গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: A, B এবং C মিলে একটি ব্যবসায় ৫৩০০০ টাকা বিনিয়োগ করেন। A, B-এর চেয়ে ৫০০০ টাকা বেশি এবং B, C-এর চেয়ে ৬০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন। মোট ৩১৮০০ টাকা লাভ হলে B-এর লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
C-এর বিনিয়োগ = x টাকা
তাহলে,
B, C-এর চেয়ে ৬,০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন
∴ B = x + ৬০০০
A, B-এর চেয়ে ৫,০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন
∴ A = (x + ৬০০০) + ৫০০০ = x + ১১০০০

মোট বিনিয়োগ,
A + B + C = ৫৩০০০
⇒ (x + ১১০০০) + (x + ৬০০০) + x = ৫৩০০০
⇒ ৩x + ১৭০০০ = ৫৩০০০
⇒ ৩x = ৩৬০০০
∴ x = ১২০০০

এখন,
C = x = ১২০০০ টাকা
B = ১২০০০ + ৬০০০ = ১৮০০০ টাকা
A = ১২০০০ + ১১০০০ = ২৩০০০ টাকা

∴ লাভের অনুপাত A : B : C = ২৩০০০ : ১৮০০০ : ১২০০০ = ২৩ : ১৮ : ১২

∴ B-এর অংশ = ৩১৮০০ × (১৮/৫৩) = ১০৮০০ টাকা

সুতরাং, B-এর লাভের পরিমাণ ১০৮০০ টাকা।

২০% কমে যাওয়ায় চিনির বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
চিনির ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায়, বর্তমানে চিনি ব্যবহৃত হয় = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

১০০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় ১২০ টাকার চিনি
১ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় = ১২০/১০০ টাকার চিনি।
৮০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় = (১২০× ৮০)/১০০
= ৯৬ টাকা।

চিনি বাবদ শতকরা ব্যয় কমে (১০০ - ৯৬)= ৪ টাকা
∴ ৪% ব্যয় কমলো।

Shortcut: ২০ - ২০ + {(২০×(-২০)}/১০০ = -৪% 

x² + 2xy - 2y - 1
= x² - (1)² + 2xy - 2y
= (x+1) (x-1) + 2y(x-1)
= (x-1) (x + 2y + 1)

১ম ১২ বা ১ বছরে মাসে মুনাফা = pnr = ২৮০০ × ১ × ১০/১০০ = ২৮০ টাকা
সুদ-আসল = ২৮০ + ২৮০০ = ৩০৮০ টাকা
২য় ৬ মাসে মুনাফা = ৩০৮০ × ১/২ × ১০/১০০ = ১৫৪ টাকা
মোট মুনাফা = ( ২৮০ + ১৫৪) = ৪৩৪ টাকা

প্রশ্ন: মাতার বর্তমান বয়স, কন্যার বর্তমান বয়সের ৫ গুণ।৩ বছর পর মাতার বয়স হবে কন্যার বয়সের ৪ গুণ। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
কন্যার বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৫ক বছর

৩ বছর পরে,
কন্যার বয়স হবে = (ক + ৩) বছর
মাতার বয়স হবে = (৫ক + ৩) বছর

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৩ = ৪(ক + ৩)
⇒ ৫ক + ৩ = ৪ক + ১২
⇒ ৫ক - ৪ক = ১২ - ৩
⇒ ক = ৯

∴ মাতার বর্তমান বয়স
= ৫ × ৯
= ৪৫ বছর।

অতএব, মাতার বর্তমান বয়স হলো ৪৫ বছর।

প্রশ্ন: ৪% চক্রবৃদ্ধি সুদে ১০০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ৪% = ৪/১০০ = ১/২৫ = ০.০৪
আসল, P = ১০০০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর 

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ 
= ১০০০০ × (১ + ০.০৪)^২
= ১০০০০ × (১.০৪)^২
= ১০০০০ × ১.০৪ × ১.০৪
= ১০০০০ × (১০৪/১০০) × (১০৪/১০০)
= ১০৮১৬ টাকা

প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 টি

এখন,
8 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= ⁸C₆ 
= 8!/{6! × (8 - 6)!}
= 8!/(6! × 2!)
= (8 × 7 × 6!)/(6! × 2!)
= (8 × 7)/2
= 28

প্রশ্ন: যদি a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 ...........(1)
⇒ a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 3
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3 
⇒ 3(a² - ab + b²) = 3 [মান বসিয়ে]
⇒ a² - ab + b² = 3/3
∴ a² - ab + b² = 1 ........(2)

এখন, (1) + (2) যোগ করে পাই,
⇒ 2(a² + b²) = 4
⇒ a² + b² = 4/2 
∴ a² + b² = 2

ইংরেজিতে অকৃতকার্য হয় = ৩৫%
বাংলায় অকৃতকার্য হয় = ২০%
উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয় = ১২%
যেকোনো এক বিষয়ে অকৃতকার্য হয় = (৩৫ + ২০ - ১২)%
= ৪৩%
∴ উভয় বিষয়ে কৃতকার্য হয় = (১০০ - ৪৩)%
= ৫৭%

(x + (1/x))²
= (x - (1/x))² + 4.x.(1/x)
= 5 + 4
= 9
∴ x + 1/x = 3
বা, (x + (1/x))³ = 27
বা, x³ + 1/x³ + 3.x.(1/x)(x + (1/x)) = 27
বা, x³ + 1/x³ + 3.3 = 27
∴ x³ + 1/x³ = 18

মোট পরীক্ষার্থী, n(S) = ১০০%
গণিতে পাশ, n(M) = ৮০%
বাংলায় পাশ, n(B) = ৭০%
গণিত এবং বাংলায় পাশ, n(M∩B) = ৬০%
গণিত অথবা বাংলায় পাশ, n(M∪B) = ?
আমরা জানি, n(M∪B) = n(M) + n(B) - n(M∩B)
= ৮০% + ৭০% - ৬০%
= ৯০%
সুতরাং গণিত অথবা বাংলা দুটি বিষয়েই ফেল = ১০০% - ৯০%
= ১০%

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ৪০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক
= ১০০০০ বর্গএকক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ৪০% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ৪০%) একক 
= [১০০ + {১০০ এর (৪০/১০০)}] একক 
= (১০০ + ৪০) একক 
= ১৪০ একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১৪০)^২ = ১৯৬০০ বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৯৬০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ৯৬০০ বর্গ একক 

এখন,
১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৯৬০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৯৬০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(৯৬০০ × ১০০)/১০০০০} বর্গ একক
= ৯৬ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ৯৬%

প্রশ্ন: সরল সুদের হার কত হলে যে কোনো মূলধন 8 বছরে সুদে- আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন = P টাকা 
সময় = 8 বছর
সুদে-আসল = 3P
অতএব, সুদ = 3P - P = 2P
আমরা জানি,
I = (P × R × T)/100
⇒ R = (2 × 100)/8
⇒ R = 25
∴ 25 টাকা।

প্রশ্ন: x² - 3x - 10 এবং x³ + 6x² + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x² - 3x - 10
= (x² - 5x + 2x - 10)
= {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= (x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 2) 

প্রশ্ন: ৪৫ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ১৮%? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
ক এর ১৮% = ৪৫ 
বা, ক × (১৮/১০০) = ৪৫ 
বা, ক = ৪৫ × (১০০/১৮) 
∴ ক = ২৫০ 

∴ ৪৫ সংখ্যাটি ২৫০ এর ১৮% ।

প্রশ্ন: যদি P এবং Q উভয়ই জোড় সংখ্যা হয়, তবে নিম্নের কোনটি অবশ্যই বিজোড় হবে?

সমাধান:
ধরি, P = 2 এবং Q = 4 (যেহেতু P ও Q দুটিই জোড় সংখ্যা)।

এখন অপশনগুলোতে মান বসিয়ে পাই,
(ক) P² + Q = 2² + 4 = 4 + 4 = 8 (জোড়)
(খ) 3P + Q = 3(2) + 4 = 6 + 4 = 10 (জোড়)
(গ) P + Q + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 (বিজোড়)
(ঘ) 2P + Q² = 2(2) + 4² = 4 + 16 = 20 (জোড়)

∴ সঠিক উত্তর: (গ) P + Q + 1

প্রশ্ন: যদি x - y = 5 হয়, তবে x³ - y³ - 15xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 5

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 15xy
= (x - y)³ + 3xy(x - y) - 15xy
= 5³ + 3xy × 5 - 15xy
= 125 + 15xy - 15xy
= 125

100 জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = 75 × 100 = 7500
60 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = 60 × 71 = 4260
∴ 40 জন ছাত্রের মোট নম্বর = 7500 - 4260 = 3240
40 জন ছাত্রের গড় নম্বর = 3240/40 = 81

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ....... + 18² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = n(n + 1)(2n + 1)/6

এখানে, শেষ পদ n = 18
∴ সমষ্টি = {18(18 + 1)(2 × 18 + 1)}/6
= {18 × 19 × (36 + 1)}/6
= (18 × 19 × 37)/6
= 3 × 19 × 37
= 57 × 37
= 2109

প্রশ্ন: √- 18  × √- 2 = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
i = √- 1
বা, i² = - 1

দেওয়া আছে, 
√- 18  × √- 2
= √(- 1  × 18)  × √(- 1 × 2)
= √(- 1) × √18 × √(- 1) × √2
= {√(- 1) × √(- 1)} × √(18 × 2)
= i × i × √(36)
= 6i²
= - 6

পিতার বর্তমান বয়স = ৭০ এর ৫/৭ = ৫০ বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = ৭০ এর ২/৭ = ২০ বছর
∴ ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত= (৫০+১০) : (২০+১০) = ২ : ১

প্রথম ক্ষেত্রে, মুনাফা = (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
বা, মুনাফা = ৩০০ × ১ × ২০/১০০
বা, মুনাফা = ৬০ টাকা

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, মুনাফা = (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
বা, মুনাফা = ২০০ × ১ × ১৫/১০০
বা, মুনাফা = ৩০ টাকা

সুতরাং মোট সুদ = (৬০ + ৩০) টাকা
= ৯০ টাকা।

প্রশ্ন: পাড়সহ একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৯০ মিটার ও প্রস্থ ৬০ মিটার। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার ৭ মিটার হয়, তবে পুকুরপাড়ের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (৯০ × ৬০) বর্গমিটার
= ৫৪০০ বর্গমিটার।

পাড় বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্য
= {৯০ − (৭ × ২)} মিটার
= ৭৬ মিটার।

পাড় বাদে পুকুরের প্রস্থ
= {৬০ − (৭ × ২)} মিটার
= ৪৬ মিটার।

∴ পাড় বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (৭৬ × ৪৬) বর্গমিটার
= ৩৪৯৬ বর্গমিটার।

∴ পুকুরপাড়ের ক্ষেত্রফল
= (৫৪০০ − ৩৪৯৬) বর্গমিটার
= ১৯০৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 56 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= πr + 2r
= (22/7) × (56/2) +  56
= (88 + 56)
= 144 সে.মি. (প্রায়)

রং করতে হবে এমন এলাকার ক্ষেত্রফল = সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল - মেঝের ক্ষেত্রফল
= ২(৬×৪ + ৪×৫ + ৫×৬) - ৬×৪
= ১২৪
∴ খরচ = ১২৪ × ৯
= ১১১৬ টাকা

প্রশ্ন: D = ∅ হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? 

সমাধান:
D-এর উপাদান সংখ্যা = 0
মোট উপসেট = 2ⁿ
= 2⁰
= 1  (একটি উপসেট ∅ নিজেই)

∴ প্রকৃত উপসেট = 2⁰ - 1 = 1 - 1 = 0

প্রশ্ন: tanA.cosA এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
tanA.cosA
= (sinA/cosA)cosA
= sinA

প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ । ∠A = 115° হলে, ∠B = কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ,
⇒ ∠A + ∠B = 180°
⇒ 115° + ∠B = 180°
⇒  ∠B = 180° - 115°
 ∴ ∠B = 65°

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজটির, লম্ব = ভূমি = ৫√২ সেঃমিঃ
∴ অতিভূজ = √{(ভূমি)² + (লম্ব)²}
                  = √{(৫√২)² + (৫√২)²}
                  = √(৫০ + ৫০)
                  = √১০০
                  = ১০ সেঃমিঃ

প্রশ্ন: যদি A = {3, 4, 5, 6} হয়, তাহলে A এর শক্তিসেট কয়টি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {3, 4, 5, 6} 

এখানে,
A সেটের উপাদান সংখ্যা = 4
∴ A সেটের মোট উপাদান হবে = 2⁴ টি
= 16 টি 
∴ উপাদানগুলো হবে, p(A) = {φ, {3}, {4}, {5}, {6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {4, 5, 6}, {3, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}}  ।