গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: x + y + z = 12 এবং x² + y² + z² = 50 হলে, (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y + z = 12 এবং x² + y² + z² = 50

প্রদত্ত রাশি, 
(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²
= (x² - 2xy + y²) + (y² - 2yz + z²) + (z² - 2zx + x²)
= 2x² + 2y² + 2z² - 2(xy + yz + zx)
= 2(x² + y² + z²) - {(x + y + z)² - (x² + y² + z²)} ; [2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)]
= (2 × 50) - {(12)² - 50}
= 100 - (144 - 50)
= 100 - 94
= 6

প্রশ্ন: x = 2 হলে 8x³ + 12x² + 6x + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2

∴ 8x³ + 12x² + 6x + 1
= (2x)³ + 3 × (2x)² × 1 + 3 × 2x × (1)² + (1)³
= (2x + 1)³
= (2 × 2 + 1)³ ; [x = 2]
= 5³
= 125

a² - (x + 1/x)a + 1
= a² - ax - a/x + 1
= a (a - x) - 1/x (a - x)
= (a - x)(a - 1/x)

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/8 হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/8

আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1} 

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 1/8
⇒ 128 × (1/2)^{n - 1} = 1/8
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/(8 × 128)
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/1024
⇒ (1/2)^{n - 1} = (1/2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1 
⇒ n = 11

সুতরাং, ধারাটির 11 তম পদ = 1/8

প্রশ্ন: একটি প্লেনে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। ইকোনমি ক্লাসের ভাড়া মাথা পিছু ৩০০০ টাকা, যা বিজনেস ক্লাসের ভাড়ার অর্ধেক। মোট ভাড়া ১৬৮০০০ টাকা হলে, বিজনেস ক্লাসের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
বিজনেস ক্লাসের যাত্রীর সংখ্যা = ক  জন 
∴ ইকোনমি ক্লাসের যাত্রীর সংখ্যা = (৪৭ - ক)

প্রশ্নমতে,
২ × ৩০০০ × ক + ৩০০০ × (৪৭ - ক) = ১৬৮০০০
⇒ ৬০০০ক + ১৪১০০০ - ৩০০০ক = ১৬৮০০০
⇒ ৩০০০ক = ১৬৮০০০ - ১৪১০০০
⇒ ৩০০০ক = ২৭০০০
∴ ক = ৯

সুতরাং, বিজনেস ক্লাসের যাত্রী সংখ্যা ৯ জন 

কোনো গ্রামের ১৮/২৫ অংশ লোক শিক্ষিত
অর্থাৎ ২৫ জনের মধ্যে শিক্ষিত ১৮ জন
সুতরাং, ১০০ জনের মধ্যে শিক্ষিত = (১০০×১৮) / ২৫ = ৭২ জন 

প্রশ্ন: (9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰
=1 + (9 × 1) + 1
= 1 + 9 + 1
= 11

দেওয়া আছে
সুদ, I = ১০৫
সুদের হার, r = ৭/১০০
আসল, p = ৫০০ টাকা
বয়স, n = ?
আমরা জানি, I = pnr/১০০
বা, n = I × ১০০/pr
= ১০৫×১০০/(৫০০×৭)
= ১০৫×১০০/(৫০০×৭)
= ৩ বছর

প্রশ্ন: 400 এর 2√5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
ধরি, log_2√5 400 = x
⇒ (2√5)^x = 400
⇒ (√20)^x = 400  [2√5 = √4 × √5 = √20]
⇒ 20^x/2 = 400
⇒ 20^x/2 = 20²
⇒ x/2 = 2
∴ x = 4

১০০ টাকায় লাভ হয় ৮ টাকা
∴ ৫০০ টাকায় লাভ হয় (৮×৫০০)/১০০ টাকা
                     = ৪০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য (৫০০ + ৪০) টাকা
             = ৫৪০ টাকা

প্রশ্ন: 15 বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 15

আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/বাহুর সংখ্যা 
= 360°/15 
= 24° ।

প্রশ্ন: অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের টেলিফোনগুলো ছয় অংকবিশিষ্ট যার প্রথম স্থানে 7 এবং দ্বিতীয় স্থানে 1 আছে। ফোন ডায়ালের জন্য 0 থেকে 9 ব্যবহার করে মোট কতটি টেলিফোন সংযোগ দেওয়া সম্ভব?

সমাধান:
মোট ৬ অংকের টেলিফোন নম্বর।
প্রথম অংক = 7
দ্বিতীয় অংক = 1
অতএব, প্রথম দুইটি অংক স্থির (৭ ও ১)।
বাকি থাকে 6 - 2 = 4 

প্রতিটি বাকি অংক ০ থেকে ৯ পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা হতে পারে — অর্থাৎ প্রতিটি স্থানে ১০টি সম্ভাবনা।

সুতরাং, সম্ভাব্য টেলিফোন নম্বরের সংখ্যা:
10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 36° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = a
১ম কোণ = 4a
৩য় কোণ = 4a + 36°

প্রশ্নমতে,
a + 4a + 4a + 36° = 180°
বা, 9a = 180° - 36°
বা, 9a = 144°
বা, a = 144°/9 = 16°

∴ ১ম কোণ = 4 × 16° = 64°

প্রশ্ন: f(x) = (6x + 3)/(4x - 2) হলে, f(3/2) এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = (6x + 3)/(4x - 2)
∴ f(3/2) = {6 × (3/2) + 3}/{4 × (3/2) - 2}
= (9 + 3)/(6 - 2)
= 12/4
= 3

চৌবাচ্চাটির আয়তন = (০.১×০.১×০.১) ঘনমিটার
                         = ০.০০১ ঘনমিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে ০.০০১ ঘনমিটার পানি ধরে।

log₃²⁴³
= log₃3⁵
= 5 log₃3
= 5 × 1 [log a^a = 1]
= 5

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ১২ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৬৮ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (ক - ১২) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২{ক + (ক - ১২)} মিটার
= ২(২ক - ১২) মিটার
= (৪ক - ২৪) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক - ২৪ = ১৬৮
⇒ ৪ক = ১৬৮ + ২৪ 
⇒ ৪ক = ২৯২
⇒ ক = ২৯২/৪
∴ ক = ৪৮

অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার

প্রশ্ন: ৪৫ টাকায় ৯ টি কমলা বিক্রয় করায় ২৫% ক্ষতি হলো। ৩৬ টি কমলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৫) টাকা = ৭৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪৫)/৭৫ টাকা
= ৬০ টাকা

এখন,
৯ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ৬০ টাকা
∴ ১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ৬০/৯ টাকা
∴ ৩৬ টি কমলার ক্রয়মূল্য = (৬০ × ৩৬)/৯ টাকা = ২৪০ টাকা

∴ কমলার ক্রয়মূল্য = ২৪০ টাকা।

প্রশ্ন: ৪০০০ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৪, ৬, ৮, ১২  দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৪, ৬, ৮, ১২ এর ল. সা. গু = ২৪

২৪ দ্বারা ৪০০০ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ১৬ হয়।
ভাগশেষ ও ভাজকের পার্থক্য নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২৪ - ১৬ = ৮

প্রশ্ন: এক ব্যবসায়ী ১৫% লাভে কাপড় বিক্রয় করে ৩০০০ টাকা লাভ করেন। তিনি কত টাকার কাপড় ক্রয় করেছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
কাপড়ের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 

১৫ টাকা লাভ হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা লাভ হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৫ টাকা 
∴ ৩০০০ টাকা লাভ হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩০০০)/১৫ টাকা = ২০০০০ টাকা 

অর্থাৎ তিনি ২০০০০ টাকার কাপড় ক্রয় করেছিলেন। 

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের লিখিত মুল্য ক্রয়মূল্যের ৪০% বেশি। কত ছাড় দিলে তার ১২% লাভ হত ?

সমাধান: 
ধরি,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা। 
লিখিতমূল্য  = ১০০ + ১০০ এর ৪০%
= ১০০ + ১০০ × (৪০/১০০)
= ১০০ + ৪০ = ১৪০ টাকা

বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১২%
= ১০০ + ১০০ × (১২/১০০)
= ১০০ + ১২ = ১১২ টাকা

∴ তাঁকে ছাড় দিতে হবে = (১৪০ - ১১২) = ২৮ টাকা
∴ লিখিত মূল্যের উপর ছাড়ের শতকরা হার = (২৮/১৪০) × ১০০ = ২০%

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে আগের মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 200

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1) × d
= 1200 + (14 × 200)
= 1200 + 2800
= 4000

∴ রহিম 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4000 টাকা।

প্রশ্ন: ২৫% সরল সুদে কত বছরে আসল সুদাসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল = P টাকা
সুদাসল = ৩P টাকা
∴ সুদ = সুদাসল - আসল = ৩P - P = ২P
এখানে,
সুদের হার, r = ২৫%

আমরা জানি,
I = pnr/ ১০০
⇒ ২P = (P × ২৫ × n)/১০০
⇒ ২ = (২৫ × n)/১০০
⇒ ২০০ = ২৫n
⇒ n = ২০০/২৫
∴ n = ৮

∴ সময় = ৮ বছর

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২×৮×৯ = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪a = ৪×৬ = ২৪ সে.মি.।

√(-6) × √(-24)
= √(6) × √(-1) × √(24) × √(-1)
= √(6) × √(24) × √(-1) × √(-1)
= √(144) × {√(-1)}² [ বর্গমুল চিহ্নের মধ্যে দুইটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুনফল ধনাত্মক সংখ্যা বৈধ নয়]
= 12 × (-1)
= -12

log_e((a³b³/c³) × (b³c³/d³) × (c³d³/a³)) - log_e (b²c)³
= log_eb⁶c³ - log_eb⁶c³
= 0

আমরা জানি, বেগ = সরণ/সময়
সময় = ১৮০/২০ = ৯ সেকেন্ড

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

এখানে, আমরা প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই:

ক) ৪ + ৭ = ১১ > ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
খ) ৬ + ৮ = ১৪ > ১২; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
গ) ৫ + ৭ = ১২ > ১১; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
ঘ) ৪ + ৬ = ১০ = ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকে ∠B = 80° হলে, ∠A + ∠C = ?
​

সমাধান:
আমরা জানি, একটি সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান এবং এর যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180°।
এখানে, ∠B = 80°।
যেহেতু ∠A এবং ∠B সন্নিহিত কোণ,
অতএব, ∠A + ∠B = 180°
বা, ∠A + 80° = 180°
বা, ∠A = 180° - 80°
∴ ∠A = 100°
আবার, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান হওয়ায়,
∠A = ∠C = 100°
সুতরাং, ∠A + ∠C = 100° + 100° = 200°

প্রশ্ন: log_√3243 = ?

সমাধান: 
log_√3243
= log_√33⁵
= 5 log_√33
= 5 log_√3(√3)²
= 5 × 2 log_√3√3
= 5 × 2
= 10

৫ এর ক% = ১৩
বা, ৫ক/১০০ = ১৩
বা, ক/২০ = ১৩
বা, ক = ২৬০

প্রশ্ন: 5 - 2x ≥ 3x + 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5 - 2x ≥ 3x + 1
⇒ - 2x - 3x ≥ - 5 + 1
⇒ - 5x ≥ - 4
⇒ 5x ≤ 4 [অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ]
∴ x ≤ 4/5

মধ্যমা = (৯৯+১)/২
= ৫০