জ্যামিতি

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √ (40² + 30²)
= 50
মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে, (50 + 40 + 30) = 120 মিটার
তাহলে মোট সময় লাগবে, 120 / 10 = 12 মিনিট

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৪৪ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার 
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার 

শর্তমতে, 
২(x + ১২ + x) = ১৪৪ 
বা, ২x + ১২ = ৭২ 
বা, ২x = ৭২ - ১২ 
বা, ২x = ৬০ 
বা, x = ৬০/২ 
∴ x = ৩০ 
অর্থাৎ, প্রস্থ = ৩০ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য = (৩০ + ১২) মিটার = ৪২ মিটার ।

প্রশ্ন: 15 বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 15

আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/বাহুর সংখ্যা 
= 360°/15 
= 24° ।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 36° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = a
১ম কোণ = 4a
৩য় কোণ = 4a + 36°

প্রশ্নমতে,
a + 4a + 4a + 36° = 180°
বা, 9a = 180° - 36°
বা, 9a = 144°
বা, a = 144°/9 = 16°

∴ ১ম কোণ = 4 × 16° = 64°

চৌবাচ্চাটির আয়তন = (০.১×০.১×০.১) ঘনমিটার
                         = ০.০০১ ঘনমিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে ০.০০১ ঘনমিটার পানি ধরে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ১২ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৬৮ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (ক - ১২) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২{ক + (ক - ১২)} মিটার
= ২(২ক - ১২) মিটার
= (৪ক - ২৪) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক - ২৪ = ১৬৮
⇒ ৪ক = ১৬৮ + ২৪ 
⇒ ৪ক = ২৯২
⇒ ক = ২৯২/৪
∴ ক = ৪৮

অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২×৮×৯ = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪a = ৪×৬ = ২৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

এখানে, আমরা প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই:

ক) ৪ + ৭ = ১১ > ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
খ) ৬ + ৮ = ১৪ > ১২; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
গ) ৫ + ৭ = ১২ > ১১; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
ঘ) ৪ + ৬ = ১০ = ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকে ∠B = 80° হলে, ∠A + ∠C = ?
​

সমাধান:
আমরা জানি, একটি সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান এবং এর যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180°।
এখানে, ∠B = 80°।
যেহেতু ∠A এবং ∠B সন্নিহিত কোণ,
অতএব, ∠A + ∠B = 180°
বা, ∠A + 80° = 180°
বা, ∠A = 180° - 80°
∴ ∠A = 100°
আবার, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান হওয়ায়,
∠A = ∠C = 100°
সুতরাং, ∠A + ∠C = 100° + 100° = 200°

বৃত্রের ক্ষেত্রফল = π × 2² = 4π বর্গ cm
আবার, বর্গের কর্ণ = বৃত্রের ব্যাস = 2.2 = 4 cm
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4/√2 cm
∴             ক্ষেত্রফল = (4/√2)² = 8 বর্গ cm
∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ cm

প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (1/3) × 12 × 12 × 23 ঘন সে.মি.
= 1104 ঘন সে.মি.

ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা।
= 2 (6 + 4) × 2
= 4 × 10
= 40 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ৮ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার 
অপর কর্ণটি = ৮ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১০ × ৮
= ৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

cos2θ
= (1 - tan²θ)/(1 + tan²θ)
= (1 - b²)/(1 + b²)

প্রশ্ন: যদি কোনো ত্রিভুজে দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি কী হবে? 

সমাধান:
ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) অনুযায়ী, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

• যদি দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে এবং এটি কোনো ত্রিভুজ গঠন করতে পারবে না।

উদাহরণ:
- বাহুসমূহ a, b, c এবং a + b = c।
- ত্রিভুজ গঠনের জন্য a + b > c হতে হবে।
- a + b = c হলে এটি এক সরলরেখা তৈরি করে, ত্রিভুজ নয়।

∴ ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়।

 প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 24/3 = 8  মিটার

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য )² = (√3/4) × 8²= (√3/4) × 64= 16√3 বর্গ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = 16√3/2 = 8√3 বর্গ মিটার

মনে করি,
অতিভূজ = 6a মিঃ
∴ সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 6a × 5/6 = 5a মিঃ
∴ পরিসীমা, 6a + 5a + 5a = 32
বা, 16a = 32
∴ a = 2

∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 × 2 = 10

∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 10 × 10 = 50 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৫ : ৮ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ ২ক, ৫ক এবং ৮ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ৫ক + ৮ক = ১৮০°
বা, ১৫ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/১৫
বা, ক = ১২°

সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = (৮ × ১২°) = ৯৬°

প্রশ্ন: ৬০০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৮০ মিটার বেশি । মাঠের প্রস্থ কত?

সমাধান: 
ধরি, 
আয়তাকার মাঠের
প্রস্থ = ক মিটার 
∴ দৈর্ঘ্য = ক  + ৮০  

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ ২(ক + ক  + ৮০) = ৬০০
⇒ ২ক  + ৮০ = ৩০০ 
⇒ ২ক = ৩০০ - ৮০ 
⇒ ২ক = ২২০ 
∴ ক = ১১০ 

∴ আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = ১১০ মিটার

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাস 8 সে.মি. হলে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গোলকের ব্যাস, 2r = 8 সে.মি. 
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. 
∴ গোলকের ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি. 

আমরা জানি, 
গোলকের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক 
= 4π(4)² বর্গ সে.মি.
= 64π বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩:১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ৩ক ও ক।

আমরা জানি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
বা, ৪ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/৪
বা, ক = ৪৫°

অতএব, বহিঃস্থ কোণ = ক = ৪৫°

যেকোনো সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ।
সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪৫° = ৮টি।

অতএব, বহুভুজটি হবে একটি অষ্টভুজ (Octagon)।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৫০ × ৪) মিটার 
= ২০০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২০০ মিটার।

প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠B এর মান কত?

সমাধান:
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক
∠A = 3x
∠B = 2x

প্রশ্নমতে
3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
∴ x = 36° 

∴ ∠B = 2x = 2 × 36° = 72°

ধরি, ২য় কোণটি = x
∴ ১ম কোণটি = x এর 4/5 = 4x/5
প্রশ্নমতে,
x + 4x/5 = 90
⟹ 9x/5 = 90
⟹ x = (90 × 5)/9
⟹ x = 50
∴ কোণ দুইটি 50 ডিগ্রী এবং 40 ডিগ্রী।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6√3 সেমি হলে, এর পরিসীমা কত সেমি?

সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = (√3/2) × a

প্রশ্নমতে,
(√3/2) × a = 6√3
⇒ (1/2) × a = 6
∴ a = 12

আবার,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a

∴ পরিসীমা = 3 × a = 3 × 12 = 36 সেমি

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ১১ সে. মি.। ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের বাহু = ১১ সে. মি.
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য, a = ১১√২ সে. মি.

∴ a দৈর্ঘ্যের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
= a^২
= (১১√২)২
= ১২১ × ২
= ২৪২ বর্গ সে. মি.