জ্যামিতি

আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

প্রশ্ন: যদি sinθ = √2 - cosθ হয়, তবে θ এর মান কত? যেখানে, 0 < θ < π/2.

সমাধান:
sinθ = √2 - cosθ
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ cosθ = cos(π/4)
∴ θ = π/4

ABC সমবাহু ত্রিভূজে AB = BC = CA = ২ সে. মি.
AD মধ্যমা
∴ AD ⊥ BC এবং CD = ১ সে. মি.
∴ AC² = AD² + CD²
বা, AD = √(AC² - CD²)
= √(২^২ - ১^২)
= √৩

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে কী বলে?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল।
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না।
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে।
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে।
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৯ : ১০ : ১২ : ১৪ : ১৫ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
পঞ্চভুজটির কোণগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে ৯ক, ১০ক, ১২ক, ১৪ক , ১৫ক 

আমরা জানি,
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ ৫ টি কোণের সমষ্টি = (২n - ৪) × ৯০° 
= (২ × ৫ - ৪) × ৯০° 
= (১০ - ৪) × ৯০° 
= ৬ ×  ৯০° = ৫৪০°

প্রশ্নমতে,
৯ক + ১০ক + ১২ক + ১৪ক + ১৫ক = ৫৪০° 
⇒ ৬০ক = ৫৪০°
 ⇒ ক = ৫৪০°/৬০ 
 ⇒ ক = ৯° 

∴ বৃহত্তম কোণ = (১৫ × ৯)° = ১৩৫° 
এবং ক্ষুদ্রতম কোণ = (৯ × ৯)° = ৮১° 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর = (১৩৫ - ৮১)° = ৫৪° 

প্রশ্ন: sin45° = √2A হলে, A = কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
sin45° = √2A
⇒ ​​1/√2 = √2A
∴ ​A = 1/2

প্রদত্ত কোনদ্বয়ের সমষ্টি = (৩৫ + ৫৫) বা ৯০°
তাহলে, অপর কোনটিও ৯০ কারন ত্রিভুজের তিনকোনের সমষ্টি ১৮০°
যার এককোন সমকোন তাকে সমকোনী ত্রিভুজ বলে।

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের ২/৩ অংশের সমান। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের যোগফল দুই সমকোণের সমান বা ১৮০° হলে, একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি, কোণটির মান = x°
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x°

প্রশ্নমতে,
x° = (২/৩) × (১৮০° - x°)
বা, ৩x° = ২ × (১৮০° - x°)
বা, ৩x° = ৩৬০° - ২x°
বা, ৩x° + ২x° = ৩৬০°
বা, ৫x° = ৩৬০°
বা, x° = ৩৬০°/৫
∴ x° = ৭২°

∴ কোণটির মান ৭২°।

প্রশ্ন: একটি ২০ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 'ক' মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১২ মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (১২)^২ = (২০)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ১৪৪ = ৪০০
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ৪০০ - ১৪৪ = ২৫৬
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √২৫৬ = ১৬

সুতরাং, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ১৬ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে,  কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
৪৩° + ৪৭° = ৯০°
∴ ৪৩° ও ৪৭° পরস্পর পূরক কোণ। 

প্রশ্ন: যদি tan 53° = 4/3 হয় তবে tan8°-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan 53° = 4/3

আমরা জানি,
8° = 53° - 45°
tan8° = tan(53° - 45°)
⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)  ; [tan(x - y) = (tanx - tany)/(1 + tanx . tany)]
⇒ tan8° = {(4/3) - 1){/{(1 + (4/3)}
⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)
⇒ tan8° = (1/3) × (3/7)
∴ tan8° = 1/7

প্রশ্ন: ৮ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের সূত্র:
= [(n - ২) × ১৮০°] / n
= [(8 - ২) × ১৮০°] / ৮
= (৬ × ১৮০°) / ৮
= ১০৮০°/ ৮
= ১৩৫°

∴ ৮ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৩৫° 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(২ক + ক) একক
= ৬ক একক

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ৩ক/২)২ = (৯ক২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক২)/৪ : (২ক২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি. 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = 8 সে.মি. 

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (8/4) × √(4 × 5² - 8²) 
= 2√(4 × 25 - 64) 
= 2√(100 - 64) 
= 2√36
= 2 × 6
= 12 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে.মি.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজটির A + C = ১৮০°
∴ ∠A = ১৮০° - ∠C
= ১৮০° - ৭০°
= ১১০°

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য ১২ মিটার, প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২(১২ + ৮) মিটার
= ২ × ২০ মিটার
= ৪০ মিটার 

আমরা জানি,
চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = পরিসীমা × উচ্চতা
= (৪০ × ৩.৫) বর্গমিটার 
= ১৪০ বর্গমিটার 

মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ২৫ সে.মি., প্রস্থ, b = ২০ সে.মি. এবং উচ্চতা, c = ১৫ সে.মি.।
আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab+bc+ca)
= ২(২৫×২০+২০×১৫+১৫×২৫) বর্গ সে.মি.
= ২৩৫০ বর্গ সে.মি.
উৎসঃ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার বাগানের পরিধি ৩৫২ মিটার হলে বাগানটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তাকার বাগানের পরিসীমা = ৩৫২ মিটার 

প্রশ্নমতে,
২πr = ৩৫২
⇒ πr = ৩৫২/২
 ⇒ πr = ১৭৬
 ⇒ r = ১৭৬/π 
 ⇒ r = ১৭৬/(২২/৭) 
 ⇒ r = (১৭৬ × ৭)/২২ 
 ⇒ r = ৫৬

∴ বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr^২ 
= (২২/৭) × (৫৬)^২ 
= (২২/৭) × ৫৬ × ৫৬ 
= ৯৮৫৬ বর্গমিটার 

ট্রাপিজয়ামের বৈশিষ্ট্য অনুসারে।

প্রশ্ন: এক সরলকোণের মান কত?

সমাধান: 

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরলকোণ বলে। চিত্রে ∠BAC হচ্ছে এক সরলকোণ। সরলকোণের পরিমাপ দুই সমকোণ বা ১৮০°।

মনে করি ΔABC এর ∠X + ∠Y + ∠Z = (∠A + ∠B + ∠A + ∠C + ∠B + ∠C)
= 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2 × 180° = 360°

প্রশ্ন: 2cosθ = 2 হলে, sin²θ এর মান কত?

সমাধান:
2cosθ = 2
⇒ cosθ = 2/2
⇒ cosθ = cos0°
∴ θ = 0°

এখন
sin²θ
=(sin0°)²
=(0)²
= 0

১ম রেখার ঢাল = -(1/1) = -1,
২য় রেখার ঢাল = -(1/-1) = 1
ঢালদ্বয়ের গুণফল = (-1)(1) = -1
∴ রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব; ফলে ত্রিভূজটি সমকোণী ত্রিভূজ।