খ
খ) ৫০ বর্গ সে.মি.
গ
গ) ৫০√২ বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) ২৫√৩ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য, ক = ১০ সে.মি.
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (ক)^২ বর্গ সে.মি.
= √৩/৪ (১০)^২ বর্গ সে.মি.
= {(√৩/৪) × ১০০} বর্গ সে.মি.
= ২৫√৩ বর্গ সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গ সে.মি.।

৫,৩২০.

একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?

ক
270°
খ
360°
গ
450°
ঘ
540°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°

∴ পঞ্চভূজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (5 - 2) × 180°
= 540°

৫,৩২১.

১ মণ কত কেজির সমান?

ক
ক) ৩৭.৩২
খ
খ) ৪০
গ
গ) ৪৫
ঘ
ঘ) ৩৫.৪০

ব্যাখ্যা

১ মণ = ৩৭.৩২৪২ কেজি

৫,৩২২.

cosec315° এর মান কত?

ক
ক) √2
খ
খ) - √2
গ
গ) - 1/√2
ঘ
ঘ) 2√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosec315° এর মান কত?

সমাধান:
cosec315°
= cosec (4 × 90° - 45°)
= - cosec45°
= - √2

৫,৩২৩.

কোন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০ একর। এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত গজ?

ক
ক) ১০০
খ
খ) ৩.১২
গ
গ) ২২০
ঘ
ঘ) ৪২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০ একর। এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত গজ?

সমাধান:
আমরা জানি
১ একর = ৪৮৪০ বর্গগজ
১০ একর = (৪৮৪০ × ১০) বর্গগজ
= ৪৮৪০০ বর্গগজ

বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৪৮৪০০ গজ
= ২২০ গজ

৫,৩২৪.

প্রদত্ত চিত্রের আলোকে tanP - cotR এর মান কত?

ক
1
খ
5
গ
1/2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে tanP - cotR এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
PQ = 12 cm
PR = 13 cm
সমকোণী ত্রিভুজ PQR এ Q হলো সমকোণ
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
PR² = PQ² + QR²
QR² = (13)² - (12)²
= 169 - 144
= 25
∴QR = 5 cm

tanP = QR/PQ = 5/12
cotR = QR/PQ = 5/12
∴ tanP - cotR = (5/12) - (5/12) = 0

৫,৩২৫.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার। বাগানটির ভেতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৮৪ বর্গমিটার
খ
২১৪ বর্গমিটার
গ
৩২০ বর্গমিটার
ঘ
১৬০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার। বাগানটির ভেতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২০ মিটার

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ২০ = ৬০০ বর্গমিটার

আবার,
বাগানের ভেতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে।
রাস্তা ছাড়া ভেতরের দৈর্ঘ্য = ৩০ - (২ × ২) = ৩০ - ৪ = ২৬ মিটার
রাস্তা ছাড়া ভেতরের প্রস্থ = ২০ - (২ × ২) = ২০ - ৪ = ১৬ মিটার

∴ ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল = ২৬ × ১৬ = ৪১৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - ভেতরের ক্ষেত্রফল = ৬০০ - ৪১৬ = ১৮৪ বর্গমিটার

অতএব, রাস্তার ক্ষেত্রফল ১৮৪ বর্গমিটার

৫,৩২৬.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর ১ মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব ৩ মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
১০.৫ মিটার
খ
৯.৫ মিটার
গ
৭ মিটার
ঘ
১০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর ১ মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব ৩ মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + ১) মিটার
বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব = ৩ মিটার

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (৩/২)(x + x+ ১) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
(৩/২)(২x + ১) = ৩০
বা, ২x + ১ = ২০
বা, ২x = ১৯
বা, x = ৯.৫

∴ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (৯.৫ + ১) = ১০.৫ মিটার

৫,৩২৭.

একটি বৃত্তের ব্যাস r একক হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
πr²বর্গএকক
খ
πr²/2 বর্গএকক
গ
πr²/4 বর্গএকক
ঘ
2πr বর্গএকক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস r হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ব্যাস r একক হলে,
ব্যাসার্ধ = r/2 একক

তাহলে ক্ষেত্রফল = πr²
= π(r/2)²
= πr²/4 বর্গএকক

∴ ক্ষেত্রফল = πr²/4 বর্গএকক

৫,৩২৮.

ABCD সামান্তরিকের BC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। ∠A = 80° হলে ∠DCE = কত?

ক
ক) 120°
খ
খ) 100°
গ
গ) 110°
ঘ
ঘ) 130°

ব্যাখ্যা

সামান্তরিকের বিপরীত কোণ গুলো সমান হয়। ∠A = 80° হলে ∠C = 80°. তাহলে, ∠BCD= 80° হলে ∠DCE = 180° - 80° = 100°

৫,৩২৯.

একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

ক
২৮ মিটার
খ
২৪ মিটার
গ
১৮ মিটার
ঘ
৪৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ + প্রস্থ) মিটার
= ২ × (৮ + ৬) মিটার
= (২ × ১৪) মিটার
= ২৮ মিটার ।

৫,৩৩০.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে a/3, a/3 এবং 4a/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
45°
খ
60°
গ
90°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে a/3, a/3 এবং 4a/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ বা 180°
∴ a/3 + a/3 + 4a/3 = 180°
বা, (a + a + 4a)/3 = 180°
বা, 6a/3 = 180°
বা, 6a = 180° × 3
বা, a = (180° × 3)/6
∴ a = 90°

∴ বৃহত্তম কোণটির মান = 4a/3
= (4 × 90)°/3
= 120° ।

৫,৩৩১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৪√৩ বর্গমিটার হলে ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
৪
খ
১৬
গ
৮
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৪√৩ বর্গমিটার হলে ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক

শর্তমতে,
{(√৩)/৪} × ক^২ = ৪√৩
বা, ক^২ = ১৬
∴ ক = ৪

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ একক

৫,৩৩২.

একটি ঘনকের প্রতিটি ধার p একক হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
√3
খ
3p
গ
p√3
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের প্রতিটি ধার p একক হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকটির প্রত্যেক ধার, a = p একক
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3 একক
= p√3 একক

৫,৩৩৩.

cosecθ + cotθ = 9/2 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

ক
2/5
খ
2/9
গ
1/9
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 9/2 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecθ + cotθ = 9/2

আমরা জানি,
cosec²θ - cot²θ = 1
⇒ (cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ) = 1
⇒ (9/2)(cosecθ - cotθ) = 1
∴ (cosecθ - cotθ) = 2/9

৫,৩৩৪.

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, নিচের কোনটি ∠ACD এর সমান হবে?

ক
∠A + ∠B
খ
∠A + ∠B + ∠C
গ
∠A + ∠B - ∠C
ঘ
∠A + ∠C

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, নিচের কোনটি ∠ACD এর সমান হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
উক্ত ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠ACD এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠A ও ∠B

∴ বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ∠A + ∠B

৫,৩৩৫.

∠DCE = কত?

ক
80°
খ
100°
গ
120°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

∠BCD = 180° - 80° = 100°
∠DCE = 180° - 100° = 80°

৫,৩৩৬.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি 30° ও 60° হলে, ত্রিভুজটির বাহু তিনটির অনুপাত কত?

ক
1 : √2 : 2
খ
1 : √3 : 2
গ
1 : √3 : 1
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি 30° ও 60° হলে, ত্রিভুজটির বাহু তিনটির অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
কোণ তিনটি হলো, 30°, 60° ও 90°

আমরা জানি,
a/sinA = b/sinB = c/sinC
or, a : b : c = sinA : sinB : sinC
= sin30° : sin60° : sin90°
= (1/2) : (√3/2) : (1)
= 1 : √3 : 2 ;[ 2 দ্বারা গুণ করে ]

৫,৩৩৭.

একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি ৮৮ মিটার হলে এর অর্ধাংশের পরিধির কত হবে?

ক
ক) ৪৪ মিটার
খ
খ) ৮৮ মিটার
গ
গ) ৭২ মিটার
ঘ
ঘ) ৩৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি ৮৮ মিটার হলে এর অর্ধাংশের পরিধির কত হবে?

সমাধান:

মনে করি,
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ r মিটার,
বৃত্তের পরিধি ২πr মিটার

শর্তমতে,
২πr = ৮৮
⇒ πr = ৪৪
⇒ (২২/৭)r = ৪৪
⇒ r = (৪৪ × ৭)/২২
⇒ r = ১৪

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিধি πr + ২r একক

তাহলে,
ক্ষেত্রটির অর্ধাংশের পরিধি = (২২/৭) × ১৪ + (২ × ১৪)
= ৪৪ + ২৮
= ৭২ মিটার

৫,৩৩৮.

একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 24 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

ক
ক) 4cm
খ
খ) 6cm
গ
গ) 8cm
ঘ
ঘ) 10cm

ব্যাখ্যা

ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে. মি.
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 24 = 1/2 × a × 6
বা, 3a = 24
∴ a = 8

৫,৩৩৯.

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির-

ক
সন্নিহিত কোণ বলে
খ
পূরক কোণ বলে
গ
সম্পূরক কোণ বলে
ঘ
সরল কোণ বলে

ব্যাখ্যা

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

৫,৩৪০.

১৩০° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

ক
৪০°
খ
৫০°
গ
৭০°
ঘ
৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৩০° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
১৩০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ১৩০)° = ৫০°

৫,৩৪১.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত ABC ত্রিভুজে ∠BOC =118° হলে ∠BCO = ?

ক
27°
খ
31°
গ
36°
ঘ
63°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত ABC ত্রিভুজে ∠BOC =118° হলে ∠BCO = ?

সমাধান:

OC ও OB বৃত্তের ব্যাসার্ধ হওয়ায় OC = OB
∴ ΔBOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
এখন,
ΔBOC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ∠OBC = ∠BCO

আবার,
ΔBOC এ,
∠OBC + ∠BOC + ∠BCO = 180°
⇒ ∠BCO + ∠BOC + ∠BCO = 180 [∠OBC = ∠BCO]
⇒ 2 BCO + BOC = 180°
⇒ 2 ∠BCO + 118° = 180°
⇒ 2 ∠BCO = 180° - 118° = 62°
⇒ ∠BCO = 62°/2
⇒ ∠BCO = 31°

৫,৩৪২.

ABC ত্রিভুজে AB=30 মিটার, BC= 20 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 300 বর্গ মিটার হলে, ∠B = ?

ক
30°
খ
90°
গ
60°
ঘ
0°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB=30 মিটার, BC= 20 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 300 বর্গ মিটার হলে, ∠B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB= 30 মিটার
BC= 20 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 300 বর্গ মিটার

আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ

∴ △ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
⇒ 300 = (1/2) × 30 × 20 × sin ∠B
⇒ 300 = 300 × sin ∠B
⇒ 300 ÷ 300 = sin ∠B
⇒ sin ∠B = 1
⇒ sin ∠B = sin 90°
∴ ∠B = 90°

৫,৩৪৩.

15° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

ক
75°
খ
165°
গ
125°
ঘ
155°

ব্যাখ্যা

15° কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 15°
= 165°

৫,৩৪৪.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

ক
ক) স্থুলকোণ
খ
খ) সমকোণ
গ
গ) সূক্ষ্মকোণ
ঘ
ঘ) সরলকোণ

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্তঃ
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে

৫,৩৪৫.

3 সে.মি., 4.5 সে.মি., 5.5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
6.75 বর্গ সে.মি.
খ
6.25 বর্গ সে.মি.
গ
6.55 বর্গ সে.মি.
ঘ
67.5 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 সে.মি., 4.5 সে.মি., 5.5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি., b = 4.5 সে.মি. ও c = 5.5 সে.মি.
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2 = (3 + 4.5 + 5.5)/2 = 6.5

ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{6.5(6.5 - 3)(6.5 - 4.5)(6.5 - 5.5)}
= √(6.5 × 3.5 × 2 × 1)
= √45.5
= 6.75 বর্গ সে.মি.

৫,৩৪৬.

ABDE সামান্তরিকের BD = 12 সে.মি, BC = 3 সে.মি, DE = 5 সে.মি এবং A হতে BD এর উপর লম্ব AC হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত বর্গসেঃমিঃ?

ক
ক) 48
খ
খ) 36
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 60

ব্যাখ্যা

AB = DE = 5cm,
BC = 3cm
ΔABC-এ,
AC² + BC² = AB²
বা, AC² = AB² - BC²
বা, AC = √(AB² - BC²)
= √(5² - 3²)
= 4
∴ ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 12 × 4
= 48 বর্গসেঃমিঃ

৫,৩৪৭.

একটি রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 40 সে.মি. ও 60 সে.মি. হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?

ক
2400 বর্গসে.মি.
খ
1600 বর্গসে.মি.
গ
1400 বর্গসে.মি.
ঘ
1200 বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 40 সে.মি. ও 60 সে.মি. হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ 40 সে.মি.
রম্বসের অপর কর্ণ 60 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 40 × 60
= 1200 বর্গসে.মি.

৫,৩৪৮.

28 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 1223 sq cm
খ
খ) 1232 sq cm
গ
গ) 2464 sq cm
ঘ
ঘ) 2446 sq cm

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 28 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 28 cm
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = (22/7) × 28²
= (22/7) × 784
= 2464

অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = 2464/2 = 1232 sq cm

৫,৩৪৯.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

ক
ক) সরল কোণ
খ
খ) সমকোণ
গ
গ) সূক্ষ্মকোণ
ঘ
ঘ) স্থুল কোণ

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্তঃ
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুল কোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।

৫,৩৫০.

ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ 46° এবং AB = AC। যদি E এবং F, AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE = ?

ক
92°
খ
102°
গ
108°
ঘ
134°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ 46° এবং AB = AC। যদি E এবং F, AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
∠B = 46° এবং AB = AC
সুতরাং, ∠ B = ∠C = 46°
আবার, EF||BC এবং AC ছেদক
∠C = ∠AFE [অনুরূপ কোণ]
অতএব, ∠ AFE = 46°
এখানে, ∠ A +∠ B + ∠C = 180°
→ ∠A + 46° + 46° = 180°
→ ∠A = 180° - 92°
∠A = 88°

সুতরাং ∠A + ∠AFE = 88° + 46° = 134°

৫,৩৫১.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৭টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি হবে-

ক
১০ সমকোণ
খ
১৪ সমকোণ
গ
৮ সমকোণ
ঘ
১৩ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৭টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি হবে-

সমাধান:
৭ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি = (৭ - ২) × এক সরলকোণ
= ৫ × এক সরলকোণ
= ৫ × ২ সমকোণ
= ১০ সমকোণ

৫,৩৫২.

ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

ক
ক) ৩, ৫ এবং ৮
খ
খ) ৫, ৭ এবং ১৫
গ
গ) ৭, ৮ এবং ৯
ঘ
ঘ) ৮, ৯ ও ১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
ক) ৩ + ৫ = ৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
খ) ৫ + ৭ < ১৫ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
গ) ৭ + ৮ > ৯ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব
ঘ) ৮ + ৯ < ১৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়

৫,৩৫৩.

3x² + 4y² = 12 সমীকরণটির লেখচিত্র কেমন হবে?

ক
ক) উপবৃত্ত
খ
খ) বৃত্ত
গ
গ) অধিবৃত্ত
ঘ
ঘ) পরাবৃত্ত

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
উপবৃত্তের সমীকরণ, (x²/a²) + (y²/b²) = 1

এখানে,
প্রদত্ত সমীকরণটি,
3x² + 4y² = 12
⇒ 3x²/12 + 4y²/12 = 1 [উভয়পক্ষকে 12 দ্বারা ভাগ]
⇒ x²/4 + y²/3 = 1
⇒ (x²/2²)+ {y²/(√3)²} = 1, যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

৫,৩৫৪.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দেড়গুণ । এর ক্ষেত্রফল ৪৮৬ মিটার হলে, পরিসীমা কত?

ক
৭৪ মিটার
খ
১০০ মিটার
গ
৯০ মিটার
ঘ
৮৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দেড়গুণ । এর ক্ষেত্রফল ৪৮৬ মিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক
দৈর্ঘ্য = ক এর দেড়গুণ = ৩ক/২

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ৩ক/২ × ক = ৪৮৬
⇒ ক^২ = (৪৮৬ × ২)/৩
⇒ ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = √৩২৪
⇒ ক = ১৮

∴ প্রস্থ = ক = ১৮ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ক/২ = ২৭ মিটার

∴ পরিসীমা = ২( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ ) মিটার
= ২(২৭ + ১৮) = ৯০ মিটার

৫,৩৫৫.

ΔABC এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠A = 50°, ∠B = 90° হলে ∠ACD = কত?

ক
60°
খ
40°
গ
140°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ অন্তঃস্থ বিপরীত দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠ACD = ∠A + ∠B
= 50° + 90°
= 140°

৫,৩৫৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ সেন্টিমিটার হলে এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার ?

ক
ক) 4 সেন্টিমিটার
খ
খ) 5 সেন্টিমিটার
গ
গ) 6 সেন্টিমিটার
ঘ
ঘ) 8 সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ সেন্টিমিটার হলে এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার ?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেন্টিমিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
প্রশ্নমতে,
(√3/4) a² = 9√3
a²/4 = 9
a² = 36
a² = 6²
a= 6

৫,৩৫৭.

দুইটি রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণ 60°। এক সরলকোণ হতে উক্ত কোণ বিয়োগ করলে কী কোণ উৎপন্ন হবে?

ক
ক) সমকোণ
খ
খ) সূক্ষ্মকোণ
গ
গ) স্থুলকোণ
ঘ
ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণ 60°। এক সরলকোণ হতে উক্ত কোণ বিয়োগ করলে কী কোণ উৎপন্ন হবে?

সমাধান:
সরলকোণ = 180°
দুইটি রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণ 60°

উৎপন্ন কোণ = 180° - 60° = 120°
90° থেকে বড় এবং 180° থেকে ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।
120° একটি স্থুলকোণ

৫,৩৫৮.

৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

ক
২৫°
খ
১১৫°
গ
২৯৫°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ^১৮০° হলে, একটি অপরটির সম্পূরক কোণ হয়।

প্রদত্ত কোণটির পরিমাপ = ৬৫°

∴ ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬৫° = ১১৫°

∴ সম্পূরক কোণটির পরিমাপ হলো ১১৫°

৫,৩৫৯.

একটি বর্গাকার কাগজের দৈর্ঘ্য a সেমিঃ। এর মধ্যে সর্ববৃহৎ বৃত্ত অংকন করার পর কতটুকু কাগজ বাকি থাকবে?

ক
ক) (4a² - πa²)/4
খ
খ) π(a/2)²
গ
গ) (4a² - πa²)
ঘ
ঘ) (πa²)/4

ব্যাখ্যা

বর্গাকার কাগজের ক্ষেত্রফল = a² বর্গসেমি:
তাহলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে a/2
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(a/2)²
কাগজ বাকি থাকবে = a² - π(a/2)² = (4a² - πa²)/4

৫,৩৬০.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 1 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৫.৬
খ
খ) ১০.৫
গ
গ) ৭.৯
ঘ
ঘ) ১২.৫

ব্যাখ্যা

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার।
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (9.5 + 1) = 10.5 মিটার।

৫,৩৬১.

ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

ক
80°
খ
110°
গ
90°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

সমাধান:

ΔABC এ,
⇒ ∠A+ ∠B+ ∠C = 180°
⇒ 40° + 80° + ∠C = 180
⇒ ∠ C = 180° - 120°
∴ ∠C = 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক = 60°/2 = 30°

আবার,
ΔADC এ,
∠CAD+ ∠CDA+ ∠ACD = 180°
⇒ ∠A+ ∠CDA + ∠C= 180°
⇒ ∠CDA = 180° - (40 + 30)°
⇒ ∠CDA = 180° - 70° = 110°
∴ ∠CDA = 110°

৫,৩৬২.

একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96বর্গ মি.। বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর?

ক
ক) 4 মি.
খ
খ) 5 মি.
গ
গ) 6 মি.
ঘ
ঘ) 7 মি.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²
বা, 6a² = 96
∴ a = 4 মি.

৫,৩৬৩.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্ব-দ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

ক
ক) ভরকেন্দ্র
খ
খ) পরিকেন্দ্র
গ
গ) আন্তঃকেন্দ্র
ঘ
ঘ) লম্ববিন্দু

ব্যাখ্যা

অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
পরিকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

৫,৩৬৪.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

ক
ক) 60 মিটার
খ
খ) 80 মিটার
গ
গ) 100 মিটার
ঘ
ঘ) 120 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার

এখন,
লম্ব² + ভূমি ²⁼ অতিভুজ²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
⇒ x = 5

ভূমির দৈর্ঘ্য (4 × 5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15 মিটার

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (25 + 20 + 15) মিটার = 60 মিটার

৫,৩৬৫.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি-

ক
সর্বসম ত্রিভুজ
খ
সমকোণী ত্রিভুজ
গ
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
ঘ
সদৃশকোণী ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজের কোণগুলো সমান হলে এবং বাহুগুলো আনুপাতিক হারে থাকলে ত্রিভুজ দুটিকে কি বলে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী

৫,৩৬৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ১০মি. বেশি। এর ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার হলে এর প্রস্থ কত?

ক
ক) ১৮ মি.
খ
খ) ১০ মি.
গ
গ) ৮ মি.
ঘ
ঘ) ১২ মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ১০মি. বেশি। এর ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার হলে এর প্রস্থ কত?

সমাধান:

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মি.
তাহলে এর দৈর্ঘ্য x + ১০ মি.

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a, প্রস্থ b হলে, ক্ষেত্রফল = ab

তাহলে,
(x + ১০)x = ১৪৪
বা, x² + ১০x = ১৪৪
বা, x² + ১৮x - ৮x + ১৪৪ = ০
বা, x(x + ১৮) - ৮(x + ১৮) = ০
বা, (x + ১৮)(x - ৮) = ০

হয়, x+ ১৮ = ০
x = - ১৮
যা গ্রহণযোগ্য নয়

অথবা
x- ৮ =০
x = ৮
সুতরাং, প্রস্থ ৮ মি.

৫,৩৬৭.

সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে এর বাহুর সংখ্যা কয়টি?

ক
৫টি
খ
৬টি
গ
৮টি
ঘ
৯টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে এর বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধানঃ
সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫°

বাহুর সংখ্যা = ৩৬০/৪৫ = ৮টি

৫,৩৬৮.

২৪ মিটার দীর্ঘ একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৭ মিটার হলে খুঁটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব কত?

ক
ক) ৩২ মিটার
খ
খ) ২২ মিটার
গ
গ) ২৫ মিটার
ঘ
ঘ) ১৭ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৪ মিটার দীর্ঘ একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৭ মিটার হলে খুঁটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান:

খুঁটি এবং এর ছায়া পরস্পর লম্ব। তাহলে এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
খুঁটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব হবে ত্রিভুজটির অতিভুজ।

∴ খুঁটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব = √(২৪^২ + ৭^২) মিটার
= √(৫৭৬ + ৪৯) মিটার
= √৬২৫ মিটার
= ২৫ মিটার

৫,৩৬৯.

একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৩৫° হলে, ঐ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত হবে?

ক
ক) ৫টি
খ
খ) ৪টি
গ
গ) ৭টি
ঘ
ঘ) ৮টি

ব্যাখ্যা

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ ১৩৫°
সুতরাং সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিস্থঃ কোণ = ১৮০° - ১৩৫°
= ৪৫°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪৫°
= ৮

৫,৩৭০.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ :১ উহার পরিসীমা ২০০ মিটার হলে আয়তাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৭৭৫
খ
খ) ১৮৭৫
গ
গ) ১৬৭৫
ঘ
ঘ) ১৫৭৫

ব্যাখ্যা

ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩ক এবং প্রস্থ = ক
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৩ক + ক) = ৮ক
প্রশ্নমতে, ৮ক = ২০০
∴ ক = ২৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ × ২৫ = ৭৫ মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ৭৫ × ২৫ = ১৮৭৫

৫,৩৭১.

একটি ত্রিভুজের বাহু গুলোর অনুপাত কত হলে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ অংকন করা যাবে?

ক
ক) ৬ঃ৫ঃ৪
খ
খ) ৩ঃ৪ঃ৫
গ
গ) ১২ঃ৮ঃ৪
ঘ
ঘ) ৬ঃ৪ঃ৩

ব্যাখ্যা

৩ঃ৪ঃ৫ অনুপাতে ত্রিভুজ অঙ্কন করলে ত্রিভুজটি সমকোণী হওয়া সম্ভব। কারণ যদি ভূমি ৩ একক, লম্ব ৪ একক ধরা হয়, তবে অতিভুজ ৫ একক পাওয়া যাবে।

৫,৩৭২.

একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে, মিনারটির উচ্চতা কত?

ক
25 মিটার
খ
28 মিটার
গ
32 মিটার
ঘ
36 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে, মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা = x মিটার

প্রশ্নমতে,
tan45° = AB/BC
⇒ 1 = x/25 [ ∴ tan45° = 1]
⇒ x = 25 মিটার
∴ মিনারটির উচ্চতা 25 মিটার।

৫,৩৭৩.

20 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

ক
12 মিটার
খ
10 মিটার
গ
14 মিটার
ঘ
8 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

৫,৩৭৪.

একটি সমবৃত্তভূমিকে কোনকের ব্যাস ১০ সেঃমিঃ আয়তন ১০০π ঘনসেঃমিঃ হলে হেলানো উচ্চতা কত সেঃমিঃ

ক
ক) ১২ সেঃমিঃ
খ
খ) ১০ সেঃমিঃ
গ
গ) ১৩ সেঃমিঃ
ঘ
ঘ) ১১ সেঃমিঃ

ব্যাখ্যা

কোনকের ব্যাস = ১০ সেঃমিঃ
∴ ব্যাসার্ধ r = ৫ সেঃমিঃ
উচ্চতা = h
∴ আয়তন = ১/৩πr²h = ১০০π
বা, ১/৩ × π × ৫² × h = ১০০π
বা, ২৫h/৩ = ১০০
বা, h = (৩ × ১০০)/২৫ = ১২ সেঃমিঃ
∴ হেলানো উচ্চতা = √(r² + h²)
= √(৫² + ১২²)
= ১৩ সেঃমিঃ

৫,৩৭৫.

60° কোণের জন্য নিচের কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?

ক
ক) Sine
খ
খ) Cosine
গ
গ) Tangent
ঘ
ঘ) Secant

ব্যাখ্যা

এখানে Sin60 = √3/2,Cos60 = 1/2,tan60 = √3, Sec60 = 2.

৫,৩৭৬.

যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² + 6x - 4y + 9 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

ক
(- 3, 2)
খ
(3, - 2)
গ
(3, 2)
ঘ
(- 3, - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² + 6x - 4y + 9 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² - 2gx - 2fy + c = 0, যেখানে (g, f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

⇒ - 2g = 6
∴ g = - 3

- 2f = - 4
∴ f = 2

∴ বৃত্তের কেন্দ্র (- 3, 2)।

৫,৩৭৭.

একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক কত?

ক
5 সমকোণ
খ
6 সমকোণ
গ
7 সমকোণ
ঘ
8 সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
এখানে,
অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা = 8

আমরা জানি,
যেকোনো বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = (8 - 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°
তাহলে, সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক = 1080°/2
= 540°
= 540°/90° সমকোণ
= 6 সমকোণ

৫,৩৭৮.

একটি ঘনকের আয়তন ৮০০০ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
১২√৩ সে.মি.
খ
২০√৩ সে.মি.
গ
১৯√৩ সে.মি.
ঘ
১৫√৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৮০০০ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক৩ ঘনএকক

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ৮০০০
∴ ক = ২০

তাহলে, ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ২০√৩ সে.মি.

৫,৩৭৯.

চিত্র হতে cosA + secA = ?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 5/2
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
চিত্র হতে cosA + secA = ?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে,
ΔABC সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
অতিভূজ AC = 2 এবং ভূমি, BC = √3

আমরা জানি,
(লম্ব)² = (অতিভূজ)²- (ভূমি)²
বা, AB² = (2)² - (√3)²
বা, AB² = 4 - 3
∴ AB = 1

cosA = AB/AC = 1/2
secA = AC/AB = 2/1 = 2
∴ cosA + secA = 1/2 + 2 = 5/2

৫,৩৮০.

২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী বলে?

ক
সূক্ষ্মকোণ
খ
স্থূলকোণ
গ
পূরক কোণ
ঘ
প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী বলে?

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
২৫৩ হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

৫,৩৮১.

ক
8 মিটার
খ
10 মিটার
গ
12 মিটার
ঘ
15 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

ধরি, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 4 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = BD = 20 মিটার এবং AB = 4 মিটার
∴ BC = 16 মিটার

এখন,
BC²+ CD² = BD² [যেহেতু ∠C = 90°]
⇒ CD² = BD² - BC²
= (20)²- (16)²
= 400 - 256
= 144
∴ CD =12 মিটার

অতএব, নির্ণেয় দূরত্ব 12 মিটার।

৫,৩৮২.

৭২° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

ক
১৮°
খ
৪৫°
গ
৭২°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭২° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।
∴ ৭২° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৭২°

৫,৩৮৩.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি m হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) √3/4 m²
খ
খ) √3/2 m²
গ
গ) 2/√3 m²
ঘ
ঘ) 3/2m

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য m মি. হলে এর ক্ষেত্রফল = √3/4 m²

৫,৩৮৪.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গমিটার এবং উচ্চতা ৭ মিটার হলে এর ভূমি কত?

ক
১০ মিটার
খ
২৪ মিটার
গ
১২ মিটার
ঘ
১৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গমিটার এবং উচ্চতা ৭ মিটার হলে এর ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৮৪ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৭ মিটার
সামান্তরিকের ভূমি =?

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
বা, ৮৪ = ভূমি × ৭
বা, ভূমি = ৮৪/৭
∴ ভূমি = ১২ মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ১২ মিটার।

৫,৩৮৫.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 10 সে.মি. ও 13 সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
130 বর্গ সে.মি.
খ
115 বর্গ সে.মি.
গ
85 বর্গ সে.মি.
ঘ
65 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় 10 সে.মি. ও 13 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2)×10×13
= 65 বর্গ সে.মি.

৫,৩৮৬.

একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব যদি তিন বাহুর দৈর্ঘ্য হয়-

ক
৯, ১২, ১৮
খ
৯, ১২, ১৬
গ
৯, ১২, ১৭
ঘ
৯, ১২, ১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব যদি তিন বাহুর দৈর্ঘ্য হয়-

সমাধান:
অপশন ঘ হতে পাই,

আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য,
a² + b² = c²
⇒ (৯^২) + (১২^২) = ১৫^২
⇒ ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
∴ ২২৫ = ২২৫
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের শর্তপূরণ করে।
সঠিক উত্তর ঘ

অন্য অপশন গুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্যের শর্তপূরণ করে না।

৫,৩৮৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ৯ সে.মি. এবং অতিভুজ ১৫ সে.মি. হলে, লম্ব ও ভূমির অন্তর কত?

ক
ক) ৬ সে.মি.
খ
খ) ৩ সে.মি.
গ
গ) ২৪ সে.মি.
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
(অতিভুজ) ² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
বা, (১৫) ² = (লম্ব)² + (৯)²
বা, লম্ব = ১২ সে.মি.
সুতরাং লম্ব ও ভূমির অন্তর = ১২ - ৯ = ৩ সে.মি.

৫,৩৮৮.

একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 12 সে. মি. এবং উচ্চতা 8 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

ক
388 ঘন সে.মি.
খ
266π ঘন সে.মি.
গ
320 ঘন সে.মি.
ঘ
288π ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 12 সে. মি. এবং উচ্চতা 8 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাস 12 সে. মি.
ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সে. মি.
এবং
উচ্চতা, h = 8 সে. মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h
= π × (6)² × 8
= π × 36 × 8
= 288π

∴ সিলিন্ডারের আয়তন 288π ঘন সে.মি.

৫,৩৮৯.

দুই সমকোণ সমান কত ডিগ্রি?

ক
৯০°
খ
১৮০°
গ
৩৬০°
ঘ
২৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই সমকোণ সমান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
৯০° সমান কোণকে সমকোণ বলা হয়।
১ সমকোণ = ৯০°
২ সমকোণ = ৯০° × ২ = ১৮০°

৫,৩৯০.

দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?

ক
ক) ৫০ মিটার
খ
খ) ১০০ মিটার
গ
গ) ২০০ মিটার
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?

সমাধান:
দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে।

সমান্তরাল রেখা কখনো একে অন্যের সাথে মিলিত হয় না। অর্থাৎ, সর্বদাই তাদের মাঝে দূরত্ব ৫ মিটার বজায় থাকবে।

৫,৩৯১.

চিত্রের বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের বাহু = কর্ণ/√2 = 2/√2 = √2
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)^২ = (√2)² = 2

৫,৩৯২.

সুষম ষড়ভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৪ বর্গমিটার
খ
৪৮ বর্গমিটার
গ
৯৬ বর্গমিটার
ঘ
২৪√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৪ মিটার
বাহুর সংখ্যা, n = ৬

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(n × a^২)/৪} × cot(১৮০°/n)
∴ সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {৬ × ৪^২)/৪} × cot(১৮০°/৬) বর্গমিটার
= ২৪ × cot৩০° বর্গমিটার
= ২৪√৩ বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ২৪√৩ বর্গমিটার।

৫,৩৯৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩৬√৩ বর্গমিটার
খ
৫৬√৩ বর্গমিটার
গ
৭২√৩ বর্গমিটার
ঘ
৪৯√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
= √৩/৪ × (১৪)^২
= (√৩/৪) × ১৯৬
= ৪৯√৩ বর্গমিটার

৫,৩৯৪.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
24 সে.মি.
খ
18 সে.মি.
গ
12 সে.মি.
ঘ
9 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 144 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 144 = (1/2)(x × 16)
⇒ 8x = 144
∴ x = 18

∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.

৫,৩৯৫.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৮৮ বর্গফুট হলে এর পরিসীমা কত?

ক
ক) ৪০ ফুট
খ
খ) ৭২ ফুট
গ
গ) ৭৬ ফুট
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৮৮ বর্গফুট হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক ফুট
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক^২ ব.ফুট

প্রশ্নমতে,
২ক^২ = ২৮৮ ফুট
বা, ক^২ =১৪৪
ক^২ = ১২^২
ক = ১২

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (২ক + ক) ফুট
=৬ক ফুট
= (৬ × ১২)
= ৭২ ফুট

৫,৩৯৬.

একটি ঘনকের আয়তন ও সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের সমান হয়, তাহলে ঘনকটির এক ধারের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 4 একক
খ
খ) 8 একক
গ
গ) 10 একক
ঘ
ঘ) 6 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ও সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের সমান হয়, তাহলে ঘনকটির এক ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a একক
আমরা জানি,
ঘনকের এর আয়তন = a³ ঘন একক
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
a³ = 6a²
a = 6

৫,৩৯৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ 14 সেমি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
49 বর্গসেমি
খ
64 বর্গসেমি
গ
72 বর্গসেমি
ঘ
98 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ 14 সেমি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a সেমি

দেওয়া আছে, কর্ণ = 14 সেমি

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2
∴ a√2 = 14
⇒ a = 14/√2
⇒ a = (14/√2) × (√2/√2)
⇒ a = 14√2/2
⇒ a = 7√2 সেমি

এখন, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²= (7√2)²= 49 × 2
= 98 বর্গ সেমি

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 98 বর্গ সেমি

৫,৩৯৮.

xcos30° = ycosec45° হলে x² : y²=?

ক
ক) 3 : 8
খ
খ) 1 : 8
গ
গ) 8 : 3
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: xcos30° = ycosec45° হলে x² : y²=?

সমাধান:
xcos30° = ycosec45°
⇒ x/y = cosec45° / cos30°
⇒ x/y = √2 / (√3/2)
⇒ x/y = 2√2 / √3
⇒ x²/y² = (2√2)² / (√3)² = 8/3

৫,৩৯৯.

বৃত্তের পরিধি = ?

ক
πr
খ
2πr
গ
2r
ঘ
2π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধি = ?

সমাধান:
- বৃত্তের দৈর্ঘ্য কে পরিধি বলে।
- বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr
- বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

৫,৪০০.

একটি গাছের পাদদেশ হতে ২৫√৩ মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ ৩০° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

ক
২৫ মিটার
খ
৭৫ মিটার
গ
৩৬√৩ মিটার
ঘ
√৩/২৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে ২৫√৩ মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ ৩০° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:

ধরি, গাছটির উচ্চতা = h মিটার
গাছের পাদদেশ থেকে ঐ স্থানের দূরত্ব = ২৫√৩ মিটার
শীর্ষের উন্নতি কোণ = ৩০°

আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
⇒ tan ৩০° = h/(২৫√৩)
⇒ ১/√৩ = h/(২৫√৩)
⇒ h = (২৫√৩)/√৩
∴ h = ২৫ মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা ২৫ মিটার।