গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: p + q + r = 8  এবং pq + qr + rp = 19 হলে p² + q² + r² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q + r = 8
pq + qr + rp = 19

আমরা জানি,
(p + q + r)² = (p² + q² + r²) + 2(pq + qr + rp)

∴ p² + q² + r² = (p + q + r)² - 2(pq + qr + rp)
= 8² - 2 × 19
= 64 - 38
= 26

ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
২ক + ৩৫ = ৬১
বা, ২ক = ৬১ - ৩৫
বা, ২ক = ২৬
বা, ক = ১৩

Let the numbers be a and b, where a > b
According to the question,
a+b = 37 and a²−b² = 185
⇒ (a+b)(a−b) = 185
⇒ 37(a−b) = 185
⇒ a−b = 185/37
⇒ a−b = 5

প্রশ্ন: 20, 23, 26, 29,............ধারাটির ৩১ তম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটি 20, 23, 26, 29,...........
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 20
সাধারণ অন্তর, d = (দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ)
= (23 - 20)
= 3
এবং পদসংখ্যা, n = 31

∴ ধারাটির ৩১ তম পদ = a + (n - 1) d
= 20 + (31 - 1) × 3
= 20 + (30 × 3)
= 20 + 90
= 110

প্রশ্ন: 18 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে,
18 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁸C₃
= 18!/{3! × (18 - 3)!}
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 × 15!)/(3 × 2 × 1 × 15!)
= (18 × 17 × 16)/(3 × 2 × 1)
= (18 × 17 × 16)/6
= 4896/6
= 816

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ১৪ সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাস, ২r = ১৪ সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (১৪/২) সেন্টিমিটার
= 7 সেন্টিমিটার

আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = ২πr 

∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = ২πr সেন্টিমিটার 
= ২ × (২২/৭) × ৭ সেন্টিমিটার 
= ৪৪ সেন্টিমিটার। 

প্রশ্ন: 5^a + 6·5^a + 18·5^a = 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
5^a + 6 · 5^a + 18 · 5^a = 1
⇒ 25 · 5^a = 1
⇒ 5² · 5^a = 5⁰ [a⁰ = 1 অনুসারে 1 = 5⁰]
⇒ 5^{2 + a} = 5⁰
⇒ 2 + a = 0
∴ a = - 2

৩টি সংখ্যার গড় ৩৩ হলে এদের সমষ্টি = ৩ × ৩৩ = ৯৯
দুইটি সংখ্যা ২৪ এবং ৪২ হলে অপর সংখ্যাটি হবে = ৯৯ - (২৪ + ৪২) = ৩৩

প্রশ্ন: log 2 = 0.3010 এবং log 3 = 0.4771 হলে, log 6 এর মান কত? 

সমাধান: 
log 6 = log(2 × 3)
= log 2 + log 3
= 0.3010 + 0.4771
= 0.7781

প্রশ্ন: ০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৪ = ?

সমাধান: 
০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৪ = ০.০০০০৬৪

যে সংখ্যাগুলো গুণ করতে হবে সেসব সংখায় দশমিকের পর মোট যত ঘর আছে গুনফলেও দশমিকের পর ঠিক তত ঘর থাকবে।

প্রশ্ন: একজন চাকরিজীবী তার বেতনের ১/৪ অংশ বাড়িভাড়া, ১/৬ অংশ যাতায়াত, এবং ১/৩ অংশ খাদ্যে ব্যয় করেন। তাহলে তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
ধরি, মোট বেতন = ১ অংশ

মোট ব্যয় = ১/৪ + ১/৬ + ১/৩
= ৩/১২ + ২/১২ + ৪/১২
= ৯/১২
= ৩/৪

অবশিষ্ট = ১ - (৩/৪) = ১/৪

শতকরা অবশিষ্ট = (১/৪)/১ × ১০০ = ২৫%

১০% ক্ষতিতে ৯০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭২০০ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ × ৭২০০ / ৯০ = ৮০০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ১২% লাভে বিক্রয়মূল্য ১১২ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮০০০×১১২ / ১০০ = ৮৯৬০ টাকা

প্রশ্ন: - 5 < y < 9 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ কী হবে?

সমাধান:
উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 5 + 9)/2 = 4/2 = 2

এখানে,
- 5 < y < 9
⇒ - 5 - 2 < y - 2 < 9 - 2
⇒ - 7 < y - 2 < 7
⇒ |y - 2| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ |y - 2| < 7

১ম সমীকরণ, 3x - 7y = -10
২য় সমীকরণ, -14x + 7y = 21 [7y মিলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে 7 দিয়ে গুণ করা হয়েছে]

সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
∴ x = -1
এখন, ১ম সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
3(-1) - 7y = -10
⇒ 7y = 10 - 3
∴ y = 1
∴ (x, y) = (-1, 1)

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে
3 × x = 9 × 4
⇒ x = (9 × 4) / 3
∴ x = 12

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২,৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ =  ৮ টি

প্রশ্ন: a³ - ab² এবং a⁴ + 2a³b + a²b² এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a³ - ab²
= a(a² - b²)
= a(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a⁴ + 2a³b + a²b²
= a²(a² + 2ab + b²)
= a²(a + b)²

a³ - ab² এবং a⁴ + 2a³b + a²b² এর মৌলিক উৎপাদক = a(a + b)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = a(a + b)। 

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় কৃতকার্য ও অকৃতকার্য শিক্ষার্থীর অনুপাত ৭ : ২। যদি ১৪৪ জন শিক্ষার্থী অকৃতকার্য হয়ে থাকে, তবে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কৃতকার্য : অকৃতকার্য = ৭ : ২
অকৃতকার্য শিক্ষার্থী = ১৪৪ জন

∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৭ + ২ = ৯ অংশ

এখন, 
২ অংশের সমান = ১৪৪ জন 
∴ ১ অংশের সমান = ১৪৪/২ = ৭২ জন

∴ মোট পরীক্ষার্থী = ৯ × ৭২ = ৬৪৮ জন

মনে করি,
সংখ্যা দু'টি = ৫x, ৬x
∴ ল.সা.গু. ৩০x = ২৪০
∴ x = ৮
∴ বড় সংখ্যাটি = ৬ × ৮ = ৪৮

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল 1600 বর্গফুট। মাঠের চারপাশে 3 ফুট প্রশস্ত একটি রাস্তা রয়েছে। এই রাস্তায় প্রতি 1.5 বর্গফুটের টাইল বসানো হলে মোট কতটি টাইল লাগবে? 

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = 1600 বর্গফুট
⇒ মাঠের এক পাশ = √1600 = 40 ফুট

ভেতরের রাস্তায় চারদিকে ৩ ফুট রাস্তা থাকায়,
= 40 - 3 - 3 = 34 ফুট

রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল
= 40² - 34²
= 1600 - 1156
= 444 বর্গফুট

প্রতি টাইলের ক্ষেত্রফল = 1.5 বর্গফুট
টাইলের সংখ্যা = 444 / 1.5 = 296 টাইল

∴ টাইলের সংখ্যা 296 টি 

প্রশ্ন: রিয়া, সামিরা ও তানভীর প্রতি ১০ মিনিট, ১৫ মিনিট ও ২০ মিনিট পরপর একটি করে চা খায়। তারা সকাল ৯:০০ টায় একসাথে প্রথম চা খাওয়ার পরে পুনরায় কখন একসাথে চা খাবে?

সমাধান:
প্রথমে তাদের পরবর্তী একত্রে চা খাওয়ার সময় বের করতে হবে—এটির জন্য ল.সা.গু বের করতে হবে।

১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু বের করি-

১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

এখন, ৬০ মিনিট = ১ ঘন্টা
সকাল ৯:০০ টায় প্রথম চা খাওয়ার পরে ১ ঘন্টা পর তারা আবার একসাথে চা খাবে।

∴ পুনরায় একসাথে চা খাওয়ার সময় = ৯:০০ + ১ ঘন্টা = ১০:০০ টা

∴ ১০:০০ টায়-তারা আবার একসাথে চা খাবে।

প্রশ্ন: ১ কাঠা সমান কত শতক?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ কাঠা = ৭২০ বর্গফুট 
আবার, ১ শতক = ৪৩৫.৬ বর্গফুট।

∴ ১ কাঠা ÷ ১ শতক = ৭২০ ÷ ৪৩৫.৬ = ১.৬৫

অতএব, ১ কাঠা সমান ১.৬৫ শতক।

x এর এমন কোন বাস্তবমান পাওয়া সম্ভব নয় যা x² = 25 এবং 2x - 8 উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ A = ∅

প্রশ্ন: ১০ বছর আগে করিমের বয়স ছিল রহিমের বয়সের অর্ধেক। যদি তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ হয়, তবে বর্তমানে তাদের মোট বয়স কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
করিমের বর্তমান বয়স = ৩ক বছর 
∴ রহিমের বর্তমান বয়স = ৪ক বছর 

আবার, ১০ বছর আগে 
করিমের বয়স ছিল = (৩ক - ১০) বছর 
∴ রহিমের বয়স ছিল = (৪ক -১০) বছর 

প্রশ্নমতে, 
৩ক - ১০ = ১/২ (৪ক - ১০) 
বা, ৬ক - ২০ = ৪ক - ১০ 
বা, ৬ক - ৪ক = - ১০ + ২০ 
বা, ২ক = ১০ 
বা, ক = ১০/২ 
∴ ক = ৫ 
করিমের বর্তমান বয়স = (৩ × ৫) বছর  = ১৫ বছর 
∴ রহিমের বর্তমান বয়স = (৪ × ৫) বছর 
= ২০ বছর 

∴ বর্তমানে তাদের মোট বয়স = (১৫ + ২০) বছর 
= ৩৫ বছর।

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ ধনাত্মক সংখ্যাকে ১১, ১৫ ও ১৯ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ১০ ও ১৪ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
১১ - ৬ = ৫
১৫ - ১০ = ৫
১৯ - ১৪ = ৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ১১, ১৫ ও ১৯ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ কম।

১১ = ১ × ১১
১৫ = ৩ × ৫
১৯ = ১ × ১৯

 ∴ ল.সা.গু = ১১ × ৩ × ৫ × ১৯ = ৩১৩৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = ৩১৩৫ - ৫ = ৩১৩০

হরিণ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১×৫×২) = ১০ মিটার
বাঘ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১×৪×২) = ৮ মিটার
বাঘঃহরিণ = ৮:১০ = ৪:৫

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + .......... ধারাটির প্রথম 32 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা এবং পদ সংখ্যা, n = 32

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ 32 টি পদের সমষ্টি S₃₂ = (32/2) × {2 × 7 + (32 - 1)5}
= 16 × (14 + 31 × 5)
= 16 × 169
= 2704

x - 3, f(x) = x² - ax + 3 এর একটি উৎপাদক 
∴ f(3) = 0
বা, 9 - 3a + 3 = 0
বা, 3a = 12
∴ a = 4

প্রশ্ন: আগস্ট মাসে চিনির দাম ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় একটি পরিবার চিনি কেনা এমনভাবে কমালো যাতে চিনি কেনার খরচ আগের মতোই থাকে। পরিবারটি চিনি কেনার পরিমাণ শতকরা কত কমিয়েছে?

সমাধান:
২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ পরিবারটি চিনি কেনা কমিয়েছে (১০০ - ৮০) = ২০%

Cost of 21 pencils and 9 clippers = Tk. 819
Cost of 7 pencils and 3 clippers = 819/3 = Tk. 273

প্রশ্ন: abc একটি সংখ্যা হলে abc - a - b - c সংখ্যাটি কত দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
ধরি
a = 1, b = 2, c = 3

abc - a - b - c
= 123 - 1 - 2 - 3
= 123 - 6
=117, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য

আবার
ধরি
a = 2, b = 3, c = 4

abc - a - b - c
= 234 - 2 - 3 - 4
= 225 যা 9 দ্বারা বিভাজ্য

[প্রশ্নে উল্লেখ আছে
abc একটি সংখ্যা। একক স্থানীয় অংক c, দশক স্থানীয় অংক b এবং শতক স্থানীয় অংক a
abc কে a, b ও c এর গুণফল মনে করলে রেজাল্ট ভিন্ন ভিন্ন আসবে।
সঠিক উত্তর পাওয়া সম্ভব হবে না।]

প্রশ্ন: x² = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বা, x² = 15 + 2√56
বা, x² = 8 + 2√56  + 7
বা, x² = (√8)² + 2.√8.√7 + (√7)²
বা, x² = (√8 + √7)²
বা, x = √8 + √7
 
এখন,
1/x
= 1/(√8 + √7)
= (√8 - √7)/ (√8 + √7) (√8 - √7)
=  (√8 - √7)/ {(√8)² - (√7)²}
= (√8 - √7)/(8 - 7)
= √8 - √7
= 2√2 - √7

প্রশ্ন: ‘LOGARITHMS’ শব্দটির অক্ষরগুলো ব্যবহার করে (অর্থপূর্ণ বা অর্থহীন), অক্ষরের পুনরাবৃত্তি না করে কতটি চার অক্ষরের শব্দ গঠন করা যায়?

সমাধান:
দেয়া আছে,

‘LOGARITHMS’ শব্দটিতে ১০টি ভিন্ন অক্ষর রয়েছে।

সুতরাং, ১০টি অক্ষর থেকে একসঙ্গে ৪টি করে নিয়ে শব্দ গঠনের সংখ্যা =
১০টি অক্ষর থেকে ৪টি করে নেওয়ার বিন্যাস সংখ্যা 
= ^১০P_৪ 
= (১০ x ৯ x ৮ x ৭)
= ৫০৪০ 

২টি দলের সমাবেশ থেকে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হয়।
∴ মোট খেলা = ^৭c_২ 
= ২১

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r,
∴ ক্ষেত্রফল = πr^২
২০% কমে ব্যাসার্ধ = ৮০r/১০০
= ৪r/৫
ক্ষেত্রফল = π(৪r/৫)²
= (১৬πr²)/২৫
ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় = πr^২ - (১৬/২৫)πr^২
= (৯/২৫)πr^২
ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = ((৯/২৫)πr^২ × ১০০)/πr^২
= ৩৬%

সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, ৫ক ও ৬ক হলে,
গ.সা.গু = ক এবং ল.সা.গু = ৩০ক
প্রশ্নমতে, ক = ৮
∴ ল.সা.গু = ৩০ x ৮ = ২৪০

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 5/6 অংশ এবং উচ্চতা 18 মিটার হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের উচ্চতা = 18 মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 18 এর 5/6
= (18 × 5)/6
= 90/6
= 15 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 15 × 18
= 270 বর্গমিটার

০.২ × ১/২
= ১/৫ × ১/২
= ১/১০
= ০.১০

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে ২৫ জন ছাত্রের মধ্যে ১২ জন জীববিজ্ঞান এবং ৭ জন জীববিজ্ঞান ও উচ্চতর গণিত উভয় বিষয় নিয়েছে। ২ জন ছাত্র কোনো বিষয় নেয়নি। কতজন ছাত্র শুধু  উচ্চতর গণিত নিয়েছে?

সমাধান:

কোনো বিষয় নেয়নি = ২ জন 
উভয় বিষয় নিয়েছে = ৭ জন
শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (১২ - ৭) জন = ৫ জন 
ধরি,
শুধু উচ্চতর গণিত নিয়েছে = x জন

প্রশ্নমতে,
৫ + x + ৭ + ২ = ২৫
⇒ ১৪ + x = ২৫
⇒ x = ২৫ - ১৪
⇒ x = ১১

অর্থাৎ ১১ জন ছাত্র শুধু উচ্চতর গণিত নিয়েছে।