জ্যামিতি

প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 4/3 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosecθ + cotθ = 4/3

আমরা জানি,
cosec⁡²θ - cot⁡²θ = 1
⇒ (cosec⁡θ + cot⁡θ)(cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1
⇒ (4/3)(cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1
⇒ (cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1/(4/3)
∴ (cosec⁡θ - cot⁡θ) = 3/4

সুতরাং, cosecθ - cotθ এর মান 3/4। 

প্রশ্ন: cos(180° + θ) = ?

সমাধান:

cos(180° + θ) এর মানে হল cos তৃতীয় ভাগে।
তাই cos এর মান ঋণাত্নক হবে।
∴ cos(180° + θ) = - cosθ

আমরা জানি, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² এবং আয়তন = a³
প্রশ্নানুসারে, 6a² = 216
বা, a² = 36
বা, a = 6
সুতরাং আয়তন = 6³
= 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: (5, 4) এবং (2, 0) বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান:

বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ ব্যাস : পরিধি = 2r : 2πr = 2r/2πr = 1/π = 1/(22/7) = 7/22।
[বি:দ্র: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22/7]

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/6, x/6 এবং 8x/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ = 180°
বা, x/6 + x/6 + 8x/6 = 180°
বা, (x + x + 8x)/6 = 180°
বা, 10x/6 = 180°
বা, 5x/3 = 180°
বা, 5x = 180° × 3
বা, x = (180° × 3)/5
∴ x = 108° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 8x/6
= {(8 × 108)/6}°
= 144°

চিত্রে, EF||BC
∴ EBCF চর্তুভূজটি ট্রাপিজিয়াম

প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (3, - 2) এবং (x₂, y₂) = (7, 6)

∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2

∴ সরলরেখার ঢাল = 2

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে এর পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 [এখানে, a = বাহু]
⇒ 8√2 = a√2
∴ a = 8

∴ পরিসীমা = 4a = 4 × 8 = 32
পরিসীমার অর্ধেক = 32/2 = 16
অতএব, পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান = 16/4 = 4 একক

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা 27 সে.মি. হলে, শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান:
​
​
দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = 27
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (2/3) × 27 = 18 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান:
 
AB সরলরেখার সাথে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে ∠AOC ও ∠BOC দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়। 
∠AOC + ∠BOC = 180°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √50 মিটার 
= √(25 × 2) মিটার
= 5√2 মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= 10 মিটার

বর্গটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০ সে.মি
∴ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/√২
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১০/√২)^২ = ১০০/২ = ৫০ বর্গসে.মি।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৬)^২ বর্গমি.
= ৬৪√৩ বর্গমি.

প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ মিটার হলে ঐ বর্গটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ কত?

সমাধান: 
ধরি, বর্গের একবাহু = a মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ‍a² বর্গ মি.
প্রশ্নমতে,
a² = 16
বা, ‍a = √16
∴ a = 4 মি.

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = (√2)a একক
= 4√2 মি.

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ = (4√2) × 2 মি.
= 8√2 মি.

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 56 সেমি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
ব্যাসার্ধ, r = 56 সেমি

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস

পরিসীমা = (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 56 + 2 × 56
= 176 + 112
= 288 সে.মি.

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি একটি আয়তাকার জমিতে কর্ণ বরাবর হেঁটে 7√5 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করলে এবং জমির দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের দ্বিগুণ হলে, জমির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার জমির প্রস্থ = x
∴ আয়তাকার জমির প্রস্থ দৈর্ঘ্য = 2x

প্রশ্নমতে,
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
⟹7√5 = √{(2x)² + x²}
⇒7√5 = √(4x² + x²)
⇒7√5 = √(5x²)
⇒7√5 = x√5
⇒ x = 7

∴জমির ক্ষেত্রফল = 2x ×x = 2x² = 2 × 7² = 98 বর্গমিটার

বৃত্তের ব্যাস = ১০ cm
যা বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/√২
∴ বর্গের বাহুর ক্ষেত্রফল = (১০/√২)²
= ১০০/২
= ৫০ বর্গসেঃমিঃ

প্রশ্ন: যদি tan θ = 1 হয়, তাহলে sin θ + cos(- θ) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan θ = 1
⇒ tan θ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রদত্ত রাশি, 
 sinθ + cos(- θ)
= sinθ + cosθ  ; [cos(- θ) = cosθ] 
= sin45° + cos45°
= (1/√2) + (1/√2)
= (1 + 1)/√2
= 2/√2
= √2

∴ sinθ + cos(- θ) = √2

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গমিটার এবং মাঠটির উচ্চতা ৩০ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৪০ বর্গমিটার
উচ্চতা = ৩০ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ২৪০ = (১/২) × ভূমি × ৩০ 
⇒ ভূমি × ৩০ = ২৪০ × ২ 
⇒ ভূমি = (২৪০ × ২)/৩০ 
⇒ ভূমি =  ১৬ মিটার

∴ মাঠটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সুষম সপ্তভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
সপ্তভুজের বাহুর সংখ্যা = ৭ টি

আমরা জানি,
সপ্তভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = {৯০ × (২n - ৪)}°
= {৯০ × (২ × ৭ - ৪)}°
={৯০ × (১৪ - ৪)}°
= (৯০ × ১০)° 
= ৯০০°

প্রশ্ন: কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
ঘনকের এক ধার = a 

আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 

প্রশ্নমতে, 
 a√2 = 8√2  
 ∴ a = 8

∴ ঘনকটির আয়তন = a³
= (8)³
= 512 ঘন সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ৩ক ও ক।

আমরা জানি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/৪
⇒ ক = ৪৫°

অতএব, বহিঃস্থ কোণ = ক = ৪৫°

যেকোনো সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ।
সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪৫° = ৮টি।

অতএব, বহুভুজটি হবে একটি অষ্টভুজ (Octagon)।

cosec20°
= 1/sin20°
= 1/sin2×10°
= 1/{(2 tan10°)/(1 + tan²10°)}
= (1 + tan²10°)/2tan10°
= (1 + p²)/2p

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ২৫ মিটার এবং একটি বাহু ১৫ মিটার হলে অপর বাহু কত?

সমাধান:
প্রদত্ত: d = ২৫ মিটার, a = ১৫ মিটার
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ d এবং বাহু a, b এর মধ্যে সম্পর্ক:
d^২ = a^২ + b^২
২৫^২ = ১৫^২ + b^২
৬৫৫ = ২৫৫ + b^২
b^২ = ৪০০
b = ২০মিটার 

∴ অপর বাহু = ২০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = 4x × (3/4) = 3x মিটার 

এখন, 
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 625/25
⇒ x² = 25
∴ x = 5

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (4 × 5) মিটার = 20 মিটার
এবং
লম্বের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার = (3 × 5) মিটার = 15 মিটার 

∴ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 20 : 15 
= 4 : 3  ।

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × 36
= 216 বর্গ সে. মি.

∠B = ∠D = 75°
∠ADE = 180° - ∠D
= 180° - 75°
= 105°

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা অসম্ভব? 

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভুজে, a² + b² = c²

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
2² + 3² = 4 + 9 = 13 ≠ 25, সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা অসম্ভব।
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 4 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
 
মনে করি,
ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6 টি সমান ক্ষেত্রবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
∠COD = 360°/6 = 60°

মনে করি কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব a মিটার।
ΔCOD এর ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ একক
= (√3/4) × 4²
= 4√3  বর্গ মিটার

∴ সুষম ষড়ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 6 × △COD এর ক্ষেত্রফল 
= 6 × 4√3 বর্গ মিটার
= 24√3 বর্গ মিটার

সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = 24√3 বর্গ মিটার। 

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২×৮×৯ = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪a = ৪×৬ = ২৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ মিটার, ৯ মিটার এবং ১৩ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৩ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৭ মিটার
সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৯ মিটার এর অর্ধেক।

∴ দূরত্ব = ৯/২ = ৪.৫ মিটার

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল -1।

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [-1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = -1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান -1।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। মাঠটি ঢাকতে ২ মিটার বাহু বিশিষ্ট কতগুলো বর্গাকার টাইলস প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গমিটার = ২৫০০ বর্গমিটার

আবার,
টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
∴ প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল = (২ × ২) বর্গমিটার = ৪ বর্গমিটার

সুতরাং, প্রয়োজনীয় টাইলসের সংখ্যা = ২৫০০/৪ টি
= ৬২৫ টি
∴ ৬২৫ টি টাইলস প্রয়োজন।

ধরি ব্যাসার্ধ = r
∴ পরিধি 2πr = 26π
∴ r = 13 cm
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= 169π

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sinθ = 1/cosecθ
cosecθ = 1/sinθ
cosθ = 1/secθ
secθ = 1/cosθ
tanθ = 1/cotθ
cotθ = 1/tanθ