জ্যামিতি

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১০ সে.মি. এবং ২য় টির ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের ব্যাস = ১০ সে.মি
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ  = ১০/২ = ৫ সে.মি
২য় বৃত্তের, ব্যাসার্ধ = ৪ সে.মি

বহিঃস্পর্শ করে এখন দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (৫ + ৪) সে.মি
= ৯ সে.মি

ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণটি = ক
অপর কোণ ৯০-ক
সুতরাং ৯০-ক-ক = ৮
২ক = ৮২
ক = ৪১

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
12² + 5² = 13²
তাই সঠিক উত্তর অপশন (ঘ)।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 9 সে.মি. হলে বড় বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = 9 সে.মি.

বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (9 + 5)সে.মি. = 14 সে.মি.

∴ বড় বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 14
= 88 সে.মি.

এখানে,
জ্যা AB = ২৪ সেঃমিঃ
∴ AC = ১/২ × AB
= ১/২ × ২৪
= ১২ সেঃমিঃ
কেন্দ্র O হতে অংকিত লম্ব OC = ৫
∴ ব্যাসার্ধ OA = √(AC)² + (OC)²
= √(১২² + ৫²)
= ১৩

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।
শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180° / 18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (3, - 2) এবং (x₂, y₂) = (7, 6)

∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2

∴ সরলরেখার ঢাল = 2

প্রশ্ন: 3 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধানঃ
ঘনক সংখ্যা = বড় ঘনকের আয়তন / ছোট ঘনকের আয়তন
= (300 × 300 × 300)  / (10 × 10 × 10)
= 27000

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার ২৭০ টাকা হিসেবে মোট ৩০২৪০ টাকা খরচ হয়। জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৮ : ৬ হলে জমির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
আয়তাকার জমির পরিসীমা = ৩০২৪০/২৭০ = ১১২ মিটার

মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ক এবং ৬ক

শর্তমতে,
২(৮ক + ৬ক) = ১১২
⇒ ২৮ক = ১১২
⇒ ক = ১১২/২৮
∴ ক = ৪

অতএব,
দৈর্ঘ্য = ৮ × ৪ = ৩২ মিটার 
প্রস্থ = ৬ × ৪ = ২৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৩২ × ২৪ = ৭৬৮ বর্গ মিটার

সুতরাং, জমিটির ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ, r = 12 সে.মি.
তাহলে, ব্যাস = 2r = (12 × 2) = 24 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (24)²
= 576/2
= 288 বর্গ সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = 288 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: সমাধান করুন: sinθ + cosθ = √2 [যেখানে 0 < θ < π/2]

সমাধান:
sinθ + cosθ = √2
বা, sinθ = √2 - cosθ
বা, sin²θ = (√2 - cosθ)²
বা, 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
বা, 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
বা, 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 =0
বা, (√2cosθ - 1)² = 0
বা, √2cosθ - 1 = 0
বা, √2cosθ = 1
বা, cosθ = 1/√2
বা, cosθ = cos(π/4)
∴ θ = π/4

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৮০ বার ঘোরে। ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ১৮০ বার
৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে (১৮০ × ৫)/৬০ বার
= ১৫ বার 

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
গাড়ির চাকা ১৫ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০ × ১৫) ডিগ্রি
= ৫৪০০ ডিগ্রি

প্রদত্ত রেখাদ্বয়,
x - y = 0.......(1)
এবং
2x + y - 3 = 0......(2)
(1) নং থেকে পাই x = y
(2) নং থেকে পাই 2x + y - 3 = 0
বা, 2x + x - 3 = 0
3x = 3
∴ x = 1
∴ y = 1
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাংক (1, 1)

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার, এর উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক কত সে. মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার
উচ্চতা ৪ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামান্তরিকের ভূমি = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
= ৭২/৪ = ১৮  মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক = ১৮/২ = ৯ মিটার = (৯ × ১০০) = ৯০০ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ ১২ মিটার হলে বর্গের পরিধি কত?

সমাধান:
বর্গের কর্ণ = ১২ মিটার
বর্গের বাহু  এবং কর্ণের সম্পর্ক,
কর্ণ  = বাহু√২ 
⇒ বাহু = কর্ণ /√২ 
⇒ বাহু = ১২/√২
⇒ বাহু = ৬√২ মিটার
 
পরিধি = ৪ × ৬√২ = ২৪√২ মিটার
 
∴ বর্গের পরিধি = ২৪√২ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের পরিসীমা 110 মিটার। যদি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 10 মিটার বেশি হয়, তবে মাঠের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
ধরি,
মাঠের প্রস্থ = x মিটার
∴ মাঠের দৈর্ঘ্য = 2x + 10 মিটার

প্রশ্নমতে,
2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 110
⇒ 2(2x + 10 + x) = 110
⇒ 2(3x + 10) = 110
⇒ 3x + 10 = 55
⇒ 3x = 55 - 10
⇒ 3x = 45
⇒ x = 45/3
∴ x = 15

∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ মিটার
= (2x + 10) × x
= (2 × 15 + 10) × 15 
= 40 × 15
= 600 বর্গ মিটার

এখানে অপশনে ভূমি ও লম্ব এর সম্পর্ক দেখানো হয়েছে।
আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
আবার, tanθ = 30º = 1/√3
এখানে √3 > 1 অর্থাৎ ভূমি > লম্ব।

প্রশ্ন: একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ৮ কিলোমিটার পশ্চিম দিকে গেল এবং সেখান থেকে ১৫ কিলোমিটার দক্ষিণ দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে শুরুর স্থান থেকে কত দূরে থাকবে?

সমাধান:

প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ধারণা ব্যবহার করতে পারি।

লোকটি প্রথমে ৮ কিলোমিটার পশ্চিম দিকে গেল। এটি ত্রিভুজের একটি বাহু।
এরপর ১৫ কিলোমিটার দক্ষিণ দিকে গেল। এটি ত্রিভুজের অপর বাহু।
যাত্রা শেষে তার শুরুর স্থান থেকে দূরত্ব হবে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভূজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
বা, অতিভূজ^২ = ৮^২ + ১৫^২
বা, অতিভূজ^২ = ৬৪ + ২২৫
বা,অতিভূজ^২ = ২৮৯
বা,অতিভূজ = √২৮৯
বা, অতিভূজ = ১৭

∴ দূরত্ব = ১৭ কিমি

সুতরাং, যাত্রা শেষে লোকটি তার শুরুর স্থান থেকে ১৭ কিলোমিটার দূরে থাকবে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি
= (7 × 3 × 12) ইঞ্চি + (2 × 12) ইঞ্চি + 9 ইঞ্চি
= 252 ইঞ্চি + 24 ইঞ্চি + 9 ইঞ্চি
= (252 + 24 + 9) ইঞ্চি
= 285 ইঞ্চি

∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 285
= 570π ইঞ্চি

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে তাহলে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ভাগ কমবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১০০ 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= π(১০০)^২
= ১০০০০π

আবার, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (১০০ - ২০) = ৮০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= π(৮০)^২
= ৬৪০০π
∴ ক্ষেত্রফল কমে = ১০০০০π - ৬৪০০π
= ৩৬০০π

∴ ১০০০০π থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π
∴ ১০০ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = (৩৬০০π × ১০০)/১০০০০π
= ৩৬% । 

প্রশ্ন: sin A + cos A = √2 হলে, A এর মান কত হবে?
​
​​সমাধান:
​অপশন টেস্ট করে পাই,
A = ​45° হলে,
​sin 45° + cos 45°
​= (1/√2) + (1/√2)
​= (1 + 1)/√2
​= 2/√2
​= (√2 × √2)/√2
​= √2
​
​∴ A = 45°

প্রশ্ন: sinx = 3/4 হলে, tanx এর মান কত ?
​
​​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sin²x + cos²x = 1
​cos²x = 1 - ​sin²x
​= 1 - (3/4)²
​= 1 - (9/16)
​= (16 - 9)/16
​= 7/16
∴ ​cosx =​ √7/4
​
​এখন,
​tanx = sinx/cosx
​= (3/4)/(√7/4)
​= (3/4) × (4/√7)
∴ ​tanx ​= 3/√7

প্রশ্ন: যদি মাসের ২য় দিন বুধবার হয় তাহলে মাসের ১৯ তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
মাসের ২য় দিন বুধবার হলে ,
২ + ৭ = ৯ তম,
৯ + ৭ = ১৬ তম,
১৬ + ৭ = ২৩ তম দিন গুলোও হবে বুধবার।

∴ ১৬ + ৩ = ১৯ তম দিন হবে বুধবার + ৩ দিন = শনিবার 

সুতরাং, মাসের ২য় তারিখ বুধবার হলে ১৯শে তারিখ হবে শনিবার।

আমরা জানি, অন্তঃস্থকোণ + বহিঃস্থকোণ = ১৮০°
বা, অন্তঃস্থকোণ + ৪৫° = ১৮০°
বা, অন্তঃস্থকোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৫৫ বর্গ মিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে একটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা ৫ মিটার। অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ৫৫ বর্গ মিটার
একটি সমান্তরাল বাহু = ১০ মিটার
এবং উচ্চতা = ৫ মিটার

ধরি, 
অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = {(সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা}/২
৫৫ = {(১০ + ক) × ৫}/২
⇒ ৫৫ × ২ = (১০ + ক) × ৫ 
⇒ ১০ + ক = ২২ 
⇒ ক = ২২ - ১০ 
∴ ক = ১২ 

সুতরাং, অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার। 

বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল, (√3/4)a² = 16√3
বা, √3a² = 64√3
বা, a² = 64
∴ a = 8

∴ পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 মিঃ

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

বৃত্তের বৈশিষ্ট্য অনুসারে,
x² + y² = 1