জ্যামিতি

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 16 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r = 16 সে.মি,
উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 16/2
= 8

∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 8 গুণ।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 9√3
⇒ √3a² = 9√3 × 4
⇒ a² = (9√3 × 4)/√3
⇒ a² = 36
∴ a = 6

দুটি ত্রিভুজ সদৃশকোনী হবার শর্ত,
১। তিন বাহু সমানুপাতিক হলে,
২। দুই বাহু সমানুপাতিক ও অন্তর্ভুক্ত কোন সমান,
৩। দুটি কোন সমান হলে,
৪। সমকোনী ত্রিভুজের অতিভুজ ও একটি বাহু সমানুপাতিক হলে।

ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 16 × 17
= 136 বর্গ সে. মি.

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুইটির যোগফল ১৮০ ডিগ্রী ।
∠BOD = 108
∠BAD = 108°/2 = 54° কারণ বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
যেহেতু, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুইটির যোগফল ১৮০ ডিগ্রী ।
সুতরাং, ∠BAD + ∠BCD = 180°
54° + ∠BCD = 180°
∠BCD = 180° - 54° = 126° = x

সমান বহুদুটির দৈর্ঘ্য a = ১০ সেমি| = b
মধ্যবর্তী কোন θ = ৪৫°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ x a x b x Sinθ
= ½ x 10 x 10 x sin 45
= 50 x 1/√2
= (25 x √2 x √2) / √2
= 25√2

প্রশ্ন: ১০ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৬ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ১০ সে. মি.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে জ্যা পর্যন্ত দূরত্ব, d = ৬ সে. মি.

তাহলে, জ্যা = ২√(ব্যাসার্ধ^২- কেন্দ্র হতে দূরত্ব^২)
= ২√(১০^২- ৬^২) সে. মি.
= ২√(১০০ - ৩৬)
= ২ × √৬৪
= ২ × ৮
= ১৬ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার
এবং উচ্চতা ৪৬ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (৩৪ × ৪৬) বর্গমিটার
= ১৫৬৪ বর্গমিটার

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°
তিন কোণের সমষ্টি ২৭০° হলে অপর কোণটি হবে = (৩৬০ - ২৭০)° = ৯০°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
• sin(- θ) = - sinθ
• cos(- θ) = cosθ
• tan(- θ) = - tanθ
• cosec(- θ) = - cosecθ
• sec(- θ) = secθ
• cot(- θ) = - cotθ

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 120° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 18 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, বৃত্তের ব্যাস = 18 cm ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 9 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 120°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = ?

আমরা জানি, s = (π × r × θ)/180°
∴ s = (π × 9 × 120)/180
∴ s = (1080π)/180
∴ s = 6π cm

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 6π cm

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস ১৪ সে.মি. হলে ৪৪০ সে.মি. পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাস ১৪ সে.মি.
∴ চাকার ব্যাসার্ধ, r = ৭ সে.মি.

চাকার পরিধি = ২πr সে.মি.
= ২ × (২২/৭) × ৭ সে.মি.
= ৪৪ সে.মি.

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

৪৪০ সে.মি. পথ অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরবে (৪৪০/৪৪) বার = ১০ বার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. এবং ১৪ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

= (১/২) × ১২ × ১৪ বর্গ সে.মি.
= ৬ × ১৪
= ৮৪ বর্গ সে.মি.

∴ রম্বসটির ক্ষেত্রফল = ৮৪ বর্গ সে.মি.

দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি
কর্ণ হতে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব ৫ সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য × কর্ণ হতে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব
= ১০ × ৫ বর্গসে.মি.
= ৫০ বর্গসে.মি.

এখানে AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করেছে ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ, ∠PQD কোণদ্বয় একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ, ∠CQP কোণদ্বয় একান্তর কোণ।

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে ১৫ মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে ৮ মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
​
মনে করি,
দেয়ালের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A
​দেয়ালের উচ্চতা, AB = ১৫ মিটার 
​ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব, BC = ৮ মিটার 
মইটির দৈর্ঘ্য = AC
​
​ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
​AC^২ = AB^২ + BC^২
​⇒ AC^২ ​= (১৫)^২ + (৮)^২
​⇒ ​AC^২ ​= ২২৫ + ৬৪
⇒ ​AC^২ ​= ২৮৯
​⇒ ​AC = ​১৭
​
∴ ​​মই এর দৈর্ঘ্য = ১৭ মিটার 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 96π বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 96π বর্গমিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² (যেখানে r হলো ব্যাসার্ধ)

প্রশ্নমতে,
πr² = 96π
বা, r² = 96
বা, r = √96 মিটার
∴ r = 4√6 মিটার

এখন,
বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(4√6)
∴ পরিসীমা = 8√6π মিটার

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 50° এবং ∠B = 70°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

সমাধান:
 
ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 50° + 70° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° - 120°
∴ ∠C = 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ, (1/2) ∠C= 60º/2 = 30°

ΔADC এ, ∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°
⇒ ∠A + ∠CDA + ∠C = 180°
⇒ 50° + ∠CDA + 30° = 180°
⇒ ∠CDA = 180° - 80°
∴ ∠CDA = 100°

প্রশ্ন: sin(Q + 18°) = 1/√2 হলে, Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (Q + 18°) = 1/√2 
বা, sin (Q + 18°) = sin 45° 
বা, Q + 18° = 45° 
বা, Q = 45° - 18° 
∴ Q = 27°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ১৬ ফুট এবং প্রস্থ ১০ ফুট। মেঝেটি ঢাকতে ৮ ফুট দীর্ঘ এবং ৫ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য = ৮ ফুট
 কার্পেটের প্রস্থ = ৫ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৮ × ৫) বর্গফুট
= ৪০ বর্গফুট

আবার,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ১৬ ফুট
ঘরের প্রস্থ = ১০ ফুট 
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (১৬ × ১০) বর্গফুট
= ১৬০ বর্গফুট 

∴ কার্পেট সংখ্যা = ১৬০/৪০ টি 
= ৪ টি। 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ১৭৫ বর্গসেন্টিমিটার এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ২৫ সেন্টিমিটার। অন্য কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল ১৭৫ বর্গসেন্টিমিটার
একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য, d₁ = ২৫ সেন্টিমিটার
অন্য কর্ণটির দৈর্ঘ্য, d₂ = ? 

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
১৭৫ = (১/২) × ২৫ × d₂
⇒ ২৫ × d₂ = ৩৫০ 
⇒ d₂ = ৩৫০/২৫
⇒ d₂ = ১৪ 
∴ d₂ = ১৪ 

অতএব, অন্য কর্ণটির দৈর্ঘ্য ১৪ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 12 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:


ধরি,
মিনারটির উচ্চতা = AB = h

মিনারের পাদদেশ হতে
BC = 12 মিটার

মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ
∠ACB = 60°

আমরা জানি,
tan ∠ACB = AB/BC

বা, tan 60° = h/12

বা, √3 = h/12

∴ h = 12√3

প্রশ্ন: BP ও CQ, Δ ABC-এর দুটি মধ্যমা, BC = 12 সে.মি. হলে QP এর মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

BP ও CQ, Δ ABC-এর দুটি মধ্যমা হলে 

AB এর মধ্যবিন্দু Q এবং AC এর মধ্যবিন্দু P 
QP = (1/2)BC
= (1/2) × 12
= 6 সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৬ হলে, পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৪ক এবং ৬ক

∴ পরিধির অনুপাত = ২π(৪ক) : ২π(৬ক)
= ৪(২πক) : ৬(২πক)
= ৪ : ৬
= ২ : ৩ 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 625 বর্গমিটার। এই বৃত্তের সমান ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে, সেই বর্গক্ষেত্রের পরিধি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A_square = A_circle = 625 m²

বর্গক্ষেত্রের বাহু a হবে:
a = √625 = 25 m

বর্গক্ষেত্রের পরিধি P হলো:
P = 4 × a
= 4 × 25
= 100m

∴বর্গক্ষেত্রের পরিধি 100m

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাহুর সংখ্যা, n = 8 

∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/8) 
= 180° - 45° 
= 135° ।

প্রশ্ন: একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য ২০ মিটার এবং সূর্যের উন্নতি কোণ ৪৫° হলে, গাছটির উচ্চতা কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ (θ) = ৪৫°
ধরি, গাছটির উচ্চতা = h মিটার

আমরা জানি,
tanθ = উচ্চতা/ছায়ার দৈর্ঘ্য
⇒ tan৪৫° = h/২০
⇒ ১ = h/২০ [যেহেতু tan৪৫° = ১]
⇒ h = ২০ মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা ২০ মিটার।

ΔABC - এ,
C = 90°,
B = 90° - A
∴ Sin²A + Sin²B + Sin²C
= Sin²A + Sin²(90° - A) + Sin²90°
= Sin²A + Cos²A + 1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: দশ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের = [(n - 2) × ১৮০°] / n
= [(10 - 2) × 180°] / 10
= (8 × 180°)/10
= 144°

∴ দশ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 144° 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৫° হলে, কোণদ্বয়ের মধ্যে বড় কোণটির মান কত? 

সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী। অপর দুটি কোণের সমষ্টি ৯০°

অপর দুটি কোণের ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ১৫° 

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১৫° = ৯০°
⇒ ২ক = ৭৫°
ক = ৩৭.৫°

∴ বৃহত্তম কোণটির মান = ৩৭.৫° + ১৫°
= ৫২.৫°

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

এখানে, আমরা প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই:

ক) ৬ + ৮ = ১৪ > ১২; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
খ) ৪ + ৬ = ১০ = ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
গ) ৪ + ৭ = ১১ > ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
ঘ) ৫ + ৭ = ১২ > ১১; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) ৪, ৬, ১০

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস ৫৬ সে.মি. হলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ৫৬ সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৫৬/২ = ২৮ সে.মি.

বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = ৪৫°
= π/৪ রেডিয়ান

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = r × θ
= ২৮ × (π/৪)
= ৭π
= ৭ × (২২/৭)
= ২২ সে.মি.