জ্যামিতি

প্রশ্ন: কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
বড় থেকে ছোট ক্রমটি হলো:
কিলোমিটার > হেক্টোমিটার > ডেকামিটার > মিটার > ডেসিমিটার > সেন্টিমিটার > মিলিমিটার

অপশন বিবেচনায় 
সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম হলো মিলিমিটার

১ সেন্টিমিটার= ১০ মিলিমিটার
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার
১ মিটার = ১০০০ মিলিমিটার
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘোড়া ৭ মিটার লম্বা দড়ি দিয়ে বাঁধা আছে। দড়ির বাঁধা স্থান হতে চারদিকে ঘুরে ঘোড়াটি ঘাস খেতে পারে। ঘোড়াটি যতটুকু স্থানের ঘাস খেতে পারবে তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দড়ির বাঁধা স্থান হতে চারদিকে ঘুরে ঘোড়াটি ঘাস খেতে পারে। ঐ স্থানটি একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র তৈরি হবে।
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ, r = ৭ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= (২২/৭) × ৭^২  বর্গ মিটার
= (২২/৭) × ৭ × ৭  বর্গ মিটার
= ১৫৪ বর্গ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60⁰
এবং ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।
সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60⁰ + 60⁰ = 120⁰

ধরি, তৃতীয় ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = x cm
প্রশ্নমতে,
(4/3)π×3³ + (4/3)π×4³ + (4/3)π×x³ = (4/3)π×6³
⇒ 3³ + 4³ + x³ = 6³
∴ x = 5 cm.

প্রশ্ন:

সমাধান: 

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr সেন্টিমিটার
= 2 × 22/7 × 35 সেন্টিমিটার
= 220 সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 80° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 80° হলে, 
অপর কোণটি হবে = (180 - 80)° 
= 100° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = 100° ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 1 মিটার কম এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা 1 মিটার বেশি। ত্রিভুজতির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য = x
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 1
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 1

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (x + 1)² = (x - 1)² + x²
⇒ x² + 2x + 1 = x² - 2x + 1 + x²
⇒ x² - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
∴ x = 4 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]

ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4 + 1 = 5 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 10 একক
ভূমি, b = 12 একক

আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (12/4) √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 √(400 - 144)
= 3 √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ একক

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × ৪^২ : π × ৩^২
= ১৬ : ৯

প্রশ্ন: ১০০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ১০০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ১০০)° 
= ৮০° ।

প্রশ্ন: (secθ + tanθ) = 1/2 হলে (secθ - tanθ) এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে 
secθ + tanθ = 1/2

আমরা জানি, 
⇒ sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ (1/2)(secθ - tanθ) = 1
∴ secθ - tanθ = 2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ হলে আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার।
তাহলে দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৩ক + ক) = ২ × ৪ক  = ৮ক মিটার।

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান হওয়ায় = ৮ক মিটার।

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহু = ৮ক/৪ = ২ক মিটার।

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক × ৩ক = ৩ক^২ বর্গমিটার।
এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২ক)^২ = ৪ক^২ বর্গমিটার।

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত (আয়তক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র) = ৩ক^২ : ৪ক^২ = ৩ : ৪

অতএব, আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৩ : ৪।

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
∴ পরিধি ২πr = ১৩২
বা, r = ১৩২/২π = ৬৬/π
∴ ক্ষেত্রফল = πr^২
= π × ৬৬/π × ৬৬/π
= ৪৩৫৬/π বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: ৩, ৪ ও ৫ সে.মি. ধার বিশিষ্ট তিনটি ছোট ঘনক গলিয়ে একটি বড় ঘনক তৈরি করা হলো। ছোট ঘনকগুলোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও বড় ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় ঘনকের ধার = ক

∴ বড় ঘনকের  আয়তন = ছোট ঘনকগুলোর আয়তনের সমষ্টি
⇒ ক^৩ = ৩^৩ + ৪^৩ + ৫^৩
⇒ ক^৩ = ২৭ + ৬৪ + ১২৫
⇒ ক^৩ = ২১৬
⇒ ক^৩ = ৬^৩ 
⇒ ক = ৬

∴ বড় ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬ক^২
= (৬ × ৬^২) বর্গ সে.মি. 
= (৬ × ৩৬) বর্গ সে.মি.
= ২১৬ বর্গ সে.মি.

এবং, ছোট ঘনকগুলোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = {(৬ × ৩^২ ) + (৬ × ৪^২) + (৬ × ৫^২)} বর্গ সে.মি.
= {(৬ × ৯ ) + (৬ × ১৬) + (৬ × ২৫)} বর্গ সে.মি.
= (৫৪ + ৯৬ + ১৫০) বর্গ সে.মি.
= ৩০০ বর্গ সে.মি.

∴ নির্ণেয় অনুপাত = ৩০০ : ২১৬
= ২৫ : ১৮

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ √25 cm এবং এর ক্ষেত্রফল 12cm² । ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এবং প্রন্থ y সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
√(x² + y²) = √25 
∴ x² + y² = 25 ......... (i) [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
এবং xy = 12 .........(ii)

এখন,
আমরা জানি, 
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 25 + (2 × 12) = 25 + 24 = 49
⇒ (x + y)² = 49
⇒ x + y = √49
∴ x + y = 7

অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(x + y) = 2 × 7 = 14cm.

কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
∴ OC = 1/2 AC
= 4√2/2
= 4/√2

আবার,
OB = 1/2 BD
= 1/2 AC
= 4√2/2
= 4/√2

∴ ΔBOC = 1/2 × OB × OC
= 1/2 × 4/√2 × 4/√2
= 16/4
= 4 বর্গমিঃ

বর্গের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৪/৪ = ১১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ১১×১১ = ১২১ বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ সে.মি. এবং ১০ সে.মি. হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১০
= ৪ × ১০
= ৪০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: প্রদত্ত রেখার ঢাল কত? 
6x + 3y + 9 = 0

সমাধান: 
6x + 3y + 9 সমীকরণের ঢাল বের করতে, প্রথমে একে y = mx + c আকারে রূপান্তর করতে হবে, যেখানে m হলো রেখার ঢাল।

দেওয়া সমীকরণ, 
6x + 3y + 9 = 0
⇒ 3y = - 6x - 9 
∴ y = - 2x - 3  ; [3 দ্বারা ভাগ করে পাই] 

এখন, এই সমীকরণটি y = mx + c আকারে রূপান্তরিত হয়েছে, যেখানে m = - 2

 সুতরাং, রেখার ঢাল হলো m = - 2

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 3 : 4 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
কোণগুলো = 3x, 3x, 4x
তাহলে, 
3x + 3x + 4x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°

3x = 54°
4x = 72°

তাহলে কোনগুলো = 54°, 54°, 72°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ২টি কোণের সমান হয়।  

∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।  

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 136 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 34 একক হলে অপরটি কত?   

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒  136 = (1/2) × (34 × নির্ণেয় বাহু) 
⇒  নির্ণেয় বাহু = (136 × 2)/34
∴ নির্ণেয় বাহু = 8 একক। 

সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।

আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ (∠ACD) = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি (∠A + ∠B)

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, তবে θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1 + tan²θ = 4
⇒ sec²θ = 4 ; [sec²θ = 1 + tan²θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
∴ θ = 60°

ধরি, লম্ব = a, অতিভূজ = a + 6
∴ (a + 6)² = a² + 12²
বা, a² + 12a + 36 = a² + 144
বা, 12a = 108
∴ a = 9
∴ লম্ব = 9 cm

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(১৮ + ১২) সে.মি.
= ৬০ সে.মি.
শর্তমতে,
৪a = ৬০ (যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা)
বা, a = ১৫
বা, a^২ = ২২৫ বর্গ সে.মি.

গভীরতা h = 14 মিঃ
ব্যাস 2r = 18 মিঃ
∴ ব্যাসার্ধr = 9 মিঃ
∴ কুয়ার আয়তন = πr²h
= 22/7 × 9² × 14
= 22 × 81 × 2
= 3564 ঘনমিঃ

প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 20² = 400
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²
= 3.14 × 10² [r = 20/2 = 10 cm]
= 314

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = (400 - 314)
= 86 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দু কয়টি? 

সমাধান: 
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি।