জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²} 

দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার 
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার 

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

লম্ব = a হলে,
ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ৪ × a 
বা, ৬ = ২a
∴ a = ৩ মিঃ 
∴ অতিভূজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(৪² + ৩²)
= ৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ভূমি + লম্ব + অতিঃ
= ৪ + ৩ + ৫
= ১২ মিঃ

EC² = OC² - OE²
⇒ EC = √(6² - 3²)
⇒ EC = √27
∴ BC = 2√27 মিটার

প্রশ্ন: sin θ = 4/5 হলে tan θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin θ = 4/5
⇒ sin θ = লম্ব / অতিভুজ

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি² 
⇒ ভূমি² = অতিভুজ² - লম্ব²
⇒ ভূমি² = 5² - 4²
⇒ ভূমি² = 25 - 16
⇒ ভূমি² = 9
⇒ ভূমি = 3

তাহলে,
∴ tan θ = লম্ব/ভূমি = 4/3

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক,
ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক।
ব্যাসার্ধ 20% কমে = r - r এর  20% = 0.8r একক
তাহলে ক্ষেত্রফল = π (0.8r)² = 0.64πr² বর্গ একক
ক্ষেত্রফল কমবে = πr²–0.64πr² = 0.36πr² বর্গ একক
ক্ষেত্রফল কমার হার = 0.36 x 100 = 36%

শর্টকাট পদ্ধতি:
[- 20 - 20 + (20X20)/100]% = - 36%
সুতরাং বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬% হ্রাস পাবে।

প্রশ্ন: 24 মিটার লম্বা একটি মই ভূমির সাথে 30° কোণ করে দেয়ালের শীর্ষ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেয়ালটির উচ্চতা AB = ?
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 24 মিটার
Sin∠ACB = AB/AC
Sin 30° = AB/24
1/2 = AB/24
2AB = 24
AB = 24/2 = 12

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১,৬০০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মোট ব্যয় = ১,৬০০ টাকা
প্রতি বর্গমিটার কার্পেটিং খরচ = ১২.৫০ টাকা
সুতরাং, ঘরটির ক্ষেত্রফল = মোট ব্যয় ÷ প্রতি বর্গমিটার খরচ
= ১,৬০০ ÷ ১২.৫০
= ১২৮ বর্গমিটার।

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
বা, ২ক^২ = ১২৮
বা, ক^২ = ১২৮/২
বা, ক^২ = ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

সুতরাং, প্রস্থ = ৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার।

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

এখানে, বাড়ির উচ্চতা (লম্ব) = 40 ফুট ও দেওয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব (ভূমি) = 9 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ?
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 402 + 92
অতিভুজ² = 1681
অতিভুজ = 41
অর্থ্যাৎ, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 41 ফুট।
এছাড়াও, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বাহুগুলোর অনুপাত = 3:4:5, 6:8:10, 5:12:13, 7:24:25, 9:40:41 এরকম হয়। অনুপাত ব্যবহারের মাধ্যমে শর্ট টেকনিকেও সহজে উত্তর করা যায়।

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4 সে.মি.
এবং
বাহুর সংখ্যা, n = 6 

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = (na²/4)cot(180°/n) 
= {(6 × 4²)/4}Cot(180°/6) বর্গ সে.মি. 
= {(6 × 16)/4}Cot30° বর্গ সে.মি.
= (6 × 4)Cot30° বর্গ সে.মি.
= 24Cot30° বর্গ সে.মি.
= 24√3 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = 24√3 বর্গ সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল 100π বর্গমিটার এবং আয়তন 900π ঘনমিটার হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত? 

সমাধান:
​ধরি,
​সিলিন্ডারের উচ্চতা = h মিটার 
​
দেওয়া আছে,
​সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল = 100π বর্গমিটার
⇒  πr² = 100π
⇒ ​r² = 100
​
​আবার,
​​আয়তন = 900π ঘনমিটার
⇒ ​πr²h = 900π
⇒ ​​r²h = 900
⇒ ​​h = 900/r² 
⇒ ​​h = 900/100
⇒ ​​h = 9 

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, 
অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180° 
∴ সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

∴ অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2 (4 × 180)°
= 8 × 180° 
= 8 × 2 সমকোণ 
= 16 সমকোণ ।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা-কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি। 

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 8 × 9
= 36 বর্গ সে.মি.
শর্তমতে, a² = 36 (যেহেতু রম্বসের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল)
বা, a = 6 সে.মি.
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
= 4 × 6
= 24 সে.মি.

বৃত্তদ্বয় বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে আছে
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টি
∴ ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13 - ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ
                              = 13 - 8
                              = 5 cm

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে (r + n) করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত? 

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr²
এবং ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)²

প্রশ্নমতে, 
2 × πr² = π (r + n)²
বা, 2r² = (r + n)²
বা, √2 r = r + n 
বা, √2 r - r = n 
বা, r (√2 - 1) = n 
∴ r = n/(√2 - 1)

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি বাহু সমান=a
∴12²=a²+a²
or,144 = 2a²
a=2√18
∴ক্ষেত্রফল = (12/4)√{4(2√18)²-(12)²} = 36 বর্গ সে.মি

প্রশ্ন: AB ও CD সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক হলে, ∠AOE = কত ডিগ্রি?


সমাধান:
এখানে, ∠AOP এবং ∠AOE পরস্পর সরলরৈখিক যুগল কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, এদের সমষ্টি ১ সরল কোণ হবে।

আমরা জানি,
১ সরল কোণ = 180°
⇒ ∠AOP + ∠AOE = 180°
⇒ ∠AOE = 180° - ∠AOP
= 180° - 127°
= 53°

Sin30° = OR/OQ
1/2 = 12/OQ
OQ = 24
OQ = OS = 24 এবং ∠PQS = 90 ডিগ্রী হওয়ায়, ∠OQS = ∠OSQ = 60 ডিগ্রী
QOS ত্রিভুজটি সমবাহু।
সুতরাং, পরিসীমা = 24 × 3 = 72 সেমি।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ ফুট এবং লম্ব ৬ ফুট হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ ফুট
এবং লম্ব ৬ ফুট

আমরা জানি,
লম্ব^২+ ভূমি^২ = অতিভুজ^২
বা, ৬^২+ভূমি^২= ১০^২
বা, ৩৬ + ভূমি^২ = ১০০
বা, ভূমি^২ = ১০০ - ৩৬
বা, ভূমি = √৬৪
∴ ভূমি = ৮

তাহলে, ভূমির দৈর্ঘ্য ৮ ফুট

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 65° হলে, বিপরীত কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 65° হলে,
অপর কোণ = (180 - 65)°
= 115°

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) × a^২ = ২৫√৩
⇒ a^২/৪ = ২৫ [উভয় পক্ষকে √৩ দ্বারা ভাগ করে]
⇒ a^২ = ২৫ × ৪
⇒ a^২ = ১০০
⇒ a = √১০০
∴ a = ১০

∴ ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০ মিটার।

প্রশ্ন: sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান: 
sin2θ = √3/2
বা, sin2θ = sin60°
বা, 2θ = 60°
বা, θ = 60°/2
∴ θ = 30°

প্রশ্ন: যদি cosθ = 1/2 হয়, তাহলে cotθ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosθ = 1/2 
বা, cosθ = cos60° 
∴ θ =60° 

এখন, 
cotθ 
= cot60° 
= 1/√3  ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ২০ হলে পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধির সূত্র:
C = π × d

যেখানে d হলো ব্যাস।
এখানে d = 20
C = π × 20 = 20π

∴ বৃত্তের পরিধি হবে ২০π একক।

প্রশ্ন: একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.। ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.। বড় বাক্সে সর্বোচ্চ কতগুলো ছোট বাক্স রাখা যাবে?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.
ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.

∴ বড় বাক্সের আয়তন = ৪০ × ৩০ × ২০ = ২৪০০০ ঘন সে.মি.

ছোট বাক্সের আয়তন = ৮ × ৬ × ৫ = ২৪০ ঘন সে.মি.

∴ বড় বাক্সে সর্বোচ্চ ছোট বাক্স রাখা যাবে = ২৪০০০/২৪০
= ১০০ টি

সুতরাং, বড় বাক্সে সর্বোচ্চ ১০০টি ছোট বাক্স রাখা যাবে।

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠ACD = 120°
∴ ∠ECD = 60°

প্রশ্ন: 16 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 16 সে.মি. এবং
ভূমির ব্যাস, d = 7 সে.মি.
∴ সিলিন্ডারটির ভূমির ব্যাসার্ধ, r = d/2 সে.মি.
= 7/2 সে.মি.

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7/2)² × 16 ঘন সে.মি.
= (22/7) × (49/4) × 16 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 4 ঘন সে.মি.
= 616 ঘন সে.মি. 

∴ সিলিন্ডারটির আয়তন = 616 ঘন সে.মি.।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ কত ডিগ্রী? 

সমাধান: 
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°। 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৫/৪ অংশ। দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৫/৪ অংশ। 

প্রশ্নমতে,
১৫ মিটার = বিস্তার × (৫/৪)
⇒ বিস্তার = (১৫ × ৪)/৫ 
⇒ বিস্তার = ১২ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + বিস্তার) 
= ২(১৫ + ১২) মিটার 
= ২ × ২৭ মিটার 
= ৫৪ মিটার 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে এর পরিধি কত?

সমাধান : 
বৃত্তের ব্যাস = 26 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ  r = 26/2 = 13সে.মি. 
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি.
= 2 × π × 13
= 26π সে.মি
= 26 × 3.1416 সে.মি.
= 81.68 সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত? 

সমাধান:
রেখার ঢাল m বের করতে রেখাকে y = mx + c আকারে আনতে হবে।

প্রদত্ত সমীকরণ:
3x - 4y = 12
⇒ - 4y = -3x + 12 [উভয় পাশে ৪ দিয়ে ভাগ করে:]
⇒ y = 3/4x - 3

এখান থেকে ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4 

ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাপ = ১৮০ - (৫৫ + ৩৫) = ৯০°।
অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী।

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মি.
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২x মি.
পরিসীমা = ২( ২x + x) মি.

 সুতরাং,
২( ২x + x) = ৬০
বা, ২( ৩x) = ৬০
বা, ৬x = ৬০
বা, x = ১০
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১০ মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০ মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২০ × ১০ বর্গমিটার
= ২০০ বর্গমিটার