জ্যামিতি

প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 15 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কোণকের উচ্চতা, h = 15 সে.মি
এবং
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি 

আমরা জানি, 
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h² + r²) একক
= √(15² + 8²) সে.মি
= √(225 + 64) সে.মি
= √(289) সে.মি
= 17 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 17 সে.মি।

প্রশ্ন: যদি একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3r হয়, তবে তার আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ = 3r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3) × πr³
= (4/3) × π(3r)³
= (4/3) × π × 27 × r³
= 36πr³ 

ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ক্ষেত্রফল = 16/4 √(4 × 10² - 16²)
= 4 √(400 - 256)
= 4 √144
= 48

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 88 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 88 সে.মি. 

প্রশ্নমতে,
2πr = 88
⇒ r = 88/2π
⇒ r = 88/{2 × (22/7)}
⇒ r = (88 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 14

অর্থাৎ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি.

আমরা জানি,
সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 80° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°- 80°)
= 1/2 × 100°
= 50°

ধরি, x মি. গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ১০০ বার বেশি ঘুরবে।
x মি. যেতে সামনের চাকা ঘোরে x/৩ বার এবং পিছনের চাকা ঘোরে x/৪ বার।
প্রশ্নমতে, x/৩ - x/৪ = ১০০
⇒ (৪x - ৩x)/১২ = ১০০
⇒ x = ১২০০
∴ নির্ণেয় দূরত্ব = ১২০০ মিটার।

প্রশ্ন: (3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 24 ...... (1) 
4x + 3y = 33 ...... (2) 

{(1) × 3}  - {(2) × 2} নং সমীকরণ থেকে পাই, 
9x + 6y - 8x - 6y = 72 - 66 
⇒ x = 6 

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
3 × 6 + 2y = 24
⇒ 18 + 2y = 24
⇒ 2y = 24 - 18
⇒ 2y = 6
⇒ y = 3 

∴ সরলরেখা দুটি (6, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)^২ = ১০০π

ব্যাসার্ধ ২০% কমালে নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ২০%
= ১০ - ২
= ৮

তাহলে, নতুন ক্ষেত্রফল = π(৮)^২ = ৬৪π

∴ ক্ষেত্রফল কমে= ১০০π - ৬৪π = ৩৬π

১০০π ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে ৩৬π  
∴ ১ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে (৩৬π/১০০π)
∴ ১০০ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে = {(৩৬π/১০০)× ১০০}%
= ৩৬%

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = ৩৬%

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের ৪টি বাহু যথাক্রমে ৪, ৩, ২, ৫। এটি কোন ধরণের চতুর্ভুজ? 

সমাধান: 
• সমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু সমান
- বিপরীত বাহু সমান্তর
- বিপরীত কোণ সমান

• সামান্তরিক:
- বিপরীত বাহু সমান্তর।
- বিপরীত কোণ সমান।
- বিপরীত বাহু সমান।

• বিষমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু ভিন্ন।
- সাধারণত কোনো কোণ বা বাহু সমান্তর নেই।

• আয়তক্ষেত্র:
- বিপরীত বাহুগুলো সমান।
- প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।

∴  চতুর্ভুজটি হবে বিষমবাহু চতুর্ভুজ।

এখানে,
n + 90° + 3n + 2n = 180°
বা, 6n = 90°
∴ n = 15°

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে ∠DOF এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠AOC = 30°
∠BOE = 60°

∠AOC = ∠BOD = 30° [বিপ্রতীপ কোণ]
∠BOE = ∠AOF = 60° [বিপ্রতীপ কোণ]

এখন,
∠AOF + ∠DOF + ∠BOD = 180°
⇒ 60° + ∠DOF + 30° = 180°
⇒ 90° + ∠DOF = 180°
⇒ ∠DOF = 180° - 90°
⇒ ∠DOF = 90°

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x²
শর্তমতে, 2x² = 1458
বা, x² = 729
বা, x = 27
সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 27 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 54 মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত ১ : ৪ হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত = ১ : ৪

ধরি বাহু = a মিটার
তাহলে, ক্ষেত্রফল = a^২ বর্গমিটার
পরিসীমা = ৪a মিটার

∴ অনুপাত, 
a^২/৪a = ১/৪
⇒ a/৪ = ১/৪
⇒ a = ৪ × (১/৪)
∴ a = ১ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√২ একক 
= (১ × √২) মিটার
= √২ মিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য √২ মিটার।

বর্ননা অনুসারে , BC = 8 মি.
∴ EF = 1/2 BC = 1/2 × 8 = 4 মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি. হলে, চাপটি কেন্দ্রে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি.

আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৭
= ৪৪ সে.মি.

আবার, 
কেন্দ্রীয় কোণ, θ = (চাপের দৈর্ঘ্য/পরিধি) × ৩৬০°
= (১১/৪৪) × ৩৬০°
= (১/৪) × ৩৬০°
= ৯০°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি. 

ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি. 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ক^২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি. 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক 
= (৪ × ৬) সে.মি
= ২৪ সে.মি। 

প্রশ্ন: ৪৫° এর সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান: 
সম্পূরক কোনের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6√3 সেমি হলে তার পরিধি কত?

সমাধান:
a হলো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।
তাহলে উচ্চতা;
h = (√3/2) × a
প্রদত্ত: h = 6√3​

6√3 = (√3/2) × a
⇒ a = (6√3 × 2) / √3
⇒ a = (6 × 2)
⇒ a = 12

পরিধি (P) = 3 × বাহু
P = 3 × 12 = 36 সেমি

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি = 36 সেমি

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

প্রদত্ত অনুপাত গুলোর মধ্যে,
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২

অন্যদিকে,
৫^২ + ৪^২ ≠  ৬^২
৮^২ + ৪^২ ≠  ১২^২
৪^২ + ৩^২ ≠  ৬^২

অর্থাৎ ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৯ : ১২ : ১৫ হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। 

মনে করি,
একটি কোণ ক তাহলে অপর কোণ 90-ক।
শর্তমতে,
ক - (90-ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণ = 90-ক = 90-49 = 41°

প্রশ্ন: ৩.৫ সে.মি ব্যাসার্ধ এবং ৮ সে.মি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩.৫ সে.মি
এবং
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = ৮ সে.মি 

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘন একক 
= (২২/৭) × (৩.৫)^২ × ৮ ঘন সে.মি
= (২২/৭) × ৩.৫ × ৩.৫ × ৮ ঘন সে.মি
= ২২ × ০.৫ × ৩.৫ × ৮ ঘন সে.মি
= ৩০৮ ঘন সে.মি 

∴ সিলিন্ডারের আয়তন = ৩০৮ ঘন সে.মি।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ১৬ সে.মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ সে.মি.
একটি কর্ণ, d₁ = ১৬ সে.মি. 
অপর কর্ণ, d₂ = ? সে.মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × d1 × d₂
⇒ (১/২) × ১৬ × d₂ = ৯৬
⇒ ৮ × d₂ = ৯৬
⇒ d₂ = ৯৬/৮ 
∴ d₂ = ১২ সে.মি.

সুতরাং, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।

গোলকের ব্যাস = ১৮ সেঃমিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = ৯ সেঃমিঃ
∴ আয়তন = ৪/৩π(৯)^৩
= (৪/৩) × π × ৯ × ৯ × ৯
= ৯৭২π ঘনসেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে r + n করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত?

সমাধান:
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr²
এবং ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)²

প্রশ্নমতে,
2 × πr² = π (r + n)²
বা, 2r² = (r + n)²
বা, √2 r = r + n
বা, √2 r - r = n
বা, r (√2 - 1) = n
∴ r = n/(√2 - 1)

সম্পূরক কোণের দুইটি কোণের পরিমাণ ১৮০° হয়।
∴ ৬৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৬৫)° = ১১৫°

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২১ সেমি হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে,
PN মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র।
∴ PM : MN = ২ : ১

মোট অনুপাত = ২ + ১ = ৩
মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য = ২১ সেমি
ভরকেন্দ্র M, মধ্যমা PN-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PM এবং MN।

∴ PM-এর দৈর্ঘ্য = ২১ এর (২/৩) অংশ
= ২১ × (২/৩) সেমি
= ১৪ সেমি

সুতরাং, PM-এর দৈর্ঘ্য ১৪ সেমি।

প্রশ্ন: 6 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 মিটার 
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60° 

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =  (θ/360) × πr² 
∴ প্রদত্ত বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr² 
= (60/360) × π × (6)² 
= (1/6) × π × 36 
= 6π 

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বেলন বা সিলিন্ডার: 
- কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।


- সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
- বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে-
• ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
• আয়তন (Volume) = πr²h
• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
• সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 

প্রশ্ন: secA - tanA = 4/5 হলে, tanA + secA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
sec²A - tan²A = 1 
বা, (secA + tanA)(secA - tanA) = 1 
বা, 4/5 (secA + tanA) = 1 
∴ secA + tanA = 5/4 

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 গুণ বৃদ্বি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ =  (2r + r) = 3r 

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(3r)² =9πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 9πr² - πr² = 8πr²

∴ 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে। 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি এবং উচ্চতা ৫ সে.মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু = ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি
এবং 
উচ্চতা = ৫ সে.মি

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা} বর্গ একক 
= {(১/২) × (৬ + ১৪) × ৫} বর্গ সে.মি 
= {(১/২) × ২০ × ৫} বর্গ সে.মি 
= ৫০ বর্গ সে.মি।