জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৬৪π বর্গমিটার, পরিধি ১৬π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২ 

শর্তমতে,
২πr = ১৬π মিটার 
πr^২ = ৬৪π বর্গমিটার‌।

এখন,
πr²/২πr = ৬৪π/১৬π
বা, r/২ = ৪ 
∴ r = ৮

∴ বৃত্তের ব্যাস = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ২০০ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ = ৩ মিটার
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৪০ + ৩ + ৩ = ৪৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬৬ × ৪৬ = ৩০৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৩০৩৬ − ২৪০০ = ৬৩৬ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ২০০ টাকা
∴  ৬৩৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ৬৩৬ × ২০০ = ১,২৭,২০০ টাকা

∴ রাস্তা তৈরি করতে মোট ব্যয় = ১,২৭,২০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের তিনগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হয়, তবে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
অতএব, দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ৩০০
⇒ ৩ক^২ = ৩০০
⇒ ক^২ = ৩০০/৩
⇒ ক^২ = ১০০
⇒ ক = √১০০
∴ ক = ১০

অতএব,
প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ × ১০ = ৩০ মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩০ + ১০) মিটার
= ২ × ৪০ মিটার
= ৮০ মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা হলো ৮০ মিটার।

ধরি, ভূমি = a cm, উচ্চতা = b cm
∴ a+b+13 = 30
বা, a+b = 17 = 4+13 কিন্তু 4² + 13² ≠ 13²
= 5+12 যেখানে 5² + 12² = 13²
= 6+11 কিন্তু 6² + 11² ≠ 13²
= 7+10 কিন্তু 7² + 10² ≠ 13²
∴ উত্তর = খ।

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < 90°.

সমাধান: 
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ θ = 45°

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য ২০ মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ ৪৫° হবে?

সমাধান: 
 

খুটির দৈর্ঘ্য AB = ২০ মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য AC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ =৪৫°

ΔABC এ 
tanθ = AB/AC
⇒ tan45° = ২০/AC
⇒ ১ = ২০/AC
∴ AC = ২০

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার

প্রশ্ন: a এর কোন মানের জন্য 2x + 4y - 5 = 0 এবং 3x + ay - 9 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

প্রথম সরলরেখা, 2x + 4y - 5 = 0
⇒ 4y = - 2x + 5
⇒ y = (- 2/4)x + (5/4)
⇒ y = (- 1/2)x + (5/4)
∴ ঢাল m₁ = - 1/2  [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

দ্বিতীয় সরলরেখা, 3x + ay - 9 = 0
⇒ ay = - 3x + 9
⇒ y = (- 3/a)x + 9/a ; (যদি a ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m₂ = - 3/a  [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m₁ = m₂
⇒ - 1/2 = - 3/a
⇒ 1/2 = 3/a
⇒ a = 2 × 3
∴ a = 6

সুতরাং, a-এর মান 6 হলে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে।

R= 2r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের---
পরিধি = 2πR = 2π×2r = 4πr
ব্যাস = 2R= 2 × 2r = 4r
এবং ক্ষেত্রফল = πR² = π×(2r)² = 4πr²

প্রশ্ন: কোন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ সে:মি: এবং প্রস্থ ৫ সে:মি:। একে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২ সে.মি. (বৃহত্তর বাহু),
প্রস্থ = ৫ সেমি।

এই আয়তক্ষেত্রকে বৃহত্তর বাহু (১২ সেমি)-কে অক্ষ হিসেবে ৩৬০° ঘোরালে যে ঘনবস্তু তৈরি হয় তা হলো সিলিন্ডার।
এখন,
উচ্চতা, h = ১২ সে.মি.
ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.

মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = বক্রপৃষ্ঠ + ২টি বৃত্তাকার সমতল পৃষ্ঠ
= 2πr(h + r)
= ২ × π × ৫ × (১২ + ৫)
= ১০π × ১৭
= ১৭০π বর্গ সে.মি.
= ৫৩৪.০৭ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, উৎপন্ন ঘনবস্তুটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হলো ৫৩৪.০৭ বর্গ সে.মি.

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
 চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)°
                    = ১৩৫°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির লোহার পাতের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ সে.মি ও ২ সে.মি এবং এদের লম্ব দূরত্ব ২ সে.মি। পাতটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
পাতটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির তাই- 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব 
= ১/২ × (৫ + ২) × ২ 
= ৭ বর্গ সে.মি.

∴ পাতটির ক্ষেত্রফল = ৭ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 25° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
তাহলে বৃহত্তম কোণ = (x + 25)°

প্রশ্নমতে,
x° + (x + 25)° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 25° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 115° = 180°
⇒ 2x° = 180° - 115° = 65°
⇒ x° = 65°/2
x = 32.5°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 32.5°

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ১০ সে.মি. হলে,  সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১০ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৩(৩ + ১০)
= ২π × ৩৯
= ৭৮π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৭ সে. মি. ও ৪ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, AC = ৭ সে. মি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, BC = ৪ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = AC - BC
= (৭ - ৪) সে. মি.
= ৩ সে. মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৩ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = x মিটার
সুতরাং, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × বিস্তার
⇒ 3x × x = 108
⇒3x² = 108
⇒ x² = 108/3
⇒ x² = 36
⇒ x = √36
∴ x = 6

∴ বিস্তার = 6 মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = 3 × 6 = 18 মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + বিস্তার)
= 2 × (18 + 6) মিটার
= 2 × 24 মিটার
= 48 মিটার

∴ ঘরের পরিসীমা = 48 মিটার

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PQ এর মধ্যবিন্দু X, PR এর মধ্যবিন্দু Y এবং QR = 18 cm হলে, XY = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
PQR ত্রিভুজে-
X = PQ এর মধ্যবিন্দু
Y = PR এর মধ্যবিন্দু
এবং, QR = 18 cm

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোগ করলে তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয় এবং তার দৈর্ঘ্য অর্ধেক হয়।

∴ XY রেখাখণ্ডটি PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু দ্বারা গঠিত।
∴ XY || QR এবং
∴ XY = QR/2 = 18/2 = 9 cm

2 + tan²θ = 5
বা, tan²θ = 3
বা, tanθ = √3
= tan60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10√2​ একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2

প্রশ্নমতে,
a√2 = 10√2
⇒ a = (10√2)/√2 
∴ a = 10

∴ ক্ষেত্রফল = a²
= 10²
= 100 বর্গ একক

ধরি, অপর বাহুদ্বয় ৫x, ১২x ∴ (৫x)^২ + (১২x)^২ = ৬৫^২
বা, ২৫x^২ + ১৪৪x² = ৬৫ × ৬৫
বা, ১৬৯x^২ = ৬৫ × ৬৫
বা, x² = ৬৫ × ৬৫ / ১৬৯ = ২৫ ∴ x = ৫
 ∴ অপর বাহুদ্বয় = ২৫, ৬০

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ ৬০° হলে তার পূরক কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, কোণটি = ক

প্রশ্নমতে,
২ক = ৬০°
বা, ক = ৩০°

আমরা জানি, দুটি কোণ পরস্পর পূরক হলে তাদের সমষ্টি = ৯০°

অতএব, ৩০° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩০° = ৬০°

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d₁ এবং d₂ হলে এর ক্ষেত্রফল (½) × d1 × d2

ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য x মিটার,
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2x মিটার

রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × x × 2x
= x²

শর্তমতে,
x² = 64
বা, x = 8

তাহলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2 × 8 মিটার
= 16 মিটার

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব = a
∴ অতিভূজ = a√২
ক্ষেত্রফল = ১/২ × a × a = ৬৪
বা, a² = ১২৮
বা, a = √১২৮ = ৮√২
∴ অতিভূজ = a√২
= ৮√২ × √২
= ১৬ cm

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ৩টির সমষ্টি কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2(a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার এবং একটি কর্ণ 12 মিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × d₁ × d₂
​যেখানে d₁, d₂​ হলো রম্বসের কর্ণদ্বয়।

প্রদত্ত:
ক্ষেত্রফল = 108, d₁ = 12
অতএব, অপর কর্ণ:
108 = 1/2 × 12 × d₂​
d₂ = 108/6 
d₂ = 18 মিটার

∴ অপর কর্ণ = ১৮ মিটার

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×5² : π×4²
= 25 : 16

cosec²θ - cot²θ = (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ)
বা, 1 = (cosecθ + cotθ) 1/2
∴ cosecθ + cotθ = 2

সুষম বহুভূজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = 360°

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৬ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে, কোণকটির আয়তন কত ঘন সে. মি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভূমি বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৬ সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = ৭ সে.মি.

আমরা জানি, 
কোণকের আয়তন, V = (১/৩)πr²h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৬২ × ৭ 
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩৬ × ৭
= ২২ × ১২ 
= ২৬৪ 

অতএব, কোণকটির আয়তন ২৬৪ ঘন সে.মি.। 

৩ এবং ৪ এর লসাগু = ১২
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ১২ মিটার গেলে
∴ ১০ বার বেশি ঘুরবে = ১২ ✕ ১০ = ১২০ মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. এবং তীর্যক উচ্চতা 12 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 14 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 12 cm

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 12
= 22 × 12
= 264 বর্গসে.মি.

সুতরাং, কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 264 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি. ও ৩০ সে.মি.
উচ্চতা = ৮ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (২০ + ৩০) × ৮
= (১/২) × ৫০ × ৮
= ৫০ × ৪ 
= ২০০ 

∴ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গসে.মি.।

প্রশ্ন: ১৬০০ বর্গফুট মাঠের চারপাশের ২ ফুট রাস্তায় ১.৫ বর্গফুটের কয়টি ট্যালি বসবে?

দেওয়া আছে:
মাঠের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গফুট
চারপাশের রাস্তার প্রস্থ = ২ ফুট
একটি টাইলের ক্ষেত্রফল = ১.৫ বর্গফুট

ধরি মাঠ বর্গক্ষেত্র:
বাহু = √১৬০০ = ৪০ ফুট
চারপাশে রাস্তা যোগ করলে নতুন বাহু = ৪০ + ২ + ২ = ৪৪ ফুট

নতুন ক্ষেত্রফল = ৪৪ × ৪৪ = ১৯৩৬ বর্গফুট
রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৯৩৬ - ১৬০০ = ৩৩৬ বর্গফুট
তাহলে,
ট্যালি বসবে = ৩৩৬ / ১.৫ = ২২৪ 

∴ট্যালি বসবে = ২২৪ টি 

নোটঃ প্রশ্নে শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল বলা আছে তাই বাহুর সাথে ৪০ + ৪ যোগ করা হয়েছে, যদি রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল বলা হত তাহলে ৪০ - ৪ হত। 

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সেন্টিমিটার এবং ভূমি 10 সেন্টিমিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 13 সেন্টিমিটার
এবং ভূমি, b = 10 সেন্টিমিটার

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (10/4) × √{(4 × 13²) - 10²}
= (10/4) × √{(4 × 169) - 100}
= (10/4) × √(676 - 100)
= (10/4) × √576
= (10/4) × 24
= (5/2) × 24
= 5 × 12
= 60 বর্গ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: rsinθ = 2 এবং rcosθ = 2√3 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 2 .......... (1)
rcosθ = 2√3 .......... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
(rsinθ)² + (rcosθ)² = (2)² + (2√3)²
⇒ r²sin²θ + r²cos²θ = 4 + (4 × 3)
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = 4 + 12
⇒ r²(1) = 16 [যেহেতু, sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ r² = 16
⇒ r = √16
⇒ r = 4

∴ r এর মান 4

প্রশ্ন: 2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x - 3y + 4 = 0
বা, 3y = 2x + 4
বা, y = (2/3)x + 4/3

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল 2/3 

প্রশ্ন: যদি tan A = 5/12 হয়, তাহলে cos A এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
tan A = লম্ব/ভূমি = 5/12
অর্থাৎ, লম্ব = 5, ভূমি = 12

পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই,
​∴ অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
​= (5² + 12²) 
​= (25 + 144) 
∴ অতিভুজ ​= √169 = 13

এখন,
cos A = ভূমি/অতিভুজ 
​= 12/13