জ্যামিতি

প্রশ্ন: যদি tan A = 1/√3 হয়, তবে (cosec² A - sec² A)/(cosec² A + sec² A) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
tan A = 1/√3 
বা, 1/cot A = 1/√3 
∴ cot A = √3 

প্রদত্ত রাশি = (cosec² A - sec² A)/(cosec² A + sec² A)
= (1 + cot² A - 1 - tan² A)/(1 + cot² A + 1 + tan² A) 
= {1 + (√3)² - 1 - (1/√3)²}/{1 + (√3)² + 1 + (1/√3)²} 
= {1 + 3 - 1 - (1/3)}/{1 + 3 + 1 + (1/3)} 
= {3 - (1/3)}/{5 + (1/3)} 
= {(9 - 1)/3}/(15 + 1)/3}
= (8/3)/(16/3) 
= (8/3) × (3/16)
= 1/2

প্রশ্নঃ একটি ট্রপিজিয়ামের উচ্চতা 6 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= 1/2 × (10 + 4) × 6
= 1/2 × 14 × 6
= 7 × 6
= 42

∴ ক্ষেত্রফল = 42 বর্গ সেমি

বহুভুজের কোণের সমষ্টি = (n - ২)১৮০°
= (৬ - ২)১৮০°
= ৪×১৮০°
= ৮×৯০°

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 60° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°-60°) = 1/2 × 120° = 60°

ধরি, সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(b/4)√(4a² - b²)
প্রশ্নমতে,
বা, (b/4)√(4a² - b²) = 1200
বা, 15 √(4a² - 3600) = 1200
বা, √(4a² - 3600) = 80
বা, 4a² = 10,000
বা, a = 50 

প্রশ্ন: যদি secA = 17/8 হয়, তবে sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, secA = 17/8

আমরা জানি, secA = অতিভুজ/ভূমি
অতএব, অতিভুজ = 17 এবং ভূমি = 8

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, লম্ব² + 8² = 17²
বা, লম্ব² + 64 = 289
বা, লম্ব² = 289 - 64
বা, লম্ব² = 225
∴ লম্ব = √225 = 15

এখন, sinA = লম্ব/অতিভুজ
∴ sinA = 15/17

এখানে,
৮৮ = ৮৮ ×১০০০ মি.
আমরা জানি,
অতিক্রান্ত দূরত্ব = পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা
বা, ৮৮ × ১০০০ = 2πr × ১০০০
বা, 2πr = ৮৮
বা, r = ৮৮/2π
বা, r = ৪৪/π
বা, r = ৪৪/(২২/৭)
বা, r = ৪৪ × (৭/২২)
বা, r = ১৪ মিটার।

প্রশ্ন: tanθ + sinθ = a এবং tanθ - sinθ = b হলে, (a² - b²) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, a²- b²
= (tanθ + sinθ)² - (tanθ - sinθ)²
= 4tanθ . sinθ                  [∵ (a + b)² - (a - b)² = 4ab]
= 4√(tan²θ . sin²θ)
= 4√[tan²θ(1 - cos²θ)]
= 4√[tan²θ - (tan²θ . cos²θ)]
= 4√(tan²θ - sin²θ)          [∵ tanθ = sinθ/cosθ]
= 4 √[(tanθ + sinθ)(tanθ - sinθ)]
= 4√(ab)  

ধরি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ক্ষেত্রফল = a²
বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = a + a এর ৫০%
= a + a × ৫০/১০০
= a + a/2
= ৩a/২

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৯/৪)a²
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৯/৪)a² - a² = ৫a²/৪
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হার = {(৫a²/৪)/a²} × ১০০
= (৫/৪) × ১০০
= ১২৫%

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার। চৌবাচ্চাটির গভীরতা কত?

সমাধান: 
ধরি,
চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ক মিটার
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
= ২.৫৬ × ১.২৫ × ক
= ৩.২ক ঘনমিটার

আমরা জানি,
১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
∴ ৮০০০ লিটার = ৮০০০/১০০০ = ৮ ঘনমিটার

প্রশ্নমতে,
৩.২ক = ৮
বা, ক = ৮/৩.২
∴ ক = ২.৫ মিটার

ΔABD এর ∠ADB = 45°
∴ tan45°=AB/BD
⇒ 1 = h/(60 + x)
⇒ h = 60 + x ...........(1)
ΔABC এর ∠ACB =  60°
∴ tan60°=AB/BC = h/x
⇒√3 = h/x
∴ x = h/√3
x এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
h = 60√3/(√3 - 1) মিটার

ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার
এখন, লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 9x2 + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
⇒ x = 5
ভূমির দৈর্ঘ্য (4×5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15 মিটার
∴ অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যর অনুপাত = 15 : 20 = 3 : 4

বর্গের পরিসীমা 4x = 2s
⇒ x = s/2
বর্গের ক্ষেত্রফল = x² = (s/2)²

ধরি, ব্যাসার্ধ r,
∴ পরিধি = 2πr,
ক্ষেত্রফল = πr²,

পরিধির তিনগুণ = 6πr = 2.π(3r)
∴ ব্যাসার্ধ = 3r
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)² = 9πr²
∴ 9 গুণ বৃদ্ধি পায়।

cot90°. tan0° . sec30° . cosec60° = 0 . 0 . 2/√3 . 2/√3 = 0

প্রশ্ন: ৪৯ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ 
৪৯ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৪৯ ডিগ্রি। 

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি এবং আয়তন 180 ঘন সে.মি। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি,
বেলনের ব্যাসার্ধ = r
এবং উচ্চতা = h

দেওয়া আছে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 120 ..........(1)
আয়তন = πr²h = 180 ..........(2)

(2) ÷ (1) করলে পাই,
πr²h/2πrh = 180/120
⇒ r/2 = 3/2
⇒ r = 3

∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

অন্তঃকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

x + y - 1 = 0
⇒ y = - x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = -1

আবার,
 x - y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = 1

এখন,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1, তাই সমীকরণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৈর্ঘ্য = ৬ মিঃ,
প্রস্থ = ৪ মিঃ,
উচ্চতা = ৫ মিঃ
∴ আয়তন = (৬ × ৪ × ৫) ঘনমিঃ
= ১২০ ঘনমিঃ
১ ঘনমিঃ এলাকায় ১০০০ লিটার পানি ধরে
∴ চৌবাচ্চায় মোট পানির পরিমাণ = ১২০ × ১০০০ লিঃ
= ১২০০০০ লিঃ

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ৩। যদি দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. বাড়ানো হয় এবং প্রস্থ ৫ সে.মি. কমানো হয়, তাহলে নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আসল ক্ষেত্রফলের সমান থাকে। আসল দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল দৈর্ঘ্য = ৫ক সে.মি.
আসল প্রস্থ = ৩ক সে.মি.

∴ আসল ক্ষেত্রফল = ৫ক × ৩ক = ১৫ক^২ বর্গ সে.মি.

আবার,
নতুন দৈর্ঘ্য = ৫ক + ১০ সে.মি.
নতুন প্রস্থ = ৩ক - ৫ সে.মি.
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৫ক + ১০) × (৩ক - ৫) বর্গ সে.মি.

প্রশ্নানুসারে, নতুন ক্ষেত্রফল = আসল ক্ষেত্রফল
⇒ (৫ক + ১০) × (৩ক - ৫) = ১৫ক^২
⇒ ১৫ক^২ - ২৫ক + ৩০ক - ৫০ = ১৫ক^২
⇒ ৫ক - ৫০ = ০ 
⇒ ৫ক = ৫০
⇒ ক = ৫০/৫ 
∴ ক = ১০ 

∴ আসল দৈর্ঘ্য = ৫ক = ৫ × ১০ = ৫০ সে.মি.

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার 
= ৪৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার 
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার 
= ১৬০ বর্গমিটার।

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র। কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ হয়ে যায়।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণের ৫ গুণ। কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি, একটি কোণ = ক
তাহলে, পূরক কোণ = ৯০° - ক
শর্তমতে,
ক = ৫(৯০° - ক)
⇒ ক = ৪৫০° - ৫ক
⇒ ক + ৫ক = ৪৫০°
⇒ ৬ক = ৪৫০° 
⇒ ক = ৭৫°

(অতিভুজ)² = (৫)^২
= ২৫ = ১৬ + ৯ = ৪^২ + ৩^২ = লম্ব^২ + ভুমি^{২
∴ অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি ও ৩ সেমি}

প্রশ্ন: ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 সে মি হলে, ঘনকের ধার কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 সে মি
মনে করি,
ঘনকের ধার m সে মি
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × ঘনকের ধার 
= √3 × m

শর্তমতে,
√3 × m = 15
বা, m = 15/√3
বা, m = (15 × √3)/(√3 × √3)
বা, m = (15 × √3)/3
∴ m = 5√3

∴ ঘনকের ধার 5√3 সে মি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। যদি প্রতি বর্গমিটার ঘাস লাগাতে ৩ টাকা খরচ হয়, তবে পুরো মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = ৩০ মিটার 
∴ আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (৫০ × ৩০) বর্গমিটার 
= ১৫০০ বর্গমিটার 

১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ৩ টাকা 
∴ ১৫০০ বর্গমিটারে খরচ হয় = (৩ × ১৫০০) টাকা 
= ৪৫০০ টাকা 

∴ ঘাস লাগাতে খরচ হবে = ৪৫০০ টাকা ।