জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ১২ / ১০৭ · ১,১০১–১,২০০ / ১০,৭৫২

১,১০১.

একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৫ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

ক
ষড়ভুজ
খ
অষ্টভুজ
গ
দশভুজ
ঘ
দ্বাদশভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৫ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৫ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ক = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
∴ ক = ৩০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = (৫ × ৩০°) = ১৫০°
বহিঃস্থ কোণ = ৩০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩০° = ১২ টি

সুতরাং, বহুভুজটি হবে দ্বাদশভুজ।

১,১০২.

একটি আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং উক্ত জমির পরিসীমা 40 মিটার হলে, জমিটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
12 মি.
খ
30 মি.
গ
15 মি.
ঘ
36 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং উক্ত জমির পরিসীমা 40 মিটার হলে, জমিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 3x মিটার

তাহলে,
পরিসীমা = 2(3x + x)
⇒ 40 = 2 × 4x
⇒ 8x = 40
⇒ x = 40/8
∴ x = 5 মিটার

∴ জমিটির দৈর্ঘ্য = 3 × 5 = 15 মিটার

১,১০৩.

৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪২০ বর্গমিটার
খ
৩৩৬ বর্গমিটার
গ
৩৭২ বর্গমিটার
ঘ
৯৩৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রাস্তাবাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার
রাস্তাবাদে মাঠের প্রস্থ = ২০ মিটার
∴ রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩০ × ২০) বর্গমিটার
= ৬০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = {৩০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ৩৬ মিটার
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = {২০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ২৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার
= ৯৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৯৩৬ – ৬০০) বর্গমিটার
= ৩৩৬ বর্গমিটার।

১,১০৪.

6 সেমি × 12 সেমি × 15 সেমি বিশিষ্ট আয়তাকার ব্লকটিকে সমান সংখ্যক ঘনকে কাটা হলো। ঘনকের সর্বনিম্ন সম্ভাব্য সংখ্যা নির্ণয় করুন।

ক
ক) 30
খ
খ) 50
গ
গ) 40
ঘ
ঘ) 60

ব্যাখ্যা

আয়তাকার ব্লকটির আয়তন = (6 × 12 × 15) cm³= 1080 cm³
ঘনকের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য
=6 cm, 12 cm, 15 cm এর গ.সা.গু
= 3 cm.
ঘনকটির আয়তন = (3 × 3 × 3) cm³= 27 cm³
ঘনকের সংখ্যা = 1080/27 = 40.

১,১০৫.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৬ বর্গ একক
খ
৮ বর্গ একক
গ
১২ বর্গ একক
ঘ
১৪ বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য দেখে বোঝা যাচ্ছে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪ × ৩
= ৬ বর্গ একক

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৬ বর্গ একক।

১,১০৬.

বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
৪
খ
৮
গ
১২
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

[প্রশ্নটিতে ভাষাগত ইস্যু থাকতে পারে। চারগুণ বৃদ্ধি বলতে যা আছে তার সাথে চারগুণ পরিমাণ যোগ করা বুঝাতে পারে। নিচের দুটি প্রশ্ন ভালোভাবে লক্ষ করুন।]

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 8r) = 10r
∴ ব্যাসার্ধ =10r/2 = 5r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr²- πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

=======================

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 8r
∴ ব্যাসার্ধ = 8r/2 = 4r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² = 16πr²

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16 গুণ হবে।

১,১০৭.

কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহু ও পরিসীমার বর্গের অনুপাত নিচের কোনটি হবে?

ক
ক) 1 : 4
খ
খ) 2 : 3
গ
গ) 1 :√ 2
ঘ
ঘ) 1 : 16

ব্যাখ্যা

বর্গের বাহু a হলে, পরিসীমা 4a.
∴ বাহু ও পরিসীমার অনুপাত = a² : (4a)²
= a² : 16a²
= 1 : 16

১,১০৮.

ΔABC -এ AD, ∠A - এর সমদ্বিখণ্ডক এবং ∠ADB সূক্ষ্মকোণ হলে -

ক
ক) AD > AC
খ
খ) AB > AC
গ
গ) AB < AC
ঘ
ঘ) BD < CD

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC -এ AD, ∠A - এর সমদ্বিখণ্ডক এবং ∠ADB সূক্ষ্মকোণ হলে -

সমাধান:

∠ADB = সূক্ষ্মকোণ
∴ ∠ADC = স্থূলকোণ

∴ ∠ADC > ∠ADB এই কোণদ্বয় একই রেখা BC এর D বিন্দুতে অবস্থিত।
সুতরাং, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।

অতএব, AC > AB
⇒ AB < AC

১,১০৯.

একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে সর্বচ্চ কতটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
ক) ১ টি
খ
খ) ২টি
গ
গ) ৩ টি
ঘ
ঘ) অসংখ্য

১,১১০.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?

ক
ক) ২০°
খ
খ) ২০০°
গ
গ) ১১০°
ঘ
ঘ) ২৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোন ৭০° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭০) বা ১১০°

১,১১১.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে। গ্যালারির প্রতি ১.৫ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?

ক
৭০০টি
খ
৭৫০টি
গ
৮০০টি
ঘ
৮৫০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে। গ্যালারির প্রতি ১.৫ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার

গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার

∴ মোট চেয়ার বসানো যাবে = ১১২৫/১.৫ টি
= ৭৫০টি

১,১১২.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২৯৬ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

ক
১৪৪ মিটার
খ
২৫৬ মিটার
গ
২৮৮ মিটার
ঘ
৩০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২৯৬ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১২৯৬ বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য= √১২৯৬ মিটার
= ৩৬ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = (৪ × বাহু) মিটার
= (৪ × ৩৬) মিটার
= ১৪৪ মিটার

১,১১৩.

4 : 30 মিনিটে ঘড়ির ঘণ্টার ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 75°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = | (11 × M - H × 60 )/2 |°

নির্ণেয় কোণ = | ( 11 × 30 - 60 × 4)/2 |°
= ।330 - 240/2 |°
= 90°/2
= 45°

১,১১৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে 6√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 2 মিটার
খ
খ) 3 মিটার
গ
গ) 4 মিটার
ঘ
ঘ) 5 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে 6√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)²/4

প্রশ্নমতে,
{√3(a + 2)²/4} - {√3a²/4} = 6√3
(√3/4){(a + 2)² - a²} = 6√3
a² + 4a + 4 - a² = 24
4a + 4 = 24
4a = 24 - 4
4a = 20
a = 5

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার

১,১১৫.

১ মিটার সমান কত ইঞ্চি?

ক
ক) ৩৬ ইঞ্চি
খ
খ) ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
গ
গ) ৩৯.৫৭ ইঞ্চি
ঘ
ঘ) ৩৬.৫ ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়)
১ গজ = ০.৯১৪৪ মি.(প্রায়)
১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)
১ কি. মি. = ০.৬২ মাইল (প্রায়)
১ মাইল = ১.৬১ কি. মি. (প্রায়)

১,১১৬.

একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে, মিনারটির উচ্চতা কত?

ক
ক) 19 মিটার
খ
খ) 25 মিটার
গ
গ) 32 মিটার
ঘ
ঘ) 36 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে, মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি মিনারটির উচ্চতা = x মিটার
প্রশ্নমতে,
tan45° = AB/BC
⇒ 1 = x/25 [ ∴ tan45° = 1]
⇒ x = 25 মিটার
∴ মিনারটির উচ্চতা 25 মিটার।

১,১১৭.

সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

ক
২ সমকোণ
খ
৪ সমকোণ
গ
৮ সমকোণ
ঘ
১৬ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2(4 × 180°)
= 8 × 180°
= 8 × 2 সমকোণ
= 16 সমকোণ

১,১১৮.

'সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্ণক্ষেত্রের আয়তন অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির আয়তনের সমান'-এই সূত্রের উদ্ভাবক কে?

ক
নিউটন
খ
গালিলিও
গ
আইনস্টাইন
ঘ
পিথাগোরাস

ব্যাখ্যা

'সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্ণক্ষেত্রের আয়তন অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির আয়তনের সমান'-এই সূত্রের উদ্ভাবক কে?
এই প্রশ্নের ভাষাগত ত্রুটি আছে।
প্রশ্নটি হওয়ার কথা' সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্ণক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের সমান'

- এই সূত্রের উদ্ভাবক পিথাগোরাস।

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা ৮ এবং অতিভুজ c হলে
পিথাগোরাসে সূত্রানুসারে
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
c² = a² + b²

১,১১৯.

x = siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক
0
খ
√3/2
গ
1
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sinθ এর সর্বোচ্চ মান 1
∴ x = 1

১,১২০.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
15 গজ
খ
20 গজ
গ
25 গজ
ঘ
30 গজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 20
= 10 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
10 × ভূমি = 200
⇒ ভূমি = 200/10
⇒ ভূমি = 20 গজ

১,১২১.

ক
-1/2
খ
-1
গ
1/2
ঘ
1

১,১২২.

AOB একটি সরলরেখা, OC রেখা AB সরলরেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করে, যার ∠AOC = (2x + 10)° এবং ∠BOC = (3x - 20)°। x এর মান কত?

ক
48°
খ
28°
গ
42°
ঘ
38°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: AOB একটি সরলরেখা, OC রেখা AB সরলরেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করে, যার ∠AOC = (2x + 10)° এবং ∠BOC = (3x - 20)°। x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্নমতে,
2x° + 10° + 3x° - 20° = 180°
⇒ 5x° = 180° + 10°
⇒ x° = (190/5)°
∴ x° = 38°

১,১২৩.

একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে. মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

ক
240π ঘনসে.মি.
খ
244π ঘনসে.মি.
গ
140π ঘনসে.মি.
ঘ
144π ঘনসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে. মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে. মি.
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে. মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3) × π × r² × h ঘনএকক
= (1/3) × π × 6² × 12 ঘনসে.মি.
= (1/3) × π × 36 × 12 ঘনসে.মি.
= 144Π ঘনসে.মি.

১,১২৪.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. ও প্রস্থ ১০ সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৫ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

ক
ক) ৭.১ সে.মি.
খ
খ) ৭.২ সে.মি.
গ
গ) ৭.৩ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৭ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. ও প্রস্থ ১০ সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৫ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

সমাধান:
প্রশ্নমতে আয়তক্ষেত্রের,
প্রথম ক্ষেত্রফল = নতুন ক্ষেত্রফল
১৮ × ১০ = ২৫ × নতুন প্রস্থ
নতুন প্রস্থ = ১৮০/২৫ = ৭.২ সে.মি

১,১২৫.

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 140° হলে, ∠ACD এর মান কত?

ক
ক) 70°
খ
খ) 100°
গ
গ) 140°
ঘ
ঘ) 180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 140° হলে, ∠ACD এর মান কত?

সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।I
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
∠ABC + ∠BAC = 140°
∠ACD = 140°

১,১২৬.

tan75° + tan15° + tan105° + tan165° এর মান নির্ণয় করুন।

ক
ক) 1
খ
খ) 1/2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) √3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan75° + tan15° + tan105° + tan165° এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
tan75° + tan15° + tan105° + tan165°
= tan(90 - 15)° + tan15° + tan(90 + 15)° + tan{(90 × 2) - 15}°
= cot15° + tan15° - cot15° - tan15°
= 0

১,১২৭.

ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

ক
৩, ৫ এবং ৮
খ
৫, ৭ এবং ১৫
গ
৭, ৮ এবং ৯
ঘ
৮, ৯ এবং ১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
ক) ৩ + ৫ = ৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
খ) ৫ + ৭ < ১৫ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
গ) ৭ + ৮ > ৯ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব
ঘ) ৮ + ৯ < ১৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়

১,১২৮.

কোনো বৃত্তের পরিধি 44 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ক
3 সে.মি.
খ
7 সে.মি.
গ
9.12 সে.মি.
ঘ
11 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 44 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 44 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
2πr = 44
⇒ r = 44/2π
⇒ r = 44/{2 × (22/7)}
⇒ r = (44 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 7

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 সে.মি.

১,১২৯.

যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4 সে.মি. এবং 6 সে.মি. হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
6
খ
8
গ
12
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4 সে.মি. এবং 6 সে.মি. হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান :
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
= 1/2 × 4 × 6
= 12 বর্গ সে.মি.।

১,১৩০.

একটি চাকা মিনিটে ২০ বার ঘুরলে এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি অতিক্রম করবে?

ক
৬০°
খ
৯০°
গ
১২০°
ঘ
১৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে ২০ বার ঘুরলে এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি অতিক্রম করবে?

সমাধান:
মিনিটে ২০ বার ঘুরলে,
১ সেকেন্ডে ঘুরে = ২০/৬০ = ১/৩ বার

এখন,
একটি চাকা ১ বার সম্পূর্ণ ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°

∴ ১/৩ বার ঘুরলে অতিক্রম করবে = ৩৬০°/৩ = ১২০°

১,১৩১.

যদি sin⁡θ = √3cos⁡θ হয়, তাহলে θ = ?

ক
30°
খ
90°
গ
45°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = √3cos⁡θ হয়, তাহলে θ = ?

সমাধান:
sin⁡θ = √3cos⁡θ
⇒ sinθ/cosθ = √3
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°

১,১৩২.

ABCD রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। ΔBOC হবে -

ক
সমবাহু ত্রিভুজ
খ
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
গ
বিষমবাহু ত্রিভুজ
ঘ
স্থুলকোণী ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

ΔBOC এর বাহুদ্বয় এর দৈর্ঘ্য ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু।

১,১৩৩.

6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কোনো অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
18 বর্গ সে.মি.
খ
36 বর্গ সে.মি.
গ
54 বর্গ সে.মি.
ঘ
72 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কোনো অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:

অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
তাহলে, অর্ধবৃত্তের ব্যাস = 2 × 6 = 12 সে.মি.

আমরা জানি, অর্ধবৃত্তের ভেতরে অবস্থিত বৃহত্তম ত্রিভুজটির ভূমি হবে অর্ধবৃত্তের ব্যাস এবং উচ্চতা হবে অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

অতএব, ত্রিভুজটির ভূমি, b = 12 সে.মি.
ত্রিভুজটির উচ্চতা, h = 6 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 12 × 6 বর্গ সে.মি.
= 6 × 6 বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃহত্তম ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সে.মি.

১,১৩৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সে. মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
36√3 বর্গ সে. মি.
খ
72 বর্গ সে. মি.
গ
18√3 বর্গ সে. মি.
ঘ
27√3 বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সে. মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = 36 সে. মি.

∴ পরিসীমা = 3a
⇒ 36 = 3a
⇒ a = 36/3
⇒ a = 12 সে. মি.

∴ ক্ষেত্রফল, = (√3/4) × a²
= (√3/4)(12)²
= (√3/4) × 144
= 36√3 বর্গ সে. মি.

১,১৩৫.

একটি বেলনের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি., বেলনের আয়তন 250π ঘন সে.মি. হলে, বেলনের উচ্চতা কত?

ক
12 সে.মি.
খ
10 সে.মি.
গ
15 সে.মি.
ঘ
5 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি., বেলনের আয়তন 250π ঘন সে.মি. হলে, বেলনের উচ্চতা কত?

সমাধান:
বেলনের উচ্চতা = h সে.মি.
বেলনের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 5 সে.মি.

বেলনের আয়তন = πr²h
⇒ π × 5² × h = 250π
⇒ 25h = 250
∴ h = 10

১,১৩৬.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ শতকরা 20% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
44%
খ
45%
গ
20%
ঘ
50%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ শতকরা 20% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে, ক্ষেত্রফল =πr² বর্গ একক
20% বৃদ্ধিতে, ব্যাসার্ধ = r + r এর 20% = r + 0.2r = 1.2r
ক্ষেত্রফল = π(1.2r)² = 1.44πr²
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে,
= {(1.44πr² - πr²)/πr²} × 100%
= (0.44 × 100)%
= 44%

১,১৩৭.

একটি আয়াতক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুন। প্রস্থ a হলে এর কর্নের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) a√২
খ
খ) a√৫
গ
গ) ৩a
ঘ
ঘ) ৫a

ব্যাখ্যা

আয়াতক্ষেত্রের কর্ন = √{a² + (২a)²} = a√৫

১,১৩৮.

বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৫ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
২০২৫ বর্গমিটার
খ
২০১৫ বর্গমিটার
গ
২৪৭৫ বর্গমিটার
ঘ
১০১৫ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৫ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু²
= (৪৫)^২
= ২০২৫

১,১৩৯.

sec A+ tan A = 5/3 হলে, sec A - tan A এর মান কত?

ক
1/3
খ
5/3
গ
3/5
ঘ
1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sec A+ tan A = 5/3 হলে, sec A - tan A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec A+ tan A = 5/3

আমরা জানি,
sec² A = 1 + tan² A
বা, sec² A - tan² A = 1
বা, (sec A + tan A) (sec A - tan A) = 1
বা, 5/3 (sec A - tan A) = 1
∴ sec A - tan A = 3/5

১,১৪০.

একটি আয়াতকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুন। যদি ঘরটির ক্ষেত্রফল ৫১২ বর্গ ইঞ্চি হয় তাহলে পরিসীমা কত ফুট?

ক
ক) ৪ ফুট
খ
খ) ৬ ফুট
গ
গ) ৮ ফুট
ঘ
ঘ) ১২ ফুট

ব্যাখ্যা

ধরি, ঘরের প্রস্থ = x ইঞ্চি
ঘরের দৈর্ঘ্য = ২x ইঞ্চি
প্রশ্নমতে,
২x² = ৫১২
বা, x = ১৬
ঘরের প্রস্থ = ১৬ ইঞ্চি
ঘরের দৈর্ঘ্য = (২ x ১৬) বা ৩২ ইঞ্চি
পরিসীমা = ২(৩২+১৬) বা ৯৬ ইঞ্চি
৯৬ ইঞ্চি = ৯৬/১২ = ৮ ফুট (১২ ইঞ্চি = ১ ফুট)

১,১৪১.

একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৩৮৪ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার। বাগানের পরিসীমা কত মিটার?

ক
৭৮ মিটার
খ
৮০ মিটার
গ
৩৯ মিটার
ঘ
৪০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৩৮৪ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার। বাগানের পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
∴ দৈর্ঘ্য = ৩৮৪/১৬ = ২৪ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৪ + ১৬)
= ৮০ মিটার

১,১৪২.

যে চতুর্ভুজের কেবল দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল তাকে কি বলে?

ক
সামন্তরিক
খ
চতুর্ভুজ
গ
ট্রাপিজিয়াম
ঘ
রম্বস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের কেবল দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল তাকে কি বলে?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়াম:
- যে চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
- ট্রাপিজিয়াম হলো চতুর্ভুজের একটি বিশেষ রূপ। উল্লেখ্য যে ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু কখনো সমান হয় না।
ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ঠ্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল,
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না,
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে,
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে,
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

রম্বস:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°

১,১৪৩.

2∠a = 186° হলে, ∠a কোন ধরনের কোণ?

ক
প্রবৃদ্ধ কোণ
খ
বিপ্রতীপ কোণ
গ
সূক্ষ্মকোণ
ঘ
স্থূলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2∠a = 186° হলে, ∠a কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:
এখন,
2∠a = 186°
⇒ ∠a = 186°/2
⇒ ∠a = 93°

এক সমকোণ (90°) অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ (180°) অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
সুতরাং, ∠a একটি স্থূলকোণ।

১,১৪৪.

এক ইঞ্চি সমান কত সেন্টিমিটার?

ক
ক) 1.54
খ
খ) 2.54
গ
গ) 2.57
ঘ
ঘ) 3.54

ব্যাখ্যা

এক ইঞ্চি= ২.৫৪ সেন্টিমিটার হয়ে থাকে।
১ সেন্টিমিটার= ১০ মিলিমিটার
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার
১ মিটার = ১০০০ মিলিমিটার
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার

উৎস: নবম-দশম শ্রেণির পদার্থবিজ্ঞান

১,১৪৫.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 50 ও 25 মিটার, দৈর্ঘ্য 10 মিটার কমালে ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

ক
10%
খ
15%
গ
20%
ঘ
25%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 50 ও 25 মিটার, দৈর্ঘ্য 10 মিটার কমালে ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
মূল ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 50 × 25 = 1250 বর্গমিটার

নতুন দৈর্ঘ্য = 50 - 10 = 40
নতুন দৈর্ঘ্য দিয়ে ক্ষেত্রফল = 40 × 25 = 1000 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফল হ্রাস = 1250 - 1000 = 250 বর্গমিটার

শতকরা হ্রাস = 250/1250 × 100 = 20%

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = 20%

১,১৪৬.

একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১০ মিটার ও ১২ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
৮√১৫ মিটার
খ
৬√১৫ মিটার
গ
১০√১৭ মিটার
ঘ
১০√২১ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১০ মিটার ও ১২ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১০ × ১২
= ৬০ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬০ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৬০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × √৬০ মিটার
= ৪ × √(৪ × ১৫) মিটার
= ৮√১৫ মিটার

১,১৪৭.

১২ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি গোলকে কতটুকু পানি জায়গা হবে?

ক
৯০৭.৭৮ লি.
খ
৯০৫.১৪ মি.লি.
গ
৬৫২.২৪ মি.লি.
ঘ
৯.৭৮ লি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি গোলকে কতটুকু পানি জায়গা হবে?

সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 cm

আয়তন, v = (4/3)πr³
= (4/3) × (22/7) × (6)³
= 905.14 cm³

আমরা জানি,
1 cm³ = 1ml
∴ 905.14 cm³ = 905.14 ml

১,১৪৮.

নিচের কোনটি সামান্তরিক নয়?

ক
আয়তক্ষেত্র
খ
ট্রাপিজিয়াম
গ
বর্গক্ষেত্র
ঘ
রম্বস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামান্তরিক নয়?

সমাধান:
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামন্তরিক বলে।
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
অতএব ট্রাপিজিয়াম, সামন্তরিক নয়।

- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

১,১৪৯.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২০ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
২০ বর্গ সেমি
খ
২৫ বর্গ সেমি
গ
৪০ বর্গ সেমি
ঘ
৮০ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২০ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২০ সেমি
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহু
প্রশ্নমতে,
৪ × এক বাহু = ২০
⇒ এক বাহু = ২০ ÷ ৪
∴ এক বাহু = ৫
অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রটির একবাহু = ৫ সেমি

আবার,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( একবাহু × একবাহু ) বর্গ একক
= ( ৫ × ৫ ) বর্গ সেমি
= ২৫ বর্গ সেমি

১,১৫০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
৫৪√৩ বর্গমিটার
খ
৩৬√৩ বর্গমিটার
গ
১০৮√৩ বর্গমিটার
ঘ
৮১√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১৮ মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a² বর্গমিটার।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১৮)^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৩২৪ বর্গমিটার
= ৮১√৩ বর্গমিটার।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৮১√৩ বর্গমিটার।

১,১৫১.

সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?

ক
৫ মিটার
খ
১০ মিটার
গ
১৫ মিটার
ঘ
২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?

সমাধান:
ধরি, সামন্তরিকের উচ্চতা = ক মিটার
তাহলে, ভূমি = ২ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ক × ২ক বর্গমিটার
= ২ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
২ক^২ = ৫০
⇒ ক^২ = ২৫
∴ ক = ৫ মিটার

∴ ভূমি = ২ক
= ২ × ৫ মিটার
= ১০ মিটার

১,১৫২.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩.৯ বর্গ সে.মি এবং ভূমি ২.৬ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত?

ক
১.৩ সে.মি
খ
১.৮ সে.মি
গ
১.৫ সে.মি
ঘ
২.০ সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩.৯ বর্গ সে.মি এবং ভূমি ২.৬ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি ২.৬ সে.মি
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩.৯ বর্গ সে.মি

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
বা, উচ্চতা = ক্ষেত্রফল/ভূমি
বা, উচ্চতা = ৩.৯/২.৬
∴ উচ্চতা = ১.৫ সে.মি ।

১,১৫৩.

1 সে.মি., 2 সে.মি., 3 সে.মি. ও 4 সে.মি. দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি রেখাংশ দ্বারা কয়টি ত্রিভুজ অংকন করা যাবে?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 সে.মি., 2 সে.মি., 3 সে.মি. ও 4 সে.মি. দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি রেখাংশ দ্বারা কয়টি ত্রিভুজ অংকন করা যাবে?

সমাধান:
1 সে.মি., 2 সে.মি., 3 সে.মি. ও 4 সে.মি. দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি রেখাংশ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ৪টি।
1, 2, 3
1, 2, 4
1, 3, 4
2, 3, 4

কিন্তু, আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর দৈর্ঘ্য তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।

1 + 2 = 3 = 3 [ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়]
1 + 2 = 3 < 4 [ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়]
1 + 3 = 4 = 4 [ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়]
2 + 3 = 5 > 4 [ত্রিভুজ অংকন সম্ভব]

1 সে.মি., 2 সে.মি., 3 সে.মি. ও 4 সে.মি. দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি রেখাংশ দ্বারা ত্রিভুজ অংকন করা যাবে 1টি।

১,১৫৪.

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি হবে -

ক
ক) ২৮০°
খ
খ) ২৯০°
গ
গ) ২৪০°
ঘ
ঘ) ৩৬০°

ব্যাখ্যা

মনে করি ΔABC এর ∠X + ∠Y + ∠Z
= (∠A + ∠B + ∠A + ∠C + ∠B + ∠C)
= 2(∠A + ∠B + ∠C)
= 2 × 180° = 360°

১,১৫৫.

সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত সমকোণ?

ক
৯ সমকোণ
খ
৮ সমকোণ
গ
১২ সমকোণ
ঘ
১০ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (২n - ৪) সমকোণ।
সুতরাং সুষম সপ্তভুজের ৭ কোণের সমষ্টি = (২ × ৭ - ৪) সমকোণ
= (১৪ - ৪) × ৯০°
= ১০ × ৯০°

অর্থাৎ, সুষম সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি ১০ সমকোণ।

১,১৫৬.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
৫৬ বর্গমিটার
খ
৬০ বর্গমিটার
গ
৭৭ বর্গমিটার
ঘ
৮০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
ঘরটির দৈর্ঘ্য = ক + ৪ মিটার
ঘরটির পরিসীমা = ২(ক + ৪ + ক) মিটার

এখন,
২(ক + ৪ + ক) = ৩৬
বা, ২(২ক + ৪) = ৩৬
বা, ৪ক + ৮ = ৩৬
বা, ৪ক = ৩৬ - ৮
বা, ৪ক = ২৮
বা, ক = ৭

সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = (৭ + ৪) = ১১ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = (১১ × ৭) = ৭৭ বর্গমিটার

১,১৫৭.

ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E। যদি BC = 12 সে.মি. হয়, তবে DE = কত?

ক
ক) 3 সে.মি.
খ
খ) 6 সে.মি.
গ
গ) 14 সে.মি.
ঘ
ঘ) 24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E। যদি BC = 12 সে.মি. হয়, তবে DE = কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের যে কোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ΔABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।

আমরা জানি,
DE = BC/2
বা, DE = 12/2
∴ DE = 6 সে.মি.

১,১৫৮.

দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী হলে এর প্রত্যেকটি কোণের নাম কী?

ক
ক) সম্পূরক কোণ
খ
খ) পূরক কোণ
গ
গ) সরল কোণ
ঘ
ঘ) স্থুলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী হলে এর প্রত্যেকটি কোণের নাম কী?

সমাধান:
দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৪৫ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৪৫° = ৪৫°

১,১৫৯.

একটি কূয়ার গভীরতা 10 মিটার এবং ব্যাসার্ধ 1 মিটার হলে, কূয়াটির আয়তন কত?

ক
100π ঘনমিটার
খ
10π ঘনমিটার
গ
1000 ঘনমিটার
ঘ
π³ ঘনমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কূয়ার গভীরতা 10 মিটার এবং ব্যাসার্ধ 1 মিটার হলে, কূয়াটির আয়তন কত?

সমাধান:
কূয়ার গভীরতা h = 10 মিটার
কূয়ার ব্যাসার্ধ r = 1 মিটার

∴ কূয়ার আয়তন = πr²h
= π × 1² × 10
= 10π ঘনমিটার

১,১৬০.

আয়তাকার একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ১২ সেমি, ১০ সেমি ও ৯ সেমি হলে। ঘনকটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৫৭৬ বর্গ সেমি
খ
৬৩৬ বর্গ সেমি
গ
৫৭০ বর্গ সেমি
ঘ
৬২৫ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ১২ সেমি, ১০ সেমি ও ৯ সেমি হলে। ঘনকটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = ১২ সেমি
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ b = ১০ সেমি
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা c = ৯.৫ সেমি

আমরা জানি,
সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
= ২ {(১২ × ১০) + (১০ × ৯) + (৯ × ১২)} বর্গ সেমি
= ২ (১২০ + ৯০ + ১০৮) বর্গ সেমি
= ২ × ৩১৮ বর্গ সেমি
= ৬৩৬ বর্গ সেমি

১,১৬১.

17 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 2 মিটার নিচে নামবে?

ক
7 মিটার
খ
5 মিটার
গ
8 মিটার
ঘ
9 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 17 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 2 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

ধরি,
AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 2 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = BD = 17 মিটার
এবং AB = 2 মিটার
∴ BC = 17 - 2 = 15 মিটার

এখন,
BC² + CD² = BD² [যেহেতু ∠C = 90°]
⇒ CD² = BD² - BC²
⇒ CD² = (17)² - (15)²
⇒ CD² = 289 - 225
⇒ CD² = 64
∴ CD = 8 মিটার

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে সরাতে হবে।

১,১৬২.

দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৪ : ৬ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

ক
২ : ৩
খ
৪ : ৯
গ
৯ : ১৬
ঘ
৪ : ৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৪ : ৬ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ যথাক্রমে ৪ক এবং ৬ক

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৪ক)^২ : π(৬ক)^২
= ১৬πক^২ : ৩৬πক^২
= ১৬ : ৩৬
= ৪ : ৯

১,১৬৩.

যদি একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬৯% বৃদ্ধি পায়, তাহলে বর্গক্ষেত্রটির বাহু শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ৩০%
খ
খ) ৩১%
গ
গ) ৬৯%
ঘ
ঘ) ১৬%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬৯% বৃদ্ধি পায়, তাহলে বর্গক্ষেত্রটির বাহু শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১০০ বর্গ একক
বর্গাকার ক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১০০ = ১০ একক

বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬৯% বৃদ্ধিতে
বর্গাকার ক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = ১০০ + ১০০ এর ৬৯%
= ১০০ + ১০০ এর ৬৯/১০০ বর্গ একক
= ১৬৯ বর্গ একক

বর্গাকার ক্ষেত্রের নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬৯ = ১৩ একক

বাহুর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পেল = ১৩ - ১০ = ৩ একক

শতকরা বাহুর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পেল = {(৩/১০) × ১০০}% = ৩০%

১,১৬৪.

যদি tan (x - 30°) = 1/√3 হয়, তবে cosx = ?

ক
1/2
খ
1√2
গ
2/3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan (x - 30°) = 1/√3 হয়, তবে cosx = ?

সমাধান:
tan (x - 30°) = 1/√3
বা, tan (x - 30°) = tan 30°
বা, x - 30° = 30°
∴ x = 60°

∴ cosx = cos 60° = 1/2

১,১৬৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

ক
25°
খ
18°
গ
20°
ঘ
35°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

১,১৬৬.

কোন শর্তের জন্য cos²θ + sin²θ = 1 হয়?

ক
শুধু θ = 90°
খ
শুধু θ = 0°
গ
শুধু θ = 45°
ঘ
যে কোনো θ এর জন্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন শর্তের জন্য cos²θ + sin²θ = 1 হয়?

সমাধান:
cos²θ + sin²θ = 1 সমীকরণটি যে কোনো θ এর জন্য সত্য।

১,১৬৭.

একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ৩৫ ডিগ্রি ও ৫৫ ডিগ্রি হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
ক) সমবাহু
খ
খ) সমকোণী
গ
গ) স্থুল কোণী
ঘ
ঘ) সমদ্বিবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ৩৫ ডিগ্রি ও ৫৫ ডিগ্রি হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের দুই কোণের পরিমান ৩৫ ডিগ্রি ও ৫৫ ডিগ্রি হলে,
কোণ দুইটির যোগফল = ৩৫ + ৫৫ = ৯০ ডিগ্রি
অতএব, অপর কোণ = ১৮০ - ৯০ = ৯০ ডিগ্রি
একটি ত্রিভুজের এক কোণ সমকোণ হলে তা সমকোণী

১,১৬৮.

চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয়-

ক
ক) বর্গক্ষেত্র
খ
খ) চতুর্ভুজ
গ
গ) রম্বস
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

ব্যাখ্যা

- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।
- রম্বসকে অনেকসময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত।
- এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

১,১৬৯.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 40 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 48 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
188 বর্গ সে.মি.
খ
212 বর্গ সে.মি.
গ
192 বর্গ সে.মি.
ঘ
242 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 40 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 48 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 48 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 40 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (48/4) × √(4 × 40² - 48²)
= (12) × √(6400 - 2304)
= (12) × √4096
= 12 × 64
= 768 বর্গ সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ = 768/4 = 192 বর্গ সে.মি.

১,১৭০.

একটি মোটর সাইকেল ৯ কি.মি. পূর্বদিকে যায় তারপর ৪০ কি.মি. উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে মোটর সাইকেলটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

ক
৪১ কি.মি.
খ
৪৯ কি.মি.
গ
২৮ কি.মি.
ঘ
৩৭ কি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মোটর সাইকেল ৯ কি.মি. পূর্বদিকে যায় তারপর ৪০ কি.মি. উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে মোটর সাইকেলটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:

যাত্রাস্থান থেকে মোটর সাইকেলের সরাসরি দূরত্ব = √(৯^২ + ৪০^২)
= √(৮১ + ১৬০০)
= √১৬৮১
= ৪১ কিলোমিটার

১,১৭১.

A = π/3 ও B = π/3 হলে sin(A+B) = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1/2
গ
গ) √3/2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

এখানে A = π/3 = 60° ও B = π/3 = 60°
সুতরাং sin(A+B) = sin(60°+60°) = sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = √3/2.

১,১৭২.

একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 49 সে.মি. হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

ক
248 সে.মি.
খ
252 সে.মি.
গ
256 সে.মি.
ঘ
260 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 49 সে.মি. হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 49 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 49 + 2 × 49
= 22 × 7 + 98
= 154 + 98
= 252 সে.মি.

১,১৭৩.

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ মিটার হলে অতিভুজের মান কত?

ক
ক) ৬ মিটার
খ
খ) ৫ মিটার
গ
গ) ৮ মিটার
ঘ
ঘ) ৭ মিটার

ব্যাখ্যা

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ মিটার

১,১৭৪.

২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৮৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হতো, তবে ৬৮০০ টাকা খরচ হতো। কামরার প্রস্থ কত?

ক
ক) ২০ মিটার
খ
খ) ২৫ মিটার
গ
গ) ৩০ মিটার
ঘ
ঘ) ৩৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৮৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হতো, তবে ৬৮০০ টাকা খরচ হতো। কামরার প্রস্থ কত?

সমাধান:
কামরার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার।
প্রস্থ ৪ মিটার কমলে ক্ষেত্রফল কমে = ৪ × ২০ = ৮০ বর্গ মিটার।
ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গ মিটার কমার জন্য খরচ কমে = ৮৫০০ - ৬৮০০ = ১৭০০ টাকা

১৭০০ টাকা খরচ হয় ৮০ বর্গ মিটারে
৮৫০০ টাকা খরচ হয় (৮০ × ৮৫০০)/১৭০০ বর্গ মিটারে
= ৪০০ বর্গ মিটারে

সুতরাং কামরার প্রস্থ = ৪০০/২০ = ২০ মিটার

১,১৭৫.

2cos²θ = 1 + 2sin²θ হলে θ এর মান কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2cos²θ = 1 + 2sin²θ হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
2cos²θ = 1 + 2sin²θ
2(1 - sin²θ) = 1 + 2sin²θ
2 - 2sin²θ = 1 + 2sin²θ
2 - 1 = 2sin²θ + 2sin²θ
4sin²θ = 1
sin²θ = 1/4
sin²θ = (1/2)²
sinθ = 1/2
sinθ = sin30°
θ = 30°

১,১৭৬.

একটি ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০ ডিগ্রি। বাকি দুটি কোণের অনুপাত হচ্ছে ১ঃ৯ হলে, ত্রিভুজটি কি ধরণের ত্রিভুজ?

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) স্থুলকোণী
গ
গ) সমবাহু
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ধরি, বাকি দুটি কোণ x ও 9x
প্রশ্নমতে,
x + 9x + 80 = 180
বা, 10x = 180 - 80
বা, 10x = 100
বা, x = 10
যেহেতু অপর কোণদ্বয়ের একটি কোণ = ৯×১০ = ৯০ ডিগ্রি। সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

১,১৭৭.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৯২
খ
৩২√৩
গ
৬৪√ ৩
ঘ
৬৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল = (√3/4)a²

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১৬ মিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১৬)^২
= (√৩/৪) × ১৬ × ১৬
= ৬৪√৩ বর্গমিটার

১,১৭৮.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৪২ সে.মি. ও ১৩ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৭৩ বর্গ সে.মি.
খ
৩২৪ বর্গ সে.মি.
গ
২৬৭ বর্গ সে.মি.
ঘ
২৯৮ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৪২ সে.মি. ও ১৩ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় ৪২ সে.মি. ও ১৩ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪২ × ১৩ বর্গ সে.মি.
= ২৭৩ বর্গ সে.মি.

১,১৭৯.

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের -

ক
দ্বিগুণ
খ
সমান
গ
এক-তৃতীয়াংশ
ঘ
অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের -

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:

- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

১,১৮০.

চিত্রে ∠ACB = 60°, ∠BAC = 2∠ABC এবং AB || CE হলে, ∠ACE এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 120°
খ
খ) 40°
গ
গ) 80°
ঘ
ঘ) 60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চিত্রে ∠ACB = 60°, ∠BAC = 2∠ABC এবং AB || CE হলে, ∠ACE এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
∠ABC = x
∴ ∠BAC = 2x

শর্তমতে,
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
⇒ 2x + x + 60° = 180°
⇒ 3x = 120°
⇒ x = 40°

∴ ∠BAC = 2x = 2 × 40° = 80°

যেহেতু AB || CE
∠BAC = ∠ACE = 80° [অনুরূপ কোণ]

১,১৮১.

একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

ক
১৮০π ঘন সেমি
খ
৩০০π ঘন সেমি
গ
৩৮৪π ঘন সেমি
ঘ
৪৪৮π ঘন সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১০ সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ১০/২ = ৫ সেমি
উচ্চতা, h = ১২ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr^২h
= π × (৫)^২ × ১২
= π × ২৫ × ১২
= ৩০০π ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় আয়তন ৩০০π ঘন সেমি।

১,১৮২.

সমাধান করুন: sinθ + cosθ = √2 [ যেখানে 0 < θ < π/2]

ক
ক) π/2
খ
খ) π/3
গ
গ) π/4
ঘ
ঘ) π/6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন: sinθ + cosθ = √2 [ যেখানে 0 < θ < π/2]

সমাধান:
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 =0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos(π/4)
⇒ θ = π/4

১,১৮৩.

দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

ক
৯ : ৪
খ
২ : ৩
গ
৪ : ৯
ঘ
২ : ৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৩ : ২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ ৩x একক এবং ২x একক
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩x)^২ : π(২x)^২
= ৯πx^২ : ৪πx^২
= ৯ : ৪

∴ বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে = ৯ : ৪ ।

১,১৮৪.

একটি আয়তকার বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সে.মি, 6 সে.মি. এবং 4 সে.মি এবং ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সে.মি.। বাক্সটির কাঠের পুরত্ব কত?

ক
1 সে.মি.
খ
1/2 সে.মি.
গ
2 সে.মি.
ঘ
3/2 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সে.মি, 6 সে.মি. এবং 4 সে.মি এবং ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সে.মি.। বাক্সটির কাঠের পুরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
কাঠের পুরত্ব = x সে.মি.
∴ বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, a = (8 - 2x) সে.মি.
বাক্সের ভিতরের প্রস্থ, b = (6 - 2x) সে.মি.
বাক্সের ভিতরের উচ্চতা, c = (4 - 2x) সে.মি.

∴ বাক্সের ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2{(8 - 2x) (6 - 2x) + (6 - 2x)(4 - 2x) + (4 - 2x)(8 - 2x)}
= 2(48 - 28x + 4x² +24 - 20x + 4x² + 32 - 24x + 4x²)
= 2 (12x² - 72x + 104)

প্রশ্নানুসারে,
বা, 2(12x² - 72x + 104) = 88
বা, 12x² - 72x + 104 = 44
বা, 12x² - 72x + 60 = 0
বা, x² - 6x + 5 = 0
বা, (x - 5)(x - 1) = 0
∴ x = 5 বা, x = 1 যেহেতু বাইরের উচ্চতা 4 সে.মি. তাই ভিতরের উচ্চতা 5 হতে পারে না।
অতএব বাক্সের পুরুত্ব = 1 সে.মি.

১,১৮৫.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 16 সে.মি. এবং 18 সে.মি. রম্বসটির ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত সে.মি.?

ক
ক) 18 সে.মি.
খ
খ) 24 সে.মি.
গ
গ) 36 সে.মি.
ঘ
ঘ) 48 সে.মি.

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 16 সে.মি. এবং 18 সে.মি.

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)×16×18
= 144 বর্গ সে.মি.।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
a² = 144
a² = 12²
∴ a = 12

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = 4a
= 4×12
= 48 সে.মি.

১,১৮৬.

PQ || SR, PQ = PR এবং∠PRQ = 55° হলে, ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?

ক
55°
খ
110°
গ
75°
ঘ
125°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
PQ || SR, PQ = PR এবং∠PRQ = 55° হলে, ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 55°

১,১৮৭.

নিচে প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়?

ক
৭, ৬, ১১ সে.মি
খ
২০, ৮, ১৩ সে.মি
গ
১৪, ১২, ২৮ সে.মি
ঘ
৩, ৮, ৮ সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচে প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
৮ + ১৩ = ২১ > ২০
৩ + ৮ = ১১ > ৮

কিন্তু, ১৪ + ১২ = ২৬ < ২৮
∴ ১৪, ১২, ২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

১,১৮৮.

যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং পরিসীমা ২৪ মি. হয়, তবে এর প্রস্থ কত?

ক
ক) ৩ মি.
খ
খ) ২ মি.
গ
গ) ৬ মি.
ঘ
ঘ) ৪ মি.

ব্যাখ্যা

ধরি, প্রস্থ = ক মিটার।
প্রশ্নমতে, ২X৮+২Xক = ২৪
বা, ২ক = ২৪-১৬
বা,ক = ৪

১,১৮৯.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. হলে রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
15 সে.মি.
খ
12 সে.মি.
গ
10 সে.মি.
ঘ
6 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. হলে রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3

ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a
প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 3a² = 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a² = 25
⇒ a = 5

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য= (2 × 5) = 10 সে.মি. এবং (3 × 5) = 15 সে.মি.

অর্থাৎ রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি.

১,১৯০.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

ক
ক) ৩০°
খ
খ) ৪৫°
গ
গ) ৬০°
ঘ
ঘ) ৭৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০
কোণগুলি হল ৬ক, ৮ক, ১০ক

প্রশ্নমতে,
৬ক + ৮ক + ১০ক = ১৮০
⇒ ২৪ক = ১৮০
∴ ক = ৭.৫

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৬ক
= ৬ × ৭.৫
= ৪৫°

১,১৯১.

(0, 0) এবং (7, 21) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

ক
- 2
খ
0
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (7, 21) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (0, 0)
এবং (x₂, y₂) = (7, 21)

আমরা জানি,
সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (21 - 0)/(7 - 0)
= 21/7
= 3
সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 3।

১,১৯২.

সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

ক
12π
খ
18π
গ
24π
ঘ
28π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 π × 2 × 6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।

১,১৯৩.

tan(3A) = √3 হলে, A = কত?

ক
20°
খ
60°
গ
30°
ঘ
45°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan(3A) = √3 হলে, A = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan3A = √3
বা, tan3A = tan60°
বা, 3A = 60°
∴ A = 20°

১,১৯৪.

একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তার খরচ ১৫০ টাকা হয়, তবে পুকুরটির চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

ক
২৩৪০০ টাকা
খ
৪৩৬০০ টাকা
গ
৩৬২০০ টাকা
ঘ
৪১৬০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তার খরচ ১৫০ টাকা হয়, তবে পুকুরটির চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ১৫ মিটার

∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২০ × ১৫
= ৩০০ বর্গমিটার

রাস্তাসহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ২০ + ২ + ২ = ২৪ মিটার
রাস্তাসহ পুকুরের প্রস্থ = ১৫ + ২ + ২ = ১৯ মিটার

∴ রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ২৪ × ১৯
= ৪৫৬ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল) - (পুকুরের ক্ষেত্রফল)
= ৪৫৬ - ৩০০
= ১৫৬ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ১৫৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫৬ × ১৫০ টাকা
= ২৩৪০০ টাকা

∴ রাস্তা প্রস্তুত করতে ২৩৪০০ টাকা খরচ হয়।

১,১৯৫.

সামান্তরিকের বিপরীত কোণের অন্তর্দ্বিখণ্ডকদ্বয়-

ক
পরস্পর সমান
খ
পরস্পরের উপর লম্ব
গ
পরস্পর সমান্তরাল
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের বিপরীত কোণের অন্তর্দ্বিখণ্ডকদ্বয়-

সমাধান:
ABCD সামান্তরিকের ∠A এর বিপরীত ∠C
এবং ∠B এর বিপরীত ∠D
∠A ও ∠C এর অন্তর্দ্বিখণ্ডকদ্বয় যথাক্রমে AE ও CF পরস্পর সমান্তরাল ।

১,১৯৬.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 20 ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
30°
খ
35°
গ
48°
ঘ
39°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 20 ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
তাহলে বৃহত্তম কোণ = (x + 20)°

প্রশ্নমতে,
x° + (x + 20)° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 20° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 110 = 180°
⇒ 2x° = 70°
⇒ x° = 35°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 35°

১,১৯৭.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ৮৪০ বর্গমিটার এবং ভূমি ৩০ মিটার হলে, উচ্চতা কত?

ক
৪৮ মিটার
খ
৫২ মিটার
গ
৫৬ মিটার
ঘ
৬২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ৮৪০ বর্গমিটার এবং ভূমি ৩০ মিটার হলে, উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ৮৪০ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ৩০ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ৮৪০ = (১/২) × ৩০ × উচ্চতা
⇒ ১৫ × উচ্চতা = ৮৪০
⇒ উচ্চতা = ৮৪০/১৫
∴ উচ্চতা = ৫৬ মিটার

১,১৯৮.

ABCD রম্বসের AB এবং CD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে যেখানে AC = 6 সে.মি, BD = 8 সে.মি তবে, AB = ?

ক
ক) 6 সে.মি
খ
খ) 5 সে.মি
গ
গ) 4 সে.মি
ঘ
ঘ) 3 সে.মি

ব্যাখ্যা

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
∴ < AOB = 90°

আবার,
OA = 1/2 AC
= 1/2 × 6 = 3cm,
OB = 1/2 BD
= 1/2 × 8 = 4

∴ AB = √(OA² + OB²)
= √(3² + 4²)
= √25
= 5cm

১,১৯৯.

cos90° =?

ক
0
খ
1
গ
1/2
ঘ
অসজ্ঞায়িত

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos90° =?

সমাধান:

∴ cos90° = 0

১,২০০.

বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 20 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

ক
20 গুণ
খ
1/4 গুণ
গ
5 গুণ
ঘ
10 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 20 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ব্যাসার্ধ r = 20 সে.মি,
উচ্চতা h হলে,
আমরা জানি,
বেলনের আয়তন, V = πr²h

এবং
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল, A = 2πrh

∴ আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 20/2
= 10

∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 10 গুণ।