জ্যামিতি

4x + 3y - 12 = 0
বা, 4x + 3y = 12
বা, 4x/12 + 3y/12 = 1
বা, x/3 + y/4 = 1
∴ রেখাটি y-অক্ষকে (0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 72
⇒ a² = 72/6
⇒ a² = 12
⇒ a = √12 = 2√3 
∴ a = 2√3 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= (2√3) × √3  ; [a = 2√3]
= 2√(3 × 3)
= 6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 মিটার।

আমরা জানি, গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে আয়তন = 4/3 πr³
= 4/3 π(2r)³
= 4/3 π 8 r³
= 8 × 4/3 πr³
= 8 × গোলকের আয়তন।

ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ক্ষেত্রফল ১ বর্গএকক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল ১ x ৯ বা ৯ বর্গএকক
প্রাথমিক ও পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r ও R হলে
১/৯ = πr²/ πR²
r/R = ১/৩
r:R = ১:৩
ব্যাসার্ধ ৩ গুণ বাড়বে।

প্রশ্ন: 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = 13 সে.মি.

∴ জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ)² - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)²}
= √{(13)² - (5)²} 
= √(169 - 25)
= √144
= 12

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = 2 x 12 = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি কোণ ৭০° হলে, ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান কত হবে?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল সবসময় ১৮০°।
সমান দুটি কোণ ৭০° হলে,

তৃতীয় কোণ 'ক' হবে
৭০° + ৭০° + ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০° - ১৪০°
ক = ৪০°

∴ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান ৪০° 

ধরি, অপর বাহুটি = x
∴ ১ম বাহু = x এর 5/6 = 5x/6
প্রশ্নমতে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 30² = x² + (5x/6)²
বা, 900 = x² + (25x²/36)
বা, 900 = 61x²/36
∴ x = 23.046 মি.
বা, অপর বাহুটি = x = 23.046 মি.
∴ ১ম বাহু = x এর 5/6 = 5x/6 = (5/6)× 23.046 মি. = 19.20 মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ষড়ভুজের বাহু সংখ্যা, n = ৬ টি 
​
∴ ​প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = {(২n - ৪)/n} × ৯০° 
​= {(২ × ৬ - ৪)/৬} × ৯০°
​= {(১২ - ৪)/৬} × ৯০° 
​= (৮/৬) × ৯০° 
​= ১২০° 

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ক × ৩ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২

∴ উচ্চতা = (৩ × ১২) = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
πr²/2πr = ১৩৮৬/১৩২
বা, r/2 = ১৩৮৬/১৩২
বা, r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২
∴ r = ২১

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= ২ × ২১ = ৪২ সে.মি.

ধরি, ২য় কোণ ক
∴ ১ম কোণ ৩ক
এবং ৩য় কোণ ক + ৩০°
শর্তমতে, ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
বা, ৫ক = ১৫০°
বা, ক = ৩০°
∴ ১ম কোণ ৩ ×৩০° = ৯০°

প্রশ্ন: একটি কোণ ও তার পূরক কোণের অনুপাত 2 : 3 হলে, মূল কোণটি কত?

সমাধান:
মনে করি, 
মূল কোণ = 2x
পূরক কোণ = 3x

আমরা জানি,
একটি কোণ ও তার পূরক কোণের যোগফল = 90°
⇒ 2x + 3x = 90° 
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 90°/5
∴ x = 18°

∴ মূল কোণ = 2x = 2 × 18° = 36°

sin²θ+cos²θ=1
Squaring both sides
sin⁴θ+cos⁴θ=1−2sin²θ.cos²θ
Putθ=90∘
sin⁴θ+cos⁴θ = 1−2sin²90∘×cos²90∘ = 1−0 = 1

বৃত্তের ব্যাস = বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 cm
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 1
∴ ক্ষেত্রফল = π.1² = π
বর্গের ক্ষেত্রফল = 2² = 4
∴ অনধিকৃত এলাকার ক্ষেত্রফল = 4 - π বর্গ সে.মি.

সূত্রঃ ।(11M - 60H)/2| = |(11×30 - 60×4)/2| = |(330-240)/2| = 90/2 = 45°