গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² - 11x + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6
∴ f(3) = 2(3)³ - 3(3)² - 11(3) + 6
= 54 - 27 - 33 + 6
= 60 - 60
= 0

যেহেতু f(3) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, (x - 3) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

5^(3x-7) = 3^{(3x - 7)}
⇒ 5^(3x-7)/3^(3x-7) = 1
⇒ (5/3)^{(3x - 7)} = (5/3)⁰
⇒ 3x - 7 = 0
⇒ x = 7/3

প্রশ্ন: সুদের হার ৬% থেকে কমে ৪% হওয়ায় ব্যক্তির আয় ২০ টাকা কমে গেল। আসলের পরিমাণ কত? 

সমাধান:
সুদের হার কমেছে = ৬% - ৪% = ২%
২% কমালে হয় = ২০ টাকা
∴ ১% কমালে হয় = ২০/২ = ১০ টাকা
∴ ১০০% কমালে হয় = ১০ × ১০০ = ১০০০ টাকা

সুতরাং, আসল ১০০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩৬০। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি হলো ৩ক এবং ৪ক

সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. হলো ৩ × ৪ × ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ৩৬০
⇒ ক = ৩৬০/১২
⇒ ক = ৩০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৩ × ৩০ = ৯০ এবং ৪ × ৩০ = ১২০

সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৯০ + ১২০ = ২১০

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩০০০০ লিটার

এখানে, x/2 + x + 3x/2 = 180°
বা, x + 2x + 3x = 180° × 2
বা, 6x = 360°
∴ x = 60°
∴ 60° এর সম্পূরক কোণ = 180° - 60° = 120°

প্রশ্ন: 12 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (12 - 3) = 9 টি

এখন,
9 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= 9C6 
= 9!/{6! × (9 - 6)!}
= 9!/(6! × 3!)
= (9 × 8 × 7 × 6!)/(6! × 3!)
= (9 × 8 × 7)/(3 × 2)
= 84

সুতরাং, 84 টি উপায়ে বই বাছাই করা যাবে।

ধরি, ২০ জনে কাজটি ১০ দিনে করতে পারে।
সুতরাং ২০% কম সময়= ৮ দিন।

কাজটি ১০ দিনে করে ২০ জনে
∴ কাজটি ১ দিনে করে ২০×১০=২০০ জনে
∴কাজটি ৮ দিনে করে ২০০/৮= ২৫ জনে

জনবল বাড়ে ২৫-২০=৫ জন

শতকরা জনবল বাড়ে (৫×১০০)/২০= ২৫ জন।
∴জনবল বাড়াতে হবে ২৫%

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 7 যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে 18 বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন-

সমাধান:
মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y ।
∴ সংখ্যাটি = x + 10y
১ম শর্তানুসারে,
x + y + 7 = 3y
⇒ x + y - 3y = - 7
∴ x - 2y = - 7..........(1)

২য় শর্তানুসারে
⇒ x + 10y - 18 = y + 10x
⇒ x + 10y - y - 10x = 18
⇒ 9y - 9x = 18
⇒ 9(y - x) = 18
∴ y - x = 2.............(2)

এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
- y = - 5
∴ y = 5
y-এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 2 × 5 = - 7
⇒ x = - 7 + 10
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 3 + 10 × 5 = 3 + 50 = 53

এখানে ধারাটির পদগুলো ১, ৩, ৫, ৭, ......... ৪৯। এটি একটি সমান্তর ধারা।
সুতরাং ধারাটির নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (৪৯+১)/২
= ৫০/২
= ২৫

প্রশ্ন: 3x² - 10x - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3x² - 10x - 8
= 3x² - 12x + 2x - 8
= 3x(x - 4) + 2(x - 4)
= (3x + 2)(x - 4)

প্রশ্ন: মানিকের মাসিক বেতন ৯% বৃদ্ধি পাওয়ার ফলে তার মাসিক সঞ্চয় সমান হারে বৃদ্ধি পেয়ে ১,৮৫৩ টাকা হলো। মানিকের মাসিক সঞ্চয় আগে কতছিল?

সমাধান:
ধরি,
মানিকের পূর্বের মাসিক সঞ্চয় = ক টাকা।

সঞ্চয় ৯% বৃদ্ধি পাওয়ার ফলে নতুন সঞ্চয় হয়: 
ক + ক এর ৯% = ১৮৫৩
অর্থাৎ,
⇒ ক + (৯/১০০)ক = ১৮৫৩
⇒ ক × ১.০৯ = ১৮৫৩
⇒ ক = ১৮৫৩/১.০৯
⇒ ক = (১৮৫৩ × ১০০)/১০৯
⇒ ক = ১৭০০

∴ মানিকের পূর্বের মাসিক সঞ্চয় ছিল ১,৭০০ টাকা।

সংখ্যা দু'টি 3x, 4x
∴ ল.সা.গু. = 180, গ.সা.গু = x
∴ 3x × 4x = 180 × x
বা, 12x = 180
∴ x = 15

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৫০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৫০°/২ = ২৫°

আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ (৯০°) হলে, কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
∴ ২৫° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ২৫°
= ৬৫°

অতএব, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান হলো ৬৫°। 

প্রশ্ন:

সমাধান:

২০% লাভে,
নির্মাতার বিক্রয় মূল্য (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা।

আবার,
২০% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য (১২০ + ১২০ এর ২০%)
                                        = ১২০ + ১২০ এর ২০/১০০
                                        = (১২০ + ২৪)
                                        = ১৪৪ টাকা।

প্রশ্ন: (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + ............... ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2 
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = (1/4) × (2/1) = 1/2 < 1 

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r) 
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{1 - (1/2)} 
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1) 
= 1

প্রশ্ন: x³ - 3x² - 10x এবং x³ + 6x² + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)  ।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার পাঁচ গুণের সাথে ১২ যোগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তা সংখ্যাটির সাত গুণ থেকে ৪৮ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত মানের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ১২ = ৭ক - ৪৮
⇒ ১২ + ৪৮ = ৭ক - ৫ক
⇒ ৬০ = ২ক
⇒ ক = ৬০/২
∴ ক = ৩০

∴ সংখ্যাটি ৩০

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর ৮ মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব ১০ মিটার। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল ১৭০ বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহু = ক মিটার
∴ বৃহত্তম বাহু = (ক + ৮) মিটার

আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × (ক + ক + ৮)
= ৫(২ক + ৮)

প্রশ্নমতে,
৫(২ক + ৮) = ১৭০
⇒ ২ক + ৮ = ১৭০/৫
⇒ ২ক + ৮ = ৩৪
⇒ ২ক = ৩৪ - ৮
⇒ ২ক = ২৬
⇒ ক = ১৩

∴ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১৩ + ৮ = ২১ মিটার

প্রতিটি পিলার জায়গা নেয় (২০ + ০.৫) = ২০.৫ মিটার
তাহলে, ৪৭২ মিটারে বসানো যাবে (৪৭২/২০.৫) + ১ টি
= ২৪টি।
দুইপাশে বসবে ৪৮টি।

ত্রিভূজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান।
ফলে প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60° যা সুক্ষকোণ।
সুতরাং ত্রিভূজটি সুক্ষকোণী।

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ীর কাছে ২২ টি বলপেন আছে। তিনি কয়েকটি বলপেন প্রতিটি ৩৫ টাকা লাভে এবং অবশিষ্ট বলপেন প্রতিটি ১০ টাকা ক্ষতিতে বিক্রি করেন। তার মোট ৬৩৫ টাকা লাভ হলে তিনি কয়টি বলপেন ক্ষতিতে বিক্রি করেন? 

সমাধান: 
ধরি, 
১০ টাকা ক্ষতিতে বিক্রি করেন = x টি বলপেন 
∴ ৩৫ টাকা লাভে বিক্রি করেন = (২২ - x) টি বলপেন 

শর্তমতে, 
৩৫(২২ - x) - ১০x = ৬৩৫ 
বা, ৭৭০ - ৩৫x - ১০x = ৬৩৫ 
বা, ৭৭০ - ৪৫x = ৬৩৫ 
বা, - ৪৫x = ৬৩৫ - ৭৭০ 
বা, - ৪৫x = - ১৩৫
বা, ৪৫x = ১৩৫
বা, x = ১৩৫/৪৫
∴ x = ৩ 

∴ ক্ষতিতে বিক্রি করেন = ৩ টি বলপেন।

প্রশ্ন: (625)^0.24 × (625)^0.26 = ?

সমাধান:
= (625)^{0.24 + 0.26}  [a^m × aⁿ = a^{m + n}]
= (625)^0.50
= (625)^1/2
= √625
= √(25²)
= 25

ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল দুই বাহুর সমষ্টি) × h
বা, ১৫০ = ১/২ × (১২ + ১৮) × h
বা, ১৫h = ১৫০
∴ h = ১০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (২ক + ক) একক
= ৬ক একক

আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩ক/২)^২ = (৯ক^২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) = ২ক^২

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক^২)/৪ : (২ক^২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮