গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: x² - 3x - 2 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1 = 0 
∴ x = - 1

এখন, x = - 1 বসিয়ে পাই, 
x² - 3x - 2
= (- 1)² - 3 × (- 1) - 2
= 1 + 3 - 2 
= 4 - 2 
= 2 
∴ 2, অবশিষ্ট থাকবে।

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠B এবং ∠C এর অন্তর্দ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হলে ∠BOC = ? 

সমাধান:

ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ (1/2)∠A + (1/2)∠B + (1/2)∠C = 90°
⇒ (1/2)∠B + (1/2)∠C =  90° - (1/2)∠A

ত্রিভুজ BOC এ, 
∠BOC + (1/2)∠B + (1/2)∠C  = 180°
⇒ ∠BOC + 90° - (1/2)∠A = 180°
⇒ ∠BOC = 180° - 90° + (1/2)∠A
⇒ ∠BOC = 90° + (1/2)∠A

প্রশ্ন: P(A ∩ B) = 1/3, P(A ∪ B) = 5/6, P(A) = 1/4 হলে, P(B) = কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
P(A ∩ B) = 1/3
P(A ∪ B) = 5/6
P(A) = 1/4

আমরা জানি,    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
বা, P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
1/3 = (1/4) + P(B) - (5/6)
P(B) = (1/3) - (1/4) + (5/6)
P(B) = (4  - 3 + 10)/12
P(B) = 11/12

প্রশ্ন: যদি p = 4x² + 4xy + y² এবং q = 4x² - 4xy + y² হয়, তবে q - p = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 4x² + 4xy + y² এবং q = 4x² - 4xy + y²

প্রদত্ত রাশি, 
q - p
= (4x² - 4xy + y²) - (4x² + 4xy + y²) 
= 4x² - 4xy + y² - 4x² - 4xy - y²
= - 8xy

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২ মিটার 

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, 
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে = (√৩/৪)× a^২ বর্গ একক

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ মিটার
= (√৩/৪) × (২)^২ 
= (√৩/৪) × ৪ 
= √৩ 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গ মিটার।

কোনো গ্রামের ১৮/২৫ অংশ লোক শিক্ষিত
অর্থাৎ ২৫ জনের মধ্যে শিক্ষিত ১৮ জন
অতএব, ১ জনের মধ্যে শিক্ষিত ১৮/২৫ জন
সুতরাং, ১০০ জনের মধ্যে শিক্ষিত = (১০০×১৮) / ২৫ = ৭২ জন 

COURAGE - শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = ³p₁ = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160

রেখার ঢাল = - (x এর সহগ/y এর সহগ)
= - (1/-1)
= 1

প্রশ্ন: ০.৫ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের বৃহত্তম চাপ হলো ঐ বৃত্তের পরিধি।

দেওয়া আছে, 
ব্যাসার্ধ, r = ০.৫ একক
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr = ২ × ৩.১৪১৬ × ০.৫
= ৩.১৪১৬

∴ বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য ৩.১৪১৬ একক।

- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের মধ্যমা বলে।
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে এর ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে ঐ ত্রিভুজের উচ্চতা বলে
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: 3x² + 9, x⁴ - 9 এবং x⁴ + 6x² + 9 এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
১ম রাশি, 3x² + 9 = 3(x² + 3)

২য় রাশি, x⁴ - 9 = (x²)² - (3)²
= (x² + 3)(x² - 3)

৩য় রাশি, x⁴ + 6x² + 9 = (x²)² + 2 × x² × 3 + (3)²
= (x² + 3)²

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = 3(x² - 3)(x² + 3)²

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক ৩-এর গুণিতকের যোগফল ১১৭। সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
প্রথম গুণিতক = ৩ক
দ্বিতীয় গুণিতক = ৩(ক + ১) = ৩ক + ৩
তৃতীয় গুণিতক = ৩(ক + ২) = ৩ক + ৬

প্রশ্নানুসারে,
৩ক + (৩ক + ৩) + (৩ক + ৬) = ১১৭
⇒ ৯ক + ৯ = ১১৭
⇒ ৯ক = ১০৮
⇒ ক = ১০৮/৯
∴ ক = ১২

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যা = ৩ক + ৬
= (৩ × ১২) + ৬
= ৩৬ + ৬
= ৪২

প্রশ্ন: secθ = √4 হলে tan²θ - 1 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = √4
⇒ sec²θ = (√4)² 
⇒ sec²θ = 4

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ 4 - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = 4 - 1
⇒ tan²θ = 3 

∴ tan²θ - 1 = 3 - 1 = 2

এখানে, সকল সংখ্যা জোড়ের সমষ্টি ৩০;  কিন্তু শুধু ৯ × ২১ = ১৮৯
সুতরাং, সঠিক উত্তর - ক) ৯ এবং ২১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ৩১ = ৫৫ - x
বা, x + x = ৫৫ + ৩১
বা, ২x = ৮৬
বা, x = ৮৬/২
∴ x = ৪৩

∴ সংখ্যাটি = ৪৩ ।

প্রশ্ন: ΔABC এ ∠A = 70°, ∠B = 20° হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 70°, ∠B = 20°

∴ অপর কোণটি, ∠C = 180° - (70° + 20°)
= 180° - 90°
= 90°

এখানে, ∠C কোণ 90° হওয়ায়,
তাই, ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: কোনো দূর্গে ৭২০ জন সৈন্যের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু নতুন সৈন্য আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে কত জন সৈন্য নতুন এসেছিলো? 

সমাধান:
বাকি সময় = (২০ - ১০) দিন 
= ১০ দিন 

১০ দিনের খাবার আছে = ৭২০ জন সৈন্যের
∴ ১ দিনের খাবার আছে = (৭২০ × ১০) জন সৈন্যের
∴ ৮ দিনের খাবার আছে = (৭২০ × ১০)/৮ জন সৈন্যের
= ৯০০ জন সৈন্যের

∴ সৈন্য নতুন এসেছিলো = (৯০০ - ৭২০) জন 
= ১৮০ জন।

x + 6, f(x) = x² - kx - 48 এর একটি উৎপাদক
∴ f(-6) = 0
বা, (-6)² - k(-6) - 48 = 0
বা, 36 + 6k - 48 = 0
বা, 6k = 12
∴ k = 2

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৪০ জন ছাত্রের ৩০ দিনের খাবার আছে। ৫ দিন পর আরও ১০ জন ছাত্র আসলে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কতদিন চলবে?

সমাধান:
দিন অবশিষ্ট রইল = ৩০ - ৫ = ২৫ দিন।
মোট ছাত্র = ৪০+১০ = ৫০ জন।
৪০ জনের খাবার আছে ২৫ দিনের
১ জনের খাবার আছে ২৫ × ৪০ দিনের
৫০ জনের খাবার আছে = (২৫ × ৪০)/৫০ = ২০দিন

প্রশ্ন: একটি পাইপের বহিঃব্যাস ৪.৮ সেমি এবং অন্তর্ব্যাস ৩.২ সেমি। পাইপটির পুরুত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাইপের বহিঃব্যাস = ৪.৮ সেমি
∴ পাইপের বহিঃব্যাসার্ধ = ৪.৮/২ = ২.৪ সেমি

পাইপের অন্তর্ব্যাস = ৩.২ সেমি
∴ পাইপের অন্তঃব্যাসার্ধ = ৩.২/২ = ১.৬ সেমি

∴ পাইপটির পুরুত্ব = (বহিঃব্যাসার্ধ - অন্তঃব্যাসার্ধ)
= (২.৪ - ১.৬) সেমি
= ০.৮ সেমি

∴ পাইপটির পুরুত্ব ০.৮ সেমি।

Let the numbers be x and y respectively.
Then, y−30% of x = (4/5)y
⇒ y-(4/5)y = (30/100)x
⇒ y/5 = 3x/10
⇒ x/y = (1/5)×(10/3) = 2/3
⇒ x:y= 2:3

প্রশ্ন: |3x + 4| < 10 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 4| < 10
⇒ - 10 < 3x + 4 < 10
⇒ - 10 - 4 < 3x < 10 - 4
⇒ - 14 < 3x < 6
⇒ - 14/3 < x < 2

প্রশ্ন: (9k² + 6k - 24) এবং (3k² + 11k + 6) এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রথম বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,
9k² + 6k - 24
= 3(3k² + 2k - 8)
= 3(3k² + 6k - 4k - 8)
= 3{3k(k + 2) - 4(k + 2)}
= 3(3k - 4)(k + 2)

এবং দ্বিতীয় বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,
3k² + 11k + 6
= 3k² + 9k + 2k + 6
= 3k(k + 3) + 2(k + 3)
= (3k + 2)(k + 3)

সুতরাং, কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। 
সঠিক উত্তর: ঘ) কোনটিই নয়

(21 X 21 এর 21) / (21 / 21 X 21)
= (21 X 441) / (1 X 21)
= 441