জ্যামিতি

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ r = 90/{2(π - 1)}
⇒ r = 45/{(22/7) - 1}
⇒ r = 45/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 45/(15/7)
⇒ r = (45 × 7)/15
⇒ r = 21

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি.

প্রশ্ন: a₁x + b₁y + c₁ = 0 এবং a₂x + b₂y + c₂ = 0 সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত কী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a₁x + b₁y + c₁ = 0 ................... (১)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 ................... (২) 

(১) নং সরলরেখার ঢাল = - (a₁/b₁)
(২) নং সরলরেখার ঢাল = - (a₂/b₂) 

দুইটি সরলরেখা লম্ব হওয়ার শর্ত,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = - 1 
⇒ {- (a₁/b₁)} × {- (a₂/b₂)} = - 1
⇒ (a₁a₂)/(b₁b₂) = - 1
⇒ a₁a₂ = - b₁b₂
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ = 0

প্রশ্ন: একটি পেন্টাগনের কোনগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজ বা পেন্টাগনের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

∴ কোনগুলোর অনুপাতের সমষ্টি = (9 + 10 + 12 + 14 + 15) = 60 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (9/60) × 540° = 81° 
বৃহত্তম কোণ = (15/60) × 540° = 135° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি = 81° + 135° = 216°

প্রশ্ন: দুটি রেখা 3x - 2y + 4 = 0 ও 6x - 4y + k = 0 সমান্তরাল হলে k এর মান কী হতে পারে?

সমাধান:
প্রদত্ত দুটি রেখা হলো;
(1) 3x - 2y + 4 = 0
(2) 6x - 4y + k = 0

দুটি রেখা সমান্তরাল হবে তখনই, যখন তাদের ঢাল (slope) সমান হয়।
রেখা Ax + By + C = 0 এর ঢাল হলো m = - A/B

এখন দুই রেখার ঢাল বের করি
প্রথম রেখার জন্য,
m₁ = (- 3)/(- 2) = 3/2
​দ্বিতীয় রেখার জন্য,
m₂ = (- 6)/(- 4) = 3/2

অতএব, m₁ = m₂
অর্থাৎ দুই রেখার ঢাল সমান, তাই তারা সমান্তরাল হবে।
এখন k এর মানের ওপর ঢাল নির্ভর করে না, কারণ k কেবলমাত্র ধ্রুবক, যা রেখার অবস্থান পরিবর্তন করে কিন্তু ঢাল পরিবর্তন করে না।

∴ যেকোনো মান হতে পারে।
∴ সঠিক উত্তর : (ঘ)

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = (1/4) πd²
এই সূত্র থেকে দেখা যায় যে ৪ গুণ ব্যাস বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ধরি, ভূমি b = ১৬ মিটার এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিটার।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a² - b²)
= (১৬/৪)√(৪×১০² - ১৬²)
= ৪ × ১২
= ৪৮ বর্গমিটার

সমকোণী ‍ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
১৩² = ১২² + ৫²
১৬৯ = ১৬৯
ইহা একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: ২০ সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ২০ সে. মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= (২২/৭) × (২০)^২
= (২২/৭) × ৪০০
= ১২৫৭.১৪৩ বর্গ সে. মি.

তাহলে,  অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = ১২৫৭.১৪৩/২ = ৬২৮.৫৭ বর্গ সে. মি.

এখানে,
AB = 16
∴ AD = (1/2) AB = 8 cm
CD = 6 c.m,
ব্যসার্ধ AC = ?
∴ AC² = AD² + CD²
= 8² + 6²
= 64 + 36
= 100
AC² = 100
∴ AC = 10
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(10)²
= 100π

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ৫, ৬, ৮
বৃহত্তম বাহু = ৮^২ = ৬৪
অন্য দুই বাহু: ৫^২ + ৬^২ = ২৫ + ৩৬ = ৬১
যেহেতু ৬৪ ≠ ৬১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (খ): ৯, ১২, ১৫
বৃহত্তম বাহু = ১৫^২ = ২২৫
অন্য দুই বাহু: ৯^২ + ১২^২ = ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
যেহেতু ২২৫ = ২২৫, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

অপশন (গ): ১০, ১১, ১৩
বৃহত্তম বাহু = ১৩^২ = ১৬৯
অন্য দুই বাহু: ১০^২ + ১১^২ = ১০০ + ১২১ = ২২১
যেহেতু ১৬৯ ≠ ২২১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (ঘ): ৭, ৯, ১১
বৃহত্তম বাহু = ১১^২ = ১২১
অন্য দুই বাহু: ৭^২ + ৯^২ = ৪৯ + ৮১ = ১৩০
যেহেতু ১২১ ≠ ১৩০, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

∴ সঠিক উত্তর: (খ) ৯, ১২, ১৫

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 21416 সে.মি হলে বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান: 
মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে, 
2πr - 2r = 21416
বা, 2r (π - 1) = 21416
বা, 2r = 21416/(π - 1)
বা, 2r = 21416/(3.1416 - 1)
বা, 2r = 21416/2.1416
∴ 2r = 10000

বৃত্তের ব্যাস = 10000 সে.মি

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x, 3x, 4x, 4x হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 360°

শর্তমতে,
x + 3x + 4x + 4x = 360°
⇒ 12x = 360°
⇒ x = 360°/12
∴ x = 30°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 4 × 30°
= 120°

প্রশ্নমতে,
πr² = ২৫.79
বা, r = ২.৮৬৫ মি.
∴ পরিধি = ২πr = ২π×২.৮৬৫ = ১৮.০০১ মি. বা ১৮ মি. প্রায়

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে 5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে মাঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি
বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার

∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (একবাহু)^২ বর্গ একক
= (x)^২ বর্গ মিটার

∴ রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (x + ৫ + ৫) মিটার
= (x + ১০) মিটার

রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x + ১০)^২ বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
(x + ১০)^২ - (x)^২ = ৫০০
⇒ x^২ + ২০x + ১০০ -  x^২ = ৫০০
⇒ ২০x + ১০০  = ৫০০
⇒ ২০x  = ৪০০
⇒  x  = ৪০০/২০ 
∴ x  = ২০

∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (২০)^২ বর্গ মিটার
= ৪০০ বর্গ মিটার

সমান সমান বাহুঃভূমি = 5:6
সুতরাং 5x + 5x + 6x = 16
Or, 16x = 16
Or, x = 1
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 6/4 × √{4(5)² - 6²}
= 6/4 × √(100 - 36)
= 6/4 × 8
= 12 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে তার মধ্যমার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)ক^২ বর্গএকক

- সমবাহু ত্রিভুজের সকল বাহু সমান।
- একটি মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ভাগ করে।

মধ্যমার দৈর্ঘ্য= √{ক^২ - (ক/২)^২}
= √{ক^২ - (ক^২/৪)}
= √(৩ক^২/৪)
= (√৩/২)ক

বিকল্প:
ধরি
মধ্যমার দৈর্ঘ্য বা  উচ্চতা = খ

আমরা জানি
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
বা, (১/২) × ক × খ = (√৩/৪)ক^২
বা, খ/২ = (√৩/৪)ক
∴ খ = √৩/২)ক

মধ্যমার দৈর্ঘ্য = (√৩/২)ক

(x-4)² + (y+3)² = 100
(x-(4))² + (y- (-3))² = 10²
কেন্দ্র (4, -3) {বৃত্তের সমীকরন (x-a)² + (y-b)² = C²}

প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৭ সে.মি, ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
রম্বসের প্রতিটি বাহু = ১৭ সে.মি.
একটি কর্ণ = ৩০ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ একে অপরকে সমকোণে দ্বিখণ্ডিত করে এবং প্রতিটি বাহু হলো ত্রিভুজের অতিভুজ।
∴ একটি কর্ণকে দ্বিখণ্ডিত করে দুটি অংশ = ৩০/২ = ১৫ সে.মি.

ধরি, অপর কর্ণের দ্বিখণ্ডিত অংশ = ক সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
বাহু^২ = (কর্ণের অর্ধেক)^২ + (অপর কর্ণের অর্ধেক)^২ 
⇒ ১৭^২ = ১৫^২ + ক^২ 
⇒ ২৮৯ = ২২৫ + ক^২ 
⇒ ক^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২ 
∴ ক = ৮ সে.মি.

∴ অপর কর্ণের পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ২ × ক = ২ × ৮ = ১৬ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের চারপাশে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তার চওড়া = ৪ মিটার (চারপাশে)
রাস্তা সহ দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৪ + ৪ = ৬৮ মিটার
এবং প্রস্থ = ৪০ + ৪ + ৪ = ৪৮ মিটার
∴ বাইরের অংশের ক্ষেত্রফল = ৬৮ × ৪৮ = ৩২৬৪ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৩২৬৪ - ২৪০০) বর্গমিটার
= ৮৬৪ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল ৮৬৪ বর্গমিটার।

ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি
= (180 - 60)° + (180 - 60)° + (180 - 60)°
= 360°।

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে 20 মিটার দূরে ভূমির কোন বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনে করি, গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার।
গাছের পাদদেশ থেকে বিন্দুর দূরত্ব BC = 20 মিটার।
উন্নতি কোণ, ∠ACB = 60°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রে,
tan ∠ACB = AB/BC
⇒ tan 60° = h/20
⇒ √3 = h/20
∴ h = 20√3 মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা 20√3 মিটার।

চিত্র থেকে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে বৃত্তের ব্যাসার্ধ -
OB = √(12²+5²)
= √(144+25)
= √169
= 13

প্রশ্ন: নিচের কোনটি স্থূলকোণ? 

সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- ৯০° < কোণ < ১৮০° হলে সেটি স্থূলকোণ।

∴ ১২৫° কোণ স্থূলকোণ।

প্রশ্ন: কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10√2 মি.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
ঘনকের এক ধার = a 

আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 

প্রশ্নমতে, 
 a√2 = 10√2  
 ∴ a = 10

আমরা জানি, 
ঘনকের আয়তন = a³
= (10)³
= 1000 ঘন মি.মি.।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 10 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 3 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস = 10 মিটার
অতএব, মাঠটির ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 মিটার

রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = মাঠের ব্যাসার্ধ + রাস্তার প্রস্থ
= (5 + 3) মিটার
= 8 মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²

∴ রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π × (8)² বর্গমিটার
= 64π বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার।

প্রশ্ন: 3tan²30° + (1/4)sec60° + 7cot²45° - (2/3)sin²60° এর মান কত?

সমাধান:
3tan²30° + (1/4)sec60° + 7cot²45° - (2/3)sin²60°
= 3(tan30°)² + (1/4)sec(60°) + 7(cot45°)² - (2/3)(sin60°)² 
= 3 × (1/√3)² + (1/4) × 2 + 7 × (1)² - (2/3) × (√3/2)² 
= (3 × 1/3) + (1/2) + 7 - (2/3) × (3/4)
= 1 + 1/2 + 7 - 1/2
= 8

প্রশ্ন: দুটি টায়ারের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1 : 2। ছোট টায়ারের (বৃত্তাকার) ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গ সে. মি. হলে বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?

সমাধান:
টায়ারের ক্ষেত্রফল বলতে এখানে বৃত্তাকার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বোঝানো হয়েছে,

আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ধরি, ছোট টায়ারের ব্যাসার্ধ = r সে. মি.
বড় টায়ারের ব্যাসার্ধ = 2r সে. মি. (অনুপাত 1 : 2)।

∴ ছোট টায়ারের ক্ষেত্রফল, πr² = 200 বর্গ সে. মি.

∴ বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল = πr² = π(2r)² = 4πr² = 4 × 200 = 800 বর্গ সে. মি.

সুতরাং, বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল 800 বর্গ সে. মি.।

প্রশ্ন: একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরল রেখার দৈর্ঘ্য x একক
সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ x² বর্গএকক

সরল রেখার অর্ধেক = x/2 একক
সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গ (x/2)² বর্গএকক
= x²/4 বর্গএকক

এখন,
x²/(x²/4)
= (x² × 4)/x²
= 4

অর্থ্যাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের 4 গুণ।

দেওয়া আছে,
sinθ = √3/2
বা, sinθ = sin60º
বা, sinθ = sin(2×360º + 60º)
∴ θ = 780º

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট এবং প্রস্থ ১২ ফুট। মেঝেটি ঢাকতে ৬ ফুট দীর্ঘ এবং ৩ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ৬ ফুট এবং প্রস্থ ৩ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৬ × ৩) বর্গফুট
= ১৮ বর্গফুট

ঘরের দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট এবং প্রস্থ ১২ ফুট
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ১২) বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট

∴ প্রয়োজনীয় কার্পেট সংখ্যা = ১৮০/১৮ টি 
= ১০টি

প্রশ্ন: ব্যাস 14 সে.মি. হলে, গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
গোলকের ব্যাস 14 সে.মি.
গোলকের ব্যাসার্ধ r = 7 সে.মি.

আমরা জানি,
গোলকের পৃষ্ঠের  ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক
= 4π × 7² বর্গ সে.মি.
= 196π বর্গ সে.মি.

y = - x সমীকরণ x, y এর ঘাত (power) এক যা একাধিক সরলরেখা।