গাণিতিক যুক্তি

৩০ কে ২/৩ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৪৫। 
৪৫ + ১০ = ৫৫

X টি পেন্সিলের দাাম 5x টাকা এবং (x + 4) টি খাতার দাম টাকা 8(x + 4)
প্রশ্নমতে,
5x + 8(x + 4) ≤ 97
13x ≤ 97 – 32
13x ≤ 65
x ≤ 65/13
x ≤ 5
সর্বাধিক 5 টি পেন্সিল কিনেছে

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার ব্যাস ১.৪ মিটার। ২.২ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান: 
ব্যাস, ২r = ১.৪ মিটার
∴ পরিধি, ২πr = ১.৪ × (২২/৭)
= (১৪/১০) × (২২/৭)
= ২২/৫

এখানে, ২.২ কিলোমিটার = (২.২ × ১০০০) মিটার

∴ চাকাটি ঘুরবে = (২.২ × ১০০০)/(২২/৫) বার
= (২২ × ১০০) × (৫/২২)
= ১০০ × ৫
 = ৫০০ বার

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

প্রশ্ন: একটি বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেড মিনিটে ১৮০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড
সুতরাং, 60 সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে 180 বার
∴ 1 সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে = 180/60 = 3 বার

আবার, আমরা জানি,
পাখাটি 1 বার ঘুরলে 360° অতিক্রম করে।
∴ 3 বার ঘুরলে পাখাটি অতিক্রম করে = (3 × 360)°
= 1080°
সুতরাং, এক সেকেন্ডে পাখাটি 1080° ঘুরে।

প্রশ্ন: log₈ 0.25 = কত? 

সমাধান:
ধরি, log₈ 0.25 = x
⇒ 8^x = 0.25 [log_aM = x হলে, a^x = M হয়]
⇒ 8^x = 25/100
⇒ 8^x = 1/4
⇒ (2³)^x = 2^{- 2}
⇒ (2)^3x = 2^{- 2} 
⇒ 3x = - 2
∴ x = - 2/3

x² - y² = 15
বা, (x + y)(x - y) = 15
বা, 5(x - y) = 15
∴ x - y = 3
 8xy(x² + y²)
= 4xy.2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= (5² - 3²)(5² + 3²)
= 16 × 34
= 544

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাস 28 সে.মি. হলে অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ব্যাস = 28 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 28/2 = 14 সে.মি.

আমরা জানি, 
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল  = (1/2)πr²
= (1/2) × (22/7) × 14²
= (11/7) × 14 × 14
= 11 × 2 × 14
= 22 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল 308 বর্গ সে.মি.। 

প্রশ্ন: x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
x√(0.36) = 9
⇒ x(√36/100) = 9
⇒ x√{(6/10)²} = 9
⇒ x × (6/10) = 9
⇒ 6x/10 = 9
⇒ 6x = 9 × 10
⇒ x = (9 × 10)/6
∴ x = 15

প্রশ্ন: √(16i⁴)/2 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, 
√(16i⁴)/2 = √(16 × i² × i²)/2
= √{16 × (- 1) × (- 1)}/2                [∵ i² = - 1]
= √(16 × 1)/2
= √(16)/2
= 4/2
= 2

CAUTIONS শব্দটি থেকে প্রতিবারে চারটি করে অক্ষর নিয়ে সাজানো যাবে = 8p₄ = 1680

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হলে, x এর মান কত? 
​
সমাধান: 
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3}
⇒ (a/b)^{x - 1} = (a/b)^{3 - x}
⇒ x - 1 = 3 - x
⇒ x + x = 3 + 1
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 1/{1 - (1/2)}
= 1/{(2 - 1)/2}
= 1/(1/2)
= 1 × (2/1)
= 2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
সাধারণ অন্তর, d = ৯
৭ম পদ, ক_৭ = ৬০
ক_৭ = ক + (৭ - ১)৯
⇒ ৬০ = ক + ৫৪ 
⇒ ক = ৬

এখন ১২তম পদ,
ক_১২ = ক + (১২ - ১)৯
⇒ ক_১২ = ৬ + ৯৯
⇒ ক_১২ = ১০৫

প্রশ্ন: x⁶ = 729 হলে, log₃x = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x⁶ = 729
⇒ x⁶ = 3⁶
∴ x = 3

এখন,
log₃x
= log₃3
= 1

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 50
⇒ √3a² = 50 × 4
⇒ a² = (50 × 4)/√3
⇒ a² = 115.47
∴ a = 10.74

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
n-তম পদ = ar^{n - 1}

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং
তৃতীয় পদ = 4

প্রশ্নমতে,
a × (1/2)^{3 -1} = 4
⇒ a × (1/2)² = 4
⇒ a × (1/4) = 4
⇒ a = 4 × 4
⇒ a = 16

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো আসল ৫ বছরে মুনাফা-আসলে ৫২৫০ টাকা হয়। মুনাফা, আসলের ৩/৪ অংশ হলে সরল মুনাফার হার কত?

সমাধান:
মনে করি, আসল = ক টাকা
শর্তমতে, মুনাফা = ক এর ৩/৪ অংশ = ৩ক/৪ টাকা

আমরা জানি, আসল + মুনাফা = মুনাফা - আসল
⇒ ক + ৩ক/৪ = ৫২৫০
⇒ (৪ক + ৩ক)/৪ = ৫২৫০
⇒ ৭ক/৪ = ৫২৫০
⇒ ৭ক = ৫২৫০ × ৪
⇒ ৭ক = ২১০০০
⇒ ক = ২১০০০/৭
∴ ক = ৩০০০

সুতরাং, আসল (P) = ৩০০০ টাকা
মুনাফা (I) = ৩০০০ এর ৩/৪ অংশ = ২২৫০ টাকা
সময় (n) = ৫ বছর

আমরা জানি,
মুনাফার হার, r = (I × ১০০)/(P × n)
⇒ r = (২২৫০ × ১০০)/(৩০০০ × ৫)
⇒ r = ২২৫০০০/১৫০০০
∴ r = ১৫%

∴ নির্ণেয় সরল মুনাফার হার = ১৫%

প্রশ্ন: প্রথম 10 কেজি পরিবহনের জন্য প্রতি কেজিতে 5 টাকা এবং 10 কেজির উপর প্রতি কেজিতে 4 টাকা ফি নেওয়া হয়। 27 কেজি পরিবহনের জন্য কত ফি দিতে হবে?

সমাধান:
প্রথম ১০ কেজির মধ্যে 
১ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৫ টাকা
১০ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৫ × ১০ টাকা
= ৫০ টাকা

 (২৭ - ১০) = ১৭ কেজিতে 
১ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৪ টাকা
১৭ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৪ × ১৭ টাকা
= ৬৮ টাকা

২৭ কেজিতে ফি দিতে হবে = (৫০ + ৬৮) টাকা
= ১১৮ টাকা 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = ১৮০°
ধরা যাক, কোণগুলো ৩ক, ৪ক, ৫ক 
প্রশ্নমতে, 
৩ক + ৪ক + ৫ক = ১২ক = ১৮০°
ক = ১৮০°/১২
ক = ১৫° 

তাহলে,
বৃহত্তম কোণ = ৫ক = ৫ × ১৫° = ৭৫°
 
∴বৃহত্তম কোণ = ৭৫°

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ৯০ এবং পার্থক্য ৩০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দুইটি সংখ্যা হলো ক ও খ, যেখানে ক > খ

দেওয়া আছে,
ক + খ = ৯০ ........(১)
ক - খ = ৩০ ........(২)

দুটি সমীকরণ যোগ করলে,
২ক = ৯০ + ৩০ = ১২০
⇒ ক = ১২০/২
∴ ক = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬০

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 151 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 151
মনে করি,
দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে g, (g - 1)

শর্তমতে,
বা, g² - (g - 1)² = 151
বা, g² - (g² - 2 × g × 1 + 1²) = 151
বা, g² - g² + 2g - 1 = 151
বা,  2g - 1 = 151
বা, 2g = 151 + 1
বা, 2g = 152
বা, g = 152/2
∴ g = 76

অপর সংখ্যাটি = 76 - 1 = 75
বড় সংখ্যাটি  76

x⁰ + y^x0
= 1 + y¹ (x⁰ = 1)
= 1 + y

প্রশ্ন: ১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ ভগ্নাংশগুলোর গড় কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সমষ্টি = ১/২ + ৫/৬+ ৩/৪ + ৫/১২
= (৬ + ১০ + ৯ + ৫)/১২
= ৩০/১২
= ৫/২

∴ ভগ্নাংশগুলোর গড় = (৫/২)/৪
= (৫/২) × (১/৪)
= ৫/৮

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ক 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ একক

১০% বৃদ্ধিতে,
প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (ক + ক এর ১০%) একক
= ক + ১০ক/১০০
= ক + ক/১০
= ১১ক/১০ একক

ক্ষেত্রফল = ১২১ক^২/১০০

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
= (১২১ক^২/১০০) - ক^২ = ২১ক^২/১০০

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
= [{(২১ক^২/১০০)/ক^২} × ১০০]%
= ২১%

ধারাটির p-তম পদ = a + (p-1)d
ধারাটির q-তম পদ = a + (q-1)d
ধারাটির (p+q)-তম পদ = a + (p+q-1)d
প্রশ্নমতে,
a + (p-1)d = q ……………(1)
a + (q-1)d = p …………….(2)

1 নং থেকে 2নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (p-1)d - a - (q-1)d = q - p
d(p-1-q+1) = q - p
d (p - q) = -(p - q)
d = -1
সুতরাং, (p+q)-তম পদ =
a + (p+q-1)d
= a + (p-1)d + qd
= q + qd [সমীকরণ 1 থেকে]
= q - q
= 0

 মিশ্রণে চিনি আছে ১.৫ 
মিশ্রণে পানি আছে ৪৮.৫ লিটার

ধরি,
ক লিটার পানি বাষ্পীভূত করতে হবে।

১.৫/(৪৮.৫ - ক) = ৫/৯৫
বা, ১৪২.৫ = ২৪২.৫ - ৫ক
বা, ৫ক = ১০০
∴ ক = ২০

২০ লিটার পানি বাষ্পিভূত হতে হবে।