গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ৫৯ / ৪৭৫ · ৫,৮০১–৫,৯০০ / ৪৭,৮৩৩

৫,৮০১.

a - b = 8 এবং ab = 48 হলে a² + b² এর মান কত?

ক
142
খ
148
গ
154
ঘ
160

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b = 8 এবং ab = 48 হলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 8
এবং ab = 48

∴ প্রদত্ত রাশি = a² + b²
= (a - b)² + 2ab
= (8)² + 2 × 48
= 64 + 96
= 160

৫,৮০২.

x - y = 0 এবং 2x + y - 3 = 0 রেখা দু’টির ছেদবিন্দুর স্থানাংক-

ক
ক) (1, 1)
খ
খ) (-1, 1)
গ
গ) (1, -1)
ঘ
ঘ) (0, 0)

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রেখাদ্বয়,
x - y = 0.......(1)
এবং
2x + y - 3 = 0......(2)
(1) নং থেকে পাই x = y
(2) নং থেকে পাই 2x + y - 3 = 0
বা, 2x + x - 3 = 0
3x = 3
∴ x = 1
∴ y = 1
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাংক (1, 1)

৫,৮০৩.

sinA cosecA + 1 এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinA cosecA + 1 এর মান কত?

সমাধান:
sinA cosecA + 1
= sinA (1/sinA) + 1
= 1 + 1
= 2

৫,৮০৪.

দুই ব্যক্তি একটি কাজ একত্রে ১৫ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

ক
৩০ দিন
খ
৩৬ দিন
গ
৪৫ দিন
ঘ
৬০ দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই ব্যক্তি একটি কাজ একত্রে ১৫ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
একত্রে ১৫ দিনে করতে পারে কাজটির = ১ অংশ
∴ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/১৫ অংশ,

আবার,
প্রথম ব্যক্তি ১ দিনে করে ১/২০ অংশ কাজ
∴ ২য় ব্যক্তি ১ দিনে করে = (১/১৫ - ১/২০) অংশ
= (৪ - ৩)/৬০ অংশ
= ১/৬০ অংশ

এখন,
২য় ব্যক্তি ১/৬০ অংশ কাজ করে = ১ দিনে
২য় ব্যক্তি ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = ১ × (৬০/১) দিনে
= ৬০ দিনে।

সুতরাং, দ্বিতীয় ব্যক্তি একা কাজটি ৬০ দিনে করতে পারবে।

৫,৮০৫.

বার্ষিক ১২% হার সুদে ত্রৈমাসিক চক্রবৃদ্ধিতে ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ (নিকটতম) কত হবে?

ক
২২৩ টাকা
খ
২৫১ টাকা
গ
২৬৭ টাকা
ঘ
২৭২ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১২% হার সুদে ত্রৈমাসিক চক্রবৃদ্ধিতে ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ (নিকটতম) কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ২০০০ টাকা
সময়, n = ১ বছর = ৪ ত্রৈমাস
সুদের হার, r = (১২/৪)% = ৩% = ৩/১০০ = ০.০৩

আমরা জানি
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল, C = P(১ + r)ⁿ
= ২০০০(১ + ০.০৩)^৪
= ২০০০ × (১.০৩)^৪
= ২০০০ × ১.০৩ × ১.০৩ × ১.০৩ × ১.০৩
= ২২৫১.০২

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ২২৫১.০২ - ২০০০
= ২৫১.০২ টাকা
≈ ২৫১ টাকা

৫,৮০৬.

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার, এর উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক কত সে. মি.?

ক
৬০০ সে. মি.
খ
৯০০ সে. মি.
গ
৮০০ সে. মি.
ঘ
৭০০ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার, এর উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক কত সে. মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার
উচ্চতা ৪ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামান্তরিকের ভূমি = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
= ৭২/৪ = ১৮ মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক = ১৮/২ = ৯ মিটার = (৯ × ১০০) = ৯০০ সে. মি.

৫,৮০৭.

একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ ১২ মিটার হলে বর্গের পরিধি কত?

ক
৪২√২ মিটার
খ
২৪√২ মিটার
গ
৪৮√২ মিটার
ঘ
৪২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ ১২ মিটার হলে বর্গের পরিধি কত?

সমাধান:
বর্গের কর্ণ = ১২ মিটার
বর্গের বাহু এবং কর্ণের সম্পর্ক,
কর্ণ = বাহু√২
⇒ বাহু = কর্ণ /√২
⇒ বাহু = ১২/√২
⇒ বাহু = ৬√২ মিটার

পরিধি = ৪ × ৬√২ = ২৪√২ মিটার

∴ বর্গের পরিধি = ২৪√২ মিটার

৫,৮০৮.

নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে বৃহত্তম কোনটি?

ক
ক) ২/৩
খ
খ) ৪/৭
গ
গ) ৫/৮
ঘ
ঘ) ৭/১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে বৃহত্তম কোনটি?

সমাধান:
২/৩ = ০.৬৭
৪/৭ = ০.৫৭
৫/৮ = ০.৬৩
৭/১১ = ০.৬৪

৫,৮০৯.

একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/2 গুণ । ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সেন্টিমিটার হলে ভূমি কত?

ক
ক) 18 সেন্টিমিটার
খ
খ) 15 সেন্টিমিটার
গ
গ) 16 সেন্টিমিটার
ঘ
ঘ) 12 সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

ধরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা x,
সামান্তরিকের ভূমি 3x/2
প্রশ্নমতে,
3x/2 × x = 216
=> 3x²/2 = 216
=> x²= (216 ×2)/3
=> x² = 144
x = 12
এখন, ভূমি = 3x/2 = 3✕12/2= 18

৫,৮১০.

- 8 < x < 2 কে পরম মান আকারে প্রকাশ করলে হবে-

ক
Ιx - 3Ι < 5
খ
Ιx + 3Ι < 7
গ
Ιx - 3Ι < 7
ঘ
Ιx + 3Ι < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 8 < x < 2 কে পরম মান আকারে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
- 8 < x < 2
বা, - 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3
বা, - 5 < x + 3 < 5
∴ Ιx + 3Ι < 5

৫,৮১১.

একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের পরিসীমা 110 মিটার। যদি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 10 মিটার বেশি হয়, তবে মাঠের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

ক
550 বর্গ মিটার
খ
700 বর্গ মিটার
গ
475 বর্গ মিটার
ঘ
820 বর্গ মিটার
ঙ
600 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের পরিসীমা 110 মিটার। যদি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 10 মিটার বেশি হয়, তবে মাঠের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
ধরি,
মাঠের প্রস্থ = x মিটার
∴ মাঠের দৈর্ঘ্য = 2x + 10 মিটার

প্রশ্নমতে,
2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 110
⇒ 2(2x + 10 + x) = 110
⇒ 2(3x + 10) = 110
⇒ 3x + 10 = 55
⇒ 3x = 55 - 10
⇒ 3x = 45
⇒ x = 45/3
∴ x = 15

∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ মিটার
= (2x + 10) × x
= (2 × 15 + 10) × 15
= 40 × 15
= 600 বর্গ মিটার

৫,৮১২.

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 3 : 4 : 5 : 6 : 8 : 10 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

ক
180°
খ
200°
গ
150°
ঘ
280°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 3 : 4 : 5 : 6 : 8 : 10 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 = 36

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (6 - 2) × 180°
= 720°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 720° × (10/36)
= 200°

৫,৮১৩.

1/।1 - 3x। ≥ 2 এর সমাধান কোনটি?

ক
ক) 1/4 ≤ x ≤ 1/2
খ
খ) 1/6 ≤ x ≤ 1/2
গ
গ) 1/6 ≤ x ≤ 1/4
ঘ
ঘ) 1/7 ≤ x ≤ 1/3

ব্যাখ্যা

1/।1 - 3x। ≥ 2 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/।1 - 3x। ≥ 2
⇒ ।1 - 3x। ≤ 1/2
⇒ - 1/2 ≤ 1 - 3x ≤ 1/2
⇒ - 1/2 - 1 ≤ 1 - 3x - 1≤ 1/2 - 1
⇒ (- 1 - 2)/2 ≤ - 3x ≤ (1 - 2)/2
⇒ - 3/2 ≤ - 3x ≤ - 1/2
⇒ - 1/2 ≤ - x ≤ - 1/6
⇒ (- 1/2) (- 1) ≥ (- x) (- 1) ≥ ( - 1/6)(- 1)
⇒ 1/2 ≥ x ≥ 1/6
1/6 ≤ x ≤ 1/2

৫,৮১৪.

30° কোণের ত্রিভুজ আঁকার ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) ভূমি < লম্ব
খ
খ) ভূমি > লম্ব
গ
গ) ভূমি = লম্ব
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

এখানে অপশনে ভূমি ও লম্ব এর সম্পর্ক দেখানো হয়েছে।
আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
আবার, tanθ = 30º = 1/√3
এখানে √3 > 1 অর্থাৎ ভূমি > লম্ব।

৫,৮১৫.

নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা ?

ক
ক)
খ
খ) π
গ
গ) √2
ঘ
ঘ)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা ?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা : p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যেমন: √16 = 4 ,3/1 = 3, 11/2= 5.5, 5/ 3 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

8^1/3 = (2³)^1/3= 2^3(1/3) = 2 [মূলদ সংখ্যা]

৫,৮১৬.

log_x25 = 2 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2√2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x25 = 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x25 = 2
বা, x² = 25
বা, x² = 5²
x = 5

৫,৮১৭.

দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 4 সে.মি.। ঐ দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
ক) 4 সে.মি.
খ
খ) 3 সে.মি.
গ
গ) 5 সে.মি.
ঘ
ঘ) 2 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 4 সে.মি.। ঐ দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 4 সে.মি.

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3)² = 9π
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(4)² = 16π
দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = 9π + 16π = 25π

ধরি,
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি.

প্রশ্নমতে,
πr² = 25π
বা, r² = 25
∴ r = 5 সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.

৫,৮১৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪√৩ বর্গমিটার
খ
২√৩ বর্গমিটার
গ
১৬ বর্গমিটার
ঘ
৮√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু^২
= (√৩/৪) × ৪^২
= (√৩/৪) × ১৬
= ৪√৩ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৪√৩ বর্গমিটার।

৫,৮১৯.

কোনো সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
২৭
খ
৩৬
গ
৪২
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(x/২) + ৬ = ২x/৩
বা, (২x/৩) - (x/২) = ৬
বা, (৪x - ৩x)/৬ = ৬
বা, x/৬ = ৬
∴ x = ৩৬

∴ সংখ্যাটি = ৩৬।

৫,৮২০.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

ক
ক) √2/2
খ
খ) √2
গ
গ) 2√2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= 4/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= (√2 × 2√2)/√2

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=2√2(কর্ণের দৈর্ঘ্য)

৫,৮২১.

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে একবার নিক্ষেপ করা হলে, কমপক্ষে একটা টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৮
খ
৩/৮
গ
৫/৮
ঘ
৭/৮

ব্যাখ্যা

৫,৮২২.

দুটি সংখ্যার ল. সা. গু ৮৪ ও গ. সা. গু. ১৪। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ২/৩ অংশ হলে, ছোট সংখ্যা কোনটি?

ক
ক) ৪২
খ
খ) ৩২
গ
গ) ২৮
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

ধরি,
বড় সংখ্যাটি = x এবং
ছোট সংখ্যাটি =2x/3

এখন,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু x গ.সা.গু
x × (2x/3) = 84 × 14
2x²/3 = 84 × 14
x² = (84 × 14 × 3)/2
x² = 1764
x² = 42²
x = 42

ছোট সংখ্যাটি = (2 × 42)/3 = 28

৫,৮২৩.

দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো কী হবে?

ক
ব্যস্তানুপাতিক
খ
অসমান
গ
সমানুপাতিক
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো কী হবে?

সমাধান:

দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।
মনে করি,
ABC ও DEF ত্রিভুজদ্বয়ের ∠A =∠D, ∠B = ∠E এবং ∠C = ∠F
∴ AB/DE = AC/DF = BC/EF

৫,৮২৪.

3a²- 7a - 6 এর একটি উৎপাদক হলো-

ক
(3a - 2)
খ
(3a + 2)
গ
(2a + 3)
ঘ
(2a - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3a²- 7a - 6 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান:
3a² - 7a - 6
= 3a²- 9a + 2a - 6
= 3a(a - 3) + 2(a - 3)
= (a - 3)(3a + 2)

৫,৮২৫.

গণিত বইয়ের কোন একটি অংক তামিম অথবা সৌম্যর করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ৬০% এবং ৫০%। দৈব ভাবে নির্বাচিত একটি অংক উভয়কে করতে দেওয়া হলে অংকটির সমাধান না করার সম্ভাবনা -

ক
ক) ০.২
খ
খ) ০.৪
গ
গ) ০.৬
ঘ
ঘ) ০.৮

ব্যাখ্যা

মনে করুন,
A = অংকটি সন্ধি সমাধান করতে পারে
B = অংকটি সৌম্য সমাধান করতে পারে।
P(A) = ৬০% = ০.৬০ সন্ধির অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
P(B) = ৫০% = ০.৫০ সৌম্যর অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
সন্ধি অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা,
P(A) = ১ - ০.৬০ = ০.৪০
সৌম্যর অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা,
P(B) = ১ - ০.৫০ = ০.৫০
এখানে,
A ও B ঘটনা দুইটি স্বাধীন তাই সন্ধি ও সৌম্যের উভয়ই অংকটি সমাধান না করতে পারার সম্ভাবনা = ০.৪০ X ০.৫০ = ০.২০

৫,৮২৬.

৩ + ৭ + ১১ + ......... + ২০৩ = ?

ক
৫২০০
খ
৫১৫১
গ
৫২৫৩
ঘ
৫৩০১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ......... + ২০৩ = ?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ a = ৩ সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪

ধরি,

n তম পদ = ২০৩

প্রশ্নমতে,
a + (n-1)d = ২০৩
⇒ ৩ + (n - ১)৪ = ২০৩
⇒ ৩ + ৪n - ৪ = ২০৩
⇒ ৪n - ১ = ২০৩
⇒ ৪n = ২০৪
∴ n = ৫১

∴ ৫১ টি পদের সমষ্টি S_n = (n/2) . (a + l)
= (৫১/২) × (৩ + ২০৩)
= (৫১/২) × ২০৬
= ৫১ × ১০৩
= ৫২৫৩

৫,৮২৭.

৫টি আপেল ২০ টাকার কিনে ৩০ টাকায় বিক্রি করলে কত শতাংশ লাভ হয়?

ক
ক) ৫০%
খ
খ) ৩৫%
গ
গ) ২০%
ঘ
ঘ) ১০%
ঙ
ঙ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

শতকরা লাভ = (৩০ - ২০) / ২০ = ৫০%

৫,৮২৮.

দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু. 48 । সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 । সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

ক
28
খ
32
গ
40
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু. 48 । সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 । সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি 2x ও 3x
∴ এদের ল. সা. গু. = 6x

প্রশ্নমতে,
6x = 48
বা, x = 48/6
∴ x = 8

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = 2x + 3x
= 5x
= 5 × 8
= 40

৫,৮২৯.

৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A এর ১৭ ভাগ, B এর ৩ ভাগ এবং C এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে B কতটুকু আছে?

ক
৯ কেজি
খ
১২ কেজি
গ
১৭ কেজি
ঘ
১৫ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A এর ১৭ ভাগ, B এর ৩ ভাগ এবং C এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে B কতটুকু আছে?

সমাধান:
A এর ১৭ ভাগ, B এর ৩ ভাগ এবং C এর ৪ ভাগ
A : B : C = ১৭ : ৩ : ৪

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১৭ + ৩ + ৪ = ২৪

মিশ্রণে B এর পরিমাণ = ৭২ এর ৩/২৪
= ৯ কেজি

৫,৮৩০.

একটি ধারার n তম পদ m²ⁿ - 5, ধারাটির ২য় পদ 76 হলে, m এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) - 3
ঘ
ঘ) - 4

ব্যাখ্যা

একটি ধারার n তম পদ m²ⁿ - 5
অতএব, ধারাটির ২য় পদ = m^{2 × 2} - 5 = m⁴ - 5
এখন, m⁴ - 5 = 76
⇒ m⁴ = 76 + 5
⇒ m⁴ = 81
⇒ m⁴= 3⁴
⇒ m = 3

৫,৮৩১.

যখন সুদের হার কমে বার্ষিক ১৩% থেকে ১২.৫% হয় তখন ১০৪ টাকা ক্ষতি হয় বার্ষিক রোজগারে। মূলধন কত ছিলো?

ক
২০৮০০ টাকা
খ
২১২০০ টাকা
গ
২২৪০০ টাকা
ঘ
২৩২০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যখন সুদের হার কমে বার্ষিক ১৩% থেকে ১২.৫% হয় তখন ১০৪ টাকা ক্ষতি হয় বার্ষিক রোজগারে। মূলধন কত ছিলো?

সমাধান:
সুদের হার কমে = (১৩ - ১২.৫) টাকা
= ০.৫ টাকা

০.৫ টাকা কমলে মূলধন = ১০০ টাকা
১ টাকা কমলে মূলধন = ১০০/০.৫ টাকা
১০৪ টাকা কমলে মূলধন = (১০০ × ১০৪)/০.৫ টাকা
= ২০৮০০ টাকা

৫,৮৩২.

কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়?

ক
০.৩
খ
√০.০৯
গ
০.২৫
ঘ
√০.১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
√০.০৯ = ০.৩
√০.১ = ০.৩১৬

∴ √০.১ সবচেয়ে বড়

৫,৮৩৩.

একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ৮ কিলোমিটার পশ্চিম দিকে গেল এবং সেখান থেকে ১৫ কিলোমিটার দক্ষিণ দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে শুরুর স্থান থেকে কত দূরে থাকবে?

ক
১৩ কিলোমিটার
খ
৭ কিলোমিটার
গ
২৩ কিলোমিটার
ঘ
১৭ কিলোমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ৮ কিলোমিটার পশ্চিম দিকে গেল এবং সেখান থেকে ১৫ কিলোমিটার দক্ষিণ দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে শুরুর স্থান থেকে কত দূরে থাকবে?

সমাধান:

প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ধারণা ব্যবহার করতে পারি।

লোকটি প্রথমে ৮ কিলোমিটার পশ্চিম দিকে গেল। এটি ত্রিভুজের একটি বাহু।
এরপর ১৫ কিলোমিটার দক্ষিণ দিকে গেল। এটি ত্রিভুজের অপর বাহু।
যাত্রা শেষে তার শুরুর স্থান থেকে দূরত্ব হবে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভূজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
বা, অতিভূজ^২ = ৮^২ + ১৫^২
বা, অতিভূজ^২ = ৬৪ + ২২৫
বা,অতিভূজ^২ = ২৮৯
বা,অতিভূজ = √২৮৯
বা, অতিভূজ = ১৭

∴ দূরত্ব = ১৭ কিমি

সুতরাং, যাত্রা শেষে লোকটি তার শুরুর স্থান থেকে ১৭ কিলোমিটার দূরে থাকবে।

৫,৮৩৪.

একটি চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। একটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় ১০ মিনিটে এবং অপরটি দ্বারা পূর্ণ হয় ১৫ মিনিটে। নল দুটি একত্রে খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?

ক
৩ মিনিটে
খ
৪ মিনিটে
গ
৫ মিনিটে
ঘ
৬ মিনিটে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। একটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় ১০ মিনিটে এবং অপরটি দ্বারা পূর্ণ হয় ১৫ মিনিটে। নল দুটি একত্রে খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১০ অংশ

২য় নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ

১ম ও ২য় নল একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ করে= (১/১০ + ১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

১ম ও ২য় নল একত্রে সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে ৬ মিনিটে

৫,৮৩৫.

যদি A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4} এবং C = {4, 1, 2} হয়, তবে নিচের কোনটি সত্য নয়?

ক
3 ∈ A
খ
A ⊂ B
গ
B ⊂ A
ঘ
B = C

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4} এবং C = {4, 1, 2} হয়, তবে নিচের কোনটি সত্য নয়?

সমাধান:
• 3 ∈ A (সত্য)
• A ⊂ B (মিথ্যা), কারণ A এর সকল উপাদান B তে নেই।
• B ⊂ A (সত্য)
• B = C (সত্য)

৫,৮৩৬.

যদি S = {x ∈ N : 4 ≤ x² ≤ 81} হয়, তবে sup S কত?

ক
ক) 9
খ
খ) 2
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

S = {x ∈ N : 4 ≤ x² ≤ 81}
x = 1 ⇒ x² = 1 ∉ S
x = 2 ⇒ x² = 4 ∈ S
x = 3 ⇒ x² = 9 ∈ S
x = 4 ⇒ x² = 16 ∈ S
x = 5 ⇒ x² = 25 ∈ S
x = 6 ⇒ x² = 36 ∈ S
x = 7 ⇒ x² = 49 ∈ S
x = 8 ⇒ x² = 64 ∈ S
x = 9 ⇒ x² = 81 ∈ S
x = 10 ⇒ x² = 100 ∉ S
S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
sup S = 9

৫,৮৩৭.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

ক
400π ইঞ্চি
খ
500π ইঞ্চি
গ
570π ইঞ্চি
ঘ
670π ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি
= (7 × 3 × 12) ইঞ্চি + (2 × 12) ইঞ্চি + 9 ইঞ্চি
= 252 ইঞ্চি + 24 ইঞ্চি + 9 ইঞ্চি
= (252 + 24 + 9) ইঞ্চি
= 285 ইঞ্চি

∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 285
= 570π ইঞ্চি

৫,৮৩৮.

২১০ মিটার ও ২৯০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন যথাক্রমে ৪০ ও ৬০ কিলোমিটার বেগে বিপরীত দিক থেকে পরস্পরের দিকে সমান্তরালভাবে আসতে থাকলে কত সময়ে ট্রেন দুইটি পরস্পরকে অতিক্রম করবে?

ক
৯ সেকেন্ডে
খ
২৪ সেকেন্ডে
গ
১৮ সেকেন্ডে
ঘ
৩৬ সেকেন্ডে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২১০ মিটার ও ২৯০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন যথাক্রমে ৪০ ও ৬০ কিলোমিটার বেগে বিপরীত দিক থেকে পরস্পরের দিকে সমান্তরালভাবে আসতে থাকলে কত সময়ে ট্রেন দুইটি পরস্পরকে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
ট্রেন দুটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতক্রম করতে হবে = (২১০ + ২৯০) মিটার
= ৫০০ মিটার

আবার,
বিপরীত দিকে হওয়ায় ট্রেনের ঘণ্টায় বেগ = (৪০ + ৬০) কিলোমিটার
= ১০০ কিলোমিটার
= ১০০ × ১০০০ মিটার
= ১০০০০০ মিটার

ট্রেনটি ১০০০০০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ট্রেনটি ১ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে = ৩৬০০/১০০০০০ ঘণ্টায়
∴ ট্রেনটি ৫০০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে = (৫০০ × ৩৬০০)/১০০০০০ ঘণ্টা
= ১৮ সেকেন্ডে ।

৫,৮৩৯.

কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে তাহলে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ভাগ কমবে?

ক
১৬%
খ
২৪%
গ
৩৬%
ঘ
৪০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে তাহলে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ভাগ কমবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১০০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= π(১০০)^২
= ১০০০০π

আবার,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (১০০ - ২০) = ৮০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= π(৮০)^২
= ৬৪০০π
∴ ক্ষেত্রফল কমে = ১০০০০π - ৬৪০০π
= ৩৬০০π

∴ ১০০০০π থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π
∴ ১০০ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = (৩৬০০π × ১০০)/১০০০০π
= ৩৬% ।

৫,৮৪০.

ব্যাংকে ৮৫০০ টাকা রেখে ৪ বছর পরে সুদাসলে ১১২২০ টাকা পেলে বার্ষিক সরল সুদের হার কত ছিল?

ক
১০%
খ
৯%
গ
৮%
ঘ
৭%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ব্যাংকে ৮৫০০ টাকা রেখে ৪ বছর পরে সুদাসলে ১১২২০ টাকা পেলে বার্ষিক সরল সুদের হার কত ছিল?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৮৫০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
সুদ, I = সুদ-আসল - আসল
= (১১২২০ - ৮৫০০) টাকা
= ২৭২০ টাকা
সুদের হার, r = কত?

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = (I/Pn) × ১০০%
= ২৭২০/(৮৫০০ × ৪) × ১০০%
= ৮%

∴ সুদের হার, r = ৮%।

৫,৮৪১.

একটি সেমিনার কক্ষে প্রতি সারিতে ৯ জন করে বসলে ৫টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৭ জন করে বসলে ৯ জন দর্শককে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

ক
১৬২ জন
খ
১৮৬ জন
গ
১৯৮ জন
ঘ
২১০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সেমিনার কক্ষে প্রতি সারিতে ৯ জন করে বসলে ৫টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৭ জন করে বসলে ৯ জন দর্শককে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক

প্রতি সারিতে ৯ জন করে বসলে ৫টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৫) × ৯ জন

প্রতি সারিতে ৭ জন করে বসলে ৯ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৭ক + ৯ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৫) × ৯ = ৭ক + ৯
⇒ ৯ক - ৪৫ = ৭ক + ৯
⇒ ৯ক - ৭ক = ৯ + ৪৫
⇒ ২ক = ৫৪
⇒ ক = ২৭

অতএব, সেমিনার কক্ষে সারির সংখ্যা = ২৭টি
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৫) × ৯
= (২৭ - ৫) × ৯
= ২২ × ৯
= ১৯৮ জন

∴ ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৯৮ জন।

৫,৮৪২.

শতকরা ১ টাকা হার সুদে ১ টাকার সুদ ১ টাকা হবে কত বছরে?

ক
ক) ১০০০
খ
খ) ১
গ
গ) ১০০
ঘ
ঘ) ১০

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, I = npr [যেখানে, n = সময়]
⇒ ১ = n × ১ × ১/১০০
∴ n = ১০০ বছর

৫,৮৪৩.

একটি বাইসাকেলের মূল্য ১০, ০০০ টাকা। উহা ১০% বাট্টায় ক্রয় করা হলো। তিনমাস ব্যবহারের পর ক্রয়মূল্যর উপর ১৫% বাট্টায় বিক্রি করলে বিক্রয়মূল্য কত ছিল?

ক
ক) ৮৫০০ টাকা
খ
খ) ৭৬৫০ টাকা
গ
গ) ৭৫০০ টাকা
ঘ
ঘ) ৮০০০ টাকা

ব্যাখ্যা

১০% বাট্টা (মূল্যছাড়) তে ক্রয়মূল্য = (৯০×১০০০০)/১০০ = ৯০০০ টাকা।
তিন মাস ব্যবহারের পর ক্রয়মূল্যের উপর ১৫% বাট্টায় বিক্রয়মূল্য = (৮৫×৯০০০)/১০০ = ৭৬৫০ টাকা।

৫,৮৪৪.

হলে x এর মান কত?

ক
32
খ
8
গ
3
ঘ
√8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_√8x = 3(1/3)
বা, log_√8x = 10/3
বা, x = (√8)^10/3
বা, x = (√2³)^10/3
বা, x = (2^3/2)^10/3
বা, x = 2⁵
∴ x = 32

৫,৮৪৫.

একটি নৌকা স্রোতের প্রতিকূলে ৪২ মিনিটে ১৪ কিলোমিটার যায়। স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ৩ কিলোমিটার। স্থির পানিতে নৌকাটির বেগ কত?

ক
২০ কি.মি./ঘণ্টা
খ
২৩ কি.মি./ঘণ্টা
গ
১৭ কি.মি./ঘণ্টা
ঘ
৬৯ কি.মি./ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের প্রতিকূলে ৪২ মিনিটে ১৪ কিলোমিটার যায়। স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ৩ কিলোমিটার। স্থির পানিতে নৌকাটির বেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের প্রতিকূলে ৪২ মিনিটে যায় ১৪ কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে ১ মিনিটে যায় ১৪/৪২ কি.মি.

স্রোতের প্রতিকূলে ১ ঘণ্টা বা ৬০ মিনিটে যায় (১৪ × ৬০)/৪২ কি.মি./ঘণ্টা
= ২০ কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের বেগ = ৩ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্থির পানিতে নৌকার বেগ = (২০ + ৩) কি.মি./ঘণ্টা
= ২৩ কি.মি./ঘণ্টা

৫,৮৪৬.

যদি f(x) = 2x - 1 হয়, এর বিপরীত ফাংশন নিচের কোনটি?

ক
(x - 1)/2
খ
(x + 2)/2
গ
(x + 1)/2
ঘ
(x - 2)/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি f(x) = 2x - 1 হয়, এর বিপরীত ফাংশন নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
y = f(x) = 2x - 1
or, y = 2x - 1
or, 2x = y + 1
or, x = (y + 1)/2

∴ y = f(x)
Or, f ^-1(y) = x
or, f ^-1(y) = (y + 1)/2
∴ f ^-1(x) = (x + 1)/2

৫,৮৪৭.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
৫০
খ
৬০
গ
৪০
ঘ
৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
ছোট সংখ্যাটি = ক

এখন,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩ক × ক = ৬০ × ২০
⇒ ৩ক^২ = ১২০০
⇒ ক^২ = ৪০০
∴ ক = ২০

বড় সংখ্যাটি = ৩ × ২০ = ৬০

৫,৮৪৮.

ঋত্বিকা, সীতা এবং প্রিয়া যথাক্রমে ২০০০০, ৪০০০০ এবং ৩০০০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ফার্ম তৈরি করার ৪ মাস পরে ঋত্বিকা ফার্ম ছেড়ে চলে যায়, ৬ মাস পরে সীতা তার বিনিয়োগকৃত অর্থের অর্ধেক তুলে নেয়, ১২ মাস পর প্রিয়া ফার্ম ছেড়ে দেয়। যদি সম্পূর্ণ লাভ ২৮৩৮০ টাকা হয়, তাহলে ঋত্বিকার লাভ কত?

ক
২৫৮৮ টাকা
খ
২৮৩৮ টাকা
গ
৬০০০ টাকা
ঘ
৪৮২২ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ঋত্বিকা, সীতা এবং প্রিয়া যথাক্রমে ২০০০০, ৪০০০০ এবং ৩০০০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ফার্ম তৈরি করার ৪ মাস পরে ঋত্বিকা ফার্ম ছেড়ে চলে যায়, ৬ মাস পরে সীতা তার বিনিয়োগকৃত অর্থের অর্ধেক তুলে নেয়, ১২ মাস পর প্রিয়া ফার্ম ছেড়ে দেয়। যদি সম্পূর্ণ লাভ ২৮৩৮০ টাকা হয়, তাহলে ঋত্বিকার লাভ কত?

সমাধান:
ঋত্বিকা : সীতা : প্রিয়া = (২০০০০ × ৪) : (৪০০০০ × ৬ + ২০০০০ × ৬) : (৩০০০০ × ১২)
= ৮০০০০ : ৩৬০০০০ : ৩৬০০০০
= ২ : ৯ : ৯

লভ্যাংশের অনুপাত = ২ : ৯ : ৯

ঋত্বিকার লাভ = (২৮৩৮০ × ২)/২০ = ২৮৩৮ টাকা

৫,৮৪৯.

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর, আবার পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স কত?

ক
৯ বছর
খ
১৪ বছর
গ
১৫ বছর
ঘ
১৮ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর, আবার পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স কত?

সমাধান:

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর

পিতা ও মাতার মোট বয়স (৪৫ × ২) বছর = ৯০ বছর

পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর

পিতা, মাতা ও এক পুত্রের মোট বয়স= (৩৬ × ৩) বছর

= ১০৮ বছর

পুত্রের বয়স = (১০৮ - ৯০) = ১৮ বছর

৫,৮৫০.

৫টি আপেল এবং ৪টি আমের গড় মূল্য ৪০ টাকা। ৭টি আপেল এবং ৮টি আমের গড় মূল্য ৫০ টাকা। ২৪টি আপেল এবং ২৪টি আমের মোট মূল্য কত?

ক
৪৭২০ টাকা
খ
৩৬২০ টাকা
গ
২২২০ টাকা
ঘ
২২৮০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫টি আপেল এবং ৪টি আমের গড় মূল্য ৪০ টাকা। ৭টি আপেল এবং ৮টি আমের গড় মূল্য ৫০ টাকা। ২৪টি আপেল এবং ২৪টি আমের মোট মূল্য কত?

সমাধান:
৫টি আপেল এবং ৪টি আমের গড় মূল্য ৪০ টাকা
৫টি আপেল এবং ৪টি আমের মোট মূল্য (৪০ × ৯) = ৩৬০ টাকা

আবার,
৭টি আপেল এবং ৮টি আমের গড় মূল্য ৫০ টাকা
৭টি আপেল এবং ৮টি আমের মোট মূল্য (৫০ × ১৫) = ৭৫০ টাকা

∴ (৫ + ৭) বা ১২ টি আপেল ও (৪ + ৮) বা ১২ টি আমের মোট মূল্য = (৩৬০ + ৭৫০) = ১১১০ টাকা

তাহলে, (১২ × ২) বা ২৪ টি আপেল ও (১২ × ২) বা ২৪ টি আমের মোট মূল্য = (১১১০ × ২) বা ২২২০ টাকা

৫,৮৫১.

একটি ছাত্রাবাসে ৩০ জন ছাত্রের ৩২ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ১৫ দিনে ঐ খাদ্য শেষ হলে নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?

ক
ক) ৬৪ জন
খ
খ) ৫০ জন
গ
গ) ৩৪ জন
ঘ
ঘ) ২৪ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে ৩০ জন ছাত্রের ৩২ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ১৫ দিনে ঐ খাদ্য শেষ হলে নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মজুদ খাবার,
৩২ দিনে শেষ করতে পারে ৩০ জন
১ দিনে শেষ করতে পারে ৩০ × ৩২ জন
∴ ১৫ দিনে শেষ করতে পারে (৩০ × ৩২)/ ১৫
= ৬৪ জন

∴ নতুন ছাত্রের সংখ্যা = ৬৪ - ৩০ জন
= ৩৪ জন

৫,৮৫২.

81^{n - (1/2)} = 729 হলে, n এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 81^{n - (1/2)} = 729 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
^{81n - (1/3)} = 729
⇒ (9²)^{n - (1/2)} = 9³
⇒ 9^{2n - 1} = 9³
⇒ 2n - 1 = 3
⇒ 2n = 3 + 1
⇒ 2n = 4
⇒ n = 4/2
∴ n = 2

৫,৮৫৩.

এক প্যাকেট তাস হতে ৩ টি তাস তোলা হলো, তাস গুলো টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৫২
খ
১/১৩
গ
১/৫৫২৫
ঘ
৩/৫৫২৫

ব্যাখ্যা

মোট তাস = ৫২ টি,
টেক্কা = ৪টি
∴ সম্ভাবনা = ^৪c_৩/^৫২c_৩
= ৪/২২১০০
= ১/৫৫২৫

৫,৮৫৪.

যদি a - (1/a) = 4 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত?

ক
ক) √5
খ
খ) 3√5
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 2√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 4 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
{a + (1/a)}²
= {a - (1/a)}² + 4.a.1/a
= 4² + 4
= 16 + 4
= 20

a + (1/a) = √20
= √(2√5)²
= 2√5

৫,৮৫৫.

13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

ক
492
খ
184
গ
462
ঘ
368

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
13 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 7 টি বাছাই করা যায় = ^{(13 - 2)}C_{(7 - 2)}
= ¹¹C₅
= 462

৫,৮৫৬.

(5a + b)/(2a + b) = 2 হলে, a : b = ?

ক
1 : 2
খ
1 : 1
গ
2 : 1
ঘ
0 : 1

ব্যাখ্যা

(5a + b)/(2a + b) = 2
5a + b = 4a + 2b
5a - 4a = 2b - b
a = b
a/b = 1
a : b = 1 : 1

৫,৮৫৭.

3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 9তম পদ কত?

ক
566
খ
458
গ
788
ঘ
768

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 9তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a r^{(n - 1)}
∴ 9 - তম পদ = 3 × 2^{(9 - 1)}
= 3 × 2⁸
= 3 × 256
= 768

৫,৮৫৮.

একটি চাপ ও চাপের প্রান্তবিন্দু সংশ্লিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্র কে কি বলে?

ক
ক) বৃত্তচাপ
খ
খ) বৃত্তক্ষেত্র
গ
গ) বৃত্তকলা
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

একটি চাপ ও চাপের প্রান্তবিন্দু সংশ্লিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রকে বৃত্তকলা বলে।

৫,৮৫৯.

কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-

ক
সমদ্বিবাহু
খ
বিসমবাহু
গ
সমকোণী
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-

সমাধান:

∠ABD = ∠ACE
⇒ 180° - ∠ABD = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ABC = ∠ACB
∴ AB = AC

∴ △ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

৫,৮৬০.

একটি ব্যাগ ১২২২ টাকায় বিক্রয় করায় ৬% ক্ষতি হয়। ব্যাগটি কত টাকায় বিক্রয় করলে ১৬% লাভ হবে?

ক
১৫৮০ টাকা
খ
১৪৮০ টাকা
গ
১৫০৮ টাকা
ঘ
১৬২০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ব্যাগ ১২২২ টাকায় বিক্রয় করায় ৬% ক্ষতি হয়। ব্যাগটি কত টাকায় বিক্রয় করলে ১৬% লাভ হবে?

সমাধান:
৬% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৪ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/৯৪ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১২২২ টাকায় ক্রয়মূল্য = (১২২২ × ১০০)/৯৬
= ১৩০০ টাকা

আবার,
১৬% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১১৬ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৬ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৬/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১৩০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১৬ × ১৩০০)/১০০ টাকা
= ১৫০৮ টাকা

∴ ব্যাগটি ১৫০৮ টাকায় বিক্রি করতে হবে যাতে ১৬% লাভ হয়।

৫,৮৬১.

x + 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
[0, 4)
খ
{4, 0}
গ
(- ∝, 4)
ঘ
(4, ∝)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
x + 3 > 2x - 1
⇒ 2x - 1 < x+ 3
⇒ 2x - x < 3 + 1
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (- ∝, 4)

৫,৮৬২.

একটি বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার পাঁচ গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার তিন গুণ যোগ করলে ৬২ হয়। প্রথম বিজোড় পূর্ণ সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৫
খ
খ) ৭
গ
গ) ৯
ঘ
ঘ) ১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার পাঁচ গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার তিন গুণ যোগ করলে ৬২ হয়। প্রথম বিজোড় পূর্ণ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বিজোড় পূর্ণ সংখ্যাটি ক
পরবর্তী বিজোড় পূর্ণ সংখ্যাটি (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৩(ক + ২) = ৬২
⇒ ৫ক + ৩ক + ৬ = ৬২
⇒ ৮ক = ৬২ - ৬ = ৫৬
∴ ক = ৭

৫,৮৬৩.

sin A + cos A = √2 হলে, A এর মান কত হবে?

ক
60°
খ
30°
গ
90°
ঘ
45°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin A + cos A = √2 হলে, A এর মান কত হবে?

সমাধান:
অপশন টেস্ট করে পাই,
A = 45° হলে,
sin 45° + cos 45°
= (1/√2) + (1/√2)
= (1 + 1)/√2
= 2/√2
= (√2 × √2)/√2
= √2

∴ A = 45°

৫,৮৬৪.

একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ১০০ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ২০
খ
খ) ২৫
গ
গ) ১৮
ঘ
ঘ) ৩০

ব্যাখ্যা

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ১০০
বা, ৫ক = ১০০
বা, ক = ২০

৫,৮৬৫.

3^{2x - 8} = 5^{2x - 8} হলে, x = ?

ক
ক) -4
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

3^{2x - 8} = 5^{2x - 8}
বা, (3^{2x - 8})/(5^{2x - 8}) = 1
বা, (3/5)^{2x - 8} = (3/5)⁰
বা, 2x - 8 = 0
বা, 2x = 8
∴ x = 4

৫,৮৬৬.

3x - 4y = 10 এবং 6x - 8y = 18 এর সমাধান সেট কত ?

ক
ক) (0, - 5/2)
খ
খ) (3, 0)
গ
গ) (2, 1)
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 4y = 10 এবং 6x - 8y = 18 এর সমাধান সেট কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x - 4y = 10............(1)
6x - 8y = 18..............(2)

(1) × 2 - (2) ⇒
6x - 8y - (6x - 8y) = 20 - 18
6x - 8y - 6x + 8y = 2

এখানে
দেখা যাচ্ছে উভয় চলক কেটে যায়।
আবার (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করলে দুইটি চলক থেকে যায়।

রাশিদ্বয়ের এমন কোনো মান নেই যা সমীকরণগুলো সিদ্ধ হয়।
সঠিক উত্তর হবে অপশন ঘ) কোনটিই নয়

৫,৮৬৭.

একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-

ক
ক) বিষমবাহু
খ
খ) সমদ্বিবাহু
গ
গ) সমকোণী
ঘ
ঘ) সমবাহু

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যেকোনো দুটি মধ্যমা পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আর তিনটি মধ্যমা সমান হলে ত্রিভুজটি সমবাহু ত্রিভুজ।

৫,৮৬৮.

p⁴ - 3p - 2 কে p + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p⁴ - 3p - 2 কে p + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = p⁴ - 3p - 2
p + 1 = 0 হলে f(p) = - 1

∴ f(- 1) = (- 1)⁴- 3(- 1) - 2
= 1 + 3 - 2
= 4 - 2
= 2

৫,৮৬৯.

যদি a + b = 11 এবং a² + b² = 85 হয়, তবে ab এর মান কত?

ক
18
খ
36
গ
21
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 11 এবং a² + b² = 85 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 11
a² + b² = 85

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ 11² = 85 + 2ab
⇒ 121 = 85 + 2ab
⇒ 2ab = 121 - 85
⇒ 2ab = 36
∴ ab = 18

৫,৮৭০.

গ
5
ঙ
5⁶

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৮৭১.

০.৬ + ০.০০৬ + ০.০০০০৬ +.................. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল:

ক
২০/৩৩
খ
২/৩৭
গ
৫/৮৮
ঘ
২/১০৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.৬ + ০.০০৬ + ০.০০০০৬ +.................. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সমাধান:
০.৬ + ০.০০৬+০.০০০০৬ +.................
= ০.৬ + ০.৬ × ০.০১ + ০.৬ × (০.০১)^২....................

এখানে,
a = ০.৬, r = ০.০১ < ১

অসীম পদের সমষ্টি S_∞ = a/(১ - r)
= ০.৬/(১ - ০.০১)
= ০.৬/০.৯৯
= ৬০/৯৯
= ২০/৩৩

৫,৮৭২.

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত হবে?

ক
১৩৫°
খ
৩০°
গ
৪৫°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩

অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)° = ১৩৫°
ক্ষুদ্রতম = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°

পার্থক্য = ১৩৫° - ৪৫°
= ৯০°

৫,৮৭৩.

নিচের ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?
১, ৪, ১৩, ৪০, ১২১, ____.

ক
২৮০
খ
৩২০
গ
৩৬৪
ঘ
৪১৫

ব্যাখ্যা

১ + ৩ = ৪,
৪ + ৯ = ১৩,
১৩ + ২৭ = ৪০,
৪০ + ৮১ = ১২১,
১২১ + ২৪৩ = ৩৬৪

৫,৮৭৪.

শতকরা বার্ষিক ৪.৫% হার সরল সুদে ৪৫০ টাকার সুদ ৮১ টাকা হতে কত সময় লাগবে?

ক
ক) ৬ বছর
খ
খ) ৫ বছর
গ
গ) ৪ বছর
ঘ
ঘ) ৮ বছর

ব্যাখ্যা

এখানে,
আসল P = ৪৫০ টাকা
মুনাফার হার r = ৪.৫% = ৪.৫/১০০= ৪৫/(১০০ ×১০) = ৯/২০০
সুদ I = ৮১ টাকা

আমরাজানি,
I =Pnr
Pnr = I
n = I / Pr
= ৮১/ {৪৫০× (৯/২০০}
= ৪ বছর

৫,৮৭৫.

ⁿC₁₂ = ⁿC₆ হলে n এর মান কত?

ক
12
খ
14
গ
16
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- ⁿC₁₂ = ⁿC₆ হলে n এর মান কত?

সমাধান-
⇒ ⁿC₁₂ = ⁿC₆
⇒ ⁿC₁₂ = ⁿCn - 6
⇒ 12 = n - 6
⇒ n = 18

৫,৮৭৬.

কতভাবে ৮ জন লোক একটি বৃত্তাকার টেবিলের চারপাশে বসতে পারে?

ক
৪০৩২০
খ
৫০৪০
গ
২০১৬০
ঘ
২৫২০

ব্যাখ্যা

বৃত্তাকার টেবিলের চারপাশে বসতে হলে একজনকে স্থির রাখতে হবে,
∴ বসার উপায় = (৮ - ১)!
= ৭!
= ৫০৪০

৫,৮৭৭.

কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 3 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
1/4
খ
2/5
গ
4/7
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 3 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
⇒ x - 2y = - 7 .............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 3) = 1
⇒ x = y - 3
⇒ x - y = - 3 .............(2)

(1) - (2) নং হতে পাই,
x - 2y - x + y = - 7 + 3
⇒ - y = - 4
⇒ y = 4

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 4 = - 3
⇒ x = -3 + 4
⇒ x = 1

∴ ভগ্নাংশটি = 1/4

৫,৮৭৮.

sinx = 3/4 হলে, tanx এর মান কত ?

ক
3/√7
খ
5/4
গ
√7/4
ঘ
4/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinx = 3/4 হলে, tanx এর মান কত ?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin²x + cos²x = 1
cos²x = 1 - sin²x
= 1 - (3/4)²
= 1 - (9/16)
= (16 - 9)/16
= 7/16
∴ cosx = √7/4

এখন,
tanx = sinx/cosx
= (3/4)/(√7/4)
= (3/4) × (4/√7)
∴ tanx = 3/√7

৫,৮৭৯.

চার অংকের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ৪১ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

ক
১০০৪
খ
১০১৪
গ
১০২১
ঘ
১০২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ৪১ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
এখানে,
ভাজক = ৪১, ভাজ্য = ১০০০
এখন,
১০০০ কে ৪১ দ্বারা ভাগ করে আমরা পাই,
ভাগফল = ২৪
ভাগশেষ = ১৬
প্রদত্ত সংখ্যার সাথে (৪১ - ১৬) = ২৫ যোগ করতে হবে
∴ চার অংকের নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০ + ২৫ = ১০২৫

৫,৮৮০.

9x² + 30x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্গ হবে?

ক
4
খ
9
গ
16
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x² + 30x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান :
9x²+ 30x
= (3x)² + 2.3x.5 + 5² - 5²
= (3x + 5)² - 25
∴ 9x² + 30x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৫,৮৮১.

৩০২৫ এর বর্গমূল কত?

ক
ক) ৩৫
খ
খ) ৪৫
গ
গ) ৫৫
ঘ
ঘ) ৬৫

ব্যাখ্যা

৩০২৫ এর বর্গমূল = ৫৫
গুণ করার কৌশলঃ
৩৫ × ৩৫ = (১ম অঙ্ক × ১ম অঙ্কের সাথে ১ যোগ)(২য় অঙ্ক × ২য় অঙ্ক) = (৩ × ৪)(৫ × ৫) = ১২২৫
৪৫ × ৪৫ = (৪ × ৫)(৫ × ৫) = ২০২৫
৫৫ × ৫৫ = ৩০২৫
৬৫ × ৬৫ = ৪২২৫
৭৫ × ৭৫ = ৫৬২৫
৮৫ × ৮৫ = ৭২২৫
৯৫ × ৯৫ = ৯০২৫
৬৭ × ৬৩ = ৪২২১
১০৫ × ১০৫ = ১১০২৫
১১৫ × ১১৫ = ১৩২২৫
১২৫ × ১২৫ = ১৫৬২৫

দুইটি সংখ্যার প্রথম অঙ্ক বা প্রথম দুইটি অঙ্ক একই ও শেষ অঙ্ক দুইটির যোগফল ১০ হলে, উপরের সর্টকাট প্রযোজ্য।

৫,৮৮২.

tanA = 1/0 হলে, A এর মান কত?

ক
30°
খ
45°
গ
60°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanA = 1/0 হলে, A এর মান কত?

সমাধান:
tanA = 1/0
⇒ tanA = ∞
⇒ tanA = tan90° [tan90° = ∞]
∴ A = 90°

৫,৮৮৩.

কোন বইয়ের ৯৬ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৫/১৩ অংশ পড়তে বাকী থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

ক
১৫৬ পৃষ্ঠা
খ
১৪৮ পৃষ্ঠা
গ
১৯৬ পৃষ্ঠা
ঘ
২৫৬ পৃষ্ঠা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বইয়ের ৯৬ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৫/১৩ অংশ পড়তে বাকী থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
পড়া হয়েছে = ১ - (৫/১৩) = ৮/১৩ অংশ

এখন,
৮/১৩ অংশ = ৯৬ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ বইটি = ৯৬ × (১৩/৮) = ১৫৬ পৃষ্ঠা

৫,৮৮৪.

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩০ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের গড় বয়স ২৪ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?

ক
ক) ৮ বছর
খ
খ) ১০ বছর
গ
গ) ১১ বছর
ঘ
ঘ) ১২ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩০ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের গড় বয়স ২৪ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩০ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি = ৩০ × ২ বছর
= ৬০ বছর

পিতা, মাতা ও পুত্রের গড় বয়স ২৪ বছর
পিতা, মাতা ও পুত্রের সমষ্টি = (২৪ × ৩) = ৭২ বছর

∴ পুত্রের বয়স = (৭২ - ৬০) বছর
= ১২ বছর

৫,৮৮৫.

x + 1/x = 1 হলে x² + 1/x = ?

ক
-1
খ
0
গ
2x
ঘ
2

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 1
বা, x² + 1 = x
∴ x² = x - 1
আবার,
x + 1/x = 1
∴ 1/x = 1 - x
এখন,
x² + 1/x
= x - 1 + 1 - x
= 0

৫,৮৮৬.

নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

ক
ক) π
খ
খ) √2
গ
গ) √11
ঘ
ঘ) সবগুলো

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
- অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., √11= 3.31662............ ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
- কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটিপূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
- অমূলদ সংখ্যাকে একটি মূলদ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।

৫,৮৮৭.

4 + 7 + 10 + 13 +............. ধারাটির কততম পদ 298?

ক
50 তম পদ
খ
100 তম পদ
গ
99 তম পদ
ঘ
49 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 7 + 10 + 13 +............. ধারাটির কততম পদ 298?

সমাধান:
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3

ধরি,
n তম পদ = 298
বা, a + (n - 1)d = 298
বা, 4 + (n - 1)3 = 298
বা, 3n + 1 = 298
বা, 3n =297
বা, n = 297/3
∴ n = 99

৫,৮৮৮.

4 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক?

ক
8√3 একক
খ
4√3 একক
গ
12 একক
ঘ
6√3 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক?

সমাধান:
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 a
= 4√3

∴ ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি = 4√3 + 4√3
= 8√3 একক ।

৫,৮৮৯.

১ একরের ১০% সমান কত বর্গগজ?

ক
৩৫২ বর্গগজ
খ
৪৮৪ বর্গগজ
গ
৩৮৮ বর্গগজ
ঘ
৭৭৬ বর্গগগ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ একরের ১০% সমান কত বর্গগজ?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ একর = ৪৮৪০ বর্গগজ

এখন, ১ একরের ১০% = ৪৮৪০ × ১০ × (১/১০০) বর্গগজ
= ৪৮৪ বর্গগজ

৫,৮৯০.

যদি 2^{a + 7} = 4^{a + 2} হয়, তবে 2^{2a - 1} এর মান কত?

ক
3
খ
2
গ
32
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2^{a + 7} = 4^{a + 2} হয়, তবে 2^{2a - 1} এর মান কত?

সমাধান:
2^{a + 7} = 4^{a + 2}
⇒ 2^{a + 7} = 2^{2(a + 2)}
⇒ 2^{a + 7} = 2^{2a + 4}
⇒ a + 7 = 2a + 4
⇒ 2a - a = 7 - 4
∴ a = 3

2^{2a - 1} = 2^{2 × 3 - 1} = 2⁵ = 32

৫,৮৯১.

পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর । যখন পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে ১০২ বছর। পিতার বর্তমান বয়স কত?

ক
ক) ৩৮ বছর
খ
খ) ৩৬ বছর
গ
গ) ৩৭ বছর
ঘ
ঘ) ৩৯ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর । যখন পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে ১০২ বছর ।পিতার বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর ।
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স x বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স হবে (৫০ - x) বছর ।

পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান হবে = (১০২ - ৫০)/২ বছর বা ২৬ বছর পর ।

প্রশ্নমতে,
পিতার বর্তমান বয়স = ২৬ বছর পর পুত্রের বয়স
বা, x = (৫০ - x ) + ২৬
বা, ২x = ৭৬
∴ x = ৩৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স ৩৮ বছর

৫,৮৯২.

২৬৯° কোণটি হলো-

ক
সমকোণ
খ
প্রবৃদ্ধ কোণ
গ
সূক্ষ্মকোণ
ঘ
সরল কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৬৯° কোণটি হলো-

সমাধান:
- ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২৬৯° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

৫,৮৯৩.

x > y এবং z < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) xz > yz
খ
খ) x/z > y/z
গ
গ) z/x < z/y
ঘ
ঘ) zx < yz

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x > y এবং z < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
এখানে, x > y
z < 0, সুতরাং, z ঋণাত্মক,

ধরি,
x = 2, y = 1, z = - 1

∴ xz = - 2 এবং yz = - 1
∴ xz < yz
তাই, ক এর সম্পর্ক মিথ্যা।

আবার,
x/z = - 2 এবং y/z = - 1
∴ x/z < y/z
তাই, খ এর সম্পর্ক মিথ্যা

আবার,
z/x = - (1/2) এবং z/y = - 1
∴ z/x > z/y
তাই, গ এর সম্পর্ক মিথ্যা

আবার,
zx = - 2 এবং yz = - 1
∴ zx < yz
তাই, ঘ এর সম্পর্ক সত্য

৫,৮৯৪.

পিতা ও মাতার গড় বয়স ৩৫ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের গড় বয়স ২৭ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?

ক
ক) ৯ বছর
খ
খ) ১১ বছর
গ
গ) ১২ বছর
ঘ
ঘ) ১৪ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও মাতার গড় বয়স ৩৫ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের গড় বয়স ২৭ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?

সমাধান:
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ২৭ বছর
পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স = ২৭ ×৩ = ৮১ বছর

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩৫ বছর
পিতা ও মাতার মোট বয়স = ৩৫ × ২= ৭০ বছর

সুতরাং পুত্রের বয়স = ৮১ - ৭০ = ১১ বছর

৫,৮৯৫.

যদি মাসের ২য় দিন বুধবার হয় তাহলে মাসের ১৯ তম দিন কী বার হবে?

ক
শনিবার
খ
সোমবার
গ
শুক্রবার
ঘ
বৃহস্পতিবার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি মাসের ২য় দিন বুধবার হয় তাহলে মাসের ১৯ তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
মাসের ২য় দিন বুধবার হলে ,
২ + ৭ = ৯ তম,
৯ + ৭ = ১৬ তম,
১৬ + ৭ = ২৩ তম দিন গুলোও হবে বুধবার।

∴ ১৬ + ৩ = ১৯ তম দিন হবে বুধবার + ৩ দিন = শনিবার

সুতরাং, মাসের ২য় তারিখ বুধবার হলে ১৯শে তারিখ হবে শনিবার।

৫,৮৯৬.

যদি কোনো একটি কোণের বহিঃস্থকোণ ৪৫° ডিগ্রী হিসেবে প্রকাশ করা হয়,তবে অন্তঃস্থকোণ কত ডিগ্রী হবে?

ক
ক) ৪৫°
খ
খ) ৯০°
গ
গ) ১২০°
ঘ
ঘ) ১৩৫°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, অন্তঃস্থকোণ + বহিঃস্থকোণ = ১৮০°
বা, অন্তঃস্থকোণ + ৪৫° = ১৮০°
বা, অন্তঃস্থকোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°

৫,৮৯৭.

২০২০ সালের ফেব্রুয়ারী মাসের গড় বৃষ্টিপাত ছিল ০.৭৫ মি.মি.। ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাত কত?

ক
ক) ২১ মি.মি.
খ
খ) ২২ মি.মি.
গ
গ) ২১.৭৫ মি.মি.
ঘ
ঘ) ২২.৫ মি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০২০ সালের ফেব্রুয়ারী মাসের গড় বৃষ্টিপাত ছিল ০.৭৫ মি.মি.। ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাত কত?

সমাধান:
২০২০ সাল অধিবর্ষ
২০২০ সালের ফেব্রুয়ারি মাস ২৯ দিন

ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাত = (০.৭৫ × ২৯)
= ২১.৭৫ মি.মি.

৫,৮৯৮.

|p - 3| < 5 হলে-

ক
ক) 0 < p < 8
খ
খ) - 2 < p < 2
গ
গ) - 2 < p < 8
ঘ
ঘ) - 8 < p < 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |p - 3| < 5 হলে-

সমাধান:
(p - 3) অঋণাত্মক হলে,
p - 3 < 5
বা, p < 5+ 3
∴ p < 8
আবার, (p - 3) ঋণাত্মক হলে,
- (p - 3) < 5
বা, - p + 3 < 5
বা, - p < 5 - 3
বা, - p < 2
∴ p> - 2 [( - 1) দ্বারা গুণ করে]
∴ নির্ণেয় সমাধান : - 2 < p < 8

৫,৮৯৯.

২ ও ২ এর গুনাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?

ক
০
খ
১
গ
২
ঘ
৫/২

ব্যাখ্যা

২ এর গুনাত্মক বিপরীত সংখ্যা = ১/২

২ ও ২ এর গুনাত্মক বিপরীতের সমষ্টি
= ২ + ১/২
= ৫/২

৫,৯০০.

x² + (1/x)² এর কোন মানের জন্য x³+ (1/x)³ = 0 হবে?

ক
2
খ
0
গ
-2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + (1/x)² এর কোন মানের জন্য x³+ (1/x)³ = 0 হবে?

সমাধান:
x³+ (1/x)³= 0
⇒ {x + (1/x)} {x² - (x)(1/x) + (1/x)²} = 0
⇒ x² - 1 + (1/x)² = 0/{x + (1/x)}
⇒ x² - 1 + (1/x)² = 0
⇒ x² + (1/x)² = 1

অর্থাৎ x²+ (1/x)² = 1 হলে x³+ (1/x)³ = 0 হবে।