১,৮০১.
২৮° কোণের পূরক কোণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
দুটি কোণের যোগফল ৯০° হলে তাকে বলে পূরক কোণ। তাই একটি কোণের মান ২৮° হলে তার পূরক কোণ হবে ৯০ - ২৮ = ৬২°
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
জ্যামিতি
জ্যামিতি
PrepBank · পাতা ১৯ / ১০৭ · ১,৮০১–১,৯০০ / ১০,৭৫২
১,৮০২.
একটি আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 2a একক। উক্ত আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 2a একক। উক্ত আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
এখানে, এক বাহু = a এবং অপর বাহু = 2a
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য২ + প্রস্থ২)
∴ কর্ণ = √{a2 + (2a)2}
⇒ কর্ণ = √(a2 + 4a2)
⇒ কর্ণ = √(5a2)
⇒ কর্ণ = √5a
∴ আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য √5a একক।
১,৮০৩.
∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ । ∠A = 139° হলে, ∠B = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ । ∠A = 139° হলে, ∠B = কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ
∠A + ∠B = 180°
139° + ∠B = 180°
∠B =180° - 139°
∠B = 41°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ
∠A + ∠B = 180°
139° + ∠B = 180°
∠B =180° - 139°
∠B = 41°
১,৮০৪.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমিঃ এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
ব্যাসার্ধ r = ৭ সেমিঃ
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোন = ৪৫°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = S
আমরা জানি,
S = πr(বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোন)/180°
= (২২/৭ x ৭ x ৪৫) / ১৮০°
= ৫.৫ সেমিঃ
১,৮০৫.
দুইটি পরস্পর পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি পরস্পর পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, তাদেরকে পরস্পরের পূরক কোণ বলে।
ধরি, একটি কোণ x ও অপরটি 90° - x
প্রশ্নমতে,
x/(90° - x) = 3/7
⇒ 7x = 3 (90° - x)
⇒ 7x = 270° - 3x
⇒ 7x + 3x = 270°
⇒ 10x = 270°
∴ x = 270°/10
= 27°
অপরটি = 90° - 27°
= 63°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, তাদেরকে পরস্পরের পূরক কোণ বলে।
ধরি, একটি কোণ x ও অপরটি 90° - x
প্রশ্নমতে,
x/(90° - x) = 3/7
⇒ 7x = 3 (90° - x)
⇒ 7x = 270° - 3x
⇒ 7x + 3x = 270°
⇒ 10x = 270°
∴ x = 270°/10
= 27°
অপরটি = 90° - 27°
= 63°
১,৮০৬.
একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৭ সে. মি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে. মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৭ সে. মি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে. মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বখণ্ডিত করে ।
তাহলে, AB = AD = BC = CD = ১৭ সে. মি. এবং কর্ণ AC = ৩০ সে. মি. হলে
OA = ৩০/২ = ১৫ সে. মি.
AOB সমকোণী ত্রিভুজ হতে -
⇒ AB2 = OA2 + OB2
⇒ ১৭২ = ১৫২ + OB2
⇒ OB2 = ১৭২ - ১৫২
⇒ OB2 = ২৮৯ - ২২৫
⇒ OB2 = ৬৪
⇒ OB = √৬৪
∴ OB = ৮
অপর কর্ণ, BD = OD + OB = OB + OB = (৮ + ৮) = ১৬ সে. মি.
সমাধান:
রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বখণ্ডিত করে ।
তাহলে, AB = AD = BC = CD = ১৭ সে. মি. এবং কর্ণ AC = ৩০ সে. মি. হলে
OA = ৩০/২ = ১৫ সে. মি.
AOB সমকোণী ত্রিভুজ হতে -
⇒ AB2 = OA2 + OB2
⇒ ১৭২ = ১৫২ + OB2
⇒ OB2 = ১৭২ - ১৫২
⇒ OB2 = ২৮৯ - ২২৫
⇒ OB2 = ৬৪
⇒ OB = √৬৪
∴ OB = ৮
অপর কর্ণ, BD = OD + OB = OB + OB = (৮ + ৮) = ১৬ সে. মি.
১,৮০৭.
বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?
সমাধান:
- একটি বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেককে ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
সমাধান:
- একটি বৃত্তের পরিধিস্থ যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেককে ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
১,৮০৮.
একটি কোন তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৬ ডিগ্রি বেশি হলে কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
কোনটির মান x হলে,
x+(x-26) = 90
⇒ 2x = 116
∴ x = 58°
১,৮০৯.
কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর কয়টি স্পর্শক আঁকা যেতে পারে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর কয়টি স্পর্শক আঁকা যেতে পারে?
সমাধান:
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে 2 টি স্পর্শক আঁকা যাবে।
সমাধান:
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে 2 টি স্পর্শক আঁকা যাবে।
১,৮১০.
একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের অনুপাত ৩ঃ২। ঘরটির ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ মিটার হলে, ঘরটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৩a মি.
∴ প্রস্থ = ২a মি.
∴ ক্ষেত্রফল ৩a × ২a = ৯৬
বা, ৬a২ = ৯৬
বা, a২ = ১৬
∴ a = ৪
∴ দৈর্ঘ্য = ৩a = ১২ মি.
∴ প্রস্থ = ২a = ৮ মি.
∴ কর্নের দৈর্ঘ্য = √(১২২ + ৮২)মি.
= √২০৮
= ১৪.৪২ মি.
১,৮১১.
১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১০ সে.মি।
∴ বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √৩ × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= √৩ × ১০ = ১০√৩ সে.মি।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)২
∴ ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১০√৩)২
= (√৩/৪) × ১০০ × ৩
= (√৩/৪) × ৩০০
= ৭৫√৩ বর্গ সে.মি।
১,৮১২.
একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে সিলিন্ডারটির আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে সিলিন্ডারটির আয়তন কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারটির উচ্চতা, h = 10 সে.মি.
এবং ভূমির ব্যাস = 14 সে.মি.
∴ ভূমির ব্যসার্ধ, r = (1/2) × ব্যাস
= (1/2) × 14 সে.মি.
= 7 সে.মি.
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr2h ঘন একক
= (22/7) × (7)2 × 10 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 49 × 10 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 10 ঘন সে.মি.
= 1540 ঘন সে.মি.
সুতরাং, সিলিন্ডারটির আয়তন 1540 ঘন সে.মি.।
১,৮১৩.
একটি বৃত্তের ব্যাস ১২ ফুট হলে কেন্দ্র থেকে পরিধির দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১২ ফুট হলে কেন্দ্র থেকে পরিধির দূরত্ব কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ১২ফুট
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২/২ = ৬ ফুট
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ১২ফুট
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২/২ = ৬ ফুট
১,৮১৪.
tan3A = 1/√3 হলে A = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan3A = 1/√3 হলে A = কত?
সমাধান:
tan3A = 1/√3
tan3A = tan30°
3A = 30°
A = 10°
সমাধান:
tan3A = 1/√3
tan3A = tan30°
3A = 30°
A = 10°
১,৮১৫.
৬ সে.মি এবং ১০ সে.মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব -
ব্যাখ্যা
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC1 = ৬ cm
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC2 = ১০ cm
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব C1C2 = AC2 - AC1
= ১০ - ৬ = ৪ cm
১,৮১৬.
প্রদত্ত চিত্রে, ∠POR ও ∠QOR পরস্পর সম্পূরক কোণ যেখানে ∠POR = (3x + 20)° এবং ∠QOR = (4x - 36)° হলে, x° এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে, ∠POR ও ∠QOR পরস্পর সম্পূরক কোণ যেখানে ∠POR = (3x + 20)° এবং ∠QOR = (4x - 36)° হলে, x° এর মান কত?
সমাধান:
যেহেতু, POQ একটি সরলরেখা।
∠POR + ∠QOR = 180°
বা, (3x + 20)° + (4x - 36)° = 180°
বা, 7x° - 16° = 180°
বা, 7x° = 180° + 16°
বা, 7x° = 196°
∴ x° = 28°
সমাধান:
যেহেতু, POQ একটি সরলরেখা।
∠POR + ∠QOR = 180°
বা, (3x + 20)° + (4x - 36)° = 180°
বা, 7x° - 16° = 180°
বা, 7x° = 180° + 16°
বা, 7x° = 196°
∴ x° = 28°
১,৮১৭.
x2 + (y - 2)2 = 7, বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + (y - 2)2 = 7, বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?
সমাধান:
(a, b) কেন্দ্র ও r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x - a)2 + (y - b)2 = r2
x2 + (y - 2)2 = 7 সমীকরণটি বৃত্তের সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
x2 + (y - 2)2 = 7
⇒ (x - 0)2 + (y - 2)2 = (√7)2
অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র = (0, 2) ও ব্যাসার্ধ = √7
সমাধান:
(a, b) কেন্দ্র ও r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x - a)2 + (y - b)2 = r2
x2 + (y - 2)2 = 7 সমীকরণটি বৃত্তের সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
x2 + (y - 2)2 = 7
⇒ (x - 0)2 + (y - 2)2 = (√7)2
অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র = (0, 2) ও ব্যাসার্ধ = √7
১,৮১৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?
সমাধান:
মনে করি,
দৈর্ঘ্য = x একক এবং প্রস্থ = y একক
∴ ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক
২০% বৃদ্ধিতে
নতুন দৈর্ঘ্য = x + x এর ২০%
= ১২x /১০ একক
১০% হ্রাসে
প্রস্থ = y - y এর ১০%
= ৯y/১০ একক
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (১২x/১০) ×( ৯y/১০) = ১০৮xy/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি =১০৮xy/১০০ - xy
=(১০৮xy - ১০০xy)/১০০
= ৮xy/১০০
শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = {(৮xy/১০০) × (১/xy) × ১০০}% = ৮%
সমাধান:
মনে করি,
দৈর্ঘ্য = x একক এবং প্রস্থ = y একক
∴ ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক
২০% বৃদ্ধিতে
নতুন দৈর্ঘ্য = x + x এর ২০%
= ১২x /১০ একক
১০% হ্রাসে
প্রস্থ = y - y এর ১০%
= ৯y/১০ একক
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (১২x/১০) ×( ৯y/১০) = ১০৮xy/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি =১০৮xy/১০০ - xy
=(১০৮xy - ১০০xy)/১০০
= ৮xy/১০০
শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = {(৮xy/১০০) × (১/xy) × ১০০}% = ৮%
১,৮১৯.
একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 84 বর্গগজ। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 84 বর্গগজ। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = a গজ
∴ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ 84 = (1/2) × 14 × a
⇒ a = 84/7
∴ a = 12 গজ
সমাধান:
ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = a গজ
∴ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ 84 = (1/2) × 14 × a
⇒ a = 84/7
∴ a = 12 গজ
১,৮২০.
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° ।
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° ।
১,৮২১.
দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 8 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 8 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে.মি.
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4 + 5 = 9 সে.মি
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে.মি.
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4 + 5 = 9 সে.মি
১,৮২২.
ΔABC এর ∠B এবং ∠C এর অন্তর্দ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হলে ∠BOC = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর ∠B এবং ∠C এর অন্তর্দ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হলে ∠BOC = ?
সমাধান:
ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ (1/2)∠A + (1/2)∠B + (1/2)∠C = 90°
⇒ (1/2)∠B + (1/2)∠C = 90° - (1/2)∠A
ত্রিভুজ BOC এ,
∠BOC + (1/2)∠B + (1/2)∠C = 180°
⇒ ∠BOC + 90° - (1/2)∠A = 180°
⇒ ∠BOC = 180° - 90° + (1/2)∠A
⇒ ∠BOC = 90° + (1/2)∠A
১,৮২৩.
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে = (√৩/৪)× a২ বর্গ একক
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a২ বর্গ মিটার
= (√৩/৪) × (২)২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গ মিটার।
১,৮২৪.
x - y + 1 = 0 রেখার ঢাল কত?
ব্যাখ্যা
রেখার ঢাল = - (x এর সহগ/y এর সহগ)
= - (1/-1)
= 1
১,৮২৫.
০.৫ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য কত একক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.৫ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য কত একক?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের বৃহত্তম চাপ হলো ঐ বৃত্তের পরিধি।
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = ০.৫ একক
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr = ২ × ৩.১৪১৬ × ০.৫
= ৩.১৪১৬
∴ বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য ৩.১৪১৬ একক।
১,৮২৬.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে, ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণটি একটি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে, ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণটি একটি-
সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের কোণগুলো যথাক্রমে ৬ক, ৮ক এবং ১০ক
প্রশ্নমতে,
৬ক + ৮ক + ১০ক = ১৮০
⇒ ২৪ক = ১৮০
∴ ক = ৭.৫
বৃহত্তম কোণ = ১০ × ৭.৫ = ৭৫°
৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
∴ ৭৫ ডিগ্রি কোণটি একটি সূক্ষ্মকোণ।
সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের কোণগুলো যথাক্রমে ৬ক, ৮ক এবং ১০ক
প্রশ্নমতে,
৬ক + ৮ক + ১০ক = ১৮০
⇒ ২৪ক = ১৮০
∴ ক = ৭.৫
বৃহত্তম কোণ = ১০ × ৭.৫ = ৭৫°
৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
∴ ৭৫ ডিগ্রি কোণটি একটি সূক্ষ্মকোণ।
১,৮২৭.
কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের কি বলা হয়?
ব্যাখ্যা
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের মধ্যমা বলে।
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে এর ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে ঐ ত্রিভুজের উচ্চতা বলে
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।
১,৮২৮.
(1, 1) এবং (2, 2) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1, 1) এবং (2, 2) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
সমাধান:
দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x1)2 + (y - y1)2}
= √{(2 - 1)2 + (2 -1)2}
= √{(1)2 + (1)2}
= √2
সমাধান:
দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x1)2 + (y - y1)2}
= √{(2 - 1)2 + (2 -1)2}
= √{(1)2 + (1)2}
= √2
১,৮২৯.
একটি গোলকের ব্যাস ১২ সেমি হলে, উক্ত গোলকের আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
একটি গোলকের ব্যাস ১২ সেমি। অতএব, ব্যাসার্ধ = ১২/২ সেমি = ৬ সেমি
সুতরাং, গোলকের আয়তন = (৪π × ৬৩) / ৩ = ২৮৮π
সুতরাং, গোলকের আয়তন = (৪π × ৬৩) / ৩ = ২৮৮π
১,৮৩০.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার এবং ভূমির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার এবং ভূমির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৩ মিটার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = ৪ মিটার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a২ - b২)
= (৪/৪) × √(৪ × ৩২ - ৪২)
= √(৪ × ৯ - ১৬)
= √(৩৬ - ১৬)
= √২০
= ২√৫ বর্গমিটার
সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৩ মিটার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = ৪ মিটার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a২ - b২)
= (৪/৪) × √(৪ × ৩২ - ৪২)
= √(৪ × ৯ - ১৬)
= √(৩৬ - ১৬)
= √২০
= ২√৫ বর্গমিটার
১,৮৩১.
tan3A = √3 হলে, A =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan3A = √3 হলে, A =?
সমাধান:
tan3A = √3
⇒ tan3A = tan60°
⇒ 3A = 60°
∴ A = 20°
সমাধান:
tan3A = √3
⇒ tan3A = tan60°
⇒ 3A = 60°
∴ A = 20°
১,৮৩২.
যথাক্রমে x এবং y একক দৈর্ঘ্য ও প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 96 একক। যদি আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ হয়, তবে কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
2(x+y) = 96
⇒x + y = 48
⇒2y + y = 48 [যেহেতু, দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ]
⇒3y = 48
∴y = 16
সুতরাং, x = 32
উত্তর হবে, x + y = 16 + 32 = 48
⇒x + y = 48
⇒2y + y = 48 [যেহেতু, দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ]
⇒3y = 48
∴y = 16
সুতরাং, x = 32
উত্তর হবে, x + y = 16 + 32 = 48
১,৮৩৩.
১৫ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?
সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ ১৫ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {১৫(১৫ - ৩)}/২
= (১৫ × ১২)/২
= ৯০
সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ ১৫ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {১৫(১৫ - ৩)}/২
= (১৫ × ১২)/২
= ৯০
১,৮৩৪.
রশ্মির কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
সমাধান:
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।
রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
সমাধান:
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।
রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
১,৮৩৫.
secθ = √4 হলে tan2θ - 1 = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: secθ = √4 হলে tan2θ - 1 = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = √4
⇒ sec2θ = (√4)2
⇒ sec2θ = 4
আমরা জানি,
sec2θ - tan2θ = 1
⇒ 4 - tan2θ = 1
⇒ tan2θ = 4 - 1
⇒ tan2θ = 3
∴ tan2θ - 1 = 3 - 1 = 2
১,৮৩৬.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∠BDC কোণটি বৃত্তস্থ কোণ।
সুতরাং, ∠BDC বৃত্তস্থ কোণটির জন্য
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 2∠BDC
∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 360° - স্থূলকোণ ∠BOC
= 360° - 108°
= 252°
∠BDC = (1/2) × 252°
∴ ∠x = 126°
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∠BDC কোণটি বৃত্তস্থ কোণ।
সুতরাং, ∠BDC বৃত্তস্থ কোণটির জন্য
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 2∠BDC
∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 360° - স্থূলকোণ ∠BOC
= 360° - 108°
= 252°
∠BDC = (1/2) × 252°
∴ ∠x = 126°
১,৮৩৭.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 16 মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি 10 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল সমান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 16 মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি 10 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল সমান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর একটির দৈঘ্য a এবং ভূমি b হয়
তাহলে ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2) বর্গ একক।
ধরি,
ভূমি b = 16 মিটার এবং অপর বাহুর একটি a = 10 মিটার।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (16/4) × √(4 × 102 - 162)
= 4 × 12 বর্গমিটার
= 48 বর্গমিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর একটির দৈঘ্য a এবং ভূমি b হয়
তাহলে ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2) বর্গ একক।
ধরি,
ভূমি b = 16 মিটার এবং অপর বাহুর একটি a = 10 মিটার।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (16/4) × √(4 × 102 - 162)
= 4 × 12 বর্গমিটার
= 48 বর্গমিটার
১,৮৩৮.
একটি রেখাংশের কয়টি প্রান্তবিন্দু থাকে?
ব্যাখ্যা
সরলরেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই।
রশ্মির প্রান্তবিন্দু একটি।
রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি।
১,৮৩৯.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০° হলে অপর যেকোনো একটি কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০° হলে অপর যেকোনো একটি কোণের মান কত?
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু ভূমির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে
ধরি
অপর যেকোনো একটি কোণের মান = ক
প্রশ্নমতে
ক + ক + ৮০° = ১৮০°
বা, ২ক = ১৮০° - ৮০°
বা, ২ক = ১০০°
ক = ৫০°
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু ভূমির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে
ধরি
অপর যেকোনো একটি কোণের মান = ক
প্রশ্নমতে
ক + ক + ৮০° = ১৮০°
বা, ২ক = ১৮০° - ৮০°
বা, ২ক = ১০০°
ক = ৫০°
১,৮৪০.
বিন্দুর মাত্রা কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বিন্দুর মাত্রা কয়টি?
সমাধান:
বিন্দু (Point):
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ:
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে।
যথা-
i. সমরেখ বিন্দু,
ii. অসমরেখ বিন্দু এবং
iii. সমবিন্দু।
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
সমাধান:
বিন্দু (Point):
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ:
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে।
যথা-
i. সমরেখ বিন্দু,
ii. অসমরেখ বিন্দু এবং
iii. সমবিন্দু।
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
১,৮৪১.
নিম্নের চিত্রে BC এর মান কত?
ব্যাখ্যা
সমাধান:
AC2 = AB2 + BC2
⇒ 132 = 122 + BC2
⇒ BC2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25
⇒ BC = √25 = 5 একক
AC2 = AB2 + BC2
⇒ 132 = 122 + BC2
⇒ BC2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25
⇒ BC = √25 = 5 একক
১,৮৪২.
0 ≤ θ ≤ π/3 হলে, sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0 ≤ θ ≤ π/3 হলে, sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
0 ≤ θ ≤ π/3
sin0° ≤ sinθ ≤ sin60°
∴ sinθ এর সর্বোচ্চ মান = sin0° = 0
সমাধান:
দেওয়া আছে,
0 ≤ θ ≤ π/3
sin0° ≤ sinθ ≤ sin60°
∴ sinθ এর সর্বোচ্চ মান = sin0° = 0
১,৮৪৩.
ΔABC এ ∠A = 70°, ∠B = 20° হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এ ∠A = 70°, ∠B = 20° হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 70°, ∠B = 20°
∴ অপর কোণটি, ∠C = 180° - (70° + 20°)
= 180° - 90°
= 90°
এখানে, ∠C কোণ 90° হওয়ায়,
তাই, ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
১,৮৪৪.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4cm এবং 6cm হয় তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4cm এবং 6cm হয় তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত
সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4cm এবং 6cm
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (4 x 6) বর্গমিটার
= 12 বর্গ সে.মি.
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল= 12 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4cm এবং 6cm
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (4 x 6) বর্গমিটার
= 12 বর্গ সে.মি.
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল= 12 বর্গ সে.মি.
১,৮৪৫.
একটি পাইপের বহিঃব্যাস ৪.৮ সেমি এবং অন্তর্ব্যাস ৩.২ সেমি। পাইপটির পুরুত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পাইপের বহিঃব্যাস ৪.৮ সেমি এবং অন্তর্ব্যাস ৩.২ সেমি। পাইপটির পুরুত্ব কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাইপের বহিঃব্যাস = ৪.৮ সেমি
∴ পাইপের বহিঃব্যাসার্ধ = ৪.৮/২ = ২.৪ সেমি
পাইপের অন্তর্ব্যাস = ৩.২ সেমি
∴ পাইপের অন্তঃব্যাসার্ধ = ৩.২/২ = ১.৬ সেমি
∴ পাইপটির পুরুত্ব = (বহিঃব্যাসার্ধ - অন্তঃব্যাসার্ধ)
= (২.৪ - ১.৬) সেমি
= ০.৮ সেমি
∴ পাইপটির পুরুত্ব ০.৮ সেমি।
১,৮৪৬.
ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 1 : 2 : 3 এবং বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি. হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 1 : 2 : 3 এবং বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি. হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
তিনটি কোণ যথাক্রমে ক, ২ক, ৩ক
এখন,
ক + ২ক + ৩ক = ১৮০
⇒৬ক = ১৮০
⇒ক = ১৮০/৬
⇒ক = ৩০
∴ ২ক = ২ × ৩০ = ৬০°
∴ ৩ক = ৩ × ৩০ = ৯০°
সুতরাং, ত্রিভূজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
আমরা জানি, বৃহত্তম বাহুর বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতম বাহুর বিপরীত বাহু অপেক্ষা বড়।
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম বাহু হচ্ছে AB
cos∠BAC = AB/AC
∴ cos 60° = AB/AC
⇒ 1/2 = AB/6
⇒ AB = 3 cm
সমাধান:
ধরি,
তিনটি কোণ যথাক্রমে ক, ২ক, ৩ক
এখন,
ক + ২ক + ৩ক = ১৮০
⇒৬ক = ১৮০
⇒ক = ১৮০/৬
⇒ক = ৩০
∴ ২ক = ২ × ৩০ = ৬০°
∴ ৩ক = ৩ × ৩০ = ৯০°
সুতরাং, ত্রিভূজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
আমরা জানি, বৃহত্তম বাহুর বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতম বাহুর বিপরীত বাহু অপেক্ষা বড়।
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম বাহু হচ্ছে AB
cos∠BAC = AB/AC
∴ cos 60° = AB/AC
⇒ 1/2 = AB/6
⇒ AB = 3 cm
১,৮৪৭.
চিত্রে, PQ || SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 50° হলে ∠LRS = কত?
ব্যাখ্যা
১,৮৪৮.
একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
৩ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ৩ + ৩) = (x + ৬) মিটার
প্রশ্নমতে,
(x + ৬)২ = ২৫৬
⇒ (x + ৬)২ = (১৬)২
⇒ x + ৬ = ১৬
⇒ x = ১৬ - ৬
∴ x = ১০
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১০২ = ১০০ বর্গমিটার
রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১০০) বর্গমিটার
= ১৫৬ বর্গমিটার।
সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
৩ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ৩ + ৩) = (x + ৬) মিটার
প্রশ্নমতে,
(x + ৬)২ = ২৫৬
⇒ (x + ৬)২ = (১৬)২
⇒ x + ৬ = ১৬
⇒ x = ১৬ - ৬
∴ x = ১০
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১০২ = ১০০ বর্গমিটার
রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১০০) বর্গমিটার
= ১৫৬ বর্গমিটার।
১,৮৪৯.
একটি বৃত্তের ব্যাস 6 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 6 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস ছয়গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 12r) = 14r
∴ ব্যাসার্ধ = 14r/2 = 7r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(7r)2 = 49πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 49πr2 - πr2 = 48πr2
∴ 48 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস ছয়গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 12r) = 14r
∴ ব্যাসার্ধ = 14r/2 = 7r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(7r)2 = 49πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 49πr2 - πr2 = 48πr2
∴ 48 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
১,৮৫০.
একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি,
সিলিন্ডার ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h1
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h2
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr2h1
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr2h2
প্রশ্নমতে,
πr2h1 = (1/3)πr2h2
বা, h1 = h2/3
বা, h1/h2 = 1/3
∴ h1 : h2 = 1 : 3
∴ সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত = 1 : 3 ।
১,৮৫১.
দুটি সমান্তর রেখা একে অপরের থেকে ৬ সেমি দূরে। এই দুটি রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য ____
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সমান্তর রেখা একে অপরের থেকে ৬ সেমি দূরে। এই দুটি রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য____
সমাধান:
দুটি সমান্তর রেখা বলতে বোঝায় এমন দুইটি সরলরেখা, যেগুলো একে অপরকে কখনও ছেদ করে না এবং সর্বত্র তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব অপরিবর্তিত থাকে।
- যেহেতু রেখাদ্বয় সমান্তর, তাই তাদের মধ্যে টানা যেকোনো লম্বের দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হবে।
- অর্থাৎ, প্রতিটি বিন্দু থেকে অপর রেখায় টানা লম্বের দৈর্ঘ্য স্থির থাকে এবং এখানে তা ৬ সেমি।
∴ দুটি সমান্তর রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।
১,৮৫২.
একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 30 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 30 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
মনে করি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 30 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি.
সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2 × (22/7) × 14 (14 + 30) বর্গমিটার
= 3872 বর্গমিটার
সমাধান:
মনে করি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 30 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি.
সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2 × (22/7) × 14 (14 + 30) বর্গমিটার
= 3872 বর্গমিটার
১,৮৫৩.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
সমাধান:
মনেকরি
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক একক
শর্তমতে,
√2ক = 6√2
⇒ ক = 6√2/√2
∴ ক = 6
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ক2
= 62
= 36 বর্গমিটার
১,৮৫৪.
একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ২০ মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের নিচের প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ২০ মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের নিচের প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?
সমাধান:
ধরি,
মই এর নিচের প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়়ী,
২৫২ = ২০২ + ক২
⇒ ক২ = ২৫২ - ২০২
⇒ ক২ = ৬২৫ - ৪০০
⇒ ক২ = ২২৫
⇒ ক = √২২৫
∴ ক = ১৫ মিটার
সমাধান:
ধরি,
মই এর নিচের প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়়ী,
২৫২ = ২০২ + ক২
⇒ ক২ = ২৫২ - ২০২
⇒ ক২ = ৬২৫ - ৪০০
⇒ ক২ = ২২৫
⇒ ক = √২২৫
∴ ক = ১৫ মিটার
১,৮৫৫.
একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকে ২৪০০০ লিটার পানি ধরে। যদি ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার হয়, তবে ট্যাংকের গভীরতা কত মিটার হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকে ২৪০০০ লিটার পানি ধরে। যদি ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার হয়, তবে ট্যাংকের গভীরতা কত মিটার হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার
∴ ২৪০০০ লিটার = ২৪ ঘনমিটার
আবার,
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
∴ গভীরতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= ২৪/(৪ × ৩)
= ২৪/১২
= ২ মিটার
∴ ট্যাংকের গভীরতা = ২ মিটার।
১,৮৫৬.
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি?
সমাধান:
আমরা জানি,
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো - (ভূমি × উচ্চতা) ।
অন্যদিকে,
- রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
- বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)২ ।
- আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
১,৮৫৭.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যায়ের উপর লম্ব । AD = 5 সে. মি. হলে, AB =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যায়ের উপর লম্ব । AD = 5 সে. মি. হলে, AB =?
সমাধান:
আমরা জানি,
যেকোনো বৃত্তের কেন্দ্রে থেকে কোনো জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যায়কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
দেওয়া আছে,
AD = 5 সে. মি.
যেহেতু AB জ্যায়টি সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে, তাই
∴ AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 সে. মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
যেকোনো বৃত্তের কেন্দ্রে থেকে কোনো জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যায়কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
দেওয়া আছে,
AD = 5 সে. মি.
যেহেতু AB জ্যায়টি সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে, তাই
∴ AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 সে. মি.
১,৮৫৮.
একটি সরলরেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
ব্যাখ্যা
ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x/3)2 বা, x2/9
একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের 9 গুণ।
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x/3)2 বা, x2/9
একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের 9 গুণ।
১,৮৫৯.
একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 154 বর্গ সে.মি.। গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 154 বর্গ সে.মি.। গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
আমরা জানি, গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 4πr2 বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
4πr2= 154
4 (22/7)r2 = 154
(88/7)r2 = 154
r2 = 154(7/88)
r2 = 49/4
r2 = (7/2)2
r = 7/2
r = 3.5
অতএব গোলকটির ব্যাসার্ধ =3.5
সমাধান:
আমরা জানি, গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 4πr2 বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
4πr2= 154
4 (22/7)r2 = 154
(88/7)r2 = 154
r2 = 154(7/88)
r2 = 49/4
r2 = (7/2)2
r = 7/2
r = 3.5
অতএব গোলকটির ব্যাসার্ধ =3.5
১,৮৬০.
যদি একটি পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 cm, 3.5 cm, 4 cm, 5 cm এবং 6 cm হয়, তাহলে পঞ্চভুজের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 cm, 3.5 cm, 4 cm, 5 cm এবং 6 cm হয়, তাহলে পঞ্চভুজের পরিসীমা কত?
সমাধান:
পঞ্চভুজের পরিসীমা = 3 + 3.5 + 4 + 5 + 6 cm
= 21.5 cm
সমাধান:
পঞ্চভুজের পরিসীমা = 3 + 3.5 + 4 + 5 + 6 cm
= 21.5 cm
১,৮৬১.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য ১২মিঃ হলে অতিভুজ এবং লম্ব যথাক্রমে -
ব্যাখ্যা
এখানে, ১৫২ - ৯২ = ১২২
∴ অতিভুজ = ১৫m এবং লম্ব = ৯m।
∴ অতিভুজ = ১৫m এবং লম্ব = ৯m।
১,৮৬২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেমি হলে এর অতিভুজের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেমি হলে এর অতিভুজের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)2 = (ভূমি)2 + (লম্ব)2
বা, অতিভুজ = √(৩2 + ৪2)
= √(৯ + ১৬)
= √২৫
∴ অতিভুজ = ৫ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)2 = (ভূমি)2 + (লম্ব)2
বা, অতিভুজ = √(৩2 + ৪2)
= √(৯ + ১৬)
= √২৫
∴ অতিভুজ = ৫ সে.মি.
১,৮৬৩.
১৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৬ সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাস = ১৬ × ২ = ৩২ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাস = বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴ বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৩২ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
√২ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩২
বা, বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩২/√২
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩২/√২)২
= ৫১২ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৬ সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাস = ১৬ × ২ = ৩২ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাস = বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴ বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৩২ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
√২ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩২
বা, বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩২/√২
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩২/√২)২
= ৫১২ বর্গ সে.মি.
১,৮৬৪.
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ১টি বৃত্তের উপর সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ১টি বৃত্তের উপর সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
সমাধান:
চিত্রে দেখানো হয়েছে, একটি বহিস্থ বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বাধিক দুটি স্পর্শক আঁকতে পারা যায়।
সমাধান:
চিত্রে দেখানো হয়েছে, একটি বহিস্থ বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বাধিক দুটি স্পর্শক আঁকতে পারা যায়।
১,৮৬৫.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
সমাধান:
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 12 : EF = 2 : 1
⇒ 12/EF = 2/1
⇒ 2EF = 12
∴ EF = 6
অতএব, ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 12 + 6 = 18 সে.মি.
১,৮৬৬.
1° সমান কত রেডিয়ান?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান?
সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।
আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান
সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।
আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান
১,৮৬৭.
একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি 16 সে.মি.হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি 16 সে.মি.হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= (1/2) × 16 × 8
= 64 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= (1/2) × 16 × 8
= 64 বর্গ সে.মি.
১,৮৬৮.
একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮১০ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮১০ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের উচ্চতা = h সে.মি.
তাহলে ভূমি = ২h + ৬ সে.মি.
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ (১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ৮১০
⇒ (১/২) × (২h + ৬) × h = ৮১০
⇒ (২h + ৬) × h = ১৬২০
⇒ ২h২ + ৬h = ১৬২০
⇒ ২h২ + ৬h - ১৬২০ = ০
⇒ h২ + ৩h - ৮১০ = ০
⇒ h২ + ৩০h - ২৭h - ৮১০ = ০
⇒ h(h + ৩০) - ২৭(h + ৩০) = ০
⇒ (h + ৩০)(h - ২৭) = ০
হয়,
h - ২৭ = ০
∴ h = ২৭
অথবা,
h + ৩০ = ০
∴ h = - ৩০ ; [ইহা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না]
সুতরাং, ত্রিভুজের উচ্চতা ২৭ সে.মি.।
১,৮৬৯.
একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৫ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ১১২ মিটার হলে ঘরটির প্রস্থ কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৫ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ১১২ মিটার হলে ঘরটির প্রস্থ কত মিটার?
সমাধান:
মনে করি,
ঘরটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ প্রস্থ = ক × (২/৫) মিটার = ২ক/৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ২ {ক + (২ক/৫)} = ২ {(৫ক + ২ক)/৫} = ২ × (৭ক/৫) = ১৪ক/৫ মিটার
প্রশ্নমতে,
১৪ক/৫ = ১১২
বা, ১৪ক = ১১২ × ৫
বা, ১৪ক = ৫৬০
বা, ক = ৫৬০/১৪
∴ ক = ৪০ মিটার
∴ ঘরটির প্রস্থ = (২ × ৪০)/৫ মিটার
= ১৬ মিটার ।
সমাধান:
মনে করি,
ঘরটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ প্রস্থ = ক × (২/৫) মিটার = ২ক/৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ২ {ক + (২ক/৫)} = ২ {(৫ক + ২ক)/৫} = ২ × (৭ক/৫) = ১৪ক/৫ মিটার
প্রশ্নমতে,
১৪ক/৫ = ১১২
বা, ১৪ক = ১১২ × ৫
বা, ১৪ক = ৫৬০
বা, ক = ৫৬০/১৪
∴ ক = ৪০ মিটার
∴ ঘরটির প্রস্থ = (২ × ৪০)/৫ মিটার
= ১৬ মিটার ।
১,৮৭০.
cos60° এর মান কত?
ব্যাখ্যা
cos60° এর মান 1/2.
১,৮৭১.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ মি. ও উচ্চতা ৫ মি. হলে এর অতিভূজ ভূমি অপেক্ষা কত সে.মি. বেশী?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ মি. ও উচ্চতা ৫ মি. হলে এর অতিভূজ ভূমি অপেক্ষা কত সে.মি. বেশী?
সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)২ = (উচ্চতা )২ + (ভূমি)২
বা,(অতিভুজ)২ = (৫)২+ (১২)২
বা,(অতিভুজ)২ = ২৫ + ১৪৪ মি.
বা,(অতিভুজ)২ = ১৬৯ মি.
(অতিভুজ)২ = ১৩২
অতিভুজ = ১৩
অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা বেশি = ১৩ - ১২ = ১ মি.
১ মি. = ১০০ সে.মি.
সুতরাং,অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ১০০ সে.মি. বেশি।
সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)২ = (উচ্চতা )২ + (ভূমি)২
বা,(অতিভুজ)২ = (৫)২+ (১২)২
বা,(অতিভুজ)২ = ২৫ + ১৪৪ মি.
বা,(অতিভুজ)২ = ১৬৯ মি.
(অতিভুজ)২ = ১৩২
অতিভুজ = ১৩
অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা বেশি = ১৩ - ১২ = ১ মি.
১ মি. = ১০০ সে.মি.
সুতরাং,অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ১০০ সে.মি. বেশি।
১,৮৭২.
৫০ মি. দৈর্ঘ্য ও ৪০ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের ঠিক মাঝ দিয়ে আড়াআড়িভাবে ৩ মি. চওড়া দুইটি রাস্তা আছে। রাস্তা ২টির মোট ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০ মি. দৈর্ঘ্য ও ৪০ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের ঠিক মাঝ দিয়ে আড়াআড়িভাবে ৩ মি. চওড়া দুইটি রাস্তা আছে। রাস্তা ২টির মোট ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
১ম রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৩) = ১৫০ বর্গমিটার
২য় রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩ ) = ১২০ বর্গমিটার
দুটি রাস্তার মিলনস্থলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩২) = ৯ বর্গমটার
∴ দুটি রাস্তার ক্ষেত্রফল = (১৫০ + ১২০ - ৯)
= ২৭০ - ৯
= ২৬১ বর্গমিটার
সমাধান:
১ম রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৩) = ১৫০ বর্গমিটার
২য় রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩ ) = ১২০ বর্গমিটার
দুটি রাস্তার মিলনস্থলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩২) = ৯ বর্গমটার
∴ দুটি রাস্তার ক্ষেত্রফল = (১৫০ + ১২০ - ৯)
= ২৭০ - ৯
= ২৬১ বর্গমিটার
১,৮৭৩.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 15 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120° হলে, বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 15 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120° হলে, বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r =15 সে. মি.
এবং কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 120°
আমরা জানি,
বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr2
= (120°/360°) × π × (15)2
= (1/3) × (22/7) × 225
= 1650/7
≈ 235.71 বর্গ সে. মি. (প্রায়)
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r =15 সে. মি.
এবং কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 120°
আমরা জানি,
বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr2
= (120°/360°) × π × (15)2
= (1/3) × (22/7) × 225
= 1650/7
≈ 235.71 বর্গ সে. মি. (প্রায়)
১,৮৭৪.
কোনটি ৩৫ ডিগ্রি কোণ এর পূরক কোণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনটি ৩৫ ডিগ্রি কোণ এর পূরক কোণ?
সমাধান:
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৩৫ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
সমাধান:
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৩৫ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
১,৮৭৫.
দুটি পরস্পর পূরক কোণের মধ্যে একটি ৩৫° হলে অপরটি কত?
ব্যাখ্যা
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৩৫ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৩৫ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
১,৮৭৬.
কোন বৃত্তের পরিধি 23 সে.মি. হলে ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের পরিধি 23 সে.মি. হলে ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি 2πr = 23
r = 23/2π
∴ r = 3.660
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি 2πr = 23
r = 23/2π
∴ r = 3.660
১,৮৭৭.
সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 150 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 150 মিটার হয়। মিনারটির উচ্চতা কত?
সমাধান:
ধরি,
মিনারের উচ্চতা = h
শর্তমতে,
tan60° = h/150
বা, √3 = h/150
বা, h = 150√3 মি.
সমাধান:
ধরি,
মিনারের উচ্চতা = h
শর্তমতে,
tan60° = h/150
বা, √3 = h/150
বা, h = 150√3 মি.
১,৮৭৮.
১৭ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ১৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৭ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ১৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
OA২ = OD২ + AD২
⇒ ১৭২ = ১৫২ + AD২
⇒ AD২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ AD২ = ৬৪
∴ AD = ৮ সে.মি.
∴ জ্যা, AB = (৮ × ২) সে.মি.
= ১৬ সে.মি.।
সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
OA২ = OD২ + AD২
⇒ ১৭২ = ১৫২ + AD২
⇒ AD২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ AD২ = ৬৪
∴ AD = ৮ সে.মি.
∴ জ্যা, AB = (৮ × ২) সে.মি.
= ১৬ সে.মি.।
১,৮৭৯.
এখানে ∠BAC = ?
এখানে ∠BAC = ?
ব্যাখ্যা
CE, ∠ACD এর লম্বদ্বিখণ্ডক হওয়ায়,
∠ECD = ∠ACE = 60°
∴ ∠ACB = 180° - (60° + 60°) =60°
AB।।CE হওয়ায়, ∠ECD = ∠ABC = 60°
∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°
বা, ∠BAC + 60° + 60° = 180°
বা, ∠BAC = 180° - (60° + 60°) = 60°
∴ ∠BAC = 60°
∠ECD = ∠ACE = 60°
∴ ∠ACB = 180° - (60° + 60°) =60°
AB।।CE হওয়ায়, ∠ECD = ∠ABC = 60°
∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°
বা, ∠BAC + 60° + 60° = 180°
বা, ∠BAC = 180° - (60° + 60°) = 60°
∴ ∠BAC = 60°
১,৮৮০.
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে -
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৭৫° × ২
= ১৫০°
∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৫০°।
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৭৫° × ২
= ১৫০°
∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৫০°।
১,৮৮১.
কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৩ + ৪ = ৭ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৩ = ৫ = ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়
৫ + ৬ = ১১ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৩ + ৪ = ৭ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৩ = ৫ = ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়
৫ + ৬ = ১১ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
১,৮৮২.
ΔABC এর ∠B > ∠C হলে কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর ∠B > ∠C হলে কোনটি সঠিক?
সমাধান:
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোনের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতম কোনের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম হবে।
ΔABC এর ∠B > ∠C হলে,
AC > AB
সমাধান:
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোনের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতম কোনের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম হবে।
ΔABC এর ∠B > ∠C হলে,
AC > AB
১,৮৮৩.
একটি ষড়ভুজের কোণগুলোর অনুপাত 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের কোণগুলোর অনুপাত 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের গড় কত?
সমাধান:
কোণগুলোর সমষ্টি = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45
ষড়ভুজের 6 কোণের সমষ্টি = 720°
∴ ছোট কোণ = (5/45) × 720° = 80°
এবং, বৃহত্তম কোণ = (10/45) × 720° = 160°
সুতরাং, গড় = (80° + 160°)/2
= 120°
সমাধান:
কোণগুলোর সমষ্টি = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45
ষড়ভুজের 6 কোণের সমষ্টি = 720°
∴ ছোট কোণ = (5/45) × 720° = 80°
এবং, বৃহত্তম কোণ = (10/45) × 720° = 160°
সুতরাং, গড় = (80° + 160°)/2
= 120°
১,৮৮৪.
3 সে.মি., 4.5 সে.মি., 5.5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 সে.মি., 4.5 সে.মি., 5.5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি., b = 4.5 সে.মি. ও c = 5.5 সে.মি.
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2 = (3 + 4.5 + 5.5)/2 = 6.5
ক্ষেত্রফল = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
= √{6.5(6.5 - 3)(6.5 - 4.5)(6.5 - 5.5)}
= √(6.5 × 3.5 × 2 × 1)
= √45.5
= 6.75 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি., b = 4.5 সে.মি. ও c = 5.5 সে.মি.
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2 = (3 + 4.5 + 5.5)/2 = 6.5
ক্ষেত্রফল = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
= √{6.5(6.5 - 3)(6.5 - 4.5)(6.5 - 5.5)}
= √(6.5 × 3.5 × 2 × 1)
= √45.5
= 6.75 বর্গ সে.মি.
১,৮৮৫.
ত্রিভুজের অঙ্গ কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের অঙ্গ কয়টি?
সমাধান:
- তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ এই ছয়টি হল ত্রিভুজের অঙ্গ।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।
সমাধান:
- তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ এই ছয়টি হল ত্রিভুজের অঙ্গ।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।
১,৮৮৬.
(- 3, - 4) বিন্দুটি কোন চর্তুভাগে অবস্থিত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (- 3, - 4) বিন্দুটি কোন চর্তুভাগে অবস্থিত?
সমাধান:
এখানে, (- 3, - 4) বিন্দুটি তৃতীয় চর্তুভাগে অবস্থিত?
সমাধান:
এখানে, (- 3, - 4) বিন্দুটি তৃতীয় চর্তুভাগে অবস্থিত?
১,৮৮৭.
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করার উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করার উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-
সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- সুতরাং এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তর: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটি সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।
সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- সুতরাং এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তর: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটি সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।
১,৮৮৮.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ 14 সে.মি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ 14 সে.মি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের 2টি বাহু সমান = x
142 = x2 + x2
196 = 2x2
x2 = 98
x = √98
∴ক্ষেত্রফল =(1/2) (√98) × (√98)
= (1/2) × 98
= 49 বর্গ সে.মি
সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের 2টি বাহু সমান = x
142 = x2 + x2
196 = 2x2
x2 = 98
x = √98
∴ক্ষেত্রফল =(1/2) (√98) × (√98)
= (1/2) × 98
= 49 বর্গ সে.মি
১,৮৮৯.
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.
আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩০০০০ লিটার
১,৮৯০.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/2, x এবং 3x/2 হলে ২য় কোনটির সম্পূরক কোণের পরিমাণ -
ব্যাখ্যা
এখানে, x/2 + x + 3x/2 = 180°
বা, x + 2x + 3x = 180° × 2
বা, 6x = 360°
∴ x = 60°
∴ 60° এর সম্পূরক কোণ = 180° - 60° = 120°
১,৮৯১.
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তা _____ .
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তা সমবাহু হবে।
১,৮৯২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ২৪ ও ৭ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ২৪ ও ৭ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?
সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)২ = (ভূমি)২ + (লম্ব)২
⇒ অতিভুজ = √(৭২ + ২৪২)
= √(৪৯ + ৫৭৬)
= √(৬২৫)
= ২৫ সেন্টিমিটার
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = ২৫ সেন্টিমিটার
সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)২ = (ভূমি)২ + (লম্ব)২
⇒ অতিভুজ = √(৭২ + ২৪২)
= √(৪৯ + ৫৭৬)
= √(৬২৫)
= ২৫ সেন্টিমিটার
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = ২৫ সেন্টিমিটার
১,৮৯৩.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি. । ঐ রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি. । ঐ রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত সে.মি.?
সমাধান:
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গসে.মি.
= ৩৬ বর্গসে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গসে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু২
অতএব, বাহু২ = ৩৬
⇒ বাহু = √৩৬ সে. মি.
= ৬ সে. মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.
সমাধান:
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গসে.মি.
= ৩৬ বর্গসে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গসে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু২
অতএব, বাহু২ = ৩৬
⇒ বাহু = √৩৬ সে. মি.
= ৬ সে. মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.
১,৮৯৪.
cos2A = 0 হলে, sin2A = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos2A = 0 হলে, sin2A = ?
সমাধান:
cos2A = 0
cos2A = cos90°
A = 45°
sin2A = 2sinAcosA
= 2 × sin(45°) × cos(45°)
= 2 × (1/√2) × (1/√2)
= 1
সমাধান:
cos2A = 0
cos2A = cos90°
A = 45°
sin2A = 2sinAcosA
= 2 × sin(45°) × cos(45°)
= 2 × (1/√2) × (1/√2)
= 1
১,৮৯৫.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সেমি হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সেমি হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান-
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √16 = 4 সেমি
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2 সেমি
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (4√2)2 বর্গ সেমি
= 32 বর্গ সেমি
সমাধান-
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √16 = 4 সেমি
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2 সেমি
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (4√2)2 বর্গ সেমি
= 32 বর্গ সেমি
১,৮৯৬.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-
সমাধান:
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে
সমাধান:
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে
১,৮৯৭.
একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ যথাক্রমে ৬০° ও ৭০° হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ যথাক্রমে ৬০° ও ৭০° হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রি?
সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°
ত্রিভুজটির অপর কোণ ১৮০° - (৬০° + ৭০°) = ৯০°
= ৫০°
সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°
ত্রিভুজটির অপর কোণ ১৮০° - (৬০° + ৭০°) = ৯০°
= ৫০°
১,৮৯৮.
কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৫০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৫০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৫০°/২ = ২৫°
আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ (৯০°) হলে, কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
∴ ২৫° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ২৫°
= ৬৫°
অতএব, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান হলো ৬৫°।
১,৮৯৯.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে x, x/2, 3x/2 বৃহত্তম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে x, x/2, 3x/2 বৃহত্তম কোণটির মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি = 180°
প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (3x/2) = 180°
⇒ (2x + x + 3x)/2 = 180°
⇒ 6x/2 = 180°
⇒ 3x = 180°
x = 60°
বৃহত্তম কোণ = (3 × 60°)/2 = 90°
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি = 180°
প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (3x/2) = 180°
⇒ (2x + x + 3x)/2 = 180°
⇒ 6x/2 = 180°
⇒ 3x = 180°
x = 60°
বৃহত্তম কোণ = (3 × 60°)/2 = 90°
১,৯০০.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৬২° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৬২° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত?
সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক
প্রশ্নমতে,
{(ক - ২)১৮০}/ক = ১৬২
বা, (ক - ২)১৮০ = ১৬২ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৬২ক
বা, ১৮০ক - ১৬২ক = ৩৬০
বা, ১৮ক = ৩৬০
∴ ক = ২০
∴ বাহুর সংখ্যা = ২০টি ।
সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক
প্রশ্নমতে,
{(ক - ২)১৮০}/ক = ১৬২
বা, (ক - ২)১৮০ = ১৬২ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৬২ক
বা, ১৮০ক - ১৬২ক = ৩৬০
বা, ১৮ক = ৩৬০
∴ ক = ২০
∴ বাহুর সংখ্যা = ২০টি ।