জ্যামিতি

প্রশ্ন: ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠C = 90° , AC = 5 সে.মি. হলে AB = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে,
∠C = 90°
AC = 5 সে.মি.
∴ AC = BC = 5 সে.মি.

মনে করি,
ABC সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে, AC = ভূমি, BC = লম্ব, AB = অতিভুজ

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² = BC² + AC²
⇒ AB² = 5² + 5²
⇒ AB² = 25 + 25
⇒ AB² = 50
⇒ AB = √50
⇒ AB = √(25 × 2)
⇒ AB = 5√2

A = 90°
∴ B + C = 90°
বা, C = 90° - B
বা, sinC = sin(90° - B)
= cosB
∴ sin²B + sin²C
= sin²B + cos²B
= 1

ধরি, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা = h
বৃত্তের ব্যাস = 4a তাহলে ব্যাসার্ধ = 4a/2 = 2a
সুতরাং,
4a × h = 4Πa²
∴ h = Πa

প্রশ্ন: গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
• গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক  ।
• গোলকের আয়তন = (4/3) πr³ ঘন একক ।

• কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h² + r²) বর্গ একক । 
• কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক । 
• কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h ঘন একক । 

• বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²  । 
• বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 
• বেলনের আয়তন = πr²h   ।

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 2 মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a²
= √3/4 × 2²
= √3/4 × 4
= √3

প্রশ্ন: রেখা'র ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সেমি এবং আয়তন 48π ঘন সেমি হলে, কোণকটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 12 সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সেমি
আয়তন = 48π ঘন সেমি

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π × (6)² × h = 48π
⇒ (1/3) × 36 × h = 48
⇒ 12 × h = 48
⇒ h = 48/12
⇒ h = 4 সেমি

∴ কোণকটির উচ্চতা 4 সেমি। 

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 14 সে.মি. এবং উচ্চতা 10 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = 14 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 10 সে.মি.

আমরা জানি, সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
∴ আয়তন = π × (7)² × 10
= π × 49 × 10
= 490π ঘন সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় আয়তন = 490π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ৬৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৬৬ = (১/২) × ক × ১২
বা, ৬ক = ৬৬
∴ ক = ১১

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১১ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার জমির বাহু তিনটি যথাক্রমে 25 মিটার, 20 মিটার এবং 15 মিটার। যদি প্রতি বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে 3.50 টাকা খরচ হয়। তাহলে পুরো জমিতে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
ধরি,
a = 25 m, b = 20 m এবং c = 15 m

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (25 + 20 + 15)/2
= 60/2
= 30 মিটার 

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{30 × (30 - 25) × (30 - 20) × (30 - 15)​}
= √(30 × 5 × 10 × 15​)
= √22500
= 150 বর্গ মিটার

∴ 1 বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে খরচ = 3.50 টাকা 
∴ 150 বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে খরচ = 3.50 × 150 = 525 টাকা

সুতরাং, পুরো জমিতে ঘাস লাগাতে মোট 525 টাকা খরচ হবে। 

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি 
বৃত্তের ব্যাস = 2r সেমি
বৃত্তের পরিধি =2πr সেমি
প্রশ্নমতে,
বা, 2πr - 2r = 90
বা, 2r =90/(3.1416 - 1)
বা, r = 45/(3.1416 - 1) = 21.01 সেমি

প্রশ্ন: [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + cosec²θ)] এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + cosec²θ)]
= [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + (1/sin²θ))] 
= [1/(1 + sin²θ)] + [sin²θ/(1 + sin²θ)]
= (1 + sin²θ)/(1 + sin²θ)
= 1 

ধরি, দৈর্ঘ্য ক ও প্রস্থ খ
তাহলে, ক্ষেত্রফল = কখ
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১.২০ক
ও প্রস্থ ২০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ০.৮০খ
নতুন ক্ষেত্রফল = ০.৯৬ কখ
ক্ষেত্রফল হ্রাস= কখ - ০.৯৬কখ = ০.০৪ কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস = (০.০৪ × ১০০)/১০০ = ৪%

আমরা জানি, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
মনে করি, ∠B + ∠C = 78°
∴ ∠A = 180° - 78° = 102°

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ১০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = ১০০ একক
ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক = ১০০০০ বর্গএকক 

বাহুর দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি করা হলে,
নতুন বাহু = ১০০ + ১০০ এর ১০% = ১০০ + ১০ = ১১০ একক 
নতুন ক্ষেত্রফল = (১১০)^২ = ১২১০০ বর্গ একক

 ∴ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (১২১০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ২১০০ বর্গ একক 

১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ২১০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় =২১০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = (২১০০ × ১০০)/১০০০০ = ২১ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ২১ %

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা PQ = 6 সে.মি. এবং OR ⊥ PQ হলে, ∠QOS কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ΔPOQ- এ OQ = OP
অতএব, ΔPOQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
দেওয়া আছে,
∠OQP = 30° এবং ∠OPQ = 30°

∴ ∠QOP = 180° - (30° + 30°) = 120°

এবং চিত্রে দেখা যাচ্ছে, S, O, P একই সরলরেখায় অবস্থিত
অর্থাৎ,
∠QOS = 180° - ∠QOP 
= 180° - 120°
= 60°
∴ ∠QOS = 60°

প্রশ্ন: A = π/2 এবং B = π/6 হলে, sin(A + B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = π/2 এবং B = π/6
∴ sin(A + B) 
= sin{(π/2) + (π/6)}
= sin{3π + π)/6}
= sin(4π/6)
= sin(2π/3)
= sin120°     [π = 180°]
= sin(90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য 25 সে.মি. এবং উচ্চতা 16 সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = 25 সে.মি.
এবং উচ্চতা = 16 সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (25 × 16)
= 400 বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 400 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: রাজশাহী বিমানবন্দরের রানওয়ের দৈর্ঘ্য ১.৫ কিলোমিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার। রানওয়ের চতুর্পাশে প্রতি ৩ মিটার অন্তর একটি লাইট প্রতিস্থাপন করা হলে মোট কতগুলো লাইট লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রানওয়ের দৈর্ঘ্য = ১.৫ কিলোমিটার = ১৫০০ মিটার
রানওয়ের প্রস্থ = ৩০ মিটার
প্রতি ৩ মিটার অন্তর লাইট বসানো হবে।

দৈর্ঘ্য বরাবর লাইট লাগবে = (১৫০০/৩) + ১ = ৫০০ + ১ = ৫০১
প্রস্থ বরাবর লাইট লাগবে = ৩০/৩ + ১ = ১০ + ১ = ১১

মোট লাইট লাগবে = (৫০১ + ৫০১ + ১১ + ১১) - ৪ [ এখানে ৪ হলো দুই দিকের প্রস্থের দুই প্রান্তের মোট ৪টি লাইট ]
= ১০২০

প্রশ্ন: 616 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল এবং 88 মিটার পরিধি বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস বের করুন।

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের পরিধি = 88 মিটার
⇒ 2πr = 88
⇒ 2 × (22/7) × r = 88
⇒ (44/7) × r = 88
⇒ r/7 = 2
⇒ r = 7 × 2
⇒ r = 14 মিটার।

বৃত্তটির ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
= 2 × 14
= 28 মিটার।

অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 28 মিটার।

এখানে,
12² + 35²
= 144 + 1225
= (37)²
∴ ত্রিভূজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং উচ্চতা h সে.মি. হলে, h এর মান কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২
= (√৩/৪) × ৪^২
= (√৩/৪) × ১৬
= ৪√৩ বর্গ সে.মি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভিত্তি × উচ্চতা
= (১/২) × ৪ × h
= ২h

প্রশ্নমতে,
২h = ৪√৩
⇒ h = ২√৩

∴ উচ্চতা ২√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 96
⇒ a² = 96/6
⇒ a² = 16
⇒ a = √16 = 4
∴ a = 4 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= 4 × √3  ; [a = 4]
= 4√3

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার।

বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বেলন বা সিলিন্ডার: 
- কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।

- সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
- বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে-
• ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
• আয়তন (Volume) = πr²h
• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
• সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের চতুর্থাংশের সমান। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = a°
এর পূরক কোণ = 90° - a°

প্রশ্নমতে,
a° = (90° - a°)/4
⇒ 4a° = 90° - a°
⇒ 5a° = 90°
∴ a° = 90°/5 = 18°

প্রশ্ন: ABC ত্রিভূজের ∠B = 90 ডিগ্রী এবং ∠A : ∠C = 3 : 6 হলে কোণ দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ABC ত্রিভুজে ∠B = 90° (সমকোণী ত্রিভুজ) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
সুতরাং ∠A + ∠C + 90° = 180°
⇒ ∠A + ∠C = 90°

প্রশ্নমতে,
∠A : ∠C = 3 : 6
⇒ ∠A/∠C = 3/6 = 1/2 
⇒ ∠A = (1/2) × ∠C

এখন ∠A + ∠C = 90° বসিয়ে:
(1/2)∠C + ∠C = 90°
⇒ (1/2 + 1)∠C = 90°
⇒ (3/2)∠C = 90°
⇒ ∠C = 90° × (2/3) = 60°

তাহলে, ∠A = 90° - 60° = 30° 

অতএব কোণ দুটির (∠A ও ∠C-এর) অনুপাত = 30° : 60° 

প্রশ্ন: যদি θ একটি সূক্ষ্মকোণ এবং 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হয়, তাহলে cot²θ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 − sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 − 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ cot²30° = (√3)² = 3

প্রশ্ন: cosθ - sin2θ= 0 হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
 θ = 30° হলে 
cos30° - sin(2 ×30°)
=cos30° - sin60°
= (√3/2) - (√3/2)
=(√3 - √3)/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: 40 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (40/4) = 10 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 10√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (10√2)/2 = 5√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (5√2)² বর্গ মিটার
= (π × 25 × 2) বর্গ মিটার
= 50π বর্গ মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল 50π বর্গমিটার।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হবে- 

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক। 

প্রশ্ন: যদি একটি কোণ ২৪° বাড়ানো হয়, তাহলে নতুন কোণটি তার আগের পূরক কোণের সমান হয়। আসল কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, আসল কোণ = x
তাহলে তার পূরক কোণ = ৯০° - x

প্রশ্নানুসারে, 
আসল কোণকে ২৪° বাড়ালে নতুন কোণ = আগের পূরক কোণের সমান হয়
অর্থাৎ,
⇒ x + ২৪° = ৯০° - x
⇒ x + x = ৯০° - ২৪°
⇒ ২x = ৬৬°
⇒ x = ৬৬°/২ 
∴ x = ৩৩°

সুতরাং, আসল কোণটি ৩৩° ছিল।