গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 6} এবং B = {x ∈ IN : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে A\B এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6}
এখানে, x এর মান 2 থেকে বড় এবং 6 এর ছোট বা সমান স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {3, 4, 5, 6}

আবার, 
B  = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
x স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা যা 8 এর ছোট বা সমান। 
∴ B = {2, 4, 6, 8}

প্রদত্ত রাশি, 
A\B = {3, 4, 5, 6} - {2, 4, 6, 8} = {3, 5}
∴ A\B =  {3, 5}

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?

সমাধান: 
ক) ৭৭/১৪৩ = (৭ × ১১)/(১১ × ১৩) = ৭/১৩ 

খ) ১০২/২৮৯ = (২ × ৩ × ১৭)/(১৭ × ১৭) = (২ × ৩)/১৭ 

গ) = ১১৩/৩৫৫
১১৩ = মৌলিক
এবং ৩৫৫ = ৫ × ৭১ 
কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই অর্থাৎ গ.সা.গু = ১
∴ যা লঘিঠ আকারে প্রকাশিত। 

ঘ) ৩৪৩/১০০১ = (৭ × ৭ × ৭)/(৭ × ১৪৩) = (৭ × ৭)/১৪৩ 

সুতরাং, সঠিক উত্তর গ) ১১৩/৩৫৫

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার এক-তৃতীয়াংশ সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ২০ ঘণ্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ক ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ৩ক ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক = ২০
⇒ ৪ক = ২০
⇒ ক = ২০/৪ 
∴ ক = ৫

∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগবে = ৫ × ৩ = ১৫ ঘণ্টা 

সুতরাং, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে ১৫ ঘণ্টা সময় লাগবে।

মনে করি,
অতিভূজ = 6a মিঃ
∴ সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 6a × 5/6 = 5a মিঃ
∴ পরিসীমা, 6a + 5a + 5a = 32
বা, 16a = 32
∴ a = 2

∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 × 2 = 10

∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 10 × 10 = 50 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট?
 
সমাধান:
এখানে,
৩/৫ = ০.৬
এবং ৬/৭ = ০.৮৫৭

১/৩ = ০.৩৩৩
১/২ = ০.৫
৭/৮ = ০.৮৭৫
২/৩ = ০.৬৬৭

উপরের মান গুলো হতে দেখা যায় যে, ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট ভগ্নাংশটি ২/৩।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৫ মাইল বেগে কোন স্থানে গেল, এবং ঘন্টায় ৩ মাইল বেগে ফিরে আসল, যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
যাওয়ার বেগ = ৫ মাইল/ঘণ্টা
ফেরার বেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = ২xy/(x + y)
= (২ × ৫ × ৩)/(৫ + ৩)
= ৩০/৮
= ১৫/৪ 
= ৩.৭৫ মাইল/ঘণ্টা

∴ যাতায়াতে তার গড় গতি ৩.৭৫ মাইল প্রতি ঘণ্টা

প্রশ্ন: যদি S = {1, 2} এবং T = {1, 2, 3} হলে, (S × T) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
S = {1, 2}
এবং T = {1, 2, 3}

 S × T = {1, 2} × {1, 2, 3}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

অর্থাৎ, ক্রয়মূল্য = ৩৮০+২০ = ৪০০ টাকা
৪০০ টাকায় ক্ষতি হয় ২০ টাকা
⇒ ১ টাকায় ক্ষতি হয় ২০/৪০০টাকা
⇒ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (২০X১০০)/৪০০ = ৫ টাকা
∴ ক্ষতির শতকরা হার = ৫%

9^x + 9^x + 9^x - 9^-1 = 0
বা, 3.9^x = 9^-1
বা, 3.(3²)^x = (3²)^-1
বা, 3.3^2x = 3^-2
বা,3^2x+1 = 3^-2
বা,2x + 1 = -2
বা, 2x = -3
∴ x = -3/2

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৫ : ৮ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ ২ক, ৫ক এবং ৮ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ৫ক + ৮ক = ১৮০°
বা, ১৫ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/১৫
বা, ক = ১২°

সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = (৮ × ১২°) = ৯৬°

২^২ + ৪^২ + ৬^২ + ....... + ২০^২
= ২^২.১^২ + ২^২.২^২ + ২^২.৩^২ +........+২^২.১০^২
= ২^২(১^২ + ২^২ + ৩^২ +.......+ ১০^২)
= ৪[১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)]
= ৪ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৯২৪০/৬
= ১৫৪০

প্রশ্ন: ২০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর। যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে গড় ২ বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
২০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর
২০ জন শিক্ষার্থীর মোট বয়স (১০ × ২০) = ২০০ বছর

যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়,
তাহলে, ২০ জন শিক্ষার্থী + ১ জন শিক্ষক = ২১ জন

২১ জনের গড় বয়স ১২ বছর
২১ জনের মোট বয়স = (২১ × ১২) = ২৫২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (২৫২ - ২০০) = ৫২ বছর

প্রশ্ন:  পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। ৬ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ১ হলে, পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
৬ বছর পর তাদের বয়সের গড় হবে = ৩০ + ৬ = ৩৬ বছর 
৬ বছর পর মোট বয়স হবে = ৩৬ × ২ = ৭২ বছর
৬ বছর পর পুত্রের বয়স = ৭২ × (১/৬)
= ১২ বছর 
বর্তমানে পুত্রের বয়স = (১২ – ৬) বছর
= ৬ বছর

প্রশ্ন: মি. করিম তার সম্পদের ২০% স্ত্রীকে, ৫০% ছেলেকে এবং অবশিষ্ট ৯০০০০ টাকা মেয়েকে দিলেন। তার সম্পদের মোট মূল্য কত? 
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​স্ত্রীকে দিল = ২০%
​ছেলেকে দিল = ৫০%
​
 ∴ মেয়েকে দিল = {১০০ - (২০ + ৫০)​}% = ৩০%
​
∴ ৩০% = ৯০০০০
∴ ​১% = ৯০০০০/৩০
∴ ​১০০% = (৩০০০ × ১০০) = ৩০০০০০ টাকা

সংখ্যা গুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ১১, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯
মধ্যক
= {১০/২ তম ও (১০/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল}/২
= {৫ ও ৬ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২১ + ২২)/২
= ২১.৫

প্রশ্ন: ৬০০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৮০ মিটার বেশি । মাঠের প্রস্থ কত?

সমাধান: 
ধরি, 
আয়তাকার মাঠের
প্রস্থ = ক মিটার 
∴ দৈর্ঘ্য = ক  + ৮০  

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ ২(ক + ক  + ৮০) = ৬০০
⇒ ২ক  + ৮০ = ৩০০ 
⇒ ২ক = ৩০০ - ৮০ 
⇒ ২ক = ২২০ 
∴ ক = ১১০ 

∴ আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = ১১০ মিটার

(-2)^2m = 2^{9 - m} or, ((-2)²)^m = 2^{9 - m} or, (2)^2m = 2^{9 - m} or, 2m = 9 - m or, 3m = 9 or, m = 3.

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাস 8 সে.মি. হলে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গোলকের ব্যাস, 2r = 8 সে.মি. 
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. 
∴ গোলকের ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি. 

আমরা জানি, 
গোলকের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক 
= 4π(4)² বর্গ সে.মি.
= 64π বর্গ সে.মি.।

x + y ≥ 9......(1)
x - y ≥ 5.......(2)
(1) নং (2) নং দ্বারা পাই,
2x ≥ 14
∴ x ≥ 7

এখানে,
r = ১০-৮ = ২
I = ১২৮
n = ৪
P = ?
আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
বা, ১২৮ = (P×৯×২)/১০০
বা, ৮P = ১০০×১২৮
বা, P = (১০০×১২৮)/৮
P = ১৬০০ টাকা

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু = ৮৪০
এখন,
৮৪০/৬০ = ১৪ মিনিট

∴ ১৪ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

5 জন বন্ধুর মধ্য থেকে সমাবেশ গঠন করতে প্রত্যেক বন্ধুর জন্য দুইভাবে ব্যবস্থা করা যাবে- তাকে নিমন্ত্রণ করা অথবা বাদ দেওয়া।
যেহেতু প্রতি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থার সাথে অবশিষ্ট প্রতিটি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থা সংযোগ করা যায়।
অতএব 5 জন বন্ধুকে মোট 2×2×2×2×2 = 2⁵ উপায়ে ব্যবস্থা করা যাবে।

কিন্তু এর মধ্যে একটি সমাবেশে সব বন্ধুই বাদ পড়ে গেছে যা গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং নির্ণেয় নিমন্ত্রণের সংখ্যা = 2⁵ - 1
= 32 - 1
= 31

প্রশ্ন: রফিক একটি রাস্তার ১/৩ অংশ ঘণ্টায় ১২ কি.মি. বেগে এবং বাকি ২/৩ অংশ ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. বেগে অতিক্রম করে। পুরো পথ অতিক্রম করতে তার ৭ ঘন্টা সময় লাগে। রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, মোট দূরত্ব = ক কি.মি.

এখানে,
প্রথম ১/৩ পথ = (ক/৩) কি.মি.,
এবং গতি = ১২ কি.মি./ঘন্টা

বাকি ২/৩ পথ = (২ক/৩) কি.মি.,
এবং গতি = ১৮ কি.মি./ঘন্টা

∴ প্রথম অংশে সময় = দূরত্ব/গতি
= (ক/৩)/১২
= ক/৩৬ ঘন্টা

∴ দ্বিতীয় অংশে সময় = দূরত্ব/গতি
= (২ক/৩)/১৮
= ক/২৭ ঘন্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৩৬) + (ক/২৭) = ৭
⇒ (৩ক + ৪ক)/১০৮ = ৭
⇒ ৭ক = ৭ × ১০৮
⇒ ক = (৭ × ১০৮)/৭ 
∴ ক = ১০৮

∴ রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য = ১০৮ কি.মি.।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩:১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ৩ক ও ক।

আমরা জানি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
বা, ৪ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/৪
বা, ক = ৪৫°

অতএব, বহিঃস্থ কোণ = ক = ৪৫°

যেকোনো সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ।
সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪৫° = ৮টি।

অতএব, বহুভুজটি হবে একটি অষ্টভুজ (Octagon)।

প্রশ্ন: ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা ২৪ ঘণ্টায় কয়বার সমাপতিত হয়?

সমাধান: 
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ঘণ্টায় ১ বার সমাপতিত হয়।
তবে প্রতি ১২ ঘণ্টায় ১১ বার সমাপতিত হয়, কারণ ১১ টা থেকে ১২ টা এর মধ্যে কাঁটা দুইটি দুইবারের পরিবর্তে ১ বার সমাপতিত হয়।
∴ ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি ২৪ ঘণ্টায় সমাপতিত হয় = (১১ × ২) বার
= ২২ বার।

৪০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৪০০×৫) বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ = (৫০০×৬) বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
∴ (২০০০+৩০০০) বা ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪৫০ টাক
∴ ১০০ টাকার ১বছরের সুদ (৪৫০×১০০)/৫০০০ টাকা
= ৯ টাকা

প্রশ্ন: a² + 13a + 36 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + 13a + 36
= a² + 9a + 4a + 36
= a(a + 9) + 4(a + 9)
= (a + 9)(a + 4)