জ্যামিতি

কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
EF = 1/2 (BC)

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{৩² + ২² + (৩/২)²}
= √(৯ + ৪ + ৯/৪)
= √৬১/৪
= √১৫.২৫
= ৩.৯১ মিঃ

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-

সমাধান: 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।
- বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০
ক্ষুদ্রতম কোণটি x হলে অপর কোণটি (x + ১০)
তাহলে, x + x + ১০ = ৯০
বা, ২x = ৮০
বা, x = ৪০
ক্ষুদ্রতম কোণটি ৪০ এবং অপর কোণটি (৪০ + ১০) বা, ৫০

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ১০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৩,৮৪০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মোট ব্যয় = ৩,৮৪০ টাকা
প্রতি বর্গমিটার কার্পেটিং খরচ = ১০ টাকা

সুতরাং, ঘরটির ক্ষেত্রফল = মোট ব্যয় ÷ প্রতি বর্গমিটার খরচ
= ৩,৮৪০ ÷ ১০
= ৩৮৪ বর্গমিটার

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = ১.৫ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
১.৫ক × ক = ৩৮৪
⇒ ১.৫ক^২ = ৩৮৪
⇒ ক^২ = ৩৮৪/১.৫
⇒ ক^২ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬

সুতরাং, প্রস্থ = ১৬ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ১৬ = ২৪ মিটার

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
চাকা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০/৬০ বার
​= ৫/২ বার

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৫/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০° × ৫)/২
​ = ৯০০°

প্রশ্ন: একটি কোণের পাঁচগুণ 180° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনেকরি একটি কোণ = x

প্রশ্নমতে, 5x = 180
⇒ x = 180/5
∴ x = 36

দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ 36° কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 36° = 144°

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ৫০° হয় তবে, তার কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত হবে?

সমাধান: 
বৃত্তস্থ কোণ (Inscribed Angle) : বৃত্তস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের যে কোন পয়েন্টে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি ভিন্ন পয়েন্টকে সংযোগ করে।

কেন্দ্রস্থ কোণ (Central Angle) : কেন্দ্রস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি পয়েন্টকে সংযোগ করে।

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অর্থাৎ
কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

দেওয়া আছে,
বৃত্তস্থ কোণ = ৫০°

∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = ২ × বৃত্তস্থ কোণ 
= ২ × ৫০°
= ১০০°

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 90° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ = 90°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/90°
= 4

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {4(4 - 3)}/2
= (4 × 1)/2
= 4/2
= 2 টি

এখানে, AC বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AC² = 100
∴ AC = 10
∴ AB = AC/√2
= 10/√2
= 10√2 /2
= 5√2

ধরি,
মাটি থেকে ক ফুট উচুতে খুটিটি ভেঙে যায়।
আমরা জানি, sin৩০° = লম্ব/অতিভূজ
বা, ১/২ = ক/(৩০-ক)
বা, (৩০-ক) = ২ক
বা,৩ক = ৩০
∴ক = ১০
অর্থাৎ, মাটি থেকে ১০ ফুট উচুতে খুটিটি ভেঙে যায়।

প্রশ্ন: রেখা y = 2x + 3 এর উপর উৎপত্তি বিন্দু (0, 0)থেকে লম্ব দূরত্ব কত?

সমাধান:
রেখা y = 2x + 3 কে সাধারণ আকারে লিখি:
⇒ 2x - y + 3 = 0

উৎপত্তি (0, 0) থেকে দূরত্ব সূত্র:
⇒ d = ( ∣Ax ​+ By ​+ C∣ ​) / √(A² + B²)

এখানে A = 2, B = -1, C = 3, (x₀, y₀) = (0, 0)
⇒ d = ( ∣2 × 0 - 1 × 0 + 3∣​ ) / √(4² + (-1)²)
⇒ d = 3 / √5

∴ y = 2x + 3 এর উপর উৎপত্তি বিন্দু (0, 0) থেকে লম্ব দূরত্ব 3/√5 

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 10 একক
ভূমি, b = 12 একক

আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (12/4) √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 √(400 - 144)
= 3 √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ একক ।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে মি এবং উচ্চতা ৯ সে মি হলে,সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৪ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৯ সে.মি.  

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৪(৪ + ৯)
= ২π × ৫২
= ১০৪π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. এবং তীর্যক উচ্চতা 10 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 14 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 10 cm

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 10
= 220 বর্গসেমি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 250 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক হলে অপরটি কত?   

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 250 বর্গ একক
একটি সন্নিহিত বাহু = 25 একক
 ধরি, অপর বাহু = x একক

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒  250 = (1/2) × (25 × x) 
⇒  x = (250 × 2)/25
⇒  x = 10 × 2
∴ x = 20 একক 

∴ নির্ণেয় বাহু = 20 একক। 

সমবাহু ত্রিভুজ এর বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল = √3a²/4

প্রশ্ন: cosA secA + 2 এর মান কত?
​
​সমাধান:
 cosA secA  + 2
​= cosA (1/cosA) + 2
​= 1 + 2
​= 3

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ চারগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (4r + r) = 5r 

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr² - πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

x অক্ষ হতে কোন বিন্দুর দূরত্ব, বিন্দুটির কোটির সমান। এখানে কোটি = ৩

ধরি,
প্রস্থ = ২x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২x) × (৩/২) মিটার
শর্তমতে,
(২x) × (৩/২) × 2x = ৯৬
বা, x^২ = ১৬
বা, x = ৪
∴ x = ৪
∴ প্রস্থ = ৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(১২ + ৮) = ৪০ মিটার

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
=  2 π × 2 × 6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।

যেহেতু বলাই আছে যে শিরঃকোণটির সমদ্বিখণ্ডক ভূমির উপর লম্ব অর্থাৎ পাশের দুইটি বাহু নিশ্চিতভাবেই সমান। এখন ভূমি এই দুটি বাহুর সমান হতেও পারে নাও পারে।
তবে, প্রশ্ন যদি এটা হয় যে, কোন ত্রিভুজের শিরঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক সর্বদা ভুমির উপর লম্ব হবে। তাহলে উত্তর সমবাহু।

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে কর্ণ x√2.
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x = 4 বর্গ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² = 4² = 16

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
দুইটি কোণের সমষ্টি ১০০° হলে তৃতীয় কোণের মান (১৮০-১০০)° = ৮০°।

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:

ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ ৩৬০⁰ 

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰
১ টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰/x

এখন,
৩৬০⁰/x = ৪০⁰
বা, x = ৩৬০⁰/৪০⁰
বা, x = ৯ টি

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১৮ মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ × (a²) বর্গএকক।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩/৪ × (১৮)^২ বর্গমিটার
= √৩/৪ × ৩২৪ বর্গমিটার
= ৮১√৩ বর্গমিটার।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৮১√৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি বৈদ্যুতিক পাখা প্রতি মিনিটে ২৪০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
সুতরাং, ৬০ সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে ২৪০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে = ২৪০/৬০ = ৪ বার

আবার,
পাখাটি ১ বার ঘুরলে ৩৬০° কোণ অতিক্রম করে।
∴ ৪ বার ঘুরলে পাখাটি অতিক্রম করে = (৪ × ৩৬০)°
= ১৪৪০°

∴ এক সেকেন্ডে পাখাটি ১৪৪০° ঘুরে।

প্রশ্ন: যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ৩ সেমি এবং উচ্চতা ১৪ সেমি হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?

সমাধান:

শঙ্কু মানে হচ্ছে সমবৃত্তভূমিক কোণক।

ধরা যাক,
ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১৪ সে.মি.

এখন,
আয়তন = (১/৩) × π × r² × h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩² × ১৪
= ১৩২ ঘন সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
তাহলে, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(২ক + ক) মিটার
এবং আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ৩৩৮
⇒ ক^২ = ১৬৯
⇒ ক = ১৩

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২{(১৩ × ২) + ১৩} মিটার
=২ × ৩৯ মিটার
= ৭৮ মিটার

দেওয়া আছে,
sec²θ+tan²θ=7
⇒ 1+tan²θ+tan²θ =7
⇒1+2tan²θ = 7
⇒ 2tan²θ = 6
⇒ tan²θ = 3
⇒tanθ = √3
⇒tanθ = tan60º
∴ θ = 60º

180° = π রেডিয়ান
1° = π/180 রেডিয়ান

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান- 
​
​সমাধান:
​সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle) হলো এমন একটি ত্রিভুজ যার তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।

​আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
যেহেতু একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান,
∴ প্রতিটি কোণের মান = ১৮০°/৩ = ৬০°

​সুতরাং, একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গজ হলে এর পরিধি কত ইঞ্চি

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4 গজ

আমরা জানি,
1 গজ = 36 ইঞ্চি

∴ ব্যাসার্ধ = 4 × 36 = 144 ইঞ্চি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × π × 144
= 288π ইঞ্চি

 সুতরাং, ৪ গজ ব্যাসার্ধের বৃত্তটির পরিধি 288π ইঞ্চি। 

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√৩ মি. হলে ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০√৩ মি.
তাহলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য হবে = ১০ মি.

আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন = ক^৩ ঘন মি.।

তাহলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মি. হলে এর আয়তন হবে = ১০^৩ ঘন মি. = ১০০০ ঘন মি.।