জ্যামিতি

প্রশ্ন: sec A - tan A = 5/6 হলে, tan A + sec A এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sec² A - tan² A = 1 
বা, (sec A + tan A)(sec A - tan A) = 1 
বা, 5/6 (sec A + tan A) = 1 
∴ sec A + tan A = 6/5

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
 

ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE 
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= ২(∠A + ∠B + ∠C)
= ২ × ১৮০° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= ৩৬০° 

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 50° + 50°
= 100°
∴ অপর কোণ = 180° - 100°
= 80°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x + 1, 2x - 1 এবং 3x + 1 ত্রিভুজটির পরিসীমা 31cm হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x + 1, 2x - 1 এবং 3x + 1

যেহেতু, ত্রিভুজের পরিসীমা হলো ত্রিভুজের তিন বাহুর সমষ্টি।
∴ x + 1 + 2x - 1 + 3x + 1 = 31
⇒ 6x + 1 = 31
⇒ 6x = 31 - 1 = 30
⇒ x = 30/6
∴ x = 5

অতএব ১ম বাহু = x + 1 = 5 + 1 = 6cm
২য় বাহু = 2x - 1 = 2 × 5 - 1 = 10 - 1 = 9cm
এবং
৩য় বাহু = 3x + 1 = 3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 6 cm। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১৪ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস d = ১৪ সেমি
∴ বৃত্তের ব্যাষার্ধ r = ১৪ ÷ ২ সেমি
= ৭ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= (২২/৭) × (৭)^২
= ২২ × ৭
= ১৫৪ বর্গ সেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৫৪ বর্গ সেমি

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 240 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 240
⇒ 2r(π - 1) = 240
⇒ r = (240/2)/{(22/7) - 1}
⇒ r = 120/{(22 - 7)/7}
⇒ r = (120 × 7)/15
∴ r = 56

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 56 সে.মি.

cos⁴θ−sin⁴θ=2/3
বা, (cos²θ + sin²θ)(cos²θ - sin²θ) = 2/3
বা, 1.(cos²θ - sin²θ) = 2/3
বা, (1 - sin²θ - sin²θ) = 2/3
∴ 1 - 2sin²θ = 2/3

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০ সে.মি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে উৎপন্ন একটি ৭২° কোণ দ্বারা গঠিত চাপের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = ১০ সে.মি.
কেন্দ্রে কোণ, θ = ৭২°

আমরা জানি,
চাপের দৈর্ঘ্য = (θ/৩৬০°) × ২πr
= (৭২°/৩৬০°) × ২π × ১০
= (১/৫) × ২০π
= ৪π সে.মি.

সুতরাং, চাপের দৈর্ঘ্য ৪π সে.মি.।

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার হয়
তবে, x২ = ১০০০০
∴ x = ১০০ মিটার
∴ পরিসীমা = ৪x = ৪০০ মিটার।

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে কী উৎপন্ন হয়?

সমাধান:
রেখা (line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ স্থলে ১টি রেখা উৎপন্ন হয়।
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে।
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।

- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা-
ক) সরলরেখা
খ) বক্ররেখা।

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2Πr
প্রশ্নমতে, 2Πr = 23
=> r = 23/2Π
∴ r = 3.66

প্রশ্ন: 16 সে.মি. ব্যাস এবং 2 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বেলন গলিয়ে 12 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতি গোলকের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
বেলনের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে, 
12 টি গোলকের আয়তন = বেলনের আয়তন 
⇒ 12 × (4/3) π × r³ = π × (8)² × 2
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

∴ গোলকের ব্যাসার্ধ = 2 সে.মি. ।

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনেকরি,
খুঁটির মোট উচ্চতা, AE = x মিটার
যেহেতু খুঁটিটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে গেছে,
তাই ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 5) মিটার

এখন, 
ΔABD- এ
(x - 5)² = 5² + 12²
⇒ x² - 10x + 25 = 25 + 144
⇒ x² - 10x + 25 = 169
⇒ x² - 10x - 144 = 0
⇒ x² - 18x + 8x - 144 = 0
⇒ x(x - 18) + 8(x - 18) = 0
⇒ (x - 18)(x + 8) = 0
সুতরাং, x - 18 = 0 অথবা x + 8 = 0
⇒ x = 18 অথবা x = - 8
যেহেতু খুঁটির উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 18 মিটার।
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 18 মিটার।

প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত? 

সমাধান: 
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ- 
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2)  [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0 

আবার, 
রেখাটি (3, k) বিন্দুগামী,
3 - 2k + 8 = 0
বা, - 2k + 11 = 0 
বা, -2k = - 11
বা, k = -11/-2
∴ k = 11/2

আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c সে. মি হলে
এর অর্ধ পরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (৯ + ১০ + ১১)/২
= ৩০/২
= ১৫ সে.মি

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =

প্রশ্ন: পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার ৫ মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার
∴ পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) বর্গমিটার 
= ২০০০ বর্গমিটার

পাড় ছাড়া পুকুরের দৈর্ঘ্য = {৫০ - (৫ × ২)} মিটার
= (৫০ - ১০) মিটার
= ৪০ মিটার 

পাড় ছাড়া পুকুরের প্রস্থ = {৪০ – (৫ × ২)} মিটার
= (৪০ - ১০) মিটার
= ৩০ মিটার

∴ পাড় ছাড়া পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার 
= ১২০০ বর্গমিটার

∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = (২০০০ – ১২০০) বর্গমিটার 
= ৮০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল 280 বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 6 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আয়তাকার কক্ষের সমান পরিসীমাবিশিষ্ট বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার।

প্রথম শর্তমতে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ x × y = 280 
 ⇒ y = 280/x  ........ (1)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
নতুন দৈর্ঘ্য = (x - 6) মিটার
নতুন প্রস্থ = (y + 6) মিটার
নতুন ক্ষেত্রফল = (x - 6)(y + 6)

যেহেতু ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে, তাই
(x - 6)(y + 6) = xy
⇒ xy + 6x - 6y - 36 = xy
⇒ 6(x - y) = 36
∴ x - y = 6 ......(2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, y = 280/x। এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই:
x - 280/x = 6
⇒ x² - 280 = 6x
⇒ x² - 6x - 280 = 0
⇒ x² - 20x + 14x - 280 = 0
⇒ x(x - 20) + 14(x - 20) = 0
⇒ (x - 20)(x + 14) = 0
যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x ≠ - 14
∴ x = 20 m এবং y = 280/20 = 14

আয়তাকার কক্ষের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 × (20 + 14)
= 2 × 34 = 68 m

আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a (যেখানে a হলো বাহুর দৈর্ঘ্য)
⇒ 4a = 68
⇒a = 17 m

∴ বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল = a² = 17² = 289 বর্গমিটার

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তুলনায় ২.৫ গুণ। ক্ষেত্রফল ২৫০ বর্গ একক হলে দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরা যাক,
প্রস্থ = B একক
দৈর্ঘ্য L = ২.৫ B একক

ক্ষেত্রফল:
L × B = ২৫০
⇒ ২.৫B × B = ২৫০
⇒ ২.৫B^২ = ২৫০
⇒ B^২ = ২৫০/২.৫
⇒ B = √১০০
⇒ B = ১০ একক

দৈর্ঘ্য L = ২.৫ × ১০ = ২৫একক

∴ দৈর্ঘ্য = ২৫ একক 

∴ এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের (২১৬/২১৬) বা ১ গুণ

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, তবে θ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + tan²θ = 4 and θ < 90°
⇒ sec²θ = 4    ; [sec²θ = 1 + tan2θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
⇒ θ = 60°