জ্যামিতি

প্রশ্ন: যদি sin(θ - 30°) = 1/2 হয়, তাহলে cos²θ এর মান কত?

সমাধান:
sin(θ - 30°) = 1/2
⇒ sin(θ - 30°) = sin(30°)
⇒ θ - 30° = 30°
বা, θ = 30° + 30°
বা, θ = 60°

এখন,
cos²θ
= cos²(60°) 
= (1/2)²
= 1/4

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষের আয়তন ১২০ ঘনমিটার। দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং প্রস্থ ৫ মি. হলে উচ্চতা কত সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তন = ১২০ ঘনমিটার
দৈর্ঘ্য = ৮ মি.
প্রস্থ = ৫ মি.

আমরা জানি, 
আয়তাকার কক্ষের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
∴ উচ্চতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= ১২০/(৮ × ৫)
= ১২০/৪০
= ৩ মিটার
= (৩ × ১০০) সে.মি.  ; [১ মিটার = ১০০ সে.মি.] 
∴ উচ্চতা = ৩০০ সে.মি.

সুতরাং, আয়তাকার কক্ষের উচ্চতা ৩০০ সে.মি.। 

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ (x-p)² + (y-q)² = r²
যেখানে, (p,q) বৃত্তের কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধ। (p,q) = (0,0) এবং r = 4 হলে বৃত্তের সমীকরণ দাঁড়ায় -
x² + y² = 16

ΔABC - এ,
AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
এখন,
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
বা, ∠ABC + 80° + ∠ACB = 180°
বা, 2∠ACB = 100°
বা, ∠ACB = 50°
∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB
= 180° - 50°
= 130°

প্রশ্ন: 125 বর্গ সে.মি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্রে 72° কোণ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফল = 125 বর্গ সে.মি.
কেন্দ্রস্থ কোণ = 72°

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (কোণ/360°) × বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফল
∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (72/360) × 125
= (1/5) × 125
= 25 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল 25 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 12 সে.মি.
অতএব, ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সে.মি.
আয়তন = 12π ঘন সে.মি.

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
প্রশ্নমতে,
(1/3) × π × (6)² × h = 96π
⇒ (1/3) × 36h = 96
⇒  12h = 96
⇒  h = 96/12
⇒  h = 8 সে.মি.

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য (l) = √(r² + h²)
= √(6² + 8²)
= √(36 + 64)
= √(100)
= 10 সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.।

প্রশ্ন: (cosθ - sinθ)² + (cosθ + sinθ)² = ?

সমাধান:
(cosθ - sinθ)² + (cosθ + sinθ)²
​= 2(cos²θ + sin²θ) [ যেহেতু, 2(a² + b²) = (a - b)² + (a + b)²]
​= 2 × 1
​= 2 

আমরা জানি, 2tan^-1x = tan^-1(2x/1-x²) = sin^-1(2x/1+x²) = cos^-1(1-x²/1+x²)

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি:বৃত্তের ব্যাস =2πr/2r = π = ২২/৭

প্রশ্ন: যদি cosecA = 13/5 হয়, তবে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosecA = 13/5

আমরা জানি, cosecA = অতিভুজ/লম্ব

অতএব, অতিভুজ = 13 এবং লম্ব = 5

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, 5² + ভূমি² = 13²
বা, 25 + ভূমি² = 169
বা, ভূমি² = 169 - 25
বা, ভূমি² = 144
∴ ভূমি = √144 = 12

এখন, cosA = ভূমি/অতিভুজ
∴ cosA = 12/13

ΔABC এর ∠BAC + ∠BCA + ∠CBA = 180°
⇒∠CBA +105° + 30° =180°
⇒ ∠CBA = 45°
এখন, ΔABD এর BD = AD
∴ ∠DBA = ∠DAB = ∠CBA = ∠DAB = 45°
∴ ∠DAC = 105° - 45°= 60°

প্রশ্ন: রুবেল তার বাড়ির পেছনে একটি সুন্দর আয়তাকার বাগান তৈরি করেছে। বাগানটি পরিমাপ করতে গিয়ে সে দেখতে পেল যে, বাগানটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তুলনায় তিনগুণ।বাগানটির চারদিকে ঘেরা বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য 48 মিটার হলে, বাগানটির মোট ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = a মিটার
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = 3a 

প্রশ্নমতে,
পরিসীমা = 48 মিটার
⇒ 2(3a + a) = 48      [যেহেতু, পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)]
⇒ 6a + 2a = 48
⇒ 8a = 48
⇒ a = 48/8
∴ a = 6 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 3a = 3 × 6 = 18 মিটার

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) 
= 18 × 6
= 108 বর্গমিটার

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = 10 সে.মি. হলে OF = কত? 

সমাধান:
 
দেওয়া আছে,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা।

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = 10 সে.মি. হলে OF = 10 সে.মি. হবে।

প্রশ্ন: দুটি বিন্দু A(1, 2) এবং B(4, 6)-এর মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু:
A(1, 2) এবং B(4, 6) 

আমরা জানি, 
দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো- 
d = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²} 

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 
d = √{(4 − 1)² + (6 − 2)²}
= √{(3)² + (4)²}
= √(9 + 16)
= √25
= 5

∴ দূরত্ব = 5 । 

প্রশ্ন: ৪২° কোণের পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে, তাদের পূরক কোণ বলে।

∴ পূরক কোণ = (৯০ - ৪২)°
= ৪৮°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণ অন্য কর্ণের চার গুণ। যদি এর ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সে. মি. হয়, তাহলে কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
ধরি, একটি কর্ণ = x সে. মি.
তাহলে অন্য কর্ণ = 4x সে. মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × d₁ × d₂

প্রশ্নানুসারে,
(1/2) × x × 4x = 72
⇒ 2x² = 72
⇒ x² = 72/2
⇒ x² = 36 = 6²
∴ x = 6 সে. মি.

∴ কর্ণদ্বয়ের যোগফল = x + 4x = 5x
= 5 × 6
= 30 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ৩। এর ক্ষেত্রফল ৫৪০ বর্গমিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য : প্রস্থ = ৫ : ৩
ক্ষেত্রফল = ৫৪০ বর্গমিটার

ধরি, দৈর্ঘ্য = ৫ক মিটার এবং প্রস্থ = ৩ক মিটার

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
⇒ ৫৪০ = ৫ক × ৩ক
⇒ ১৫ক^২ = ৫৪০
⇒ ক^২ = ৫৪০/১৫
⇒ ক^২ = ৩৬ = ৬^২
∴ ক = ৬ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = ৫ক = ৫ × ৬ = ৩০ মিটার
এবং প্রস্থ = ৩ক = ৩ × ৬ = ১৮ মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২(৩০ + ১৮) = ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৯৬ মিটার।

ভূমির ব্যাসার্ধ = ১০/২ = ৫ সেমিঃ
হেলানো উচ্চতা l = √(h² + r²) = √(12² + 5²) = 13
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl = π x 5 x 13 = 65π

বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি (n-2)180° = (5-2) = 3 x 180 = 540°
(n হচ্ছে বাহুর সংখ্যা)

প্রশ্ন: (- 4, 5) এবং (1, 2) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (- 4, 5) এবং (x₂, y₂) = (1, 2)

∴ ঢাল, (m) = (2 - 5)/{1 - (- 4)}
= - 3/(1 + 4)
= - 3/5

প্রশ্ন: sinθ = 1/√2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে
sinθ = 1/√2
⇒ sinθ = sin45°
∴ θ = 45°

এখন 
cot45° = 1

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য ২৯ সে.মি. এবং উচ্চতা ১৪ সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = ২৯ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ১৪ সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (২৯ × ১৪)
= ৪০৬ বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৪০৬ বর্গ সে.মি.

∠ABD + ∠ABC = 180°
∴∠ABD = 180° - 60° = 120°
অনুরূপ ভাবে, ∠ACE + ∠ACB =  180°
∴∠ACE = 180° - 60° = 120°
∴ দুটি বহিঃকোণের সমষ্টি = ∠ABD +∠ACE = 120° + 120° = 240°

প্রশ্ন: secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x .....(1)

এখন, 
⇒ secθ - cosθ = 14
⇒ secθ - (1/secθ) = 14   ; [cosθ = 1/secθ]
⇒ (sec²θ - 1)/secθ = 14
⇒ sec²θ - 1 = 14secθ
⇒ tan²θ = x   ; [sec²θ - 1 = tan²θ, 14 secθ = x] 
∴ x = tan²θ

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে, উহার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২ × π × ৩(৩ + ৭)
= ৬π × ১০
= ৬০π বর্গ সে.মি.

∴ সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬০π বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা 10 মিটার কম এবং পরিসীমা 100 মিটার। পুকুরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত মিটার? 

সমাধান: 

মনে করি,
আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = x মিটার
এবং আয়তাকার পুকুরের প্রস্থ = y মিটার
প্রথম শর্তানুসারে, x + 10 = 2y .........(1) 
এবং দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 2(x + y) = 100 .........(2)

এখন, 
(1) নং সমীকরণ হতে পাই, 
x = 2y - 10 ......... (3)

(2) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই, 
2(2y - 10 + y) = 100
বা, 2(3y - 10) = 100
বা, 6y - 20 = 100
বা, 6y = 100 + 20
বা, 6y = 120
বা, y = 120/6
∴ y = 20 

y-এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 2 × 20 - 10
বা, x = 40 - 10
∴ x = 30 

∴ পুকুরের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার এবং প্রস্থ = 20 মিটার।

সমকোণী ত্রিভুজ পীথাগোরিয়ান টাপুল সমর্থন করে।
অর্থ্যাৎ,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
এখানে, ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
সুতরাং, খ) সঠিক উত্তর।

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = 6, তাহলে tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 6
⇒ tanθ + cotθ = 6
⇒ (tanθ + cotθ)²= 6²
⇒ (tanθ + cotθ)² = 36

উভয় পাশে বর্গ করে,
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 36
⇒ tan²θ + cot²θ = 36 − 2  [∵ tanθ.cotθ = 1]
⇒ tan²θ + cot²θ = 34

বৃত্তের ব্যাস = বৃহত্তম জ্যা = 14 মিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = 7 মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 7²
= 49π বর্গমিঃ

এখানে, এক বাহু AD = 13 cm
AO = 1/2AC = 1/2 × 24 = 12 cm [যেহেতু, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

∴ ∠AOD = 90°
∴ AD² = AO² + OD²
⇒ OD = √(AD² - AO²)
⇒ OD = √(13² - 12²)
⇒ OD = √(25)
∴ OD = 5 cm
অপর কর্ণ BD = 2 × OD = 2 × 5 = 10 cm