জ্যামিতি

sec²A = 1 + tan²A [সূত্র]
secA = 1/cosA [সূত্র]

প্রশ্ন: P(2, 3), Q(4, 7) এবং R(6, k) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে k এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু P(2, 3), Q(4, 7) এবং R(6, k) বিন্দু তিনটি সমরেখ, তাই PQ রেখার ঢাল ও QR রেখার ঢাল সমান হবে।

আমরা জানি, ঢাল m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

∴ PQ রেখার ঢাল = (7 - 3)/(4 - 2) = 4/2 = 2
∴ QR রেখার ঢাল = (k - 7)/(6 - 4) = (k - 7)/2

শর্তমতে,
(k - 7)/2 = 2
⇒ k - 7 = 4
⇒ k = 4 + 7
∴ k = 11

অতএব, k এর মান = 11

প্রশ্ন: একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ৭ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের "ক" মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ৭ মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (৭)^২ = (২৫)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ৪৯ = ৬২৫
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ৬২৫ - ৪৯ = ৫৭৬
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √৫৭৬ = ২৪

সুতরাং, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ২৪ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

মূলবিন্দু (0,0) হতে (5, k) এর দূরত্ব =
√{(5 - 0)² + (k + 0)²}
= √(k² + 25)

∴ √(k² + 25) = 5√2
বা, k² + 25 = 50
বা, k² = 25

∴ k = 5

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪৮/৩ মিটার = ১৬ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৪৮+১৬) = ১২৮ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২৮ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ১২৮/৪ মিটার = ৩২ মিটার

মনেকরি,
কোণদ্বয় = 2x, 3x
∴ 2x + 3x = 90°
বা, 5x = 90°
বা, x = 18°
∴ বৃহত্তম কোণটি = 3 × 18°
= 54°
এবং এই কোণটির সম্পূরক কোণ = 180° - 54°
= 126°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে: মি:

ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
এখন,
⇒ x² + x² = 20²
⇒ 2x² = 400
⇒ x² = 200
⇒ x = √200
⇒ x = √(100 × 2)
∴ x = 10√2

আমরা জানি, 
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × (10√2) × (10√2)
= (1/2) × (200)
= 100 বর্গ সে.মি

বাগানের ব্যাস = ২৪ মিঃ
∴ বাগানের ব্যাসার্ধ = ১২ মিঃ
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = π × (১২)²
= ১৪৪π বর্গমিঃ
রাস্তাসহ বাগানের ব্যাসার্ধ = (১২ + ১)
= ১৩ মিঃ
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = π(১৩)²
= ১৬৯π বর্গমিঃ
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৬৯π - ১৪৪π
= ২৫π বর্গমিঃ

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয়-

সমাধান:
• দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ।

এখানে AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করেছে ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ, ∠PQD কোণদ্বয় একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ, ∠CQP কোণদ্বয় একান্তর কোণ।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭৫° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°।
দেওয়া আছে, একটি কোণ = ৭৫°
সুতরাং, বিপরীত কোণটির মান হবে = (১৮০ - ৭৫)°
= ১০৫°
অতএব, বিপরীত কোণটির মান ১০৫°।

প্রশ্ন: (- 4, 5) এবং (1, 2) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (- 4, 5) এবং (x₂, y₂) = (1, 2)

∴ ঢাল, (m) = (2 - 5)/{1 - (- 4)}
= - 3/(1 + 4)
= - 3/5

আমরা জানি, গোলকের ক্ষেত্রফল = 4 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= 4πr²
= π (2r)²
= π (ব্যাস)²
= π (10)²
= 100π

কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = ।(১১ × ১৫ - ৬০ × ২)/২।°
                                 = ।(১৬৫ - ১২০)/২।°
                                 =।৪৫/২।°
                                 =২২.৫°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৭ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ৩৭) বর্গ সে.মি.
= ৭৪ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার 
= ৪০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৪০ × ৪) মিটার 
= ১৬০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
​আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ২, ৩, ৪
বৃহত্তম বাহু = ৪ ⇒ ৪^২ = ১৬
অন্য দুই বাহু: ২^২ + ৩^২ = ৪ + ৯ = ১৩
যেহেতু ১৬ ≠ ১৩, তাই সমকোণী নয়।

অপশন (খ) ৫, ১২, ১৩
বৃহত্তম বাহু = ১৩ ⇒ ১৩^২ = ১৬৯
অন্য দুই বাহু: ৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯
যেহেতু ১৬৯ = ১৬৯, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

অপশন (গ) ৬, ৮, ১০
বৃহত্তম বাহু = ১০ ⇒ ১০^২ = ১০০
অন্য দুই বাহু: ৬^২ + ৮^২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০
যেহেতু ১০০ = ১০০, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
​
​সুতরাং, (খ) ও (গ) উভয়ের ক্ষেত্রেই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৮.২ × ৬
= ২৪.৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: বিষমবাহু ΔABC-এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত ΔABD-এর ক্ষেত্রফল y বর্গমিটার। ΔABC-এর ক্ষেত্রফল কত?

 সমাধান: 

আমরা জানি, 
যে কোন ত্রিভুজের মধ্যমা ঐ ত্রিভুজকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

যেহেতু ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল y বর্গমিটার
অতএব ,ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল হবে y বর্গমিটার ।

অতএব , ABC এর ক্ষেত্রফল = ∆ABD এর ক্ষেত্রফল + ∆ACD এর ক্ষেত্রফল
= y + y
= 2y বর্গমিটার

রম্বসের বৈশিষ্ট্য অনুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের সব বাহুর দৈর্ঘ্য সমান কিন্তু কোণ গুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।

চাকার ব্যাস ২r = ৭০ সেমি, তাহলে, ব্যসার্ধ r = ৩৫
চাকাটি একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = ২πr (π এর মান ২২/৭ ধরে)
= ২২০ সেমিঃ
= ২.২ মিঃ
≅ ২.১৯৯ মিঃ

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের উচ্চতা ৬ মিটার এবং ভূমি ১৫ মিটার হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ভূমি = ১৫ মিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৬  মিটার
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ৬) বর্গমিটার
= ৯০ বর্গমিটার

প্রস্থ AB = ৬ সে.মি., কর্ণ = ১০সে.মি.
∴ দৈর্ঘ্য BC = √(AC² - AB²)
= √(১০^২ - ৬^২)
= ৮ সে.মি.
∴ পরিসীমা = ২(AB + BC)
= ২ × (৬ + ৮)
= ২৮ সে.মি.

সমবাহু ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ক্ষেত্রফল = √3/4 a²
আবার,
সমবাহু ত্রিভূজের নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = a + 2
∴ ক্ষেত্রফল = √3/4(a + 2)²
শর্তমতে,
√3/4(a + 2)² - √3/4a² = 3√3
বা, √3/4{(a + 2)² - a²} = 3√3
বা, (a² + 4a + 4 - a²) = 12
বা, 4a + 4 = 12
∴ a = 2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ

বৃত্তের ব্যাস ৫৬ ফুট হলে
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২৮ ফুট
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
                         = ৩.১৪১৬ × ২৮²
                         = ২৪৬১.৭৬ বর্গফুট
প্রশ্নমতে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪৬১.৭৬ বর্গফুট

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √(২৪৬১.৭৬)
                              = ৪৯.৬ ফুট।

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে 12 মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌঁছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে 5 মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

মনে করি, 
ঘরের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A,
ঘরের উচ্চতা AB = 12 মিটার,
ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব BC = 5 মিটার,
মইটির দৈর্ঘ্য = AC

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 12² + 5²
⇒ AC² = 144 + 25
⇒ AC² = 169
⇒ AC = √169
⇒ AC = 13

∴ মইটির দৈর্ঘ্য = 13 মিটার

প্রশ্ন: sinA = cosA হলে A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = cosA
⇒ sinA/cosA = 1
⇒ tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
∴ A = 45°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 7 একক, 8 একক, এবং 9 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুগুলি a = 7, b = 8, c = 9

অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (7 + 8 + 9)/2
= 24/2
= 12

এখন,
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)}
= √{12 × 5 × 4 × 3}
= √{720}
= √{144 × 5}
= 12√5 বর্গ একক

কেন্দ্রগামী জ্যা বা ব্যাস = ১০ সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি.
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ²) - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)²}
= √{(৫²) - (৩)²}
= √১৬ = ৪
∴জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ৪ = ৮