লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

জ্যামিতি

মোট প্রশ্ন১০,৭৫২এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ১৮ / ১০৭ · ১,৭০১–১,৮০০ / ১০,৭৫২

১,৭০১.
3x2 - 14xy - 5y2 = 0 এর লেখচিত্র নির্দেশ করে-
  1. ক
    দুই জোড়া সরলরেখা
  2. খ
    মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা
  3. গ
    একটি অধিবৃত্ত
  4. ঘ
    একটি বৃত্ত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 - 14xy - 5y2 = 0 এর লেখচিত্র নির্দেশ করে-

সমাধান:
3x2 - 14xy - 5y2 = 0
⇒ 3x2 + xy - 15xy - 5y2 = 0
⇒ x(3x + y) - 5y(3x + y) = 0
⇒ (3x + y)(x - 5y) = 0

হয়
3x + y = 0
⇒ y = -3x .... (1)

অথবা,
x - 5y = 0
⇒ x = 5y ..... (2)

এখানে দুইটি সমীকরণের ক্ষেত্রেই, x = 0 দিলে y = 0 হবে। অর্থাৎ, সরলরেখা মূলবিন্দু (0, 0)-এর মাধ্যমে চলে।
∴ উল্লিখিত দুইটি সমীকরণই মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।
১,৭০২.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (a2 + 4a + 4) বর্গমিটার হলে, বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    4 + a মিটার
  2. খ
    4 - a মিটার
  3. গ
    2 - a মিটার
  4. ঘ
    2 + a মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (a2 + 4a + 4) বর্গমিটার হলে, বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল a2 + 4a + 4 
= a2 + 2.2a + 22 
= (a + 2)2 

বাহুর দৈর্ঘ্য = a + 2
১,৭০৩.
কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি হবে _____।
  1. ক
    ১৮০°
  2. খ
    ২৭০°
  3. গ
    ৩৬০°
  4. ঘ
    ৪৫০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি হবে _____।

সমাধান:


আমরা জানি,
যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + Z = 180° = এক সরলকোণ
প্রাপ্ত বহিঃস্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° x), (180° - y), (180° - z)
বহিঃস্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180°- x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°
১,৭০৪.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ এবং AC অতিভুজ হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    BC = AB + AC
  2. খ
    (AC)2 = (AB)2 + (BC)2
  3. গ
    (AB)2 = (AC)2 + (BC)2
  4. ঘ
    উপরের সবগুলো
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ এবং AC অতিভুজ হলে নিচের কোনটি সঠিক?


সমাধান:
এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ, AC অতিভুজ, AB লম্ব এবং BC ভূমি

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। 

অর্থাৎ, (অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2 
∴ (AC)2 = (AB)2 + (BC)2

১,৭০৫.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 12 সে.মি.
  2. খ
    খ) 13 সে.মি.
  3. গ
    গ) 16 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 14 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলো ব্যাস।

∴ ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
= (2 × 7) সে.মি.
= 14 সে.মি.
১,৭০৬.
14 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) 15 সে.মি.
  2. খ
    খ) 22 সে.মি.
  3. গ
    গ) 18 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 11 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14/2 = 7 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8সে. মি. 
 কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (7 + 8) সে.মি.
= 15 সে.মি.
১,৭০৭.
বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত? 
  1. ক
    ১০°
  2. খ
    ১০০° 
  3. গ
    ২০°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ একটি কোণ ৮০° হলে, অপরটি কোণটি হবে = (১৮০ - ৮০)°  
= ১০০° । 

১,৭০৮.
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রর ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 162 মিটার ও উচ্চতা 8 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) 6√2 মি.
  2. খ
    খ) 36√2 মি.
  3. গ
    গ) 5√2 মি.
  4. ঘ
    ঘ) 32√2 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রর ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 162 মিটার ও উচ্চতা 8 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
= (ভূমি × উচ্চতা)
= 162 × 8
 = 1296 মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক২ বর্গ মি.
ক২ = 1296
ক = √1296 = 36

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক
                                     = 36√2 মি.
১,৭০৯.
একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21m, 29m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    188 m2
  2. খ
    210 m2
  3. গ
    190 m2
  4. ঘ
    230 m2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21m, 29m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে  a = 20m, b = 21m, c = 29m
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c​)/2 
= (20 + 21 + 29​)/2
= 70/​2
= 35

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
= √{35 × 15  × 14  × 6}
= √44100
= 210

১,৭১০.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/6, x/6 এবং 4x/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 
  1. ক
    90° 
  2. খ
    120° 
  3. গ
    150° 
  4. ঘ
    180° 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/6, x/6 এবং 4x/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
বা, x/6 + x/6 + 4x/6 = 180° 
বা, (x + x + 4x)/6 = 180° 
বা, 6x/6 = 180° 
∴ x = 180° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/6 
= {(4 × 180)/6}° 
= 120° 

১,৭১১.
একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ২০ টি
  2. খ
    ২৪ টি
  3. গ
    ২৫ টি
  4. ঘ
    ৩০ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৮

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= ৮(৮ - ৩)/২
= ২০ টি
১,৭১২.
বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ২২/৭
  2. খ
    খ) ২৫/৯
  3. গ
    গ) ৭/২২
  4. ঘ
    ঘ) ৯/২৫
ব্যাখ্যা

ব্যাসার্ধ r হলে, ব্যাস = ২r এবং পরিধি = ২πr
∴ ব্যাস ও পরিধির অনুপাত = ২r:২πr
= ১/π
= ১/২২/৭
= ৭/২২

১,৭১৩.
(x - h)2 + y2 = r2 বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) πhr
  2. খ
    খ) πh2
  3. গ
    গ) πr2
  4. ঘ
    ঘ) 2πr
ব্যাখ্যা

এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ক্ষেত্রফল = πr2

১,৭১৪.
একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৪ মিটার। ৩ কিলোমিটার ৬০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
  1. ক
    ৯০০ 
  2. খ
    ১০০০ 
  3. গ
    ১২০০
  4. ঘ
    ১৬০০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৪ মিটার। ৩ কিলোমিটার ৬০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
গাড়ির চাকার পরিধি = ৪ মিটার
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৩ কিলোমিটার ৬০০ মিটার
= (৩ × ১০০০) মিটার + ৬০০ মিটার
= ৩০০০ মিটার + ৬০০ মিটার
= ৩৬০০ মিটার

আমরা জানি, চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
সুতরাং, মোট ঘূর্ণন সংখ্যা = (মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব)/(চাকার পরিধি)
= ৩৬০০ মিটার/৪ মিটার
= ৯০০

∴ চাকাটি ৯০০ বার ঘুরবে।

১,৭১৫.
নিম্নোক্ত তথ্যগুলোর কোনটি জানা থাকলে একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
  1. ক
    ক) দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ
  2. খ
    খ) দুই কোণ ও এক বাহু
  3. গ
    গ) দুই বাহু ও একটির বিপরীত কোণ
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলোই
ব্যাখ্যা

একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করতে হলে নিম্নোক্ত তথ্যগুলোর অন্তত যে কোন একটি জানা থাকতে হবেঃ
১. দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ
২. দুই কোণ ও এক বাহুর দৈর্ঘ্য
৩. দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটির বিপরীত কোণ
৪. তিন বাহুর দৈর্ঘ্য

১,৭১৬.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ১৫২০ বর্গমিটার
  2. খ
    ২৪২০ বর্গমিটার
  3. গ
    ২৪৮০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ২৫২০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার
= ২৫২০ বর্গমিটার ।
১,৭১৭.
In ΔPQR, PQ=25 cm & PR =32cm, PQ丄QR, what is the area of ΔPQR?
  1. ক
    ক) 12.5√399 cm²
  2. খ
    খ) 12.5√144 cm²
  3. গ
    গ) 13.5√154 cm²
  4. ঘ
    ঘ) None of them
ব্যাখ্যা


∴ PR² = PQ² + QR² ⇒ 32² = 25² + QR²
∴ QR = √399
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×QR×PQ = (1/2)×√399×25 = 12.5√399 cm²

১,৭১৮.
নিচের কোন মানটি বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হতে পারে?
  1. ক
    ১৩৫°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ৫৫°
  5. ঙ
    ০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন মানটি বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হতে পারে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 

সূক্ষ্মকোণ : যে কোণের মান ০° থেকে ৯০° এর মধ্যে থাকে, তাকে সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle) বলে।

অর্থাৎ ৫৫° মানটি বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হতে পারে।
১,৭১৯.
একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    16 টি
  2. খ
    20 টি
  3. গ
    27 টি
  4. ঘ
    18 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - 3)/2
এখানে, অষ্টভুজের বাহু সংখ্যা (n) = 8
∴ অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা = 8(8 - 3)/2
= 8(5)/2
= 40/2
= 20 টি

অতএব, একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা হলো 20 টি।

১,৭২০.
tanθ = x/y হলে, cosecθ এর মান কত?
  1. ক
    y/x
  2. খ
    √(x2 + y2)/x
  3. গ
    x/√(x2 + y2)
  4. ঘ
    √(x2 + y2)/y
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = x/y হলে, cosecθ এর মান কত?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
tanθ = sinθ/cosθ = x/y 

ধরি, ত্রিভুজের বিপরীত বাহু = x, সংলগ্ন বাহু = y
তাহলে, পিথাগোরাস অনুযায়ী অতিভুজ হবে,
⇒ অতিভুজ = √(x2 + y2)

∴ cosecθ = 1/sinθ
= অতিভুজ/বিপরীত বাহু
= √(x2 + y2)/x 

∴ cosecθ = √(x2 + y2)/x

১,৭২১.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং ১৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১১০ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১৪৪ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১২৮ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ৯৮ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং ১৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১৮ × ১৬ বর্গ সে.মি. 
= ১৪৪ বর্গ সে.মি.
১,৭২২.
একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত?
  1. ক
    14 সে.মি.
  2. খ
    13 সে.মি.
  3. গ
    12 সে.মি.
  4. ঘ
    10 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি.
উচ্চতা, h = 6 সে.মি.

ধরি,
হেলানো উচ্চতা = l

আমরা জানি,
l2 = r2 + h2
বা, l2 = (8)2 + (6)2
বা, l = √100
∴ l = 10 

∴ হেলানো উচ্চতা = 10 সে.মি.
১,৭২৩.
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২০ সে.মি. ও সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহু ১৬ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ২৪ সে.মি.
  2. খ
    ১২ সে.মি.
  3. গ
    ৩৬ সে.মি.
  4. ঘ
    ৪৮ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২০ সে.মি. ও সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহু ১৬ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে ২০ সে.মি. ও ১৬ সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের অপর বাহু = ক 

আমরা জানি 
ক২ + ১৬২ = ২০২
বা, ক২ + ২৫৬ = ৪০০
বা, ক২ = ৪০০ - ২৫৬
বা, ক২ = ১৪৪
বা, ক২ = ১২২
∴ ক = ১২

ত্রিভুজটির পরিসীমা = (১২ + ১৬ + ২০) সে.মি.
= ৪৮ সে.মি.
১,৭২৪.
একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১২ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৪৫ টি
  2. খ
    ৪৪ টি
  3. গ
    ৩৫ টি
  4. ঘ
    ৫৪ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১২ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= {১২(১২ - ৩)}/২
= (১২ × ৯)/২
= ৫৪ টি
১,৭২৫.
একটি সুষম ষড়ভুজের বহিঃস্থ কোণ কত?
  1. ক
    ৫৫°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৮০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের বহিঃস্থ কোণ কত?

সমাধান: 
এখানে, বাহু সংখ্যা, n = 6
বহিঃস্থ কোণ = 360°/6
= 60°
১,৭২৬.
যদি A = 30° হয় তবে (1 - tan2A)/(1 + tan2A) = কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    4/3
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = 30° হয় তবে (1 - tan2A)/(1 + tan2A) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 30°

এখন,
(1 - tan2A)/(1 + tan2A)
= {1 - (tan30°)2}/{1 + (tan30°)2}
= {1 - (1/√3)2}/{1 + (1/√3)2}
= {1 - (1/3)}/{1 + (1/3)}
= (2/3)/(4/3)
= (2/3)/(3/4)
= 1/2
১,৭২৭.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ১০০ সেমি হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১০০০ বর্গ সেমি
  2. খ
    ১২৫ বর্গ সেমি
  3. গ
    ৫২৫ বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ৬২৫ বর্গ সেমি
ব্যাখ্যা
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ১০০ সেমি হলে,
বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০০/৪ সেমি = ২৫ সেমি 
অতএব, ক্ষেত্রফল = ২৫২ বর্গ সেমি = ৬২৫ বর্গ সেমি
১,৭২৮.
নিহাল ১২ মিটার পথ যাওয়ার পরে ৯০° কোণে কত মিটার পথ অতিক্রম করলে তার প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১৩ মিটার হবে?
  1. ক
    ৬ মিটার
  2. খ
    ৫ মিটার
  3. গ
    ১০ মিটার
  4. ঘ
    ৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিহাল ১২ মিটার পথ যাওয়ার পরে ৯০° কোণে কত মিটার পথ অতিক্রম করলে তার প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১৩ মিটার হবে?

সমাধান:
এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে,
যেখানে,
অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব, অতিভুজ = ১৩ মিটার
প্রথম চলার পথ, ভূমি = ১২ মিটার

ধরি,
দ্বিতীয় চলার পথ, লম্ব = ”ক” মিটার

অতিভুজ২ = ভূমি২ + লম্ব২
⇒ ১৩২ = ১২২ + ক২
⇒ ১৬৯ = ১৪৪ + ক২
⇒ ১৬৯ - ১৪৪ = ক২
⇒ ক২ = ২৫
⇒ ক = √২৫
∴ ক = ৫

অর্থাৎ ১২ মিটার পথ যাওয়ার পরে ৯০° কোণে ৫ মিটার পথ অতিক্রম করলে প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১৩ মিটার হবে।
১,৭২৯.
একটি আমগাছের পাদবিন্দু হতে 25 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত? 
  1. ক
    ক) 12.5 মিটার 
  2. খ
    খ) 50 মিটার 
  3. গ
    গ) 25√3 মিটার 
  4. ঘ
    ঘ) 25/√3 মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আমগাছের পাদবিন্দু হতে 25 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 



tan60° = x/24
√3 = x/24
x = 24√3 মিটার
১,৭৩০.
একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 1504 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর উচ্চতা কত?
  1. ক
    12 সে.মি
  2. খ
    14 সে.মি
  3. গ
    16 সে.মি
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 1504 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 5x সে.মি.
ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 4x সে.মি.
এবং উচ্চতা, c = 3x সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca)
⇒ 1504 = 2(5x ⋅ 4x + 4x ⋅ 3x + 3x ⋅ 5x)
⇒ 2(20x2 + 12x2 + 15x2) = 1504 
⇒ 47x2 =1504/2
⇒ 47x2 = 752
⇒ x2 = 16
∴ x = 4

অতএব, উচ্চতা = 3 × 4 = 12 সে.মি.
১,৭৩১.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কোন ধরনের সংখ্যা?
  1. ক
    ক) মৌলিক
  2. খ
    খ) মূলদ
  3. গ
    গ) স্বাভাবিক
  4. ঘ
    ঘ) অমূলদ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের পরিধি : ব্যাস = 2πr : 2r = π, যা একটি অমূলদ সংখ্যা।
১,৭৩২.
কোন সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ সে. মি. ও ৮ সে. মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০ ডিগ্রি হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    ক) ১০০
  2. খ
    খ) ২০
  3. গ
    গ) ৪০
  4. ঘ
    ঘ) ৮০
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ১০ সে. মি. ও b = ৮ সে. মি
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = ৩০

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = a × b × sinθ
                                      = ১০ × ৮ × sin৩০°
                                       =১০ × ৮ × (১/২)
                                       = ৪০
১,৭৩৩.
x = siny হলে x এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    - 1
  3. গ
    ∞
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = siny হলে x এর সর্বনিম্ন মান কত?
​
​সমাধান:
আমরা জানি,
​ sin ফাংশনের পরিসর হল - 1 ≤ siny ≤ 1
​এর অর্থ হল siny এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান - 1। 

​সুতরাং siny সর্বনিম্ন মান - 1

১,৭৩৪.
দুইটি চতুর্ভুজ সদৃশ হওয়ার শর্ত নিচের কোনটি??
  1. ক
    ক) অনুরূপ বাহুগুলো সমান
  2. খ
    খ) অনুরূপ কোণগুলো সমানুপাতিক
  3. গ
    গ) অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক
  4. ঘ
    ঘ) গ ও খ
ব্যাখ্যা
দুইটি চতুর্ভুজ/বহুভুজ সদৃশ হওয়ার শর্ত হলো -
অনুরূপ কোণগুলো সমান এবং অনুরুপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।
১,৭৩৫.
সাত বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    ১৪ টি
  2. খ
    ৭ টি
  3. গ
    ২১ টি
  4. ঘ
    ৯ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সাত বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n - 3)/2

∴ সাত বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ আছে = 7(7 - 3)/2 = 14
১,৭৩৬.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩/২ গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১২ মিটার
  2. খ
    ১৪ মিটার
  3. গ
    ১৬ মিটার
  4. ঘ
    ১৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩/২ গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ২ক মিটার
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (২ক × ৩ক) = ৬ক২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
৬ক২ = ২১৬
⇒ ক২ = ২১৬/৬
⇒ ক২ = ৩৬
∴ ক = ৬

∴ ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (৩ × ৬) = ১৮ মিটার
১,৭৩৭.
কোনটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ?
  1. ক
    ক) (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
  2. খ
    খ) (1/2) × লম্ব × উচ্চতা
  3. গ
    গ) লম্ব × ভূমি
  4. ঘ
    ঘ) ভূমি × উচ্চতা
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
১,৭৩৮.
A = 45° হলে 1+tan2A / 1+tan2A = কত?

  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) অসংজ্ঞায়িত
ব্যাখ্যা
1+tan2A / 1+tan2A
= 1+(tan45°)2 / 1+(tan45°)2
= 1+1 / 1+1
= 2/2
= 1
১,৭৩৯.
একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    2√5 মিটার
  2. খ
    7√3 মিটার
  3. গ
    6√5 মিটার
  4. ঘ
    5√3 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = 6a2

প্রশ্নমতে,
6a2 = 360
⇒ a2 = 360/6
⇒ a2 = 60
বা, a = √60
∴ a = 2√15

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a √3
= 2√15 × √3 
= 2√45
= 2 × 3√5
= 6√5 মিটার
১,৭৪০.
ΔABC এর AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব হলে, ΔABC : ΔAEF = কত?
  1. ক
    AB + BE : AE + BE
  2. খ
    AB : AE
  3. গ
    BE2 : AE2
  4. ঘ
    AB2 : AE2
ব্যাখ্যা
ΔABC এর AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব হলে,
ΔABC : ΔAEF = AB2 : AE2

[ নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই ]
১,৭৪১.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল-
  1. ক
    ক) 360°
  2. খ
    খ) 270°
  3. গ
    গ) 90°
  4. ঘ
    ঘ) 180°
ব্যাখ্যা
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল 180°।
১,৭৪২.
কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5, 12,13 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ক) 24 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    খ) 36 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    গ) 40 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 30 বর্গ সে.মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5, 12,13 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায় 
সমকোণ সংলগ্ন বাহু 5, 12

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  = (1/2) × 5 × 12 = 30 বর্গ সে.মি.
১,৭৪৩.
কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 27 বর্গ সে.মি হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 27 বর্গ সে.মি হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
⇒ 27 = (1/2) × 9 × 12 × sinθ
⇒ 54 × sinθ = 27
⇒ sinθ = 27/54
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°
অতএব, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°
১,৭৪৪.
একটি বর্গের ক্ষেত্রফল 32 বর্গ ফুট হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ?
  1. ক
    4 ফুট
  2. খ
    4√2 ফুট
  3. গ
    8 ফুট
  4. ঘ
    8√2 ফুট
ব্যাখ্যা

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ক্ষেত্রফল a2 = 32
বা, a = 4√2
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 4√2 × √2 = 8 ফুট।

১,৭৪৫.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার এবং পরিধি ৮ মিটার হলে বৃত্তের ব্যাস কত?
  1. ক
    ক) ৫ মিঃ
  2. খ
    খ) ৭ মিঃ
  3. গ
    গ) ৮ মিঃ
  4. ঘ
    ঘ) ১০ মিঃ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r হলে,
ক্ষেত্রফল, πr2 = ২০ …… (১)
পরিধি ২πr = ৮ …… (২)
১নং ÷ ২নং দ্বারা পাই,
πr2/২πr = ২০/৮
বা, r/২ = ৫/২
∴ r = ৫
∴ ব্যাস 2r =১০ মিটার।
১,৭৪৬.
x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y + 3 = 0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-
  1. ক
    সমবাহু
  2. খ
    বিষমবাহু
  3. গ
    সমকোণী
  4. ঘ
    সমদ্বিবাহু
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y + 3 = 0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-

সমাধান: 
x + y - 1 = 0
⇒ y = - x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = -1

আবার,
 x - y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = 1

এখন,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1, তাই সমীকরণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
১,৭৪৭.
48 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    44π বর্গমিটার
  2. খ
    52π বর্গমিটার
  3. গ
    64π বর্গমিটার
  4. ঘ
    72π বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 48 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 48 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 48/4 = 12 মিটার

এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 12√2
∴ ব্যাসার্ধ = 12√2/2 = 6√2

∴ ক্ষেত্রফল = π(6√2)2
= 72π বর্গমিটার
১,৭৪৮.
cosA = 2/√5 হলে, tanA = কত?
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    √5
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    √5/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosA = 2/√5 হলে, tanA = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 2/√5

পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
লম্ব২ = অতিভুজ২ - ভুমি২
⇒ লম্ব২ = (√5)2 - 22
⇒ লম্ব২ = 5 - 4
⇒ লম্ব২ = 1
∴ লম্ব = 1

আবার আমরা জানি,
tanA = লম্ব/ভূমি = 1/2
১,৭৪৯.
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৩৭ মিটার এবং সমকোণ ধারক বাহুর একটির দৈর্ঘ্য ৩৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 420 বর্গ মিটার
  2. খ
    খ) 400 বর্গ মিটার
  3. গ
    গ) 200 বর্গ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 210 বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৩৭ মিটার এবং সমকোণ ধারক বাহুর একটির দৈর্ঘ্য ৩৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ধরি,
ABC সমকোণী ত্রিভুজের AB = 35 মিটার
অতিভুজ AC = 37 মিটার
∴সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
AB2 + BC2 = AC2
বা, BC2 = AC2 - AB2
বা, BC2 = (372 - 352) বর্গ মিটার
বা, BC2 = (37 + 35) (37 - 35) বর্গ মিটার
বা, BC2 = 72 × 2 বর্গ মিটার
বা, BC2 = 144 বর্গ মিটার 
∴ BC = 12 মিটার
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × BC × AB বর্গ মিটার
= (1/2) × 12 × 35 বর্গ মিটার
= 210 বর্গ মিটার
১,৭৫০.
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১৬০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৫ গুণ হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার? 
  1. ক
    ৩০ মিটার
  2. খ
    ৪০ মিটার
  3. গ
    ৫০ মিটার
  4. ঘ
    ৬০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১৬০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৫ গুণ হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার? 

সমাধান: 
ধরি, 
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৫x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ৫x × (৩/৫) মিটার = ৩x মিটার

প্রশ্নমতে, 
২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ১৬০ 
বা, ২(৫x+ ৩x) = ১৬০ 
বা, ২ × (৮x) = ১৬০
বা, ১৬x = ১৬০ 
বা, x = ১৬০/১৬ 
∴ x = ১০ 

∴ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৫x মিটার
= (৫ × ১০) মিটার 
= ৫০ মিটার । 
১,৭৫১.
3 cotθ = 4 হলে sinθ এর মান কত?
  1. ক
    5/4
  2. খ
    4/5
  3. গ
    5/3
  4. ঘ
    3/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 cotθ = 4 হলে sinθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 3 cotθ = 4
⇒ cotθ = 4/3
∴ cot2θ = 16/9

আমরা জানি, cosec2θ = 1 + cot2θ
= 1 + (16/9)
= (9 + 16)/9
= 25/9

∴ cosecθ = √(25/9)
⇒ cosecθ = 5/3
⇒ 1/cosecθ = 3/5
∴  sinθ = 3/5
১,৭৫২.
36 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির দ্বিগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ক) 8 মিটার 
  2. খ
    খ) 12 মিটার 
  3. গ
    গ) 3 মিটার 
  4. ঘ
    ঘ) 6 মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 36 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির দ্বিগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d1 এবং d2 হলে এর ক্ষেত্রফল (1/2) × d1 × d2

ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য x মিটার
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2x মিটার

রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × x × 2x = x²

শর্তমতে,
x2 = 36
x = 6

ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য =  6 মিটার 
১,৭৫৩.
নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?
  1. ক
    3x - 3y = 0
  2. খ
    x + y = 5
  3. গ
    x = 1/y
  4. ঘ
    4x + 5y = 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?

সমাধান:
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) ⇒ y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ ⇒ x/a + y/b = 1


অপশন গুলোর মধ্যে (গ) অপশনটি সরল রেখা নয়।
কারণ, x = 1/y এই সমীকরণটির ঘাত হচ্ছে ২।
তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।
১,৭৫৪.
একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৭° ডিগ্রি ও ৫৩°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
  1. ক
    ক) সমকোণী
  2. খ
    খ) সমদ্বিবাহু
  3. গ
    গ) স্থূলকোণী
  4. ঘ
    ঘ) সমবাহু
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∴ ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাণ ১৮০° - (৩৭° + ৫৩°) = ৯০°।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,৭৫৫.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেন্টিমিটার এবং 6 সেন্টিমিটার, এবং এদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 4 সেন্টিমিটার। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?
  1. ক
    32 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    46 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    50 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    66 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেন্টিমিটার এবং 6 সেন্টিমিটার, এবং এদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 4 সেন্টিমিটার। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব
= 1/2 × (10 + 6) × 4
= 1/2 × 16 × 4
= 8 × 4
= 32 বর্গ সে.মি.

অতএব, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল হবে 32 বর্গ সে.মি.।

১,৭৫৬.
ত্রিভুজ ABC এর AB = AC, BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে যদি ∠ACD = 120° হয় তবে ∠BAC এর মান কত?
  1. ক
    40°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    70°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC এর AB = AC, BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে যদি ∠ACD = 120° হয় তবে ∠BAC এর মান কত?

সমাধান:

BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে যদি ∠ACD = 120° হয় তবে  ∠ACB = 60° 
AB = AC বলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান হয় বলে ∠ABC = 60°

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
⇒ ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°
⇒ 60° + 60° + ∠BAC = 180° 
⇒ 120°+ ∠BAC =180° 
∴∠BAC = 60°
১,৭৫৭.
সুষম দশভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) ১৮°
  2. খ
    খ) ১৪৪°
  3. গ
    গ) ৩৬°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n এবং প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ θ হলে,
মোট বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ nθ = 360°
তাহলে,
দশভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের মান, θ = 360°/10 = 36°
১,৭৫৮.
বৃত্তে অর্ন্তলিখিত একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 32 মিটার হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 30π
  2. খ
    খ) 16π
  3. গ
    গ) 32π
  4. ঘ
    ঘ) 36π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তে অর্ন্তলিখিত একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 32 মিটার হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

চিত্র হতে পাই,
ABCD বর্গের পরিসীমা = 32 মিটার
ABCD বর্গের এক বাহু = 32/4 মিটার = 8 মিটার 

এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2
∴ ব্যাস= 8√2 মিটার
ব্যাসার্ধ = (8√2)/2 মিটার = 4√2 মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π(4√2)2 = 32π
১,৭৫৯.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা 1 মিটার কম এবং লম্ব অপেক্ষা অতিভুজ 1 মিটার বেশি হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা

ধরি, লম্বের দৈর্ঘ্য = x
তাহলে, ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 1
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 1
আমরা জানি, অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
⇒ (x + 1)2 = (x - 1)2 + x2
⇒ x2 + 2x + 1 = x2 - 2x + 1 + x2
⇒ x2 - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
⇒ x = 4 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]
তাহলে, ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4 + 1 = 5 মিটার 

১,৭৬০.
একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ৩/৪ অংশ। ঘরটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 20m হলে ঘরটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ১৯২ বর্গমিঃ
  2. খ
    খ) ৩২০ বর্গমিঃ
  3. গ
    গ) ২৪০ বর্গমিঃ
  4. ঘ
    ঘ) ৫৬ বর্গমিঃ
ব্যাখ্যা

মনে করি,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ৪a
ঘরের প্রস্থ = ৩a
∴ কর্ণ = √{(৪a)2 + (৩a)2}
= √২৫a2
= ৫a
∴ ৫a = ২০
বা, a = ৪
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ৪
= ১৬
প্রস্থ = ৩ × ৪
= ১২
ক্ষেত্রফল = ১৬ × ১২
= ১৯২

১,৭৬১.
5 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক?
  1. ক
    25√3
  2. খ
    5√3
  3. গ
    15√3
  4. ঘ
    10√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক?

সমাধান: 
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
= 5√3

ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি =  5√3 + 5√3 = 10√3 একক
১,৭৬২.
ABCD একটি বর্গ এবং এর অন্তর্গত ΔABC এর ক্ষেত্রফল 8 বর্গ একক। বর্গের পরিসীমা কত?
  1. ক
    8 একক
  2. খ
    16 একক
  3. গ
    24 একক
  4. ঘ
    32 একক
ব্যাখ্যা

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল = 1/2 × AB × BC
বা, 8 = 1/2 a × a
বা, a2 = 16
∴ a = 4
∴ পরিসীমা = 4a
= 4 × 4
= 16

১,৭৬৩.
নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?
  1. ক
    ক) 3, 4, 8
  2. খ
    খ) 2, 5, 10
  3. গ
    গ) 2, 4, 7
  4. ঘ
    ঘ) 7, 5, 9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ।
এখানে একমাত্র 7 + 5 > 12 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

ত্রিভুজ সংক্রান্ত আরো কিছু তথ্য: 
- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

১,৭৬৪.
একটি আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। পার্কটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    1144 বর্গমিটার
  2. খ
    1248 বর্গমিটার
  3. গ
    1264 বর্গমিটার
  4. ঘ
    1136 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। পার্কটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার।
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 200 × 4 = 800 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (120 - 4) × 4 = 464 বর্গমিটার

∴ মোট রাস্তার ক্ষেত্রফল = (800 + 464) বর্গমিটার
= 1264 বর্গমিটার
১,৭৬৫.
সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ৬ : ৪ : ৩
  2. খ
    খ) ৬ : ৫ : ৪
  3. গ
    গ) ১২ : ৮ : ৪
  4. ঘ
    ঘ) ১৩ : ১২ : ৫
ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ2= লম্ব2+ভূমি2
122 + 52 = 132
তাই সঠিক উত্তর অপশন (ঘ)।

১,৭৬৬.
কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল 25π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির পরিধি কত?
  1. ক
    ক) 5π একক
  2. খ
    খ) 2π একক
  3. গ
    গ) 10π একক
  4. ঘ
    ঘ) 50π একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল 25π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির পরিধি কত?

আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে এর ক্ষেত্রফল πr2 
এবং পরিধি 2πr 

প্রশ্নমতে,
πr2 = 25π
r2 = 25
r = 5

সুতরাং, পরিধি 2πr = 2π 5 = 10π একক 
১,৭৬৭.
(1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    8
  3. গ
    2√3
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

১,৭৬৮.
একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ২০টি হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৫টি
  2. খ
    ৬টি
  3. গ
    ৮টি
  4. ঘ
    ৯টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ২০টি হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

20 = n(n - 3)/2
⇒ 40 = n(n - 3)
⇒ 40 = 8(8 - 3)
∴ n = 8

∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 8 টি 
১,৭৬৯.
AC এর দৈর্ঘ্য কত?
 
  1. ক
    ২২ মিটার
  2. খ
    ২৩ মিটার
  3. গ
    ২৭ মিটার
  4. ঘ
    ২৯ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AC এর দৈর্ঘ্য কত?
 


সমাধান:
ধরি,
AC এর দৈর্ঘ্য = ক মিটার

পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
ক২ = ২০২ + ২১২
⇒ ক২ = ৪০০ + ৪৪১
⇒ ক২ = ৮৪১
⇒ ক২ = ২৯২
∴ ক = ২৯ মিটার
১,৭৭০.
যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin (θ + 18°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 18°
  3. গ
    গ) 24°
  4. ঘ
    ঘ) 12°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin (θ + 18°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমধান:
sin(θ + 18°) = 1/2
বা, sin(θ + 18°) = sin 30°
বা, θ + 18° = 30°
বা, θ = 30° - 18°
θ = 12°

θ এর মান 12° হবে।
১,৭৭১.
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১ সমকোণ হলে একটিকে অপরটির ____ বলে।
  1. ক
    রেডিয়ান কোণ
  2. খ
    সরল কোণ
  3. গ
    সম্পূরক কোণ
  4. ঘ
    পূরক কোণ
ব্যাখ্যা

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

১,৭৭২.
যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ  - cos(- θ) =? 
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ  - cos(-θ) =? 

সমাধান: 
cotθ = 1
⇒ cotθ = cot45  
∴ θ = 45 

sinθ  - cos(-θ) 
= sinθ - cosθ
= sin45 - cos45 
= (1/√2) - (1/√2)
= 0 
১,৭৭৩.
ত্রিভুজ ABC-এর AD উচ্চতার দৈর্ঘ্য 9 সে.মি.। যদি AB = 6√3 সে.মি. ও CD = 3√3 সে.মি. হয়, তবে ∠A কত হবে?
  1. ক
    45°
  2. খ
    30°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC-এর AD উচ্চতার দৈর্ঘ্য 9 সে.মি.। যদি AB = 6√3 সে.মি. ও CD = 3√3 সে.মি. হয়, তবে ∠A কত হবে?

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য:
(AB)2 = (BD)2 + (AD)2
⇒ (6√3)2 = (BD)2 + 92
⇒ BD = 3√3 

DC = BD = 3√3 সে.মি.
∴ BC = AC = AB = 6√3 সে.মি.
 ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ABC সমবাহু ত্রিভুজ।
১,৭৭৪.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    15 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    25√2 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    5√2 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    30 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণ = 45°
প্রত্যেকটি বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি.
 
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × ab × sinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin45°
= 50/√2
= (25 × √2 × √2)/√2
= 25√2 বর্গ সে.মি.
১,৭৭৫.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    10 বর্গমিটার
  2. খ
    12 বর্গমিটার
  3. গ
    16 বর্গমিটার
  4. ঘ
    20 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4){√4(a)2 - (b)2} 

দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার 
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার 

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4){√4(a)2 - (b)2}
= (8/4){√4(5)2 - (8)2}
= 2 × {√(100 - 64)}
= 2√36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

১,৭৭৬.
একটি 50 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে 30 মিটার উপরে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব কত মিটার?
  1. ক
    24 মিটার
  2. খ
    32 মিটার
  3. গ
    36 মিটার
  4. ঘ
    40 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 50 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে 30 মিটার উপরে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = a মিটার

পীথাগোরাসের সূত্রানু্যায়ী,
502 = 302 + a2
⇒ 2500 = 900 + a2
⇒ a2 = 2500 - 900
⇒ a2 = 1600
⇒ a = √1600
⇒ a = 40 মিটার
১,৭৭৭.
ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীতবাহুর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের_____।
  1. ক
    ক) মধ্যমা
  2. খ
    খ) উচ্চতা
  3. গ
    গ) ভূমি
  4. ঘ
    ঘ) অতিভুজ
ব্যাখ্যা
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলাে দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সমবাহু,
- সমদ্বিবাহু ও
- বিষমবাহু।।

আবার
কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সূক্ষ্মকোণী,
- স্থূলকোণী ও
- সমকোণী।
১,৭৭৮.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
  1. ক
    ক) 3x² + 4y² = 2
  2. খ
    খ) xy = 1
  3. গ
    গ) x + y = 4
  4. ঘ
    ঘ) x² + y² = 5
ব্যাখ্যা

বৃত্তের কেন্দ্র (0,0) ও ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ x² + y² = r²
x² + y² = (√5)² হলো বৃত্তের সমীকরণ।

১,৭৭৯.
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে -
  1. ক
    ১৬√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    ২০√৩ বর্গমিটার
  3. গ
    ৩২√৩ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৬৪√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে-

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)×a২
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a২ 
= (√৩/৪) × (৮)২ 
= (√৩/৪) × ৮ × ৮
= ১৬√৩ 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৬√৩ বর্গমিটার। 
১,৭৮০.
একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 20 সেন্টিমিটার, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 32 সেন্টিমিটার হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 36
  3. গ
    গ) 40
  4. ঘ
    ঘ) 42
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
একটি কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 32/2 = 16 সেন্টিমিটার।
∴ অপর কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = √(202 - 162) = √144 = 12
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 × 2 = 24

১,৭৮১.
একটি বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1260° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    8
  3. গ
    11
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1260° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 1260°
⇒ n - 2 = 1260°/180°
⇒ n - 2 = 7
⇒ n = 7 + 2
∴ n = 9
১,৭৮২.
ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটি AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল কত?
  1. ক
    ২৪০°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ১২০°
  4. ঘ
    ৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটি AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের উৎপন্ন প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণের মান = ৬০°
এবং, প্রতিটি বহিঃস্থকোণের মান = ১২০°
দুটি বাহু বর্ধিত করায় দুটি বহিঃস্থকোণ উৎপন্ন হবে।

∴ উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল = ১২০° + ১২০°
= ২৪০°
১,৭৮৩.

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x = ?
  1. ক
    ক) 27°
  2. খ
    খ) 54°
  3. গ
    গ) 126°
  4. ঘ
    ঘ) 63°
ব্যাখ্যা
বৃত্তস্থ কোণ ∠x এর জন্য কেন্দ্রস্থ কোণ = 360° - 108° = 252°
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণ এর অর্ধেক।
সুতরাং ∠x = 252°/2 = 126°
১,৭৮৪.
১ মাইল = কত কিলোমিটার
  1. ক
    ১.৬০৯ কি.মি.
  2. খ
    ০.৬২ কি.মি.
  3. গ
    ১ কি.মি.
  4. ঘ
    ১.১ কি.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ মাইল = কত কিলোমিটার?

সমাধান:
১ মাইল = ১.৬০৯ কিলোমিটার
১ কিলোমিটার = ০.৬২১৩ মাইল।
১ নটিক্যাল মাইল = ১.৮৫২ কিলোমিটার
১,৭৮৫.
একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
  1. ক
    ১০ সে.মি.
  2. খ
    ১২ সে.মি.
  3. গ
    ১৪ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৮ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
 
সমাধান:
ধরি, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৯৬ = (১/২) × a × ১৬
বা, ৯৬ = ৮a
বা, a = ৯৬/৮
∴ a = ১২

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১২ সে.মি.

১,৭৮৬.
একই সরল রেখায় অবস্থিত নয় এমন নূন্যতম কয়টি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়?
  1. ক
    ২
  2. খ
    ৩
  3. গ
    ৪
  4. ঘ
    ৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একই সরল রেখায় অবস্থিত নয় এমন নূন্যতম কয়টি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়?

সমাধান: 
একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন নূন্যতম তিনটি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়। এই তিনটি বিন্দুকে 'অ-সমরৈখিক'(non-collinear) বিন্দু বলা হয়, এবং এই তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে শুধুমাত্র একটি এবং একটিই নির্দিষ্ট বৃত্ত আঁকা সম্ভব। 

একটি বিন্দু হলে পয়েন্ট, দুইটি বন্ধু হলে সরলরেখা আর দুইয়ের অধিক হলে বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব। 

১,৭৮৭.
৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ও ৫ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ৮ সেমি.
  2. খ
    ১০ সেমি.
  3. গ
    ৯ সেমি.
  4. ঘ
    ৬ সেমি.
ব্যাখ্যা
নতুন ঘনকটির আয়তন = (৩৩ + ৪৩ + ৫৩) ঘন সে.মি.
= ২৭ + ৬৪ + ১২৫
= ২১৬ ঘন সে.মি.

শর্তমতে, a৩ = ২১৬
a = ৬
১,৭৮৮.
∠APQ এর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ কোনটি?
  1. ক
    ক) ∠APX
  2. খ
    খ) ∠XPB
  3. গ
    গ) ∠PQD
  4. ঘ
    ঘ) ∠CQY
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠APQ এর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ কোনটি?

সমাধান:


একান্তর কোণ:  দুটি সমান্তরাল সরলরেখা কে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে ছেদকের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত কোণ দ্বয় সমান হয়। একে একান্তর কোণ বলে।

এখানে AB ও  CD রেখা সমান্তরাল এবং XY এদের ছেদক।
∠APQ এবং ∠PQD, XY ছেদকের বিপরীত পাশে এবং AB ও  CD রেখার ভেতরে অবস্থিত।  

সুতরাং, ∠APQ এর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ ∠PQD
১,৭৮৯.
একটা লোহার গোলক গলিয়ে কয়টি সমান আয়তনের গোলক তৈরি সম্ভব যাদের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ বড় গোলকটির এক-তৃতীয়াংশ। 
  1. ক
    36টি
  2. খ
    18টি
  3. গ
    27টি
  4. ঘ
    9টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটা লোহার গোলক গলিয়ে কয়টি সমান আয়তনের গোলক তৈরি সম্ভব যাদের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ বড় গোলকটির এক-তৃতীয়াংশ। 

সমাধান:
ধরি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = R
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = R/3

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন V = (4/3)πr3

এখন,
বড় গোলকের আয়তন = (4/3)πR3
ছোট গোলকের আয়তন = (4/3)π(R/3)3 = (1/27) × (4/3)πR3

∴ ছোট গোলকের সংখ্যা = বড় গোলকের আয়তন ÷ ছোট গোলকের আয়তন
= {(4/3)πR3} ÷ {(1/27) × (4/3)πR3}
= 1/(1/27)
= 27

সুতরাং, বড় গোলকটি গলিয়ে 27টি সমান ছোট গোলক তৈরি করা সম্ভব।

১,৭৯০.
ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E, DE = 5 সে. মি. হলে BC এর মান কত?  
  1. ক
    ক) 5 সে. মি.
  2. খ
    খ) 8 সে. মি.
  3. গ
    গ) 12 সে. মি.
  4. ঘ
    ঘ) 10 সে. মি.
ব্যাখ্যা
 

ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E, DE = 5 সে. মি.

BC = 2DE
BC = 2 × 5 = 10 
১,৭৯১.
কোনো বৃত্তের ব্যাস ১৮ সে.মি.। বৃত্তটির অন্তর্লিখিত বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১২০ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১৩২ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১৪৮ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৬২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাস ১৮ সে.মি.। বৃত্তটির অন্তর্লিখিত বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ১৮ সে.মি.

তাহলে,
বৃত্তের ব্যাস হবে বৃত্তটির অন্তর্লিখিত বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান।

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণ)২
= (১/২) × ১৮ × ১৮
= ১৬২ বর্গ সে.মি.
১,৭৯২.
দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
  1. ক
    130°
  2. খ
    150°
  3. গ
    115°
  4. ঘ
    126°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
দুটি সম্পূরক কোণ যথাক্রমে 13x এবং 5x

আমরা জানি,
দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল 180°

প্রশ্নমতে,
⇒ 13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180°/18
⇒ x = 10°

∴ বৃহত্তম কোণ = 13x = 13 × 10° = 130°

 
১,৭৯৩.
চিত্রে ∠CAD এর মান কত?
  1. ক
    90°
  2. খ
    100°
  3. গ
    110°
  4. ঘ
    70°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে ∠CAD এর মান কত?

সমাধান:
 
চিত্রানুসারে,
 △ABC এ ∠ABC=30° এবং ∠ACB=80°
BA- কে D পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে।
তাহলে, ∠CAD হলো ত্রিভুজটির একটি বহিঃকোণ।

আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ তার বিপরীত দুটি অন্তঃকোণের যোগফলের সমান।
∴ ∠CAD = ∠ABC + ∠ACB
= 30° + 80°
= 110°
১,৭৯৪.
ত্রিভুজ ABC-তে ভরকেন্দ্র G, এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ একক। BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৩০ বর্গ একক
  2. খ
    ৪৫ বর্গ একক
  3. গ
    ৪০ বর্গ একক
  4. ঘ
    ৬০ বর্গ একক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC-তে ভরকেন্দ্র G, এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ একক। BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিন ভাগে ভাগ করে। 
∴ BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (১/৩) × ১২০ 
= ৪০ বর্গ একক। 

১,৭৯৫.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ১০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?
  1. ক
    ১৫%
  2. খ
    ১৭%
  3. গ
    ১৯%
  4. ঘ
    ২০%
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ১০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২

১০% কমলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে = r - r এর ১০%
= r - ০.১r
= ০.৯r

ক্ষেত্রফল হবে = π(০.৯r)২ 
= ০.৮১πr২

∴ ক্ষেত্রফল কমে = πr২ - ০.৮১πr২
= ০.১৯πr২

∴ ক্ষেত্রফল ১৯% কমে।

১,৭৯৬.
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 14 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 91 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    45°
  2. খ
    60°
  3. গ
    75°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 14 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 91 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

১,৭৯৭.
একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত? 
  1. ক
    ৮ টি
  2. খ
    ৯ টি
  3. গ
    ১০ টি
  4. ঘ
    ১২ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে, 
৭ক + ২ক = ১৮০° 
⇒ ৯ক = ১৮০° 
∴ ক = ২০° 
∴ বহিঃস্থ কোণ = (২ × ২০)°
= ৪০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ টি ।

১,৭৯৮.
একটি ঘনকের প্রতিটি ধার ৬ সে.মি. হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ৩√৬ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৬√৩ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৩√৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৬√৬ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের প্রতিটি ধার ৬ সে.মি. হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
একটি ঘনকের প্রতিটি ধার a সে.মি. হলে, 
কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√৩ সে.মি.

∴ একটি ঘনকের প্রতিটি ধার ৬ সে.মি. হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৬√৩ সে.মি.
১,৭৯৯.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে y/6, y/6 এবং 8y/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত হবে? 
  1. ক
    144°
  2. খ
    77°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    114°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে y/6, y/6 এবং 8y/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ = 180°
বা, y/6 + y/6 + 8y/6 = 180°
বা, (y + y + 8y)/6 = 180°
বা, 10y/6 = 180°
বা, 5y/3 = 180°
বা, 5y = 180° × 3
বা, y = (180° × 3)/5
∴ y = 108° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 8y/6
= {(8 × 108)/6}°
= 144°

১,৮০০.
একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ৩০° বড় হয় তবে দ্বিতীয় কোণটি কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৩০°
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ৫০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ৩০° বড় হয় তবে দ্বিতীয় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
তাহলে, একটি কোণ = ৩ক
তৃতীয় কোণ = ক + ৩০°

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°

∴ দ্বিতীয় কোণটির পরিমাণ ৩০°।