জ্যামিতি

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90-ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 4
বা, ক - 90 + ক = 4
বা, 2ক = 94
বা, ক = 47
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক = 90-47 = 43°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার । এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, প্রস্থ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার
এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১০ + ক) মিটার

শর্তমতে,
২ × (১০ + ক) = ৩০
বা, (১০ + ক) = ৩০/২
বা, ১০ + ক = ১৫
বা, ক = ১৫ - ১০
∴ ক = ৫ মিটার

তাহলে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার

আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = ১২০ × ৭০ = ৮৪০০ বর্গফুট
৮৪০০ কে ১৫^২ এবং ১১^২ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না
৮৪০০ কে ১০^২ এবং ৫^২ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় 
সুতরাং, সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ১০ ফুট

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৫° ও ৬৫° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের দুই কোণের পরিমান ২৫° ও ৬৫° হলে,
কোণ দুইটির যোগফল = ২৫° + ৬৫° = ৯০° 
অতএব, অপর কোণ = ১৮০° - ৯০° = ৯০°
একটি ত্রিভুজের এক কোণ সমকোণ হলে তা সমকোণী 

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ১৮ মিটার বেশি। পরিসীমা ১৫২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = x + ১৮ মিটার

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ২ × [(x + ১৮) + x] = ১৫২
⇒ ২ × (২x + ১৮) = ১৫২
⇒ ৪x + ৩৬ = ১৫২
⇒ ৪x = ১৫২ - ৩৬
⇒ ৪x = ১১৬
⇒ x = ১১৬/৪ 
∴ x = ২৯

অতএব, প্রস্থ = ২৯ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২৯ + ১৮ = ৪৭ মিটার

ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (৪৭ × ২৯) বর্গমিটার
= ১৩৬৩ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল ১৩৬৩ বর্গমিটার

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° এবং সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90°
সুতরাং সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পরিমাণ = (180° - 90°) = 90° = 40°+ 50°

প্রশ্ন: secθ + tanθ = m, হলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = m ................. (1)

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
বা, m(secθ - tanθ) = 1
বা, secθ - tanθ = 1/m ................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
secθ + tanθ = m
secθ - tanθ = 1/m
2tanθ = m - (1/m)
বা, 2tanθ = (m² - 1)/m
∴ tanθ = (m² - 1)/2m

ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং
অতিভূজ c = ১৩

∴ পরিসীমা a + b + c = ৩০
বা, a + b = ৩০ - c = ৩০ - ১৩ = ১৭
বা, (a + b)² = ১৭^২
বা, a² + b²+ 2ab = ২৮৯
বা, c² + 2ab = ২৮৯ [পিথাগোরাসের সূত্রানূসারে]
বা, ১৩^২ + ২ab = ২৮৯
বা, ২ab = ২৮৯ - ১৬৯ = ১২০
বা, ab = ৬০
বা, (১/২)ab = ৩০
∴ ১/২ × ভুমি × উচ্চতা = ৩০ বর্গ সে. মি.

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x সেমি
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য x-2 সেমি
এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য x+2 সেমি
এখন,
x² + (x-2)² = (x+2)²
⇒ x² + x² - 4x +4 = x² + 4x + 4
⇒ x² = 8x
⇒ x = 8
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য 8+2 = 10 সেমি।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২০ মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির ৩/৪ অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির ভূমি, b = ক মিটার
∴ ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪)ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক + (৩/৪)ক + (৩/৪)ক = ২০
⇒ (৪ক + ৩ক + ৩ক)/৪ = ২০
⇒ ১০ক/৪ = ২০
⇒ ১০ক = ২০ × ৪
⇒ ১০ক = ৮০ 
⇒ ক = ৮০/১০
⇒ ক = ৮

∴ ত্রিভুজটির ভূমি b = ৮ মিটার
এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪) × ৮ = ৬ মিটার

এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a^২ - b^২)
= (৮/৪) × √{৪(৬)^২ - (৮)^২}
= ২ × √(৪ × ৩৬ - ৬৪)
= ২ × √(১৪৪  - ৬৪)
= ২ × √৮০
= ২ × √(১৬ × ৫) 
= ২ × ৪√৫ 
= ৮√৫  বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮√৫ বর্গমিটার।

ধরি,
ভূমি ৪a সেঃমিঃ
∴ লম্ব = ৪a × ৩/৪
= ৩a সেঃমি
∴ অতিভূজ = √{(৪a)^২ + (৩a)²}
                  = √(২৫a)²
                  = ৫a
∴ ৫a = ৩০
∴ a = ৬
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৩a × ৪a
                  = ৬a²
                  = ৬ × ৬²
                  = ২১৬ বর্গসেঃমিঃ

দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 5 মি.
∴ গোলকটির ক্ষেত্রফল = 4Πr²
                            = 4Π (5)²
                            = 100Π বর্গমি.

ABCD রম্বসে BC = ১৩,
কর্ণ BD = ২৪ সে.মি
∴ OB = ১২ সে.মি
∴ OC = √(BC² - OB²)
= √(১৩² - ১২²)
= √২৫
= ৫

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = ২ × ৫
= ১০ সেঃমিঃ

∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × AC × BD
= ১/২ × ১০ × ২৪
= ১২০ বর্গ সেঃমিঃ

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।

সমাধান:
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪ টি।

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৮ মিটার। ১৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার
∴ ১৬ কিলোমিটার = ১৬০০০ মিটার

৮ মিটার গেলে চাকাটি ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরবে = ১/৮ বার
∴ ১৬০০০ মিটার গেলে ঘুরবে = (১৬০০০ × ১)/৮ বার
= ২০০০ বার

∴ চাকাটি ২০০০ বার ঘুরবে।

দুটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = 4π বর্গমিটার।
বর্গের ক্ষেত্রফল = 4² = 16 বর্গমিটার।
∴ চিত্রের সাদা রং এর জায়গার ক্ষেত্রফল = 16 - 4πবর্গমিটার।

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ কোণ ৮০° হলে অপর কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল = ১৮০°

ধরি, অপর দুইটি সমান কোণ = ক 

প্রশ্নমতে, 
৮০° + ক + ক = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৮০° 
⇒ ক = ১০০°/২ = ৫০°
∴ ক = ৫০°

∴ অপর দুইটি কোণ = ৫০° প্রতিটি

প্রশ্ন: cot²45° sin60° tan30° tan²60° এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cot²45° sin60° tan30° tan²60°
= 1² × (√3/2) × (1/√3) × (√3)² ; [cot45° = 1, sin60° = √3/2, tan30° = 1/√3, tan60° = √3]
= (√3/2) × (1/√3) × 3
= 3/2

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ২৫ মিটার। বাগানের চারপাশে ২.৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা নির্মাণ করতে কত টাকা খরচ হবে, যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণ ব্যয় ৫০ টাকা হয়?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২৫ মিটার

বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৪০ × ২৫ বর্গমিটার
= ১০০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ = ২.৫ মিটার। যেহেতু রাস্তাটি বাগানের চারপাশে অবস্থিত, তাই দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয় দিকেই রাস্তার প্রস্থ যোগ হবে।
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ + (২.৫ + ২.৫) = ৪০ + ৫ = ৪৫ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ২৫ + (২.৫ + ২.৫) = ২৫ + ৫ = ৩০ মিটার

রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৪৫ × ৩০ বর্গমিটার
= ১৩৫০ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল) - (বাগানের ক্ষেত্রফল)
= ১৩৫০ - ১০০০ বর্গমিটার
= ৩৫০ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে ব্যয় ৫০ টাকা।
∴ ৩৫০ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে মোট ব্যয় = ৩৫০ × ৫০ টাকা
= ১৭৫০০ টাকা

সুতরাং, রাস্তা নির্মাণে মোট খরচ হবে ১৭৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: 24 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 24/4 = 6 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 6√2
ব্যাসার্ধ = 6√2/2 = 3√2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3√2)²
= π × 9 × 2
= 18π

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 6 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
আবার,
তিনটি সংখ্যা যদি 2m, m² - 1, m² + 1 [যেখানে m পূর্ণসংখ্যা] আকারে থাকে তাহলে তাদেরকে পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
যেমন:
(৩, ৪, ৫) পিথাগোরাস ত্রয়ী 
(২)^২ - ১ = ৩
২ × ২ = ৪
(২)^২ + ১ = ৫

এখানে,
একটি ত্রয়ী 6
ধরি,
2m = 6
∴ m = 3
∴ অন্য ত্রয়ী দুটি হবে,
m² - 1 = 3² - 1 = 9 - 1 = 8
m² + 1 = 3² + 1 = 9 + 1 = 10

প্রশ্ন: যদি sec(θ) = 2 হয়, তবে cot(θ) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec(θ) = 2
⇒ cos(θ) = 1/2

আমরা জানি,
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
⇒ sin²(θ) = 1 - (1/2)²
⇒ sin²(θ) = 1 - 1/4
⇒ sin²(θ) = 3/4
⇒ sin(θ) = √(3/4)
∴ sin(θ) = √3/2

এখন,
cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)
= (1/2)/(√3/2)
= 1/√3 

∴ cot(θ) = 1/√3

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = sin(5π/6) [এখানে n = 5]

এখন,
sin (5π/6)
= sin {(5 × 180°)/6}
= sin 150°
= sin (2 × 90° - 30°)
= sin30°
= 1/2
∴ sin (5π/6) = 1/2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। যদি দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হয়, তবে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার
দৈর্ঘ্য = প্রস্থের ২ গুণ
⇒ প্রস্থ = ২৪ ÷ ২ = ১২ মিটার

পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (২৪ + ১২)
= ২ × ৩৬ = ৭২ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, এর অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা কত মিটার বেশি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ মিটার
এবং,  উচ্চতা ৮ মিটার

আমরাজানি,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + উচ্চতা^২
⇒ অতিভুজ^২ = ১৫^২ + ৮^২
⇒ অতিভুজ^২= ২২৫ + ৬৪
⇒ অতিভুজ^২= ২৮৯
⇒ অতিভুজ= √২৮৯
∴ অতিভুজ = ১৭ মিটার
 
∴ অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা বেশি = (১৭ - ১৫) = ২ মিটার

অতএব, অতিভুজ ভূমির চেয়ে ২ মিটার বেশি। 

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি কোণ ১৬৮° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৮°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৬৮° = ১২°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/১২°
= ৩০টি

প্রশ্ন: রেখার প্রান্তবিন্দু কয়টি থাকে? 

সমাধান:
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি। 
- রশ্মির ১ টি প্রান্তবিন্দু থাকে। 

একজন ব্যক্তি একটি আয়তাকার জমিতে আড়াআড়িভাবে হেঁটে আয়াতাকার জমির কর্ণের সমান দূরত্ব 5√5 মিটার অতিক্রম করলেন।
ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 2x
প্রশ্নমতে,
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
⟹5√5 = √{(2x)² + x²}
⇒5√5 = √(4x² + x²)
⇒5√5 = √(5x²)
⇒5√5 = x√5
⇒ x = 5
∴জমির ক্ষেত্রফল = 2x ×x = 2x² = 2×5² = 50 বর্গমিটার

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দু’টি সর্বদা সূক্ষকোণ।

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান? 

সমাধান: 
রেডিয়ান: 
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে। 

আমরা জানি, 
180° = π রেডিয়ান 
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান ।

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 মি.

আমরা জানি, 
ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল, A = (3√3/2) × a²
= (3√3/2) × 6²
= (3√3/2)  × 36
= 54√3
= 54√3 বর্গ মি.

সুতরাং, ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল 54√3 বর্গ মি.

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 512 ঘন সে.মি.   হলে ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের ধার a হলে,
​ঘনকের আয়তন = a³
এবং 
​এর পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 

​প্রশ্নমতে,
​a³ = 512
​⇒ a = 8

∴ ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 8√2 সে.মি.

প্রশ্ন: যদি sin θ = √3/2 হয়, তবে cos θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, sin θ = √3/2
⇒ sin θ = sin 60°
∴ θ = 60°

এখন, cos θ
= cos 60°
= 1/2