গাণিতিক যুক্তি

ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় n, n + ১ হলে,
(n + ১)² - n² = ৩৭
বা, n² + 2n + ১ - n² = ৩৭
বা, 2n = ৩৬
∴ n = ১৮
∴ সংখ্যাদ্বয় ১৮, ১৯ এবং সমষ্টি = ১৮ + ১৯
= ৩৭

প্রশ্ন: রুবেল সাহেবের বেতন ৩০% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন ৩০% বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হলো?

সমাধান:
ধরি, রুবেল সাহেবের মূল বেতন = ১০০ টাকা

৩০% কমানোর পর,
বেতন = ১০০ - ১০০ এর ৩০% টাকা
= ১০০ - ১০০ × (৩০/১০০) টাকা 
= ১০০ - ৩০ টাকা
= ৭০ টাকা 

আবার, হ্রাসকৃত বেতনের ওপর ৩০% বৃদ্ধিতে,
নতুন বেতন = ৭০ + ৭০ এর ৩০% টাকা
= ৭০ + ৭০ × (৩০/১০০) টাকা
= ৭০ + ২১ টাকা
= ৯১ টাকা

∴ ক্ষতি = (১০০ - ৯১) = ৯ টাকা
∴ শতকরা ক্ষতি = (৯/১০০) × ১০০ = ৯%

{ - ১০ + ( -৭ )} - { - ১০ - ( - ৭)}
= (-১৭) – (-৩)
= - ১৪ (১ম রাশিটি ২য়টি অপেক্ষা ১৪ বড়)

প্রশ্ন: (8)^2/3 + (81)^1/4 = 7k হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
(8)^2/3 + (81)^1/4 = 7k
⇒ (2³)^2/3 + (3⁴)^1/4 = 7k
⇒ 2^{3 × (2/3)} + 3^{4 × (1/4)} = 7k
⇒ 4 + 3 = 7k
⇒ 7 = 7k
∴ k = 1

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 +…............  প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = -2,
পদসংখ্যা n = 6

S_n = a × [1 - (r)ⁿ/ 1 - r]
S₆ = 3 × [1 - (- 2)⁶ / 1 - (-2)]
= 3 × [1 - 64 / 3]
= 3 × [-63/3]
= 3 × (- 21)
= - 63

∴6টি পদের সমষ্টি - 63

প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ৮C৪ = (৮)!/(৪!(৮-৪)!) = (৮)!/(৪!×৪!) = ৭০ সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫

প্রশ্ন: x⁵ + (1/x ⁵) = 6 হলে, x⁵ -(1/x ⁵) = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(x ⁵ - 1/x ⁵) ²
= (x ⁵ + 1/x ⁵) ² - 4 × x⁵ × 1/x⁵
= 6² - 4
= 36 - 4
= 32
∴ (x ⁵ - 1/x⁵)
= √32
= √16 × 2
= 4√2

প্রশ্ন: x² + 6x - 27 < 0 অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
⇒ x² + 6x - 27 < 0

এখন, 
⇒ x² + 9x - 3x - 27 = 0
⇒ x(x + 9) - 3(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x - 3) = 0
হয়, (x + 9) = 0
∴ x = - 9

এবং, (x - 3) = 0
∴ x = 3

অসমতাটি হলো  x² + 6x - 27 < 0 যেহেতু এটি একটি দ্বিঘাত অসমতা, এর সমাধানটি মূল দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী অঞ্চলে অবস্থিত হবে। অর্থাৎ, x এর মান - 9 এবং 3 এর মধ্যে থাকবে।  

সুতরাং, সমাধান সেট =  (- 9, 3)

বিকল্প সমাধান:
যদি x = - 10 হয়, তাহলে (- 10)² + 6(- 10) - 27  = 100 - 60 - 27 = 13 > 0
যদি x = 0 হয়, তাহলে (0)² + 6(0) - 27  = 0 - 0 - 27 = - 27 < 0
যদি x = 4 হয়, তাহলে (4)² + 6(4) - 27  = 16 + 24 - 27 = 13 > 0

সুতরাং, সমাধান সেটটি (-9, 3) এর মধ্যে অবস্থিত।

A, A′ এর পূরক ঘটনা হলে,
P(A) + P(A′) = 1

১ বছর পর জনসংখ্যা = ৫০০০০০ × (১০৩/১০০)
= ৫১৫০০০ জন
২ বছর পর জনসংখ্যা = ৫১৫০০০ × (১০৩/১০০)
= ৫৩০৪৫০ জন

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∴ ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাণ ১৮০° - (৩৭° + ৫৩°) = ৯০°।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেন্টিমিটার এবং 6 সেন্টিমিটার, এবং এদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 4 সেন্টিমিটার। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব
= 1/2 × (10 + 6) × 4
= 1/2 × 16 × 4
= 8 × 4
= 32 বর্গ সে.মি.

অতএব, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল হবে 32 বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: যদি 1/a = 4 - a হয়, তবে a³ + 1/a³ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1/a = 3 - a
∴ a + 1/a = 4

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3 . a . (1/a)(a + 1/a)
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

সুদের হার কমে = ৭% - ৫%
= ২%
২ টাকা কমে মূলধন ১০০ টাকা
∴ ২০,০০০ টাকা কমে মূলধন = (১০০ × ২০,০০০)/২
= ১০০০০০০ টাকা

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 1} = 32
(2²)x + 1 = 2⁵
2^{2x + 2} = 2⁵
2x + 2 = 5
2x = 5 - 2
2x = 3
x = 3/2

Question: A box contains 5 red cubes, 3 black cubes, and 8 white cubes. Two cubes are drawn one after another without replacement. What is the probability that both cubes drawn are not red and not white?

Solution:
Given,
Red cubes = 5
Black cubes = 3
White cubes = 8
Total cubes = 5 + 3 + 8 =16

We have to find = both cubes drawn sequentially are black

Probability of first black cube:
P(first black) = 3/16

Probability of second black cube:
P(second black ∣ first black) = 2/15 [black cube= 2, total cube= 15]

Probability of both black cubes:
P(both black) = 3/16 × 2/15
= 6/240
= 1/40

∴ Probability of both cubes are not red and not white is 1/40

ভাগফলের সাথে ভাজক গুণ দিয়ে এর সাথে ভাগশেষ যোগ করলে ভাজ্য পাওয়া যায়।
সুতরাং সঠিক সূত্র হবে: ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।

প্রশ্ন: |x - 2| < 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|x - 2| < 5
⇒ 5 < x - 2 < 5
দুই পাশে 2 যোগ করা
⇒ - 5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2
∴ - 3 < x < 7

ধরি, লম্বের দৈর্ঘ্য = x
তাহলে, ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 1
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 1
আমরা জানি, অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (x + 1)² = (x - 1)² + x²
⇒ x² + 2x + 1 = x² - 2x + 1 + x²
⇒ x² - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
⇒ x = 4 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]
তাহলে, ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4 + 1 = 5 মিটার 

We know,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
Or, 9² = a² + b² + c² + 2×27
∴ a² + b² + c² = 81 - 54 = 27

প্রশ্ন: দুইটি দলের সদস্য সংখ্যার ল.সা.গু. ৯০ এবং গ.সা.গু. ১৫ হলে, উভয় দলের সদস্য মোট কত জন?

সমাধান: 
 দুটি দলের সদস্য সংখ্যার গুণফল
= তাদের ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
= ৯০ × ১৫
= ১৩৫০
এখন অপশন যাচাই করে পাই, ১৩৫০ কে ৬৫, ৮৫ কিংবা ৯৫ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণ সংখ্যা আসে না। শুধু ৭৫ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণ সংখ্যা আসে।

সুতরাং সর্বনিম্ন মোট সদস্য সংখ্যা = ৭৫ জন।

মনে করি,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ৪a
ঘরের প্রস্থ = ৩a
∴ কর্ণ = √{(৪a)² + (৩a)²}
= √২৫a²
= ৫a
∴ ৫a = ২০
বা, a = ৪
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ৪
= ১৬
প্রস্থ = ৩ × ৪
= ১২
ক্ষেত্রফল = ১৬ × ১২
= ১৯২

প্রশ্ন: 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা= 10টি 
29 থেকে 38 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 29, 31, 37 = 3টি 

মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা =3/10

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল = 1/2 × AB × BC
বা, 8 = 1/2 a × a
বা, a² = 16
∴ a = 4
∴ পরিসীমা = 4a
= 4 × 4
= 16

প্রশ্ন: কামাল ও রাজন তাদের মূলধন ৫ : ৬ অনুপাতে বিনিয়োগ করে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করেন। ৬ মাস পর কামাল তার মূলধন তুলে নেন এবং তারা মুনাফা ৫ : ৯ অনুপাতে পায়। রাজনের মূলধন কত মাস ব্যবহৃত হয়েছিল? 

সমাধান:
ধরি,
কামাল ৫ক টাকা মূলধন ৬ মাসের জন্য বিনিয়োগ করেন
এবং
রাজন ৬ক টাকা মূলধন খ মাসের জন্য বিনিয়োগ করেন

তাহলে, 
(৫ক × ৬)/(৬ক × খ) = ৫/৯ 
⇒ ৩০/৬খ = ৫/৯ 
⇒ খ = (৩০ × ৯)/৩০ 
∴ খ = ৯ 

সুতরাং, রাজনের মূলধন ৯ মাস ব্যবহৃত হয়েছিল।

প্রশ্ন: নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ।
এখানে একমাত্র 7 + 5 > 12 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

ত্রিভুজ সংক্রান্ত আরো কিছু তথ্য: 
- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
12² + 5² = 13²
তাই সঠিক উত্তর অপশন (ঘ)।

প্রশ্ন: (1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x³ - 21x - 20

সমাধান: 
ধরি, 
f(x) = x³ - 21x - 20
এখন, x = - 1 হলে, 
f(- 1) = (- 1)3 - 21(- 1) - 20 = - 1 + 21 - 20 = 0

∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক। 
এখন, 
x³ - 21x - 20
= x³ + x² - x² - x - 20x - 20
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x + 1)(x² - x - 20)
= (x + 1)(x + 4)(x - 5)

চৌবাচ্চার বাকি অংশ = ১ - ৩/৫ = ২/৫
৩/৫ অংশ পূর্ণ হয় = ৭ ঘন্টায়
১ “ “ “ = ৭×৫/৩ “
২/৫ “ “ “ = ৭×৫×২/(৩×৫) “
= ১৪/৩ “
= ৪ ঘন্টা ৪০ মিনিট

এখানে, f(x) = x⁴ - 4x + 3
∴ f(1) = 1 - 4 + 3 = 0
∴ x - 1, f(x) এর একটি উৎপাদক

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৯, ১২, ১৫ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০।

৯ = ৩^২
১২ = ২^২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২৪ = ২^৩ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২^৩ × ৩^২ × ৫
= ৮ × ৯ × ৫ = ৩৬০

এখন ১০০০ কে ৩৬০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৩৬০ = ২ ভাগফল,
৩৬০ × ২ = ৭২০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৭২০ = ২৮০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৬০ - ২৮০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে ফলাফল হবে ৩৬০ এর গুণিতক, যা ৯, ১২, ১৫ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√216 = 3/2
⇒ a^3/2 = √216  [কারণ log_aX = k ⇔ a^k = X]
⇒ (a^3/2)² = (√216)²  
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।