জ্যামিতি

প্রশ্নে ভাষাগত কিছুটা ত্রুটি আছে। প্রশ্নটি হওয়া উচিত ছিল, 'অপর দুটি বাহুর মধ্যে বৃহত্তর বাহু কোনটি?'
তবে, প্রশ্নে যেহেতু অতিভুজ নির্দিষ্ট করে দেয়া আছে, তাই আমরা প্রশ্নটি বাতিল করছি না।
তাই, অধিকতর গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসেবে বৃহত্তর বাহুর দৈর্ঘ্য 20 মিটার নেয়া হয়েছে। 
================================== 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:


ধরি, একিটি বাহু, BC = y মিটার
অপর বাহু, AB = 3y/4 মিটার 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² + BC² = AC²
বা, (3y/4)² + y² = 25²
বা, (9y²/16) + y² = 625
বা, (9y² + 16y²)/16 = 625 
বা, 25y² = 625 × 16
বা, y² = (625 × 16)/25
বা, y² = 400
∴ y = 20 মিটার

∴ একটি বাহু = 20 মিটার এবং, অপর বাহু = (3 × 20)/4 = 15 মিটার

প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৪ ফুট, প্রস্থ ২ ফুট এবং উচ্চতা ১৮ ইঞ্চি। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:

১২ ইঞ্চি = ১ ফুট
১৮ ইঞ্চি = ১৮ ÷ ১২ = ১.৫ ফুট

আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= ৪ × ২ × ১.৫
= ১২ ঘনফুট

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান ৯০°

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ = ৯০°
∴ অপর দুটি সূক্ষ্ম কোণের যোগফল = ৯০°

ধরি,
ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্ম কোণ = ক
∴ বৃহত্তম সূক্ষ্ম কোণ = ক + ২০

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২০) = ৯০
⇒ ২ক + ২০ = ৯০
⇒ ২ক = ৭০
∴ ক = ৩৫

∴ ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্ম কোণ =৩৫°

EF = ১/২ BC
= ১/২ × ১০
= ৫ cm

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৭০°/২ = ৩৫°

আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ (৯০°) হলে, কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।

∴ ৩৫° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°

অতএব, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান হলো ৫৫°

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। প্রতি বর্গমিটার ৭.৫ টাকা খরচে ঘরটি কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ১১০২.৫ টাকা খরচ হয়। ঘরটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি,
ঘরে প্রস্থ = ক মি.
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ক
∴ ক্ষেত্রফল = ৩ক × ক = ৩ক^২

প্রশ্নমতে,
৩ক^২ = ১১০২.৫০/৭.৫
⇒ ৩ক^২ = ১৪৭
⇒ ক^২ = ১৪৭/৩ = ৪৯ 
⇒ ক = √৪৯ = ৭
∴ ক = ৭ মিটার

∴ প্রস্থ = ৭ মি. এবং দৈর্ঘ্য = ৩ × ৭ = ২১ মি.

∴ ঘরের দৈর্ঘ্য = ২১ মিটার

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 8 × 9
= 36 বর্গ সে.মি.

শর্তমতে,
a² = 36 (যেহেতু রম্বসের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল)
বা, a = 6 সে.মি.

সুতরাং
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
= 4 × 6
= 24 সে.মি.

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৪ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গ সে.মি. হলে, সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
তাহলে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (২ × ৪০)/৪ সে.মি. 
= ৮০/৪ সে.মি. 
= ২০ সে.মি. 

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
উপরের দেওয়া চিত্র অনুযায়ী, 2x + 3y + x = 180°
Or, 3y + 3x = 180°
Or, y + x = 60°

প্রশ্ন: sin(A + 18°) = 1/√2 হলে, A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (A + 18°) = 1/√2 
⇒ sin (A + 18°) = sin 45° 
⇒ A + 18° = 45° 
⇒ A = 45° - 18° 
∴ A = 27°

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাস  = d

 ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ  = d/২ 

∴ ক্ষেত্রফল = (d/২)^২ × π = (π × d^২)/৪ 

আবার,
ব্যাস ৪ গুণ করা হলে, নতুন ব্যাস হবে =  ৪d
∴ ব্যাসার্ধ = ৪d/২

∴ নতুন ক্ষেত্রফল =  π × ( ৪d/২)^২ 
= (π × ১৬d^২)/8 = ১৬ × (π × d^২/8)

∴ অর্থাৎ ক্ষেত্রফল বাড়ে ১৬ গুণ।

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = (1 + √3)/(1 - √3) হলে, θ এর মান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = (1 + √3)/(1 - √3)
⇒ (sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (1 + √3 + 1 - √3)/(1 + √3 - 1 + √3)
⇒ 2sinθ/2cosθ = 2/(2√3)                                        [যোজন-বিয়োজন করে] 
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ tanθ = tan 30° 
∴ θ = 30°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে 4 মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা 40 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (x + 4) মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
প্রশ্নমতে,
2 × {(x + 4) + x} = 40
বা, 2 × (2x + 4) = 40
বা, 4x + 8 = 40
বা, 4x = 40 - 8
বা, 4x = 32
বা, x = 32/4
বা, x = 8

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 8 মিটার
এবং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (8 + 4) = 12 মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 12 × 8
= 96 বর্গমিটার

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: PQR ত্রিভূজের ∠Q =90° এবং ∠P = 2∠R হলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
এখানে, 
∠Q = 90°
∠P = 2∠R 

আমরা জানি, 
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
∠Q = 90° 
⇒ ∠P + ∠R = 90°

∠P = 2∠R 
⇒ 2∠R + ∠R = 90° 
⇒ ∠R = 30°,

∴ ∠P = 60° 
সমকোণ ত্রিভুজে,
PR = অতিভুজ
QR = বিপরীত ∠P, 
PQ = বিপরীত ∠R

sin P = QR / PR 
→ sin 60° = √3/2 
→ QR = (√3/2) PR

sin R = PQ/PR 
→ sin 30° = 1/2 
→ PQ = (1/2) PR
সুতরাং, PR = 2 PQ

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ২০ বার ঘুরে। চাকাটি ৯ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘুরবে?

সমাধান:
একটি গাড়ির চাকা,
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ২০ বার
১ সেকেন্ডে ঘুরে ২০/৬০ বার
∴ ৯ সেকেন্ডে ঘুরে (৯ × ২০)/৬০ বার
= ৩ বার

∴ চাকাটি ১ বারে ঘুরে = ৩৬০°
∴ চাকাটি ৩ বারে ঘুরে = (৩ × ৩৬০°) = ১০৮০°

অতএব, চাকাটি ৯ সেকেন্ডে ১০৮০° ঘুরবে।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 8√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²

প্রত্যেক বাহু 2 মিটার বাড়ালে নতুন বাহু = (a + 2) মিটার
নতুন ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (a + 2)²

প্রশ্নমতে,
(√3/4) × (a + 2)² − (√3/4) × a² = 8√3
⇒ (√3/4) × {(a + 2)² - a²} = 8√3
⇒ (√3/4) × (a² + 4a + 4 - a²) = 8√3
⇒ (√3/4) × (4a + 4) = 8√3
⇒ (√3/4) × 4(a + 1) = 8√3
⇒ √3 × (a + 1) = 8√3
⇒ a + 1 = 8
⇒ a = 7

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = 7 মিটার

প্রশ্ন: ABCD সামন্তরিকের AB = 12 সে.মি. এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্ব দূরত্ব 6 সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি, 
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
= 12 × 6 বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি. ।

প্রশ্ন:  secA + tanA = 7/3 হলে, secA - tanA=?
​
​​​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sec²A - tan²A = 1
⇒ ​(secA - tanA)(secA + tanA) = 1
⇒ ​(7/3)(secA + tanA) = 1
⇒ ​(secA + tanA) = 1/(7/3)
⇒ ​(secA + tanA) = 3/7

বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
∴ একটি ৮০° হলে অপরটি = ১৮০° - ৮০°
                                         = ১০০°

প্রশ্ন: একটি সুষম ১২ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = ১২

∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৩৬০°/n)
= ১৮০° - (৩৬০°/১২)
= ১৮০° - ৩০°
= ১৫০°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ২/৫​ গুণ। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মি. এবং প্রস্থ দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১৫ মি. কম। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
 আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪০ মি.
এবং প্রস্থ = ৪০ - ১৫ = ২৫ মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪০ × ২৫ = ১০০০ বর্গ মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২/৫) × ১০০০ = ৪০০ বর্গ মি.

আবার, 
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a মি.

প্রশ্নমতে, 
a^২ = ৪০০
⇒ a^২ = ২০^২ 
∴ a = ২০ মি.

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু = ৪ × ২০ = ৮০ মি.।

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৮০ মি.।

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (৪ + ৩) = ২ × ৭ = ১৪ ইঞ্চি।

EF || BC এবং AC ছেদক
∴ ∠AFE = ∠C = ৭০°
∴ বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান
∴ ∠BEF = ∠A + ∠AFE
= ৫০° + ৭০°
= ১২০°

ত্রিভুজের তিনকোনের সমষ্টি = ১৮০°
শীর্ষ কোনের মান ৫০° হলে অপর কোনদ্বয়ের মান = (১৮০ – ৫০) বা ১৩০°
তাহলে, প্রত্যেকটি কোন ১৩০/২ = ৬৫°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ০.০০২৫ বর্গ কি.মি. হলে, এর পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার।

১ বর্গ কি.মি. = ১০০০ মিটার × ১০০০ মিটার = ১০,০০,০০০ বর্গ মিটার।
∴ ০.০০২৫ বর্গ কি.মি. = ০.০০২৫ × ১০,০০,০০০ বর্গ মিটার = ২৫০০ বর্গ মিটার। 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু  × বাহু = (বাহু)^২
এখন, বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = √২৫০০ = ৫০ মিটার

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু
= ৪ × ৫০
= ২০০ মিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২০০ মিটার

প্রশ্ন: ২০ মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে ৩০° কোণে হেলান দিয়ে একটি দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
​
​
ধরি, দেয়ালের উচ্চতা = AB মিটার এবং মইয়ের দৈর্ঘ্য = AC = ২০ মিটার।
উৎপন্ন কোণ ∠ACB = ৩০°।

এখন,
​sinθ = লম্ব/অতিভুজ
∴ sin ∠ACB = AB/AC
⇒ sin ৩০° = AB/২০
⇒ ১/২ = AB/২০
⇒ AB = ২০ × ১/২ 
​∴ AB = ১০ মিটার

∴ দেয়ালটির উচ্চতা = ১০ মিটার