জ্যামিতি

এখানে, ∠a + ∠b + ∠c = 180° ........(1)
ধরি, a : b : c = x : 3x : 2x
∴ a + b + c = x + 3x + 2x = 6x ......(2)
(1) ও (2) থেকে,
6x = 180°
x = 30°
c কোণের মান 2x = 2 × 30° = 60°

সুষম পঞ্চভূজের মোট বাহু = 5 টি,
মোট বহিঃস্থ কোণ = 360°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = 360°/5 = 72°

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত 13 : 2 হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
অন্তঃস্থ কোণ = 13x
∴ বহিঃস্থ কোণ = 2x

প্রশ্নমতে, 
13x + 2x = 180° 
⇒ 15x = 180° 
⇒ x = 180°/15
⇒ x = 12 

∴ বহিঃস্থ কোণ = (2 × 12)°
= 24° 
এখন, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা, n = 360°/24°
= 15 টি

∴ বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা = [n(n - 3)]/2 
= [15(15 - 3)]/2
= 6 × 15
= 90 টি 

প্রশ্ন: y = 5 এবং x = 3y + 2 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি? 

সমাধান: 
y = 5 ...... (১) 
x = 3y + 2 ........ (২) 
১ নং সমীকরণ হতে পাই,
y = 5 

২ নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই, 
x = 3 × 5 + 2 
⇒ x = 15 + 2 
⇒ x = 17 

∴ সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (17, 5).

প্রশ্ন: একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য 60√3 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হবে?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটির উচ্চতা AB = 60√3 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
∠ACB = θ = 60°

∆ABC তে,
tan θ = AB/BC
⇒ tan 60° = (60√3)/BC
⇒ √3 = (60√3)/BC
⇒ BC = (60√3)/√3
⇒ BC = 60

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = 60 মিটার

বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৫×২ = ১০ সেমি
আবার, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √২(বাহুর দৈর্ঘ্য)
এখন, (বাহুর দৈর্ঘ্য)² = (১০/√২)² = ৫০ বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার হলে, ঐ বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r 
বৃত্তের পরিধি = 2πr 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 

শর্তমতে, 
2πr = 16π মিটার 
এবং, πr² = 64π বর্গমিটার‌ 

এখন, 
πr²/2πr = 64π/16π 
বা, r/2 = 4
বা, r = 4 × 2 
∴ r = 8

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
= (2 × 8) মিটার 
= 16 মিটার।

প্রশ্ন: যদি sec⁴θ - sec²θ = 3 হয় তবে, tan⁴θ + tan²θ এর মান কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
sec²θ = 1 + tan²θ

প্রদত্ত রাশি,
sec⁴θ - sec²θ = 3
⇒ (sec²θ)² - sec²θ = 3
⇒ (1 + tan²θ)² - (1 + tan²θ) = 3
⇒ (1 + 2tan²θ + tan⁴θ) - (1 + tan²θ) = 3
⇒ 1 + tan⁴θ + 2tan²θ - 1 - tan²θ = 3
∴ tan⁴θ + tan²θ = 3

প্রশ্নমতে আয়তক্ষেত্রের,
প্রথম ক্ষেত্রফল = নতুন ক্ষেত্রফল
১৮ × ১০ = ২৫ × নতুন প্রস্থ
নতুন প্রস্থ = ১৮০/২৫ = ৭.২ সে.মি

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৪ × ৬
= ১২ বর্গসেমি

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহুটি ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা______ হবে?

সমাধান:
 
ত্রিভুজের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে-
কোনো ত্রিভুজে বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু সর্বদা ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হয়।
অর্থাৎ,
যে কোণ যত বড় ⇒ তার বিপরীত বাহু তত বড়
যে কোণ যত ছোট ⇒ তার বিপরীত বাহু তত ছোট
যেমন, যদি ∠A > ∠B হয়, তাহলে BC > AC হবে।
যেখানে BC হলো ∠A-এর বিপরীত বাহু এবং AC হলো ∠B-এর বিপরীত বাহু)

সুতরাং, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহুটি ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।

প্রশ্ন: যদি 7sin²θ + 3cos²θ = 4 এবং (0° ≤ θ ≤ 90°) হয়, তাহলে θ এর মান কত?

সমাধান: 

যেহেতু, বিন্দুটির কোটি শূন্য (0),
সুতরাং, এর অবস্থান x অক্ষের উপর হবে।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 14 সে.মি. হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
উচ্চতা, h = 14 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 6(6 + 14)
= 2π × 6 × 20
= 12π × 20
= 240π বর্গ সে.মি.
সুতরাং, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 240π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: cosθ = 1/√2 হলে tanθ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 1/√2
বা, cosθ = cos45°
∴ θ = 45° 

এখন,
tanθ
= tan45°
= 1

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 50π বর্গসেমি হলে, বৃত্তটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 50π
⇒ r² = 50
⇒ r = √50
∴ r = 5√2

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
=  2π × 5√2
= 10π√2 সেমি

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান :
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = ২r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২

ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি পেলে হবে ৮r
∴ ব্যাসার্ধ = ৮r/২ = ৪r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে
= π(৪r)^২
= ১৬πr^২

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ হবে।

ΔABC সমবাহু ত্রিভূজে ∠A = ∠B = ∠C = ৬০°
কেন্দ্রঃস্থ ∠BOC = ২ × বৃত্তঃস্থ ∠A
= ২ × ৬০° = ১২০°

প্রশ্ন: POQ একটি সরলরেখা এবং ∠POR = (3x + 20)° এবং ∠QOR = (4x - 36)° হলে x এর মান কত?

সমাধান:

∠POR + ∠QOR = ∠POQ = সরলকোণ 
⇒ (3x + 20)°+ (4x - 36)° = 180°
⇒ 3x° + 20° + 4x° - 36° = 180°
⇒ 7x° - 16° = 180°
⇒ 7x° = 180° + 16°
⇒ 7x° = 196°
⇒ x° = 196°/7°
⇒ x° = 28° 

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 24 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 24 একক
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 13 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²) বর্গ একক
= (24/4) × √{(4 × 13²) - 24²}
= 6 × √{(4 × 169) - 576}
= 6 × √(676 - 576)
= 6 × √100
= 6 × 10
= 60 বর্গ একক

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো 60 বর্গ একক।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
বা, ৮৪ = ১/২ × ভূমি × ১২ [শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = উচ্চতা]
বা, ভূমি × ৬ = ৮৪
বা, ভূমি = ৮৪/৬
বা, ভূমি = ১৪

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ০.১৬ মি  ও ১০ সে. মি। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ  = ০.১৬ মি  = ০.১৬ × ১০০= ১৬ সে. মি
রম্বসের অপর কর্ণ = ১০ সে. মি

আমরা জানি
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(দুই কর্ণের গুনফল)
= (১/২)(১৬ × ১০)
= ৮০ বর্গ সে. মি

AB = √(80² + 18²) = 82

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে –

সমাধান: 

দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্নমতে,
πr² = 24.64
বা, r = 2.80 m
∴ পরিধি = 2πr = 2π×2.80 = 17.60মি.