জ্যামিতি

∠B যদি ∠A এর সম্পূরক কোণ হয়, তবে ∠A + ∠B = 180°
বা, 90° + ∠B = 180°
বা, ∠B = 180° - 90°
বা, ∠B = 90°

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু ১৩ সে.মি. এবং ৪ সে.মি.। পরিসীমার অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সামান্তরিকে বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান হয়।

দেওয়া আছে, 
দুটি সন্নিহিত বাহুদ্বয় যথাক্রমে, ১৩ সে.মি. এবং ৪ সে.মি.

∴ চারটি বাহু হবে, ১৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ১৩ সে.মি., ৪ সে.মি.
∴ পরিসীমা = ১৩ + ৪ + ১৩ + ৪
= ৩৪ সে.মি.

∴ পরিসীমার অর্ধেক = ৩৪/২
= ১৭ সে.মি.

সুতরাং, পরিসীমার অর্ধেক ১৭ সে.মি.

শর্টকাট:
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহু ১ + সন্নিহিত বাহু ২)
= ২ × (১৩ + ৪)
= ২ × ১৭
= ৩৪ সে.মি.
অর্ধেক = ৩৪/২ = ১৭ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 9 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির মোট উচ্চতা কত? 

সমাধান:

মনেকরি, খুঁটির মোট উচ্চতা = x মিটার
দেওয়া আছে, খুঁটিটি মাটি থেকে 9 মিটার উপরে ভেঙে গেছে।
∴ খুঁটির দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা = 9 মিটার
এবং ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 9) মিটার
খুঁটির গোড়া থেকে ভূমিতে স্পর্শ বিন্দুর দূরত্ব = 12 মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য)² = (দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা)² + (ভূমির দূরত্ব)²
⇒ (x - 9)² = 9² + 12²
⇒ x² - 18x + 81 = 81 + 144
⇒ x² - 18x + 81 = 225
⇒ x² - 18x + 81 - 225 = 0
⇒ x² - 18x - 144 = 0
⇒ x² - 24x + 6x - 144 = 0
⇒ x(x - 24) + 6(x - 24) = 0
⇒ (x - 24)(x + 6) = 0

হয়, x - 24 = 0 ⇒ x = 24
অথবা, x + 6 = 0 ⇒ x = - 6 (উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না)
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 24 মিটার।

AB⊥BC
∴ ∠B = 90°
আবার, AB = BC
বা, ∠B = C = 45°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমার দৈর্ঘ্য ৩৬ সে.মি. হলে শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = ৩৬ সে.মি.
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২: ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব = মধ্যমার ২/৩ অংশ

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (২/৩) × ৩৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.

EF || BC বিধায় ∠AFE, ∠ACB অনুরূপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 cm বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ cm হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0

হয় 
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা 
x - 27 = 0
∴ x = 27 

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে.মি ও ৫ সে.মি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৬ সেমি হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি ও ৫ সে.মি।
বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৬ সেমি

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × (মধ্যবর্তী দূরত্ব) বর্গএকক
=১/২ × (১২ + ৫) × ৬ বর্গসেমি
= ১/২ × ১৭ × ৬ বর্গসেমি
= ১৭ × ৩ বর্গসেমি
= ৫১ বর্গসেমি

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৫১ বর্গসেমি

প্রশ্ন: (3, 7) এবং (9, 25) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x₁, y₁) = (3, 7) , (x₂, y₂) = (9, 25)

আমরা জানি,
ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (25 - 7)/(9 - 3)
= 18/6
= 3

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান-

সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°

উল্লেখ্য,
- একটি ত্রিভুজের ৩ কোণের সমষ্টি = ১৮০°
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুই বাহু ও দুইটি কোণ পরস্পর সমান।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ধার ৫ সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

সসমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে,
তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার ৫ সে.মি. হলে,
এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৫²  বর্গসে.মি.
= ৬ × ২৫ বর্গসে.মি.
= ১৫০ বর্গসে.মি.

ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = ১৫০/২ বর্গসে.মি.
= ৭৫ বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ১৬ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১৬
= ৬৪ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬৪ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৬৪ = ৮ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × ৮ মিটার
= ৩২ মিটার

Let the required number of rounds be x
More radius, Less rounds (Indirect proportion)
∴ 20:14::70:x
⇔ (20×x) = (14×70)
⇔ x = (14×70)/20
⇔ x = 49

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে দুটি বাহু যথাক্রমে 8 মিটার ও 15 মিটার, এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণের বিপরীতে উৎপন্ন ক্ষেত্রফল 60 বর্গমিটার। অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজে দুটি বাহু যথাক্রমে 8 মিটার ও 15 মিটার
এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × b × sinθ 
⇒ 60 = (1/2) × 8 × 15 × sinθ
⇒ 60 = 4 × 15 × sinθ
⇒ sinθ = 60/60
⇒ sinθ = 1 = sin90° 
∴ θ = 90°

সুতরাং, অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাণ 90°। 

প্রশ্ন: নিচের কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin90° = 1
cos90° = 0
∴ tan90° = sin90°/cos90°
 = 1/0, যা অসংজ্ঞায়িত।

∴ tan90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

অন্যান্য বিকল্পগুলো হলো:
sin90° = 1
cos0° = 1
cosec90° = 1

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের চাকার পরিধি ২.২ মিটার। ৫.৫ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করতে চাকা কতবার আবর্তিত হবে?

সমাধান: 
গাড়ীর চাকার পরিধি = ২.২ মিটার

এবং ৫.৫ কি.মি. = (১০০০ × ৫.৫) মিটার = ৫৫০০ মিটার   ; [১ কি.মি. = ১০০০ মিটার] 

∴ ২.২ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ১ বার 
∴ ১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ১/২.২ বার 
∴ ৫৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ৫৫০০/২.২ বার 
= ২৫০০ বার

সুতরাং, চাকাটি ২৫০০ বার আবর্তিত হবে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি. এবং ১২ সে.মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২

এখানে,
ভূমি = ১২ সে.মি.
লম্ব = ৫ সে.মি.

∴ (অতিভুজ)^২ = (১২)^২ + (৫)^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৪৪ + ২৫
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৬৯
⇒ অতিভুজ = √১৬৯
⇒ অতিভুজ = ১৩ সে.মি.

∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৩ সে.মি.।

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অনুপাত 2 : 3 : 4 হয়, তাহলে বৃহত্তম কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনকোণের যোগফল সবসময় 180° হয়।

ধরি,
কোণগুলো: 2x, 3x, 4x

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 4x = 180°
⇒ 9x = 180°
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20° = 80°

∴ ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ হবে 80°

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজের মধ্যে কোন উপাদানগুলো সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে?

সমাধান:
দুটি ত্রিভুজের সর্বসম হওয়ার শর্ত হলো তিনটি কোন ও তিনটি বাহু সমান হওয়া। 

ক) দুই বাহু ও অন্তর্ভূক্ত কোণ: যদি দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
খ) তিনটি কোণ: দুটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ সমান হলে তারা সদৃশকোণী হয়, কিন্তু তাদের বাহুগুলো একই দৈর্ঘ্যের না হলে সর্বসম হবে না। 
গ) দুই কোণ ও এক বাহু: যদি দুটি ত্রিভুজের দুটি কোণ এবং একটি বাহু সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
ঘ) তিন বাহু: যদি দুটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
তাই সঠিক উত্তর হবে তিন কোণ।

দেওয়া আছে,
θ+ϕ = π/2
⇒ θ = π/2 - ϕ
⇒ sinθ = sin(π/2 - ϕ)
⇒ 1/2 = cosϕ
⇒ cos²ϕ = 1/4
⇒ 1 - sin²ϕ = 1/4
⇒ 1 - 1/4 = sin²ϕ
⇒ sin²ϕ = 3/4
∴ sinϕ = √3/2

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।
অপশন (গ) ৪, ৫, ৯
∴ ৪ + ৫ = ৯ = তৃতীয় বাহু
∴ যেহেতু দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় নয়, সুতরাং ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

অন্য অপশনসমূহ যাচাই:
ক) ৫ + ৬ = ১১ > ৭ → ত্রিভুজ সম্ভব
খ) ৩ + ৭ = ১০ > ৮ → ত্রিভুজ সম্ভব
ঘ) ৭ + ৫ = ১২ > ১১ → ত্রিভুজ সম্ভব

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দূরত্ব 3 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড় কত সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দূরত্ব (উচ্চতা) = 3 সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় a এবং b সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
∴ 48 = 1/2 × (a + b) × 3
⇒ 48 = (a + b) × 3/2
⇒ (a + b) × 3 = 48 × 2
⇒ (a + b) × 3 = 96
⇒ a + b = 96/3
⇒ a + b = 32

∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড় = (a + b)/2
= 32/2
= 16 সে.মি.

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ২০% বৃদ্ধি করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের আদি ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ = ১০,০০০ বর্গ একক

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করা হলে,
∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ২০%) একক
= (১০০ + ২০) একক
= ১২০ একক

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১২০)^২ = ১৪,৪০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৪,৪০০ - ১০,০০০) বর্গ একক = ৪,৪০০ বর্গ একক

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৪,৪০০/১০,০০০) × ১০০%
= ৪৪%

সুতরাং, ক্ষেত্রফল শতকরা ৪৪% বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×4² : π×5²
= 16 : 25

প্রশ্ন: যদি A = π/2 ও B = π/6 হয়, তাহলে sin(A + B) = কত?

সমাধান: 
 sin(A + B) = sin(π/2 + π/6)
= sin (2π/3)
= sin 120°
= sin (90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

ধরি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = x
x² + x² = 14²
x² = 98
ক্ষেত্রফল = ½ x ভূমি x উচ্চতা
= ½ x² = 49

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √(ক্ষেত্রফল)
= √50
= √(25 × 2)
= 5√2 মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= (√2 × √2) × 5 মিটার
= 2 × 5 মিটার
= 10 মিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 10 মিটার।

এখানে,
OA ব্যাসার্ধ এবং AB স্পর্শক
∴ OA ⊥ AB
ফলে ∠OAB = 90°
∴ ∠AOB = 90° - ∠ABO
= 90° - 35°
= 55°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে, দুইটি বৃত্তকেই স্পর্শ করে এরূপ সর্বোচ্চ কতটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব?

সমাধান: 

- দুইটি বৃত্তকে স্পর্শ করে এরূপ সর্বোচ্চ ৪ টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। বৃহত্তম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, কোণ তিনটি x, 2x এবং 3x।
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∴ x + 2x + 3x = ১৮০°
বা, ৬x = ১৮০°
∴ x = ৩০°

∴ বৃহত্তম কোণটি = 3x
= ৩ × ৩০°
= ৯০°

ধরি,
বৃত্ত দু'টির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩r এবং ৪r
∴ ক্ষেত্রফল দ্বয়ের অনুপাত = π(৩r)^২ : π(৪r)^২
= ৯πr^২ : ১৬πr^২
= ৯ঃ১৬

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ১৪ সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাস, ২r = ১৪ সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (১৪/২) সেন্টিমিটার
= 7 সেন্টিমিটার

আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = ২πr 

∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = ২πr সেন্টিমিটার 
= ২ × (২২/৭) × ৭ সেন্টিমিটার 
= ৪৪ সেন্টিমিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল 1600 বর্গফুট। মাঠের চারপাশে 3 ফুট প্রশস্ত একটি রাস্তা রয়েছে। এই রাস্তায় প্রতি 1.5 বর্গফুটের টাইল বসানো হলে মোট কতটি টাইল লাগবে? 

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = 1600 বর্গফুট
⇒ মাঠের এক পাশ = √1600 = 40 ফুট

ভেতরের রাস্তায় চারদিকে ৩ ফুট রাস্তা থাকায়,
= 40 - 3 - 3 = 34 ফুট

রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল
= 40² - 34²
= 1600 - 1156
= 444 বর্গফুট

প্রতি টাইলের ক্ষেত্রফল = 1.5 বর্গফুট
টাইলের সংখ্যা = 444 / 1.5 = 296 টাইল

∴ টাইলের সংখ্যা 296 টি