গাণিতিক যুক্তি

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√3
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 5
∴ আয়তন = 5³
= 125

চিত্রে,

OC = 5, AB = 24
∴ AC = 12
∴ OA² = AC² + OC²
= 12² + 5² = 169
∴ OA = 13 যা ব্যাসার্ধ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 13² = 169π

ধরি,
১ম বর্গের ক্ষেত্রফল ১৬a
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল ৯a

∴ ১ম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√a
২য় বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩√a

∴ ১ম বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৪√২√a = ৪√২a
২য় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৩√২√a = ৩√২a

∴ কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = ৪√২a:৩√২a = ৪ঃ৩

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x - 3)(x + 5)

প্রশ্ন: যদি 0° < θ < 90° হয়, এবং cos2θ = 1/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
cos2θ = 1/2
⇒ cos2θ = cos 60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 60°/2
⇒ θ = 30°

সুতরাং, θ এর মান হলো 30°

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 10° বেশি হলে, কোণটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 

ধরি, 
কোণটি = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x 

শর্তমতে, 
x = 90° - x + 10° 
বা, x + x = 100°
বা, 2x = 100°
বা, x = 100°/2
∴ x = 50° 

∴ কোণটির মান = 50°  ।

প্রশ্ন: x² - 7x + k = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 3 হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 3 অর্থাৎ, x = 3
এখন,
(3)² - 7×3 + k = 0
⇒ 9 - 21 + k = 0
⇒ -12 + k = 0
⇒ k = 12
∴ k = 12

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x হলে এর বাহুর দৈর্ঘ্য = √x
সুতরাং এর অতিভূজ হবে = √2.√x = √(2x)

প্রশ্ন: যদি (a/b) = (b/c) = (2/3) হয়, তবে a : c এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(a/b) = (b/c) = (2/3)

তাহলে, 
a/b = 2/3
∴ a = (2/3) × b ......(1) 
এবং , 
b/c = 2/3
∴ b = (2/3) × c

এখন, b এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ a = (2/3) × (2/3) × c
⇒ a = (4/9) × c
⇒ a/c = 4/9
∴ a : c = 4 : 9

মনে করি, ƒ(a) = a³ - a² -10a - 8
∴ ƒ(-1) = (-1)³ - (-1)² - 10(-1) - 8
= 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (a + 1), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক
a³ - a² -10a - 8
= a³ + a² - 2a² - 2a - 8a - 8
= a²(a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)
= (a + 1)(a² - 2a - 8)
= (a + 1) (a + 2)(a - 4) 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার 
= ৭৬৮ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার 
= ২৮ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার 
= ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: |5x - 4| ≤ 11 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|5x - 4| ≤ 11
⇒ - 11 ≤ 5x -  4 ≤ 11
⇒ - 11 + 4 ≤ 5x - 4 + 4 ≤ 11 + 4
⇒ - 7 ≤ 5x ≤ 15
∴ - 7/5 ≤ x ≤ 3 

প্রশ্ন: যদি 4x² - 6x + 1 = 0 হয়, তবে 8x³ + 1/8x³ এর মান কত?

সমাধান: 

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ৮ ইনিংসে রানের গড় ৪৫। ৯ম ইনিংসে সে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংস মিলিয়ে তার রানের গড় ৪৮ হবে? 

সমাধান:
৮ ইনিংসে মোট রান (৪৫ × ৮) = ৩৬০
৯ ইনিংসে মোট রান (৪৮ × ৯) = ৪৩২

∴ ৯ম ইনিংসে রান করতে হবে = (৪৩২ – ৩৬০) = ৭২

প্রশ্ন: a : b = 3 : 5 এবং b : c = 4 : 7 হলে, এর ‍a : c : b এর মান কোনটি?

সমাধান: 
a : b = 3 : 5 = 12 : 20
b : c = 4 : 7 = 20 : 35

a : b  : c = 12 : 20 : 35
a : c : b = 12 : 35 : 20

ইংরেজিতে ফেল করে = ১০০ - ৮৫ = ১৫ জন।
১৫ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ জন।
১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০/১৫ জন।
৭৫ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ X ৭৫/১৫ জন।
= ৫০০ জন।

প্রস্থ = a, দৈর্ঘ্য = a + 1
∴ পরিসীমা = 2(a + a + 1) = 14
বা, 2a + 1 = 7
বা, 2a = 6
∴ a = 3
∴ দৈর্ঘ্য = 4, প্রস্থ = 3
∴ কর্ণ = √(16 + 9) = 5

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 314 বর্গসেন্টিমিটার হয়, তবে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ  কত সেন্টিমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 314 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
⇒ πr² = 314
⇒ r² = 314/3.14  ;[π = 3.14]
⇒ r² = 100 = 10²
∴ r = 10

সুতরাং বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সেন্টিমিটার। 

৫ + ৭ = ১২ এবং ৭২/১২ = ৬
অর্থাৎ, (৫x৬) = ৩০ এবং (৫x৬) = ৪২ জন হবে।

যদি কোন ভগ্নাংশের লব ও হরের মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক বা গুননীয়ক না থাকে তবে ঐ ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করা হয়েছে বোঝায়।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) ভগ্নাংশটির অর্থাৎ ১১৩/৩৫৫ এর লব ও হরের মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক নেই। 
অন্যদিকে, ৭৭/১৪৩ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১১, ১০২/২৮৯ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১৭ এবং ৩৪৩/১০০১ এর সাধারণ গুণনীয়ক ৭। 
সুতরাং সঠিক উত্তর (গ)।

প্রশ্ন: ১০ জন খেলোয়াড়ের একটি দল থেকে, যেখানে একজন নির্দিষ্ট খেলোয়াড়কে অবশ্যই অধিনায়ক হিসেবে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, এমন শর্তে ৫ জনের একটি বাস্কেটবল দল কয়ভাবে নির্বাচন করা যেতে পারে?

সমাধান:
একজন অধিনায়ক নির্দিষ্ট রেখে 10 জনের দল বাছাই করার উপায়,
= ^{10 - 1}C_{5 - 1}
= ⁹C₄
= 126

প্রশ্ন: একটি রেখা 2x + 3y = 6, x–অক্ষ ও y–অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
X-ছেদ বিন্দু: y = 0 ধরলে,
⇒ 2x + 3(0) = 6  
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
X ছেদ বিন্দু = (3, 0)

Y-ছেদ বিন্দু: x = 0 ধরলে,
⇒ 2(0) + 3y = 6  
⇒ 3y = 6  
⇒ y = 2
Y ছেদ বিন্দু = (0, 2)

∴ ছেদবিন্দু: (3, 0) এবং (0, 2) 

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৫০০×৪ বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৬০০×৫ বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
সুতরাং মোট ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
এখন, ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা। (শর্ত)
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০×১০০/৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা।

y=3x+2……..(i)
y= -3x+2…….(ii)
এবং y= -2……(iii)
এখানে, (i) ও (ii) নং সমীকরণের ঢাল যথাক্রমে 3 ও -3, যাদের পরমমান সমান। সুতরাং এই রেখা দুটি সমান। কিন্তু (iii) নং রেখাটি (i) ও (ii) নং হতে ভিন্ন।
তাই সমীকরণগুলো দ্বারা গঠিত চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি? 

সমাধান: 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি

প্রশ্নমতে, 
বা, 2πr - 2r = 60 
বা, 2r(π - 1) = 60 
বা 2r{(22/7) - 1} = 60 
বা 2r{(22 - 7)/7} = 60 
বা, 2r(15/7) = 60 
বা, 30r/7 = 60 
বা, r = (60 × 7)/30 
∴ r = 14 সে.মি

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি ।

প্রশ্ন: log_√5125 এর মান কত?

সমাধান: 
​log_√5125 
​= log_√5(5³) 
​= log_√5(√5²)³ 
​= log_√5(√5)⁶ 
​= 6 · log_√5√5 
​= 6 × 1 
​= 6

2^2x-8 = 9^x-4
বা, 2^2x-8 = (3²)^x-4
বা, 2^2x-8 = 3^2x-8
বা, (2/3)^2x-8 = 1 = (2/3)⁰
বা, 2x - 8 = 0
বা, x = 4

ষড়ভুজের ক্ষেত্রে প্রতিটি বহিঃস্থকোণ ৬০°

1/(x - 1) = 0 হলে, 1 = 0 হয় যা অসম্ভব।

1², 2², 3², 4² < 18
∴ A = {1, 2, 3, 4}

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি যথাক্রমে ১৪ সে.মি. ও ৬ সে.মি.। যদি এর ক্ষেত্রফল ১৬০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = (১/২) × (১৪ + ৬) × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = (১/২) × ২০ × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = ১০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ১৬০/১০
∴ উচ্চতা = ১৬ সেমি