গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ৮০ / ৪৭৫ · ৭,৯০১–৮,০০০ / ৪৭,৮৩৩

৭,৯০১.

একটি বৃত্তের ব্যাস 6 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
20গুণ
খ
25 গুণ
গ
35 গুণ
ঘ
48 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 6 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস ছয়গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 12r) = 14r
∴ ব্যাসার্ধ = 14r/2 = 7r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(7r)² = 49πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 49πr² - πr² = 48πr²
∴ 48 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

৭,৯০২.

এককজন লোক সপ্তাহে আয় করেন ৪৫০ টাকা, ব্যয় করেন ৩০০ টাকা। তার আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত কত হবে?

ক
৩ : ১
খ
৩ : ২
গ
৫ : ২
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোক সপ্তাহে আয় করেন ৪৫০ টাকা, ব্যয় করেন ৩০০ টাকা। তার আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
আয় = ৪৫০ টাকা
ব্যয় = ৩০০ টাকা
সঞ্চয় = ৪৫০ - ৩০০ টাকা
= ১৫০ টাকা

∴ আয় : সঞ্চয় = ৪৫০ : ১৫০
= ৩ : ১

৭,৯০৩.

একটি ফলের ঝুড়িতে 4 টি লিচু, 11টি আম এবং 15 টি কমলা আছে। ঝুড়ি থেকে দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে ফলটি লিচু হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
4/15
খ
3/19
গ
2/15
ঘ
3/14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ফলের ঝুড়িতে 4 টি লিচু, 11টি আম এবং 15 টি কমলা আছে। ঝুড়ি থেকে দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে ফলটি লিচু হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঝুড়িতে লিচু আছে = 4 টি
ঝুড়িতে আম আছে =11টি
ঝুড়িতে কমলা আছে = 15 টি

ঝুড়িতে মোট ফল আছে = (4 + 11 + 15) টি = 30 টি

∴ ফলটি লিচু হওয়ার সম্ভাবনা = 4/30
= 2/15

৭,৯০৪.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা তোলা হলে সেটি ৭ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১০
খ
১/৯
গ
১২/৯০
ঘ
১৩/৯০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা তোলা হলে সেটি ৭ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সংখ্যা পদ্ধতিতে দুই অংকের সংখ্যা আছে (১০ থেকে ৯৯ পর্যন্ত) ৯০টি।

৭ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: ১৪, ২১, ২৮, ৩৫, ৪২, ৪৯, ৫৬, ৬৩, ৭০, ৭৭, ৮৪, ৯১, ৯৮ মোট ১৩টি

∴ সম্ভাবনা = ১৩/৯০

৭,৯০৫.

একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত কত?

ক
1 : 3
খ
1 : 4
গ
2 : 3
ঘ
2 : 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সিলিন্ডার ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h₂

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h₂

প্রশ্নমতে,
πr²h₁ = (1/3)πr²h₂
বা, h₁ = h₂/3
বা, h₁/h₂ = 1/3
∴ h₁ : h₂ = 1 : 3

∴ সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত = 1 : 3 ।

৭,৯০৬.

256 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 256 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
256 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম = log₄256
= log₄4⁴
= 4 log₄4
= 4 × 1
= 4

৭,৯০৭.

একটি নির্দিষ্ট হার সরল সুদে ৫০০০ টাকা ৫ বছরে সুদে-আসলে ৮২৫০ টাকা হয়। যদি সুদের হার ৩% বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে নতুন সুদের হার কত হবে?

ক
৯%
খ
১১%
গ
১৫%
ঘ
১৬%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট হার সরল সুদে ৫০০০ টাকা ৫ বছরে সুদে-আসলে ৮২৫০ টাকা হয়। যদি সুদের হার ৩% বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে নতুন সুদের হার কত হবে?

সমাধান:
আসল, P = ৫০০০ টাকা
সুদ-আসল = ৮২৫০ টাকা
সুদ, I = ৮২৫০ - ৫০০০ = ৩২৫০ টাকা
সময়, n = ৫ বছর

আমরা জানি
I = Pnr
r = I/Pn
= (৩২৫০ × ১০০)/(৫০০০ × ৫)
= ১৩%
∴ সুদের হার ৩% বৃদ্ধিতে, নতুন সুদের হার = (১৩ + ৩)% = ১৬%

৭,৯০৮.

দুটি সমান্তর রেখা একে অপরের থেকে ৬ সেমি দূরে। এই দুটি রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য ____

ক
সমান
খ
ভিন্ন
গ
অসীম
ঘ
পরিবর্তনশীল

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সমান্তর রেখা একে অপরের থেকে ৬ সেমি দূরে। এই দুটি রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য____

সমাধান:
দুটি সমান্তর রেখা বলতে বোঝায় এমন দুইটি সরলরেখা, যেগুলো একে অপরকে কখনও ছেদ করে না এবং সর্বত্র তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব অপরিবর্তিত থাকে।
- যেহেতু রেখাদ্বয় সমান্তর, তাই তাদের মধ্যে টানা যেকোনো লম্বের দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হবে।
- অর্থাৎ, প্রতিটি বিন্দু থেকে অপর রেখায় টানা লম্বের দৈর্ঘ্য স্থির থাকে এবং এখানে তা ৬ সেমি।

∴ দুটি সমান্তর রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।

৭,৯০৯.

x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। x কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে এবং x কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে। r² + R এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত হতে পারে?

ক
১৭
খ
১৯
গ
২১
ঘ
২৫
ঙ
২৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। x কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে এবং x কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে। r² + R এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত হতে পারে?

সমাধান:
x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
আমরা জানি,
ভাগশেষ সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট হয়।

x কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে
∴ r এর মান ১, ২, ৩ হতে পারবে।

x কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে
∴ R এর মান ১, ২, ৩, ৪, ৫,৬ ,৭ ,৮ হতে পারবে

r² + R এর সর্বোচ্চ হবে যদি r ও R সর্বোচ্চ হয়
∴ r² + R = ৩^২ + ৮ = ৯ + ৮ = ১৭

৭,৯১০.

A ও B নির্দিষ্ট পথ অতিক্রম করে যথাক্রমে t₁ ও t₂ মিনিটে। A ও B এর গড় গতিবেগের অনুপাত, A : B = কত?

ক
2t₁: t₂
খ
t₂: t₁
গ
t₁t₂: 1
ঘ
1 : t₁t₂

ব্যাখ্যা

A ও B এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে v₁ মিটার ও v₂ মিটার হলে,
t₁ মিনিটে অতিক্তম করে v₁t₁ মিটার ও t₂ মিনিটে অতিক্রম করে v₂t₂ মিটার।
সুতরাং, v₁t₁ : v₂t₂v₁ : v₂ = t₂ : t₁

৭,৯১১.

x > y এবং z < 0 হলে, কোন শর্তটি সঠিক হবে?

ক
xz > yz
খ
x/z > y/z
গ
xz < yz
ঘ
z/x < z/y

ব্যাখ্যা

x > y এবং z < 0, z এর মান ঋণাত্মক।
x ও y এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন- x > y
⇒ zx < zy [যেহেতু z ঋণাত্মক]
⇒ x/z < y/z [যেহেতু z ঋণাত্মক]

৭,৯১২.

১৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দলের খেলোয়াড়দের বয়সের গড় ২৭ বছর। কোচসহ তাদের বয়সের গড় ১ বছর বেশি হলে, কোচের বয়স কত?

ক
৩৯ বছর
খ
৪০ বছর
গ
৪৩ বছর
ঘ
৪৮ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দলের খেলোয়াড়দের বয়সের গড় ২৭ বছর। কোচসহ তাদের বয়সের গড় ১ বছর বেশি হলে, কোচের বয়স কত?

সমাধান:
১৫ জন খেলোয়াড়ের মোট বয়স = (২৭ × ১৫) বছর
= ৪০৫ বছর

কোচসহ তাদের বয়সের গড় = ২৭ + ১ = ২৮ বছর
কোচসহ ১৫ জন খেলোয়াড়ের মোট বয়স = (২৮ × ১৬) বছর
= ৪৪৮ বছর

∴ কোচের বয়স = (৪৪৮ - ৪০৫) বছর
= ৪৩ বছর

৭,৯১৩.

a^x= b, b^y = c, c^z = a হলে, নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

ক
ক) a = x/ayz
খ
খ) a = y/azx
গ
গ) b = x/cyz
ঘ
ঘ) a = a^xyz

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^x= b, b^y = c, c^z = a হলে, নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
দেয়া আছে
a^x = b, b^y= c, c^z = a

এখানে,
c^z = a
( b^y)^z = a
b^yz = a
(a^x)^yz = a
a^xyz= a
a = a^xyz

৭,৯১৪.

x + y = 10 এবং x - y = 6 হলে, xy = কত?

ক
12
খ
16
গ
18
ঘ
22

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং x - y = 6 হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 10
x - y = 6
আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= {10/2}² - {6/2}²
= (5)² - (3)²
= 25 - 9
= 16

৭,৯১৫.

একটি বাক্সে 6টি সবুজ, 8টি লাল এবং 4টি সাদা বল আছে। এলোমেলোভাবে 1টি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি সবুজ বা লাল হবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 7/9
খ
খ) 6/7
গ
গ) 8/7
ঘ
ঘ) 5/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 6টি সবুজ, 8টি লাল এবং 4টি সাদা বল আছে। এলোমেলোভাবে 1টি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি সবুজ বা লাল হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

ধরি,
সবুজ বল হওয়ার ঘটনা = G
লাল বল হওয়ার ঘটনা = R
বাক্সে মোট বল আছে = 6 + 8 + 4 = 18
বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা P(G) = 6/18
বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা P(R) = 8/18

∴ বলটি সবুজ বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা,
P(G ∪ R) = P(G) + P(R)
= (6/18) + (8/18)
= (6 + 8)/18
= 14/18
= 7/9

৭,৯১৬.

12x² + 25x + 12 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(4x + 4)(3x + 4)
খ
(4x + 3)(3x + 4)
গ
(3x + 3)(4x + 4)
ঘ
(4x + 3)(3x +3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12x² + 25x + 12 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান :
12x² + 25x + 12
= 12x² + 16x + 9x + 12
= 4x (3x + 4) + 3 (3x + 4)
= (4x + 3)(3x + 4)

৭,৯১৭.

একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 30 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
1936 বর্গমিটার
খ
2872 বর্গমিটার
গ
3872 বর্গমিটার
ঘ
4872 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 30 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 30 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি.

সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2 × (22/7) × 14 (14 + 30) বর্গমিটার
= 3872 বর্গমিটার

৭,৯১৮.

x² + 6x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
বাস্তব ও সমান।
খ
অবাস্তব ও অসমান।
গ
মূলদ ও অসমান
ঘ
বাস্তব ও অসমান।

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 6x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + 6x + 9 = 0
এখানে,
a = 1, b = 6 এবং c = 9

∴ নিশ্চায়ক= b² - 4ac
= (6)² - 4 × 1 × 9
= 36 - 36
= 0
যেহেতু, b² - 4ac = 0 সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

৭,৯১৯.

একজন ডিলার একটি পণ্য ১৮০৫ টাকায় বিক্রয় করলে ৫% ক্ষতি হয়। ৫% লাভে বিক্রয় করতে হলে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হতে হবে?

ক
১৯০০ টাকা
খ
১৯৯৫ টাকা
গ
১৯৯০ টাকা
ঘ
২০০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ডিলার একটি পণ্য ১৮০৫ টাকায় বিক্রয় করলে ৫% ক্ষতি হয়। ৫% লাভে বিক্রয় করতে হলে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হতে হবে?

সমাধান:
৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/৯৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১৮০৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = (১৮০৫ × ১০০)/৯৫
= ১৯০০ টাকা

৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০৫ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০৫/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১৯০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০৫ × ১৯০০)/১০০ টাকা
= ১৯৯৫ টাকা

৭,৯২০.

রহিম, করিম এবং জামাল একসঙ্গে একটি নির্মাণ প্রকল্পে কাজ করছে। একদিনে জামাল যতটুকু কাজ করে, রহিম ও করিম একত্রে তার দ্বিগুণ কাজ করে। যদি জামাল একা পুরো কাজটি ৪ মাসে করতে পারে তবে তিনজন একসঙ্গে কাজ করলে কত দিনে কাজটি শেষ হবে।

ক
৩০
খ
৪০
গ
৫০
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রহিম, করিম এবং জামাল একসঙ্গে একটি নির্মাণ প্রকল্পে কাজ করছে। একদিনে জামাল যতটুকু কাজ করে, রহিম ও করিম একত্রে তার দ্বিগুণ কাজ করে। যদি জামাল একা পুরো কাজটি ৪ মাসে করতে পারে তবে তিনজন একসঙ্গে কাজ করলে কত দিনে কাজটি শেষ হবে।

সমাধান:
১ মাস = ৩০ দিন
৪ মাস = ৩০ × ৪ = ১২০ দিন

জামাল ১২০ দিনে করতে পারে কাজটির = ১ অংশ
জামাল ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/১২০ অংশ

রহিম ও করিম একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির = (১/১২০) × ২ অংশ
= ১/৬০

তিনজন একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির = (১/৬০) + (১/১২০) অংশ
= (২ + ১)/১২০
= ৩/১২০ অংশ
= ১/৪০ অংশ

১/৪০ অংশ তিনজন একত্রে করতে পারে = ১ দিনে
১ বা সম্পূর্ন কাজ তিনজন একত্রে করতে পারে = ১ × (৪০/১) দিনে
= ৪০ দিনে

৭,৯২১.

x + (1/x) = √3 হলে x³ + 1/x³ = কত?

ক
3
খ
9
গ
27
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/x) = √3 হলে x³ + 1/x³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + (1/x) = √3

আমরা জানি
x³+ 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3.x.1/x.(x + 1/x)
= (√3)³ - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0

৭,৯২২.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
72 বর্গমিটার
খ
18√2 বর্গমিটার
গ
36 বর্গমিটার
ঘ
72√2 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
মনেকরি
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক একক

শর্তমতে,
√2ক = 6√2
⇒ ক = 6√2/√2
∴ ক = 6

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ক²
= 6²
= 36 বর্গমিটার

৭,৯২৩.

প্রথম বারোটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত?

ক
৮০
খ
৯৬
গ
১০০
ঘ
১৪৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম বারোটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
প্রথম বারোটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = (১২)^২
= ১৪৪

৭,৯২৪.

প্রদত্ত সারণির প্রচুরক কত?

ক
54.67
খ
71.34
গ
66.7
ঘ
78.54

ব্যাখ্যা

L = 61
f₁ = 12 - 8 = 4
f₂ = 12 - 9 = 3
h = 10
অতএব, প্রচুরক
= L + f₁/(f₁ + f₂) × h
= 61 + 4/(4 + 3) × 10
= 61 + 4/7 × 10
= 61 + 40/7
= 66.7

৭,৯২৫.

a² - b² = 4 এবং ab = 2 হলে a² + b² = ?

ক
ক) 2√2
খ
খ) √2
গ
গ) 4√2
ঘ
ঘ) 3√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- a² - b² = 4 এবং ab = 2 হলে a² + b² = ?

সমাধান-
দেওয়া আছে,
a²- b² = 4
⇒ (a² - b²)² = 4²
⇒ (a² + b²)² - 4.a².b² = 16
⇒ (a² + b²)² - 4(ab)² = 16
⇒ (a² + b²)² - 4.2² = 16
⇒ (a² + b²)² - 16 = 16
⇒ (a² + b²)² = 32
⇒ a² + b² = √32
⇒ a² + b² = 4√2

৭,৯২৬.

১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)} = কত?

ক
৩/৫
খ
৫/৩
গ
১
ঘ
২/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)} = কত?

সমাধান:
= ১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)}
= ১ ÷ (৩/৫){(১ + ২)/৩}
= ১ ÷ (৩/৫)(৩/৩)
= ১ ÷ (৩/৫) × ১
= ১ ÷ (৩/৫)
= ১ × (৫/৩)
= ৫/৩

৭,৯২৭.

৮৪ কোন সংখ্যার ৪০% ?

ক
১৯৬
খ
২০৪
গ
২১০
ঘ
২২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮৪ কোন সংখ্যার ৪০% ?

সমাধান:
ধরি,
৮৪ 'ক' সংখ্যার ৪০%

ক এর ৪০% = ৮৪
⇒ ক × (৪০/১০০) = ৮৪
⇒ ক = (৮৪ × ১০০)/৪০
∴ ক = ২১০

৭,৯২৮.

একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ২০ মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের নিচের প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

ক
২৩ মিটার
খ
১৫ মিটার
গ
১৭ মিটার
ঘ
১৩ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ২০ মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের নিচের প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর নিচের প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়়ী,
২৫^২ = ২০^২ + ক^২
⇒ ক^২ = ২৫^২ - ২০^২
⇒ ক^২ = ৬২৫ - ৪০০
⇒ ক^২ = ২২৫
⇒ ক = √২২৫
∴ ক = ১৫ মিটার

৭,৯২৯.

(x - y), (x² + xy), (x² - y²) এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

ক
(x² - y²)
খ
x(x² - y²)
গ
x - y
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - y), (x² + xy), (x² - y²) এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = x - y

২য় রাশি = (x² + xy)
= x(x + y)

৩য় রাশি = (x² - y²)
= (x + y)(x - y)

∴ ল, সা, গু = x(x + y)(x - y)
= x(x² - y²)

৭,৯৩০.

|3x - 15| = 18 এ x এর সম্ভাব্য সকল মানের গুণফল কত?

ক
-12
খ
-10
গ
-11
ঘ
-15

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
|3x - 15| = 18
উভয় ক্ষেত্রে পরম মান সমীকরণ সমাধান করে পাই,
3x - 15 = 18
⇒ 3x = 15 + 18 = 33
∴ x = 11

or, 3x - 15 = - 18
⇒ 3x = - 18 + 15 = -3
∴ x = -1

x এর সম্ভাব্য সকল মানের গুণফল = 11 × (-1) = -11

৭,৯৩১.

একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকে ২৪০০০ লিটার পানি ধরে। যদি ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার হয়, তবে ট্যাংকের গভীরতা কত মিটার হবে?

ক
২ মিটার
খ
৩ মিটার
গ
৪ মিটার
ঘ
৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকে ২৪০০০ লিটার পানি ধরে। যদি ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার হয়, তবে ট্যাংকের গভীরতা কত মিটার হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার
∴ ২৪০০০ লিটার = ২৪ ঘনমিটার

আবার,
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
∴ গভীরতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= ২৪/(৪ × ৩)
= ২৪/১২
= ২ মিটার

∴ ট্যাংকের গভীরতা = ২ মিটার।

৭,৯৩২.

x² = 11 + 2√30 হলে, x + 1/x এর মান কত?

ক
ক) 2√6
খ
খ) 2√5
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 2√6 + 2√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² = 11 + 2√30 হলে, x + 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² = 11 + 2√30
x² = 6 + 2√30 + 5
x² = (√6)² + 2 (√6)(√5) + (√5)²
x² = (√6 + √5)²
x = √6 + √5
1/x = 1/(√6 + √5)
1/x = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
1/x = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²}
1/x = (√6 - √5)/(6 - 5)
1/x= √6 - √5

x + 1/x = √6 + √5 +√6 - √5 = 2√6

৭,৯৩৩.

কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

ক
৪/২৭
খ
৭/৩৬
গ
১৬/৪৫
ঘ
৪/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

সমাধান:
৪/২৭ = ০.১৪৮
৭/৩৬ = ০.১৯৪
১৬/৪৫ =০.৩৫৫
৪/৫ = ০.৮

৭,৯৩৪.

নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

ক
ক) ৩/৫
খ
খ) ৪/৭
গ
গ) ৫/৮
ঘ
ঘ) ৬/১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান:
৩/৫ = ০.৬ (ক্ষুদ্রতম)

৪/৭ = ০.৫৭ (ক্ষুদ্রতম)

৫/৮ = ০.৬২ (বৃহত্তম)

৬/১১ = ০.৫৪ (ক্ষুদ্রতম)

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৫/৮।

৭,৯৩৫.

খ একটি কাজ করতে যত সময় নেয় ক ঐ কাজটি করতে তার তিন গুণ সময় বেশি নেয়। তারা একত্রে 15 দিনে কাজটি করতে পারে। ক একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

ক
ক) 20 দিন
খ
খ) 40 দিন
গ
গ) 50 দিন
ঘ
ঘ) 60 দিন

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
খ কাজটি করতে সময় নেয় x দিন
ক কাজটি করতে সময় নেয় 3x দিন

ক ও খ ১ দিনে করতে পারে কাজটির = (1/x) + (1/3x) অংশ
= (3 + 1)/3x
= 4/3x

ক ও খ 4/3x অংশ কাজ করে 1 দিনে
ক ও খ 1 অংশ (সম্পূর্ণ)কাজ করে 3x/4 দিনে

প্রশ্নমতে,
3x/4 = 15
3x = 15 × 4
x = (15 × 4)/3 = 20

ক কাজটি করতে করতে পারবে = 3 × 20 = 60 দিন

৭,৯৩৬.

x > y, z < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) xz > yz
খ
খ) x/z > y/z
গ
গ) z/x < z/y
ঘ
ঘ) xz < yz

ব্যাখ্যা

x > y এবং z ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ায় xz < yz হবে।

৭,৯৩৭.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ এবং তাদের ল.সা. গু ৪৮০ হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

ক
১৫২
খ
১৫৬
গ
১৬০
ঘ
১৬৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ এবং তাদের ল.সা. গু ৪৮০ হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৫ক
এবং অপর সংখ্যাটি = ৮ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৪০ক

প্রশ্নমতে,
৪০ক = ৪৮০
⇒ ক = ৪৮০/৪০
∴ ক = ১২
একটি সংখ্যা = ৫ × ১২ = ৬০
অপর সংখ্যাটি = ৮ × ১২ = ৯৬

∴ সংখ্যা দুইটির যোগফল = ১৫৬।

৭,৯৩৮.

৩৬ : ৬৪ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

ক
ক) ১৮ : ৩২
খ
খ) ৬৪ : ৩৬
গ
গ) ৬ : ৮
ঘ
ঘ) ৩২ : ১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৬ : ৬৪ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়
৩৬ : ৬৪ দ্বিভাজিত অনুপাত =√৩৬ : √৬৪ = ৬ : ৮

৭,৯৩৯.

শতকরা বার্ষিক ১২% সরল সুদে ৪৮০০ টাকার ৩ মাসের সুদ কত?

ক
৬৪ টাকা
খ
৯২ টাকা
গ
১৪৪ টাকা
ঘ
১৬০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ১২% সরল সুদে ৪৮০০ টাকার ৩ মাসের সুদ কত?

সমাধান:
এখানে, P = ৪৮০০ টাকা
r = ১২% = ১২/১০০
n = ৩ মাস = ৩/১২ বছর

আমরা জানি,
I = Pnr
= (৪৮০০ × ১২ × ৩)/(১০০ × ১২)
= ১৪৪

৭,৯৪০.

১০ জন বালক ও ৮ জন বালিকা থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?

ক
ক) ১২৬০
খ
খ) ৩০৬০
গ
গ) ৫০৬০
ঘ
ঘ) ৭৩

ব্যাখ্যা

১০ জন বালক থেকে ২ জন বালক বেছে নেওয়া যায় = ^১০C_২ = ৪৫ উপায়ে
৮ জন বালিকা থেকে ২ জন বালিকা বেছে নেওয়া যায় = ^৮C_২ = ২৮ উপায়ে

১০ জন বালক ও ৮ জন বালিকা থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা বেছে নেওয়া যায় = ৪৫ × ২৮ = ১২৬০ উপায়ে

৭,৯৪১.

টাকায় ১৫টি লেবু কিনে টাকায় ১০টি বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হয়?

ক
ক) ৩৩.৩৩%
খ
খ) ৫০%
গ
গ) ৬৬.৬৭%
ঘ
ঘ) ৭৫%

ব্যাখ্যা

১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/১৫ টাকা এবং ১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১/১০ টাকা।
লাভ = (১/১০ - ১/১৫) টাকা = (৩-২)/৩০ টাকা = ১/৩০ টাকা।
তাহলে ১/১৫ টাকায় লাভ হয়১/৩০ টাকা
সুতরাং ১০০ টাকায় লাভ হয় ১৫×১০০/৩০ টাকা
= ৫০%

৭,৯৪২.

একটি বাক্সে ৭টি লাল, ৯টি কালো এবং ৬টি সাদা বল আছে। এলোমেলো ভাবে ১টি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি লাল বা কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৭/১১
খ
খ) ৮/১১
গ
গ) ৯/১১
ঘ
ঘ) ৬/১১

ব্যাখ্যা

বাক্সে লাল আছে = ৭টি
বাক্সে কালো আছে = ৯টি
সাদা বল আছে = ৬টি

মোট বল = (৭ + ৯ + ৬)টি = ২২ টি

বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/২২
বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা =৯/২২

বলটি লাল বা কালো হওয়ার সম্ভাবনা = (৭/২২) + (৯/২২)
= (৭ + ৯)/২২
= ১৬/২২
= ৮/১১

৭,৯৪৩.

একটি তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন ৩৮ কেজি এবং অর্ধেক তেলসহ পাত্রের ওজন ২৪ কেজি। পাত্রটির ওজন কত?

ক
ক) ৮ কেজি
খ
খ) ১০ কেজি
গ
গ) ১২ কেজি
ঘ
ঘ) ৬ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন ৩৮ কেজি এবং অর্ধেক তেলসহ পাত্রের ওজন ২৪ কেজি। পাত্রটির ওজন কত?

সমাধান:
পাত্রের ওজন + ১ অংশ বা (সম্পূর্ণ) তেলের ওজন = ৩৮ কেজি
পাত্রের ওজন + ১/২ অংশ তেলের ওজন = ২৪ কেজি

১/২ অংশ তেলের ওজন = (৩৮ - ২৪)কেজি
= ১৪ কেজি

পাত্রের ওজন = (২৪ - ১৪) কেজি
= ১০ কেজি

৭,৯৪৪.

যদি (x-y, 3) = (0, x+2y) হয় ,তবে x এবং y এর মান কত?

ক
ক) (-1,-1)
খ
খ) (1,3)
গ
গ) (1,1)
ঘ
ঘ) (-1,-3)

ব্যাখ্যা

x - y =0 ---(1)
x+2y = 3 --(2)
(1) এবং (2) সমাধান করে পায়,
x,y = 1,1

৭,৯৪৫.

একজন দোকানদার কিছু ডাল ২,৩৭৫ টাকায় বিক্রয় করায় তার ৫% ক্ষতি হলো। ঐ ডাল কত টাকায় বিক্রয় করলে তার ৬% লাভ হত?

ক
ক) ২,৫০০ টাকায়
খ
খ) ২,৫৫০ টাকায়
গ
গ) ২,৬০০ টাকায়
ঘ
ঘ) ২,৬৫০ টাকায়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন দোকানদার কিছু ডাল ২,৩৭৫ টাকায় বিক্রয় করায় তার ৫% ক্ষতি হলো। ঐ ডাল কত টাকায় বিক্রয় করলে তার ৬% লাভ হত?

সমাধান:
৫% ক্ষতিতে
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৩৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ২৩৭৫)/৯৫ টাকা
=২৫০০ টাকা

৬% লাভে
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ২৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০৬ ×২৫০০)/১০০ টাকা
= ২৬৫০ টাকা

৭,৯৪৬.

9m² - 12mn + 4n² - 16p² এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
(3m + 2n + 4p)(3m - 2n + 5p)
খ
(3m + 2n + 4p)(2m + 2n - 4p)
গ
(3m - 2n - 4p)(3m - 4n - 4p)
ঘ
(3m - 2n + 4p)(3m - 2n - 4p)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9m² - 12mn + 4n² - 16p² এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
= 9m² - 12mn + 4n² - 16p²
= (3m)² - 2(3m)(2n) + (2n)² - (4p)²
= (3m - 2n)² - (4p)²
= (3m - 2n + 4p)(3m - 2n - 4p)

৭,৯৪৭.

একটি টেবিল ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করা হল। বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভ হত। টেবিলটির ক্রয়মূল্য কত?

ক
ক) ৩০০
খ
খ) ৩৬০
গ
গ) ৪২০
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

মনে করি,
টেবিলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা বা, ৯০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য - ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য
= (১০৫ - ৯০) টাকা বা, ১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০×৬০)/ ১৫ = ৪০০ টাকা
সুতরা, টেবিলটির ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা।

৭,৯৪৮.

log_a (ab) = c হলে log_b a = ?

ক
1
খ
1/c
গ
1/(c + 1)
ঘ
1/(c - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a (ab) = c হলে log_b a = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a (ab) = c
⇒ log_a a + log_a b = c
⇒ 1 + log_a b = c
⇒ log_ab = c - 1
⇒ 1/log_ba = c - 1
⇒ log_b a = 1/(c - 1)

৭,৯৪৯.

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

ক
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
খ
২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
গ
১/২ × (ভূমি × উচ্চতা)
ঘ
ভূমি × উচ্চতা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো - (ভূমি × উচ্চতা) ।

অন্যদিকে,
- রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
- বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)^২ ।
- আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।

৭,৯৫০.

^mn√(x^m/xⁿ) × ^nl√(xⁿ/x^l) ^lm√(x^l/x^m) = কত?

ক
ক) x^lmn
খ
খ) x^1/lmn
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

^mn√(x^m/xⁿ) × ^nl√(xⁿ/x^l) ^lm√(x^l/x^m)
= (x^m-n)^1/mn × (x^n-l)^1/nl × (x^l-m)^1/lm
= x^m-n/mn × x^n-l/nl × x^l-m^/lm
= x^{m-n/mn + n-l/nl + l-m/lm}
= x^{{l(m-n) + m(n-l) + n(l-m)}/mnl}
= x^{(lm - nl + mn - lm + nl - mn)/}^mnl
= x^0/mnl= x⁰
= 1

৭,৯৫১.

2a² - a - 3 এর উৎপাদক কত?

ক
ক) (2a + 3)(a - 1)
খ
খ) (2a - 3)(a - 1)
গ
গ) (2a + 3)(a + 1)
ঘ
ঘ) (2a - 3)(a + 1)

ব্যাখ্যা

2a² - a - 3
2a² - 3a + 2a - 3
a(2a - 3) + 1(2a - 3)
(2a - 3)(a + 1)

৭,৯৫২.

(১/১০) টাকায় (১/৫০) টাকা লাভ হলে, শতকরা লাভের হার কত?

ক
২০%
খ
১০%
গ
১৫%
ঘ
২৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১/১০ টাকায় ১/৫০ টাকা লাভ হলে, শতকরা লাভের হার কত?

সমাধান:
১/১০ টাকায় লাভ হয় = ১/৫০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = (১/৫০)/(১/১০) = ১০/৫০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০০ × ১০)/৫০ = ২০ টাকা

সুতরাং, শতকরা লাভের হার ২০%

৭,৯৫৩.

বার্ষিক শতকরা কত মুনাফায় কোনো আসল ১০ বছরে মুনাফা আসলে দ্বিগুণ হবে?

ক
ক) ৮%
খ
খ) ১০%
গ
গ) ১২.৫%
ঘ
ঘ) ১১.৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা কত মুনাফায় কোনো আসল ১০ বছরে মুনাফা আসলে দ্বিগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
আসল P = ১০০ টাকা
∴ মুনাফা আসল =(২ × ১০০) টাকা
= ২০০ টাকা
∴মুনাফা I =২০০ - ১০০ = ১০০ টাকা
সময় n = ১০ বছর
সুদের হার r% = ?
আমরা জানি,
I = Pnr
r = I/Pn
r = (১০০ × ১০০)/(১০০ × ১০)
r = ১০%

৭,৯৫৪.

a² + b² = 4 এবং a² - b² = - 4 হয়, তাহলে a⁴ + b⁴ এর মান কত?

ক
ক) 16
খ
খ) 20
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
a² + b² = 4
a² - b² = - 4

a⁴ + b⁴ = (a²)² + (b²)²
= {(a² + b²)² +(a² - b²)²}/2
= {4² + (- 4)²}/2
= (16 + 16)/2
= 32/2
= 16

৭,৯৫৫.

6q² - q - 15 এর একটি উৎপাদক 3q - 5 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

ক
3q + 5
খ
2q + 2
গ
3q - 5
ঘ
2q + 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6q² - q - 15 এর একটি উৎপাদক (3q - 5) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q² - q - 15
= 6q² + 9q - 10q - 15
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)

৭,৯৫৬.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যায়ের উপর লম্ব । AD = 5 সে. মি. হলে, AB =?

ক
20 সে. মি.
খ
2.5 সে. মি.
গ
10 সে. মি.
ঘ
15 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যায়ের উপর লম্ব । AD = 5 সে. মি. হলে, AB =?

সমাধান:

আমরা জানি,
যেকোনো বৃত্তের কেন্দ্রে থেকে কোনো জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যায়কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

দেওয়া আছে,
AD = 5 সে. মি.

যেহেতু AB জ্যায়টি সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে, তাই
∴ AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 সে. মি.

৭,৯৫৭.

একজন বিনিয়োগকারী তার ১/৪ অংশ মূলধনের উপর ৩% হারে, ২/৩ অংশ মূলধনের উপর ৫% হারে এবং অবশিষ্ট মূলধনের উপর ১১% হারে মুনাফা অর্জন করে। মোট মূলধনের উপর তার শতকরা মুনাফার হার কত?

ক
ক) ৪%
খ
খ) ৫%
গ
গ) ৬%
ঘ
ঘ) ৮%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একজন বিনিয়োগকারী তার ১/৪ অংশ মূলধনের উপর ৩% হারে, ২/৩ অংশ মূলধনের উপর ৫% হারে এবং অবশিষ্ট মূলধনের উপর ১১% হারে মুনাফা অর্জন করে। মোট মূলধনের উপর তার শতকরা মুনাফার হার কত?

সমাধান-
মনে করি,
তার মোট মূলধন = ক

১/৪ অংশ মূলধনের উপর মুনাফা = ক/৪ এর ৩% = ৩ক/৪০০
২/৩ অংশ মূলধনের উপর মুনাফা = ২ক/৩ এর ৫% = ক/৩০

অবশিষ্ট মূলধন = ক - {(ক/৪) + (২ক/৩)}
= ক - (ক/৪) - (২ক/৩)
= (১২ক - ৩ক - ৮ক)/১২
= ক/১২

অবশিষ্ট মূলধনের উপর মুনাফা =ক/১২ এর ১১% = ১১ক/১২০০

মোট মুনাফা = (৩ক/৪০০) + (ক/৩০) + (১১ক/১২০০)
= (৯ক + ৪০ক + ১১ক)/১২০০
= ৬০ক/১২০০
= ক/২০

শতকরা মুনাফার হার = (ক × ১০০) / (ক × ২০ ) = ৫%

৭,৯৫৮.

যদি log_x(0.1) = - 1/2 হয়, তাহলে x = কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 100
গ
গ) 1/100
ঘ
ঘ) 1/10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_x(0.1) = - 1/2 হয়, তাহলে x = কত?

সমাধান:
log_x(0.1) = -1/2
⇒ x^{- 1/2}= 0.1
⇒ 1/x^1/2 = 1/10
⇒ x^1/2 = 10
⇒(x^1/2)²= 10²
⇒ x = 100

৭,৯৫৯.

a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, a² + b² এর মান কত?

ক
68
খ
80
গ
89
ঘ
96

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
a² + b² = {(a + b)² + (a - b)²}/2
= {(13)² + (3)²}/2
= (169 + 9)/2
= 178/2
= 89

৭,৯৬০.

m এর মান কত হলে x² + x - m একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

ক
1/2
খ
1/4
গ
- 1/2
ঘ
- 1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m এর মান কত হলে x² + x - m একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
x² + x - m কে ax² + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1, b = 1, c = - m

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি b² - 4ac = 0 হয়, তবে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
এখানে, b = 1, a = 1 এবং c = - m

b² - 4ac = 0
⇒ (1)² - 4.1.(- m) = 0
⇒ 1 + 4m = 0
⇒ 4m = - 1
⇒ m = - 1/4

৭,৯৬১.

এক ব্যাক্তির মাসিক বেতন বছরে একবার মার্চ মাসে ৫% বৃদ্ধি পায়। যদি একটি নির্দিষ্ট বছরে তিনি জুন মাসে ২১০০০ টাকা বেতন পান তাহলে সেই বছর জানুয়ারী মাসে তার বেতন কত ছিলো?

ক
১৮০০০ টাকা
খ
১৯৫০০ টাকা
গ
২০০০০ টাকা
ঘ
২০৫০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যাক্তির মাসিক বেতন বছরে একবার মার্চ মাসে ৫% বৃদ্ধি পায়। যদি একটি নির্দিষ্ট বছরে তিনি জুন মাসে ২১০০০ টাকা বেতন পান তাহলে সেই বছর জানুয়ারী মাসে তার বেতন কত ছিলো?

সমাধান:
ধরি,
জানুয়ারী মাসে ব্যাক্তির বেতন ছিলো = ১০০ টাকা
∴ মার্চ মাসে ৫% বৃদ্ধি পেলে তার বেতন হয় = ১০০ + ১০০ এর ৫% = ১০০ + ৫ = ১০৫ টাকা
যেহেতু বছরে একবারই বেতন বৃদ্ধি পায় সেহেতু জুন মাসেও তার বেতন হবে = ১০৫ টাকা

এখন,
জুন মাসে বেতন ১০৫ টাকা হলে জানুয়ারী মাসে বেতন ছিলো = ১০০ টাকা
∴ জুন মাসে বেতন ১ টাকা হলে জানুয়ারী মাসে বেতন ছিলো = (১০০/১০৫) টাকা
∴ জুন মাসে বেতন ২১০০০ টাকা হলে জানুয়ারী মাসে বেতন ছিলো = (১০০ × ২১০০০)/১০৫ টাকা = ২০০০০ টাকা

৭,৯৬২.

a - 1/a = 3 হলে, a⁴ + 1/a⁴ = ?

ক
110
খ
119
গ
120
ঘ
129

ব্যাখ্যা

a⁴ + 1/a⁴
= (a²)² + (1/a²)²
= (a² + 1/a²)² - 2.a².1/a²
= (a² + 1/a²)² - 2
= {(a - 1/a)² + 2.a.1/a}² - 2
= {(3² +2}² - 2
= 11² - 2
= 119

৭,৯৬৩.

(5^{5x - 6} · a^{4x - 7})/5^{(x + 1)} = a^{(4x - 7)} এবং a > 0 হলে, x এর মান কত?

ক
4/5
খ
1/2
গ
3
ঘ
7/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5^{5x - 6} · a^{4x - 7})/5^{(x + 1)} = a^{(4x - 7)} এবং a > 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5^{5x - 6} · a^{4x - 7})/5^{(x + 1)} = a^{(4x - 7)}
⇒ (5^{5x - 6}/5^{(x + 1)} = a^{(4x - 7)}/a^{(4x - 7)}
⇒ 5^{(5x - 6)} = 5^{(x + 1)}
⇒ 5x - 6 = x + 1
⇒ 5x - x = 1 + 6
⇒ 4x = 7
:. x = 7/4

৭,৯৬৪.

যদি TIME শব্দটির অক্ষর গুলিকে আবার সাজানো হয় তবে কত গুলো বিন্যাস স্বরবর্ণ দ্বারা শুরু হবে?

ক
ক) 12
খ
খ) 10
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

TIME শব্দটিতে মোট অক্ষর = 4 টি, স্বরবর্ণ = 2 টি
∴ I দ্বারা শুরু করলে বিন্যাস = ³p₃ = 6
E দ্বারা শুরু করলে বিন্যাস = ³p₃ = 6
∴ বিন্যাস = 6+6 = 12

৭,৯৬৫.

একটি সরলরেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

ক
ক) 16
খ
খ) 9
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x/3)² বা, x²/9

একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের 9 গুণ।

৭,৯৬৬.

9p² - (2p - 3q)² = কত?

ক
(5p - 3q)(p + 3q)
খ
(5p + 3q)(p - 3q)
গ
(5p - 3q)(p - 3q)
ঘ
(5p + 3q)(p + 3q)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9p² - (2p - 3q)² = কত?

সমাধান:
9p² - (2p - 3q)²
= (3p)² - (2p - 3q)²
= {3p + (2p - 3q)} {3p - (2p - 3q)}
= (3p + 2p - 3q) (3p - 2p + 3q)
= (5p - 3q) (p + 3q)

৭,৯৬৭.

একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 154 বর্গ সে.মি.। গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

ক
ক) 4.5 সে.মি.
খ
খ) 5.5 সে.মি.
গ
গ) 3.5 সে.মি.
ঘ
ঘ) 9.5 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 154 বর্গ সে.মি.। গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 4πr² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
4πr²= 154
4 (22/7)r² = 154
(88/7)r² = 154
r² = 154(7/88)
r² = 49/4
r² = (7/2)²
r = 7/2
r = 3.5
অতএব গোলকটির ব্যাসার্ধ =3.5

৭,৯৬৮.

x² - y² = 15 এবং x + y = 5 হলে, 8xy(x² + y²) = ?

ক
78
খ
372
গ
544
ঘ
156

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - y² = 15 এবং x + y = 5 হলে, 8xy(x² + y²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - y² = 15
বা, (x + y)(x - y) = 15
বা, 5(x - y) = 15
∴ x - y = 3

প্রদত্ত রাশি,
8xy(x² + y²)
= 4xy.2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= (5² - 3²)(5² + 3²)
= 16 × 34
= 544

৭,৯৬৯.

যদি একটি পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 cm, 3.5 cm, 4 cm, 5 cm এবং 6 cm হয়, তাহলে পঞ্চভুজের পরিসীমা কত?

ক
1260 cm
খ
107.5 cm
গ
21.5 cm
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 cm, 3.5 cm, 4 cm, 5 cm এবং 6 cm হয়, তাহলে পঞ্চভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজের পরিসীমা = 3 + 3.5 + 4 + 5 + 6 cm
= 21.5 cm

৭,৯৭০.

একজন বিক্রেতা ১৭টি কমলা ৭২০ টাকায় বিক্রি করে যে লোকসান করল তা ৫টি কমলার ক্রয়মূল্যের সমান। একটি কমলার ক্রয়মূল্য কত?

ক
ক) ৩০ টাকা
খ
খ) ৪০ টাকা
গ
গ) ৫০ টাকা
ঘ
ঘ) ৬০ টাকা

ব্যাখ্যা

১৭টি কমলার বিক্রয়মূল্য = (১৭- ৫) বা ১২ টি কমলার ক্রয়মূল্য

১২ টি কমলার ক্রয়মূল্য ৭২০ টাকা
১ টি '' '' ৭২০/১২ টাকা
= ৬০ টাকা

৭,৯৭১.

একটি থলেতে নীল বল ১২টি, সাদা বল ১৬টি এবং কালো বল ২০টি আছে। দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলো। বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৪
খ
খ) ২/৩
গ
গ) ৩/৪
ঘ
ঘ) ১/৩

ব্যাখ্যা

নীল বল ১২টি
সাদা বল ১৬টি
কালো বল ২০টি
মোট বল =(১২ + ১৬ + ২০)টি = ৪৮টি

নীল হওয়ার সম্ভাবনা = ১২/৪৮ = ১/৪

নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৪ = (৪ - ১)/৪ = ৩/৪

৭,৯৭২.

5 + 8 + 11 + 14 + ............ ধারাটির 19তম পদ কত?

ক
ক) 62
খ
খ) 59
গ
গ) 56
ঘ
ঘ) 65

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ............ ধারাটির 19তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3

আমরা জানি
n তম পদ = a + (n - 1)d
19 তম পদ = a + (19 - 1)d
= a + 18d
= 5 + 18 × 3
= 5 + 54
= 59

৭,৯৭৩.

125x³ + 64y³ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
(5x - 4y)(25x² + 20xy + 16y²)
খ
(5x + 4y)(25x² - 20xy + 16y²)
গ
(5x + 4y)(25x² + 20xy - 16y²)
ঘ
(5x - 4y)(25x² - 20xy - 16y²)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 125x³ + 64y³ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
125x³ + 64y³
= (5x)³ + (4y)³
= (5x + 4y) {(5x)² - (5x)(4y) + (4y)²}
= (5x + 4y)(25x² - 20xy + 16y²)

৭,৯৭৪.

নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

ক
2 + 5 + 9 + 17 + ...
খ
(1/3) + (1/9) + (1/27) +....
গ
4 + 7 + 10 + 13 + ...
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
• একটি সমান্তর ধারা হলো এমন একটি ধারা, যেখানে যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের মধ্যে পার্থক্য বা সাধারণ অন্তর (d) সর্বদা সমান থাকে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

• প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) 4 + 7 + 10 + 13 + ... ধারাটির প্রতিটি পদের মধ্যে অন্তর সমান।
এখানে, সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3
আবার, d = 10 - 7 = 3 এবং 13 - 10 = 3।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর একই (3), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা।

• অন্যান্য অপশনসমূহ:
(ক) 2 + 5 + 9 + 17 + ... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর সমান নয়, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।
(খ) (1/3) + (1/9) + (1/27) +.... ধারাটিতে সাধারণ অনুপাত (1/3) সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

৭,৯৭৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য ১২মিঃ হলে অতিভুজ এবং লম্ব যথাক্রমে -

ক
ক) ১৫m, ৯m
খ
খ) ৯m, ১৫m
গ
গ) ১০m, ৮m
ঘ
ঘ) ২৫m, ১৫m

ব্যাখ্যা

এখানে, ১৫^২ - ৯^২ = ১২^২
∴ অতিভুজ = ১৫m এবং লম্ব = ৯m।

৭,৯৭৬.

ক
1/3
খ
3
গ
4
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৭,৯৭৭.

৮৩২ এর ভাজক সংখ্যা কতটি?

ক
১৪
খ
৮
গ
১৬
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮৩২ এর ভাজক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৮৩২ কে তার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৮৩২ ÷ ২ = ৪১৬
৪১৬ ÷ ২ = ২০৮
২০৮ ÷ ২ = ১০৪
১০৪ ÷ ২ = ৫২
৫২ ÷ ২ = ২৬
২৬ ÷ ২ = ১৩
সুতরাং, ৮৩২ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো: ৮৩২ = ২^৬ × ১৩^১

∴ ভাজক সংখ্যা = (৬ + ১)(১ + ১) = ৭ × ২ = ১৪

৭,৯৭৮.

A নল ১০ মিনিটে ট্যাঙ্কের ২/৭ অংশ পূর্ণ করে, B নল ৩০ মিনিটে ৩/৮ অংশ খালি করে। ট্যাঙ্ক খালি থাকলে দুটি নল একসাথে খুলে দিলে পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

ক
৫৪০/৮ মিনিট
খ
৫৯০/৯ মিনিট
গ
৫৬০/৯ মিনিট
ঘ
৫৫০/৮ মিনিট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A নল ১০ মিনিটে ট্যাঙ্কের ২/৭ অংশ পূর্ণ করে, B নল ৩০ মিনিটে ৩/৮ অংশ খালি করে। ট্যাঙ্ক খালি থাকলে দুটি নল একসাথে খুলে দিলে পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A নল ১০ মিনিটে ট্যাঙ্কের ২/৭ অংশ পূর্ণ করে।
১ মিনিটে পূর্ণ করে = ২ / ( ৭×১০ ) = ১/৩৫ অংশ
আবার,
B নল ৩০ মিনিটে ৩/৮ অংশ খালি করে।
১ মিনিটে খালি করে = ৩ / ( ৮ × ৩০ ) = ১/৮০ অংশ

দুইটি নল একসাথে খুলে দিলে ১ মিনিটে পূর্ণ হবে = ( ১/৩৫ ) - ( ১/৮০ ) = ( ১৬ - ৭) /৫৬০ = ৯/৫৬০ অংশ

তাহলে,
৯/৫৬০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = ১ × ( ৫৬০/৯ ) মিনিটে
= ৫৬০/৯ মিনিটে

৭,৯৭৯.

12 + 24 + 48 + ....... + 768 = ?

ক
ক) 1536
খ
খ) 1425
গ
গ) 1522
ঘ
ঘ) 1524

ব্যাখ্যা

a = 12,
r = 24/12 = 2
∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 768 = 12.2^n-1
বা, 2^n-1 = 64 = 2⁶
বা, n - 1 = 6
∴ n = 7
∴ সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 12 × 127
= 1524

৭,৯৮০.

চিনির মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়াতে একটি পরিবার চিনির ব্যবহার এমনভাবে কমালো যে চিনি বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পেল না। ঐ পরিবার চিনি খাওয়া শতকরা কত কমালো?

ক
ক) ২০%
খ
খ) ১৫%
গ
গ) ২৫%
ঘ
ঘ) ৩০%

ব্যাখ্যা

২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা
বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
∴বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমুল্য = (১০০×১০০)/১২৫ = ৮০ টাকা
∴ঐ পরিবার চিনি খাওয়া কমালো (১০০-৮০) = ২০%

৭,৯৮১.

6x² + 24x + 24 এবং x² + x - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

ক
x - 1
খ
x + 2
গ
x - 2
ঘ
(x + 2)(x - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² + 24x + 24 এবং x² + x - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = 6x² + 24x + 24
= 6(x² + 4x + 4)
= 6(x² + 2x + 2x + 4)
= 6{x(x + 2) + 2(x + 2)}
= 6(x + 2)(x + 2)

২য় রাশি = x² + x - 2
= x²+ 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = x + 2

৭,৯৮২.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৩৩০ এবং গুণফল ৯৯০ হলে, সংখা দুটির গ.সা.গু কত?

ক
৩
খ
৫
গ
১০
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৩৩০ এবং গুণফল ৯৯০ হলে, সংখা দুটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সংখা দুটির গ.সা.গু = সংখা দুটির গুণফল/সংখা দুটির ল.সা.গু
= ৯৯০/৩৩০
= ৩

৭,৯৮৩.

x − 1/x = 1 হলে x³ - 1/x³ এর মান কত?

ক
ক) 4.0
খ
খ) 1.0
গ
গ) 2.0
ঘ
ঘ) 3.0

ব্যাখ্যা

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3.x.1/x(x - 1/x)
= 1³ + 3. 1
= 4

৭,৯৮৪.

যদি 2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320 হয়, তাহলে n = ?

ক
6
খ
8
গ
7
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320 হয়, তাহলে n = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320
⇒ 2^{n - 1} + 2^{n - 1 + 2} = 320
⇒ 2^{n - 1} + 2^{n - 1}⋅2² = 320
⇒ 2^{n - 1} + 4⋅2^{n - 1} = 320
⇒ 2^{n - 1}(1 + 4) = 320
⇒ 2^{n - 1}⋅5 = 320
⇒ 2^{n - 1} = 320/5 = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

৭,৯৮৫.

2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

ক
- 3/2 < x < - 1
খ
- 3/2 < x < 1
গ
- 3/2 ≤ x ≤ 1
ঘ
- 3/2 < x ≤ 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2x² + 5x + 3 < 0
2x² + 2x + 3x + 3 < 0
2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
(x + 1)(2x + 3) < 0

2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি (x + 1) < 0 এবং (2x + 3) > 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন, x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3/2 < x < - 1

৭,৯৮৬.

1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত?

ক
2850
খ
2650
গ
2775
ঘ
2575

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত?

সমাধান:
1 + 2 + 3 +.....................+ 75
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ = 1
ধারাটির শেষ পদ = 75 এবং
পদসংখ্যা = 75

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2
= {(75 + 1) × 75}/2
= (76 × 75)/2
= 38 × 75
= 2850

৭,৯৮৭.

1/√5, - 1, √5, ......... ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

ক
- √5
খ
5√5
গ
- 25√5
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/√5, - 1, √5, ......... ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/√5
সাধারণ অনুপাত, r = - 1/(1/√5)
= - √5

আমরা জানি
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ পঞ্চম পদ = ar^{5 - 1}
= (1/√5)(- √5)⁴
= (1/√5){(- √5)²}²
= 25/√5
= (5√5 × √5)/√5
= 5√5

৭,৯৮৮.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেমি হলে এর অতিভুজের মান কত?

ক
৫ সে.মি.
খ
৬ সে.মি.
গ
৭ সে.মি.
ঘ
৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেমি হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
বা, অতিভুজ = √(৩² + ৪²)
= √(৯ + ১৬)
= √২৫

∴ অতিভুজ = ৫ সে.মি.

৭,৯৮৯.

4x - x² + 5 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) 1 < x < 3
খ
খ) -1 < x < 5
গ
গ) 2 < x < 5
ঘ
ঘ) -3 < x < 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x - x² + 5 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
4x - x² + 5 > 0
⇒ -x²+ 4x + 5 > 0
⇒ x² - 4x - 5 < 0 [ -1 দ্বারা উভয় পক্ষে গুণ করে পাই]
⇒ x² - 5x + x - 5 < 0
⇒ x(x - 5) + 1(x -5) < 0
⇒ (x + 1) (x - 5) < 0

∴ x + 1 > 0
∴ x > -1

অথবা,
x - 5 < 0
∴ x < 5

∴ -1 < x < 5

৭,৯৯০.

১৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৫৬ বর্গ সে.মি.
খ
১৯৬ বর্গ সে.মি.
গ
৫১২ বর্গ সে.মি.
ঘ
১০২৪ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৬ সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাস = ১৬ × ২ = ৩২ সে.মি.

বৃত্তের ব্যাস = বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴ বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৩২ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√২ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩২
বা, বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩২/√২

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩২/√২)^২
= ৫১২ বর্গ সে.মি.

৭,৯৯১.

x³ - 1, x³ + 1, x⁴ + x² + 1 এর ল.সা.গু কত?

ক
ক) x⁶ + 1
খ
খ) x⁶ - 1
গ
গ) x⁹ + 1
ঘ
ঘ) x⁹ - 1

ব্যাখ্যা

x³ - 1
= (x - 1)(x² + x + 1)

x³ + 1
= (x + 1)(x² - x + 1)

x⁴ + x² + 1
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

∴ ল.সা.গু = (x + 1) (x - 1) (x² + x + 1) (x² - x + 1)
= (x³ + 1) (x³ - 1)
= x⁶ - 1

৭,৯৯২.

3 : 30 মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি?

ক
55°
খ
65°
গ
75°
ঘ
105°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 : 30 মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
মধ্যবর্তী কোণ :
= । (11 M - 60 H) / 2 । [এখানে, M = 30 মিনিট, H = 3 ঘণ্টা ]
= । {(11 × 30) - (60 × 3)}/2।
= । (330 - 180)/2 ।
= । 150/2।
= 75°

৭,৯৯৩.

p + q = 14, pq = 45 এবং p > q হলে p - q এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q = 14, pq = 45 এবং p > q হলে p - q এর মান কত?

সমাধান:
(p - q)² = (p + q)² - 4ab
= 14² - (4 × 45)
= 196 - 180
= 16
∴ p - q = √16 = 4

৭,৯৯৪.

১২টি পেনসিলের ক্রয়মূল্য ৮টি পেনসিলের বিক্রয় মূল্যের সমান। লাভের হার কত?

ক
৬০%
খ
৫০%
গ
৪0%
ঘ
৩৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২টি পেনসিলের ক্রয়মূল্য ৮টি পেনসিলের বিক্রয় মূল্যের সমান। লাভের হার কত?

সমাধান:
৮টি পেনসিলের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
১টি পেনসিলের বিক্রয়মূল্য = ১/৮ টাকা

১২টি পেনসিলের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
১টি পেনসিলের ক্রয়মূল্য = ১/১২ টাকা

লাভ = (১/৮) - (১/১২)
= (৩ - ২)/২৪
= ১/২৪

১/১২ টাকায় লাভ হয় = ১/২৪ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় = (১/২৪)/(১/১২) টাকা
১ টাকায় লাভ হয় = (১২ × ১০০)/২৪ টাকা
= ৫০ টাকা

৭,৯৯৫.

3 + 9 + x + 81............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

ক
18
খ
24
গ
27
ঘ
33

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + x + 81............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
= 9/3
= 3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ, x = ar²
= 3 × 3²
= 27

৭,৯৯৬.

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ১টি বৃত্তের উপর সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

ক
ক) ১
খ
খ) ২
গ
গ) ৩
ঘ
ঘ) অসীম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ১টি বৃত্তের উপর সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:

চিত্রে দেখানো হয়েছে, একটি বহিস্থ বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বাধিক দুটি স্পর্শক আঁকতে পারা যায়।

৭,৯৯৭.

দুইটি জুতো প্রতিটি ৫০০ টাকা বিক্রয়মূল্য।একটি ২৫% লাভে বিক্রি হয়েছে, অন্যটি ২০% ক্ষতিতে বিক্রি হয়েছে। মোট কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হবে?

ক
৭৫ টাকা লাভ
খ
৭৫ টাকা ক্ষতি
গ
২৫ টাকা লাভ
ঘ
২৫ টাকা ক্ষতি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি জুতো প্রতিটি ৫০০ টাকা বিক্রয়মূল্য।একটি ২৫% লাভে বিক্রি হয়েছে, অন্যটি ২০% ক্ষতিতে বিক্রি হয়েছে। মোট কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে ১০০ টাকার জুতোর বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা
৫০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য = (৫০০ × ১০০) / ১২৫ টাকা
= ৪০০ টাকা

২০% ক্ষতিতে ১০০ টাকার জুতোর বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা
৫০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য = (৫০০ × ১০০) / ৮০ টাকা
= ৬২৫ টাকা

জুতো দুইটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ + ৬২৫ = ১০২৫ টাকা
জুতো দুইটির বিক্রয়মূল্য = ৫০০ + ৫০০ = ১০০০ টাকা

ক্ষতি = ১০২৫ - ১০০০ = ২৫ টাকা

∴ক্ষতি = ২৫ টাকা

৭,৯৯৮.

x² - mx - 40 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, m এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - mx - 40 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x² - mx - 40

(x - 8), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে f(8) = 0 হবে
f(8) = 8² - 8m - 40
= 64 - 8m - 40
= 24 - 8m

তাহলে
24 - 8m = 0
8m = 24
m = 24/8
m= 3

৭,৯৯৯.

যদি 3 × ⁿP₂ = 2 × ^{(n + 1)}P₂, n এর মান কত?

ক
9
খ
5
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3 × ⁿP₂ = 2 × ^{(n + 1)}P₂, n এর মান কত?

সমাধান:
3 × ⁿP₂ = 2 × ^{(n + 1)}P₂
3 × n × (n - 1) = 2 × (n + 1) × n
3(n - 1) = 2(n + 1)
3n - 3 = 2n + 2
3n - 2n = 2 + 3
∴ n = 5

৮,০০০.

২ বর্গমাইল সমান কত একর?

ক
১৪৬০ একর
খ
১২৮০ একর
গ
২১৮০ একর
ঘ
১৮৮০ একর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ বর্গমাইল সমান কত একর?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ বর্গমাইল = ৬৪০ একর
∴ ২ বর্গমাইল = (৬৪০ × ২) একর
= ১২৮০ একর