জ্যামিতি

দেয়া আছে, 
রম্বসের পরিসীমা ৫৬ মিটার
উচ্চতা ৫ মিটার 

রম্বসের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৬/৪ মিটার = ১৪ মিটার

রম্বস এক ধরণের সামন্তরিক। তাই রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করা যাবে।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
                           = (১৪×৫) মিটার 
                            = ৭০ মিটার


--------------------
বিভিন্নভাবে রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
যেমন -
১. ভূমি ও উচ্চতার ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের ভূমি b একক এবং উচ্চতা h একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল =(ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক।

২. ভূমি ও শীর্ষকোণের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং সন্নিহিত কোণদ্বয় θ ও φ হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = a²sinθ বর্গ একক।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = a²sinφ বর্গ একক।

৩. কর্ণদ্বয়ের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য d₁ একক ও d₂ একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2(d₁d₂) বর্গ একক

৪. অন্তর্লিখিত বৃত্তের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 2ar বর্গ একক।
রম্বসের ক্ষেত্রফল =(অর্ধপরিসীমা × ব্যাসার্ধ) বর্গ একক।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(৫ × ৬)
= ১৫ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3

ধরি 
১ম বাহু = x
২য় বাহু = 2√2x
৩য় বাহু = 3x

এখন 
⇒ (3x)² = (2√2x)² + x²
⇒ 9x² = 8x² + x²
⇒ 9x² = 9x²

প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°

চিত্রানুসারে tanx = 4/3 হলে,
cosx = 3/5
কিন্তু x, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত হওয়ায়  cosx এর মান ঋণাত্মক হবে।
∴ cosx = -(3/5)

(1-tan²60°)/(1+tan²60°) + sin²60°
= (1-(√3)²)/(1+(√3)²) + (√3/2)²
= (1-3)/(1+3) + 3/4
= -2/4 + 3/4
= 1/4

প্রশ্ন: একটি পিজ্জা বৃত্তাকার এবং এর ব্যাস 28 সে.মি.। পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পিজ্জার ব্যাস = 28 সে.মি.
∴ পিজ্জার ব্যাসার্ধ, r = 28/2 = 14 সে.মি.
পিজ্জাটি বৃত্তাকার, তাই এর মোট ক্ষেত্রফল = πr2
= π × (14)2
= (22/7) × 14 × 14
= 22 × 28
= 616 বর্গসে.মি.

এখন, পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে,
প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল/7​
= 616/7 বর্গসে.মি.
= 88 বর্গসে.মি.

∴ প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল 88 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠B কোণটি সমকোণ।
এবং, tanA = লম্ব/ভূমি  = 1 
অর্থাৎ, ভূমি = 1, লম্ব = 1
ধরি, অতিভুজ = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
a² = 1² + 1²
⇒ a² = 1 + 1
⇒ a² = 2
⇒ a = √2

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ  = 1/√2
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

∴ 2sinAcosA = 2 × (1/√2) × (1/√2) 
= 2 × (1/2)
= 1

আবার,
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - ∠B
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - 1 সমকোণ
∴ ∠A + ∠C = 1 সমকোণ

ধরি, একটি কোন X
অপর কোন ৯০-X
সুতরাং ৯০-X-X=২
কারণ এখানে সমকোণী ত্রিভুজের বাকি কোন দুটির সমষ্টি ৯০°
২X=৮৮
X=৪৪
৯০-৪৪=৪৬

প্রশ্ন: cosθ = √3/2 হলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = √3/2
বা, cosθ = cos30°
∴ θ = 30°

এখন,
cotθ
= cot30°
= √3

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 180°।

যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণ যথাক্রমে A, B এবং C হয়, তবে,
A + B + C = 180°
একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা তার অন্তঃস্থ সন্নিহিত কোণের সাথে 180° কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ = 180° - অন্তঃস্থ কোণ।

সকল বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 3 × 180° - (A + B + C) 
= 540° - 180° = 360° 

∴ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা 360°।

প্রশ্ন: ৫ সে. মি. ১২ সে. মি. এবং ১৩ সে. মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ সে. মি. ১২ সে. মি. এবং ১৩ সে. মি.

এখানে,
১৩^২ = ১৬৯
আবার,
১২^২ + ৫^২ = ১৪৪ + ২৫ = ১৬৯

কোন ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।
তাহলে, ত্রিভুজটি সমকোণী।  

প্রশ্ন: ৫৬° এর সম্পূরক ও পূরক কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান: 
৫৬° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৬° = ১২৪°
৫৬° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৬° = ৩৪°

∴ কোণের পার্থক্য = ১২৪° - ৩৪° = ৯০°

প্রশ্ন: 2 + tan²θ = 5 হলে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
2 + tan²θ = 5 
বা, tan²θ = 5 - 2 
বা, tan²θ = 3 
বা, tanθ = √3 
বা, tan θ = tan 60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: ৭ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস =  ৭ সে.মি.

বৃত্তের ভেতরে বর্গক্ষেত্র অংকিত হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হচ্ছে ঐ বৃত্তটির ব্যাস।
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৭ সে.মি.
⇒ a√২ = ৭
∴ a  = ৭/√২

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = a^২ = (৭/√২)^২ = ৪৯/২ = ২৪.৫ বর্গ সে.মি.

∴ অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪.৫ বর্গ সে.মি.।

AB খুটির পাদবিন্দু B হতে মইয়ের পাদবিন্দু C এর দূরত্ব BC = 9 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 41 ফুট।
∴ খুটির দৈর্ঘ্য AB = √(AC² - BC²) [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]
∴ AB = √(41² - 9²) = 40
∴ বৈদ্যুতিক খুটির দৈর্ঘ্য = 40 ফুট

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার 

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার
= ২৫২০ বর্গমিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a × √2 একক

দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2 একক

অতএব,
a × √2 = 4√2
⇒ a = 4

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a = 4 × 4 = 16 একক

প্রশ্ন: 
​
​
​​​​সমাধান:

​

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২ এয়র, এর প্রস্থ ১২.৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২.৫ মিটার 

আমরা জানি, 
১ এয়র = ১০০ বর্গমিটার 
∴ ২ এয়র = (১০০ × ২) বর্গমিটার = ২০০ বর্গমিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ 
বা, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল/প্রস্থ 
বা, দৈর্ঘ্য = ২০০/১২.৫ 
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার । 

প্রশ্ন: একটি পেন্টাগনের কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজ বা পেন্টাগনের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

কোণগুলোের অনুপাতের সমষ্টি = (9 + 10 + 12 + 14 + 15)
= 60 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (9/60) × 540° = 81° 
বৃহত্তম কোণ = (15/60) × 540° = 135° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি = 135° - 81° = 54°

1 রেডিয়ান = 180/π ডিগ্রি
∴ π/15 রেডিয়ান = 180/π × π/15
= 12 ডিগ্রি

ধরি, প্রস্থ = x মি.
∴ দৈর্ঘ্য = (x + 2) মি.
প্রশ্নমতে,
2 (x + x + 2) = 28
বা, 2x + 2 = 14
বা, 2x = 12
∴ x = 6
∴ দৈর্ঘ্য = (6 + 2) মি. = 8 মি.

প্রশ্ন: tan 30° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
tan 30° = 1/√3
tan 60° = √3
sin 30° = 1/2 
sin 60° = √3/2

সুতরাং,  tan 30° এর মান 1/√3.

প্রশ্ন: secθ = √4 হলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = √4
⇒ sec²θ = (√4)² 
⇒ sec²θ = 4

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ 4 - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = 4 - 1
⇒ tan²θ = 3 
⇒ tanθ = √3

এখানে,
3x + 4x + 2x = 360°
বা, 9x = 360°
∴ x = 40°
বা, 2x = 80°
∴ ∠ACB = 180° - 80°
= 100°

যেহেতু কোণটি নেগেটিভ, তাই তা ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরবে।
-300 = - (3x90 + 30)
অর্থাৎ, ১ম সমকোণ চতুর্থ ভাগ,
২য় সমকোণ তৃতীয় ভাগ,
৩য় সমকোণ দ্বিতীয় ভাগ,
এবং +30 মানে প্রথম ভাগ।

প্রশ্ন: sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30° এর মান কত? 

সমাধান: 

আমরা জানি, 
ত্রিকোণমিতির মান তালিকা অনুযায়ী- 
sin 60° = cos 30° = √3/2
cos 60° = sin 30° = 1/2

এখন, 
sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30°
= (√3/2) . (√3/2) + (1/2) . (1/2)
= (3/4) + (1/4)
= (3 + 1)/4
= 4/4
= 1

দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
কোণটির মান x হলে,
x + x - 16 = 90
⇒ 2x = 106
∴ x = 53

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
তাই একমাত্র খ অপশন ছাড়া অন্য কোনটা এটি সমর্থন করে না।

সমকোণী ত্রিভূজের একটি সমকোণ = 90°
২য় কোণ = 50°
∴ ৩য় কোণ = 180° - (90° + 50°)
= 40°

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
একটি বৃত্ত ও একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 
πr² = x
r² =x/π
r = √(x/π)

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
x = a²
a = √x

বর্গক্ষেত্রের বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত = √x : √(x/π)
= 1 : 1/√π
= √π : 1

হেলানো তলের উচ্চতা = √(৩^২ + ৪^২) = ৫

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 20% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কতটুকু বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ r একক।
ক্ষেত্রফল, A = πr² বর্গএকক।

ব্যাসার্ধ r এর 20% বৃদ্ধি পেলে নতুন ব্যাসার্ধ, r₁ = r × (1 + 20/100)
= r × (1 + 0.20)
= 1.2r একক।

তাহলে,
নতুন ক্ষেত্রফল, A₁ = πr₁² বর্গএকক
= π(1.2r)²
= 1.44πr² বর্গএকক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ
= (1.44πr² - πr²)
= 0.44πr² বর্গএকক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (বৃদ্ধির পরিমাণ/ প্রাথমিক ক্ষেত্রফল) × 100%
= (0.44πr²/πr²) × 100%
= 0.44 × 100%
= 44%।

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = 44%